第27講、多元最值問題（學生版）

第27講多元最值問題知識梳理解決多元函數(shù)的最值問題不僅涉及到函數(shù)、導數(shù)、均值不等式等知識，還涉及到消元法、三角代換法、齊次式等解題技能．必考題型全歸納題型一：消元法例1．（2024·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______.例2．（2024·廣東梅州·高三五華縣水寨中學?？茧A段練習）已知實數(shù)滿足：，則的最大值為___________.例3．（2024·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習）對任給實數(shù),不等式恒成立,則實數(shù)的最大值為__________.題型二：判別式法例4．（2024·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期中）若，，則當______時，取得最大值，該最大值為______.例5．（2024·全國·高三競賽）在中，，則的最大值為_______________．例6．（2024·高一課時練習）設非零實數(shù)a，b滿足，若函數(shù)存在最大值M和最小值m，則_________.變式1．（2024·江蘇·高三專題練習）若正實數(shù)滿足，則的最大值為________．變式2．（2024·全國·高三專題練習）設，，若，且的最大值是，則___________.題型三：基本不等式法例7．設x、y、z是不全是0的實數(shù).則三元函數(shù)的最大值是_____.例8．（2024·天津和平·高三耀華中學?？茧A段練習）若實數(shù)滿足，則的最大值為________.例9．（2024·全國·高三專題練習）已知正數(shù)，則的最大值為_________．題型四：輔助角公式法例10．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是______________．例11．的取值范圍是．題型五：柯西不等式法例12．（2024·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)，，（i＝1，2…，n），且滿足，，則最大值為（

）A．1 B．2 C． D．例13．（2024·陜西渭南·高二校考階段練習）已知，，是正實數(shù)，且，則的最小值為______.例14．（2024·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知，，則的最小值為______.變式3．（2024·全國·高三競賽）已知、、，且，，則的最小值為.A． B．C．36 D．45變式4．（2024·全國·高三競賽）設為實數(shù)，且.則的最大值等于.A． B．0 C． D．題型六：權方和不等式法例15．（2024·甘肅·高三校聯(lián)考）已知x>0，y>0，且，則x+2y的最小值為____________.例16．已知實數(shù)滿足且，則的最小值是例17．已知，則的最小值是．變式5．已知，則的最小值是．題型七：拉格朗日乘數(shù)法例18．，，，求的最小值．例19．設為實數(shù)，若，則的最大值是．題型八：三角換元法例20．（2024·山西晉中·高三祁縣中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若，則的最大值是________例21．（2024·浙江溫州·高一校聯(lián)考競賽），則的最小值為______.題型九：構造齊次式例22．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，，則的最大值是______.例23．（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習）已知實數(shù)，若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．8例24．（2024·天津南開·高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為____________．題型十：數(shù)形結合法例25．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)（a，）在區(qū)間[0，c]（）上的最大值為M，則當M取最小值2時，_____例26．（2024·江蘇揚州·高三階段練習）已知函數(shù)，若且，則的最大值為（

）A． B． C． D．例27．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若且，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式6．（2024·江蘇·高三專題練習）已知函數(shù)若存在實數(shù)，滿足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型十一：向量法例28．（2024·江蘇南通·高一海安高級中學校考階段練習）17世紀法國數(shù)學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小，現(xiàn)已證明：在中，若三個內角均小于，則當點P滿足時，點P到三角形三個頂點的距離之和最小，點P被人們稱為費馬點．根據(jù)以上知識，已知為平面內任意一個向量，和是平面內兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是_____________．例29．（2024·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為________.例30．（2024·湖北武漢·高一湖北省武昌實驗中學校聯(lián)考期末）已知向量，滿足，，則的最大值為__________．題型十二：琴生不等式法例31．（2024·福建龍巖·高三?？茧A段練習）若函數(shù)的導函數(shù)存在導數(shù)，記的導數(shù)為．如果對，都有，則有如下性質：．其中，，，，.若，則