第34講、三角形中最值與范圍（教師版）

第34講三角形中最值與范圍知識(shí)梳理1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；（4）根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過大．2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：（1）求角的最值；（2）求邊和周長(zhǎng)的最值及范圍；（3）求面積的最值和范圍．必考題型全歸納題型一：周長(zhǎng)問題例1．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若為銳角三角形，，求周長(zhǎng)范圍．【解析】（1）在中，由射影定理得，則題述條件化簡(jiǎn)為，由余弦定理得．可得

所以.（2）在中，由正弦定理得，則周長(zhǎng)，因?yàn)?，則，因?yàn)闉殇J角三角形，，則得，故．例2．（2024·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角△ABC中，，，（1）求角A；（2）求△ABC的周長(zhǎng)l的范圍.【解析】（1）∵，，所以，所以，所以，因?yàn)椋裕?，所?（2），所以,所以，，所以因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在①；②；③；在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．在銳角中，內(nèi)角、、，的對(duì)邊分別是、、，且______(1)求角的大小；(2)若，求周長(zhǎng)的范圍．【解析】（1）選①，由可得，，則，可得，；選②，由可得，即，即，，則，故，；選③，由及正弦定理可得，、，則，所以，，故，，，因此，.（2）由正弦定理可得，則，，，因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，所以，，則，故.變式1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，求周長(zhǎng)的范圍.【解析】（1）由正弦定理得：，，，，，，，.（2）由正弦定理：，則，，，，周長(zhǎng)為，又銳角，，結(jié)合，，，，即周長(zhǎng)的范圍是.變式2．（2024·陜西西安·高三西安中學(xué)校考階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且滿足，．(1)求角A的大??；(2)求周長(zhǎng)的范圍．【解析】（1）由余弦定理，即，所以，因?yàn)?，所以．?）由正弦定理：，則，，由（1），故因?yàn)?，則，所以，即周長(zhǎng)范圍是．題型二：面積問題例4．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，，．(1)求角A的值；(2)若，求面積的范圍．【解析】(1)∵，，，∴．又，∴．又為銳角三角形，∴或∴或（舍去），∴．(2)由正弦定理知，又∵，，∴，∴．故得到：，∴，∴面積的范圍為例5．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某植物園內(nèi)有一塊圓形區(qū)域，在其內(nèi)接四邊形內(nèi)種植了兩種花卉，其中區(qū)域內(nèi)種植蘭花，區(qū)域內(nèi)種植丁香花，對(duì)角線BD是一條觀賞小道．測(cè)量可知邊界，，．（1）求觀賞小道BD的長(zhǎng)及種植區(qū)域的面積；（2）因地理?xiàng)l件限制，種植丁香花的邊界BC，CD不能變更，而邊界AB，AD可以調(diào)整，使得種植蘭花的面積有所增加，請(qǐng)?jiān)贐AD上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P，使得種植區(qū)域改造后的新區(qū)域（四邊形）的面積最大，并求出這個(gè)面積的最大值．【解析】（1）設(shè)，則由余弦定理得，．由四邊形是圓內(nèi)接四邊形得，故，即，解得（負(fù)值舍去），即．從而，所以，，故．答：觀賞小道BD的長(zhǎng)為，種植區(qū)域的面積為．（2）由（1）及“同弧所對(duì)的圓周角相等”得．設(shè)，，則．在中，由余弦定理有，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．而，因此，種植區(qū)域改造后的新區(qū)域的面積的最大值為．答：當(dāng)為等邊三角形時(shí)，新區(qū)域的面積最大，最大值為．例6．（2024·山東青島·高三青島三十九中?？计谥校┰冖賏＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求△ABC的面積的值（或最大值）．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，三邊a，b，c與面積S滿足關(guān)系式：，且______，求△ABC的面積的值（或最大值）．【解析】∵，∴，∵，∴，選擇條件①：當(dāng)a＝2時(shí)，根據(jù)余弦定理，，∴，∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等），∴；選擇條件②：當(dāng)a＝b＝2時(shí)，∵，∴，∴；選擇條件③：當(dāng)b＝c＝2，．變式3．（2024·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某住宅小區(qū)一側(cè)有一塊三角形空地，其中，，．物業(yè)管理部門擬在中間開挖一個(gè)三角形人工湖，其中，都在邊上（，均不與重合，在，之間），且．(1)若在距離點(diǎn)處，求點(diǎn)，之間的距離；(2)設(shè)，①求出的面積關(guān)于的表達(dá)式；②為節(jié)省投入資金，三角形人工湖的面積要盡可能小，試確定的值，使得面積最小，并求出這個(gè)最小面積．【解析】（1）∵，，，，∴，，∴由余弦定理，，，∴．在中．（2）①∵，∴，在中，，在中，，∴，又中邊上的高為，∴，．②當(dāng)，時(shí)，最小且．變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，．（1）D為線段上一點(diǎn)，且，求長(zhǎng)度；（2）若為銳角三角形，求面積的范圍．【解析】（1）在中，依題意得：，則有，于是得，而，則，又，則，在中，從而得等邊，即，，在中由余弦定理得，解得；（2）在中，，設(shè)，由正弦定理得：，于是得，因是銳角三角形，則，且，于是有，則，即，，從而得，所以面積的取值范圍是．變式5．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）若，，求的大?。唬?）若，且是鈍角，求面積的大小范圍.【解析】（1）在中，，由正弦定理得.∵，∴，∴，∴.又∵，∴.在中，由余弦定理得，即，解得（舍去），.∴.（2）由（1）知，∴.由正弦定理，得，∴.∵，為鈍角，∴，∴，∴，∴.即面積的大小范圍是.題型三：長(zhǎng)度問題例7．（2024·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知銳角內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若.(1)求；(2)若，求的范圍.【解析】（1）由正弦定理，又，得；（2）因?yàn)?，所以，，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，解得，令，所以，所以.例8．（2024·福建莆田·高三?？计谥校┰谥校琣，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，，(1)求角B﹔(2)求的范圍．【解析】（1），又，所以，因?yàn)?，所?（2）在中，由（1）及，得，故，，因?yàn)?，則，﹒所以的范圍為.例9．（2024·重慶江北·高三校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，當(dāng)僅有一解時(shí)，寫出的范圍，并求的取值范圍.【解析】（1），即，，，.（2）根據(jù)題意，由正弦定理得，則，僅有一解，或，即或，或，當(dāng)時(shí)，，所以，所以；當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，，，，，，即，綜上，.變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足條件；，．（I）求角A的值；（Ⅱ）求的范圍．【解析】（I）由，利用正弦定理可得，即故，又，（Ⅱ），，利用正弦定理故，在中，，故，，所以的范圍是變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，分別是角的對(duì)邊.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的范圍.【解析】（1）由題意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）由正弦定理可知，，即，∴，又∵為銳角三角形，∴，則即，所以，即，綜上的取值范圍為.變式8．（2024·山西運(yùn)城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.（1）求證：；（2）若是銳角三角形，，求的范圍.【解析】（1）由兩角差的正弦公式，可得，又由正弦定理和余弦定理，可得，所以（2）由（1）知因?yàn)槭卿J角三角形，所以，可得，又由，可得，所以，所以，所以，可得，符合.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.變式9．（2024·安徽亳州·高三統(tǒng)考期末）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求角的大??；（2）設(shè)為的垂心，且，求的范圍.【解析】（1）由，結(jié)合正弦定理得，整理得，又為銳角，故.（2）由是銳角三角形，則垂心必在內(nèi)部，不妨設(shè)，則.由為的垂心，則.在中使用正弦定理得，，整理得：.同理在中使用正弦定理得，.，結(jié)合可得.題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，?因?yàn)椋?因?yàn)?，所?（2）由（1）知.因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，即的取值范圍?例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．(1)判斷的形狀并給出證明；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）為等腰三角形或直角三角形，證明如下：由及正弦定理得，，即，即，整理得，所以，故或，又、、為的內(nèi)角，所以或，因此為等腰三角形或直角三角形．（2）由（1）及知為直角三角形且不是等腰三角形，且，故，且，所以，因?yàn)?，故，得，所以，因此的取值范圍為．?2．（2024·河北保定·高一定州一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)判斷的形狀（銳角、直角、鈍角三角形），并給出證明；(2)求的最小值．【解析】（1）是鈍角三角形.由題意可知，，得，所以,于是有，得或，即或，又，，所以是鈍角三角形.（2）由（1）知，,,有，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即（為銳角），等號(hào)成立，所以的最小值為變式10．（2024·廣東佛山·高一大瀝高中校考階段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且；(1)若，判斷的形狀并說明理由；(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.【解析】（1）是等邊三角形.理由如下：在中，由得：，由余弦定理得，即，由正弦定理及，得，即，而及，則或，當(dāng)時(shí)，即，有，此時(shí)，所以是等邊三角形；當(dāng)，即時(shí)，，有，與矛盾，所以是等邊三角形.（2）由（1）知，，由余弦定理得，為銳角，而是銳角三角形，則，得，，得，因此，，令，則，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，于是，因此，即有，所以的取值范圍是.變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知.(1)若，求角A的大?。?2)求的取值范圍.【解析】（1）由正弦定理得：，∵，∴或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以舍去，所以.（2）（或者用積化和差公式一步得到）∵，∴，所以A為銳角，又，所以，所以，所以，所以.變式12．（2024·江西吉安·高二江西省峽江中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是，．（1）求角A的大??；（2）求的取值范圍．【解析】（1）∵，結(jié)合余弦定理，可得，∴，∴又∵，∴；（2）由（1）得，∴，∴，∵是銳角三角形，∴，解得，∴，，∴.變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合題意舍去），∴，∴，設(shè)，∵是銳角三角形，∴，∴，∴，∴，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，∴.故選：C．題型五：倍角問題例13．（2024·浙江紹興·高一諸暨中學(xué)校考期中）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)證明：；(2)若，求a的取值范圍；(3)若的三邊邊長(zhǎng)為連續(xù)的正整數(shù)，求的面積．【解析】(1)因?yàn)闉殇J角三角形，所以.由正弦定理有，又在中，所以有,所以，因此有，化簡(jiǎn)整理得，所以,即.(2)因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，又，得，因此，得，所以.由（1）有，若時(shí)，，又因?yàn)椋?(3)設(shè)的三邊分別為.當(dāng)時(shí)，由，所以有，解得，因此三邊分別為，所以，所以，所以；當(dāng)時(shí)，同理有，解得，此時(shí)不能構(gòu)成三角形，故不滿足題意；當(dāng)時(shí)，同理有，化簡(jiǎn)得，此時(shí)無整數(shù)解，故不滿足題意.綜上可知：.例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，且為銳角，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，．為銳角，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為．故選：A例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）銳角的角所對(duì)的邊為，，則的范圍是_________．【答案】【解析】∵為銳角三角形，，∴，∴，∴，即，由正弦定理得：，所以的取值范圍為）.所以答案應(yīng)填：．變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為5，若，則的取值范圍為______．【答案】【解析】在中，，，，，即，由余弦定理可得，，故，由正弦定理可得，，化簡(jiǎn)整理可得，，故或（舍去），則，為銳角三角形，，解得，故，故答案為：變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】由于，作，則，因?yàn)?，，可得，所以，令，可得，所以，令，可得，由，可得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，綜上．故答案為：．變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在銳角中,，,而，，所以，所以由正弦定理可知:,故選：B.變式17．（2024·福建三明·高一三明市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角中，，，的對(duì)邊分別是，，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在銳角中，，因?yàn)?，?所以，，解得，所以，，而，，所以，所以由正弦定理可知：，因?yàn)椋?，所以，?故選：A.變式18．（2024·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，C，若A＝2B，則的最小值為（

）A．－1 B． C．3 D．【答案】C【解析】因?yàn)锳＝2B，,所以由正弦定理，得，因?yàn)锳＝2B，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.題型六：角平分線問題例16．（2024·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若角的平分線交于點(diǎn)，且，求的最小值.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，則，可得，整理得注意到，且，則，，且，可得或解得或（舍去），故.（2）若的平分線交于點(diǎn)，則，因?yàn)?，則，即，整理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值.例17．（2024·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期中）如圖，中，，的平分線AD交BC于．

(1)若，求的余弦值；(2)若，求AD的取值范圍．【解析】（1）設(shè)A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c,因?yàn)锳D是的平分線，所以到AB，AC的距離相等，又，所以，所以．由題意，．中，①,中，②聯(lián)立①②得．又，則．所以．（2）因?yàn)?，，．所以所以．所以．因?yàn)椋裕裕?8．（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）在①，②，③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．(1)求角C的值；(2)若角C的平分線交于點(diǎn)D，且，求的最小值．【解析】（1）選擇條件①：∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴；選擇條件②：∵，∴，∴，∴．∵，∴；選擇條件③：∵，∴，∵，∴，由正弦定理得，即，∴，∵，∴．（2）角C的平分線交AB于點(diǎn)D，在中，，在中，，在中，∵，∴，∴，∴，∴．當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為．變式19．（2024·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，角A的平分線與邊交于點(diǎn).(1)求角A；(2)若，求的最小值.【解析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)可得：，∴，即，由∴又∵，∴，∴，又，∴.（2）

根據(jù)角A的平分線與邊交于點(diǎn)，所以，，即，所以，即.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的小值為18.變式20．（2024·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足，且．(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長(zhǎng)度的取值范圍．【解析】（1）由題意得，即．所以，由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，故，故，整理得．又為銳角三角形，則，，，所以，因此．（2）在中，由正弦定理得，所以．所以．因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，解得．故，所以．因此線段長(zhǎng)度的取值范圍.變式21．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角的大小；(2)若，與的平分線交于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值．【解析】（1）由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，故．?）

由（1）知，，有，而與的平分線交于點(diǎn)，即有，于是，設(shè)，則，且，在中，由正弦定理得，，所以，所以的周長(zhǎng)為，由，得，則當(dāng)，即時(shí)，的周長(zhǎng)取得最大值，所以周長(zhǎng)的最大值為．變式22．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，邊上有一動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)為邊中點(diǎn)時(shí)，若，求的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)為的平分線時(shí)，若，求的最大值.【解析】（1）因?yàn)?，所以，?由正弦定理，得.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，所?因?yàn)闉檫呏悬c(diǎn)，所以，則.又，所以，即，即，所以.（2）在中，由余弦定理，得.又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以.因?yàn)槠椒?，所以，所以，所?令，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)即時(shí)，取得最大值為，所以的最大值為.題型七：中線問題例19．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高一雅禮中學(xué)?？计谥校┰阡J角中，角的對(duì)邊分別是，，，若(1)求角的大?。?2)若，求中線長(zhǎng)的范圍（點(diǎn)是邊中點(diǎn)）.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得：即，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)，所以，兩邊平方可得:，所以，因?yàn)?，又，，所?又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，得到，所以，由的圖像與性質(zhì)知，，所以，所以，得到故.例20．（2024·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求邊中線的取值范圍．【解析】（1）由已知可得，由余弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又，所以．（2）因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，則，即．因?yàn)?，所以．所以，所以．?1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C的大??；(2)若，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長(zhǎng)的取值范圍．【解析】（1）已知，由正弦定理可得，即，所以，因?yàn)椋裕?）由余弦定理可得，又，則，由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得，解得，則，所以，所以，所以，所以中線CD長(zhǎng)的取值范圍為．變式23．（2024·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若(1)求角A的大??；(2)若，求中線AD長(zhǎng)的最大值（點(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)）．【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?即，,因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?所以.（2）由（1）得，則，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)，所以,兩邊平方可得：,則，所以，中線AD長(zhǎng)的最大值為.變式24．（2024·廣東廣州·高二廣州六中?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角A的大??；(2)若，求邊上的中線長(zhǎng)度的最小值．【解析】（1）由得,,即.（2）,即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．題型八：四心問題例22．（2024·四川涼山·校聯(lián)考一模）設(shè)（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的重心、內(nèi)心分別是，且，若，則的最小值是__________．【答案】【解析】因?yàn)橹匦摹?nèi)心分別是，且，所以，（r為內(nèi)切圓的半徑），又.且.解得.所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即為等邊三角形有最小值.例23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求角的大?。唬?）若，為的內(nèi)心，求的最大值.【解析】（1），由正弦定理可得，，即，又，，，又.（2）設(shè)，為的內(nèi)心，且，，，在中，由正弦定理得，，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即為等邊三角形時(shí)取等號(hào)，故的最大值為2.例24．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角；(2)若為的垂心，，求面積的最大值.【解析】（1）由題可得，結(jié)合正弦定理可得，即，∴，又，∴.（2）設(shè)邊，上的高分別為，則為與的交點(diǎn)，則在四邊形中，，∵，∴，故，在中，，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴，故面積的最大值為.變式25．（2024·江蘇無錫·高一錫東高中?？计谥校┰谥校謩e是角的對(duì)邊，．(1)求角A的大??；(2)若為銳角三角形，且其面積為，點(diǎn)為重心，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，線段與線段相交于點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)椋瑒t，可得，即，所以.（2）由題意可得，，所以，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，故設(shè)，同理、、三點(diǎn)共線，故設(shè)，則，解得，所以，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉殇J角三角形，當(dāng)為銳角，則，即，即，所以；當(dāng)為銳角，則，即，則，即，所以；綜上可得，又因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，且在上單調(diào)遞減，，所以，即，所以．

變式26．（2024·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且外接圓的半徑為．(1)求C的大?。?2)若G是的重心，求面積的最大值．【解析】(1)由正弦定理，得因?yàn)椋?/p>

所以，所以,因?yàn)?故．(2)由（1）得，所以，得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．

連接BG，并延長(zhǎng)BG交AC于D，則D是AC的中點(diǎn)，且，

過G作于F，過B作于E，則，所以．故面積的最大值為變式27．（2024·遼寧撫順·高一撫順一中校考階段練習(xí)）如圖，記銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，A的角平分線交BC于點(diǎn)D，O為的重心，過O作，交AD于點(diǎn)P，過P作于點(diǎn)E.(1)求的取值范圍；(2)若四邊形BDPE與的面積之比為，求的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)椋沂卿J角三角形，所以，均為銳角，所以解得.(2)如圖，連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)G.因?yàn)椐盀榈闹匦?，所以G為BC的中點(diǎn)，.因?yàn)?，所以，，所以，所?設(shè)，，則.因?yàn)?，，，所以由，得，?因?yàn)?，所以四邊形的面積為：，.由，得，即，所以.變式28．（2024·浙江·高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）若O是的外心，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】如圖所示：

設(shè)，，，，由，得化簡(jiǎn)得，由是的外心可知，是三邊中垂線交點(diǎn)，得，代入上式得，所以，根據(jù)題意知，是三角形外接圓的半徑，可得，.所以，由柯西不等式可得：，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.故選：C.變式29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是三角形的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．6 B． C． D．3【答案】D【解析】如圖所示：設(shè).由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，由是三角形的外心可得，是三邊中垂線交點(diǎn)，則，代入上式得，，即依據(jù)題意，為外接圓半徑，根據(jù)正弦定理可得，代入得，則結(jié)合不等式可得，的最大值為3故選：D題型九：坐標(biāo)法例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，，則的最小值為______．【答案】2【解析】因?yàn)?，，所?在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.如圖所示：設(shè)的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標(biāo)系.設(shè)E為AC的中點(diǎn)，所以，.所以點(diǎn)M的軌跡為：，可寫出（為參數(shù)）.因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)部，所以（其中滿足，）.所以因?yàn)闈M足，，所以，所以當(dāng)時(shí)最小.故答案為：2例26．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在中，，，，M是所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】【解析】以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建系，如圖所示，根據(jù)題意，可得A、B、C坐標(biāo)，設(shè)，可得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積公式，可得的表達(dá)式，即可求得答案.以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，，，所以，設(shè)，則，所以=，當(dāng)時(shí)，有最小值，且為，故答案為：例27．（2024·湖北武漢·高二武漢市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知B，C為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)的取值范圍是___________.【答案】【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，所以所以的取值范圍是，從而的取值范圍是．故答案為：．變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，，且所在平面內(nèi)存在一點(diǎn)使得，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系，解不等式，得出的范圍，再由三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出面積的最大值.以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)，，，則設(shè)，由得即，即點(diǎn)既在為圓心，為半徑的圓上，又在為圓心，1為半徑的圓上可得，由兩邊平方化簡(jiǎn)可得則的面積為由，可得，取得最大值，且為.故選：B.變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在等邊中，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，以的BC邊的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，過O點(diǎn)垂直于BC的直線為y軸，建立建立直角坐標(biāo)系如圖，再將延x軸翻折得，求得的外接圓的圓心為Q，，M點(diǎn)的劣弧上，不妨設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為2，可得：，，，，點(diǎn)所在圓的方程為：.設(shè)參數(shù)方程為：，，，其中，即，解得，；故選：C.變式32．（2024·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值，因?yàn)?，，，所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，取的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，故，，因?yàn)椋?，故，則，故點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，即取得最小值，因?yàn)?，所以，同理得：，，，故的最小值?故選：B題型十：隱圓問題例28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，連接對(duì)角線，已知，，，，則對(duì)角線的最大值為（

）A．27 B．16 C．10 D．25【答案】A【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB,DC分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)椋?，所以由平面幾何知識(shí)得A點(diǎn)軌跡為圓?。ㄒ?yàn)闉槠矫嫠倪呅危匀D中第四象限部分的圓?。O(shè)圓心為E,則由正弦定理可得圓半徑為，因此對(duì)角線的最大值為故選：A例29．（2024·江蘇泰州·高三階段練習(xí)）已知中，，為的重心，且滿足，則的面積的最大值為______.【答案】/【解析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)要使，則在坐標(biāo)原點(diǎn)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)要使，則，解得，顯然不成立，所以且，因?yàn)樗?，即整理得?且)所以當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，的面積取得最大值為.故答案為：例30．（2024·湖北武漢·高二武漢市洪山高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知等邊的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)G是內(nèi)的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)且滿足，則的最大值為________.【答案】【解析】由，可知點(diǎn)G為的重心，以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出的坐標(biāo)，設(shè)，由可知在以為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離最值求出的最大值.由，可知點(diǎn)G為的重心.以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，由可知P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以的最大值為.故答案為：變式33．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，，．若，則的最小值為____．【答案】【解析】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正向，建立如下平面直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)，則，，因?yàn)樗?，即：整理得：，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上.在軸上取，連接可得，所以，所以由圖可得：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)在圖中的位置時(shí)，最小.此時(shí)最小為.故答案為．變式34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若滿足條件，，則面積的最大值為__.【答案】【解析】如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)可得,則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，且去掉點(diǎn)，和，；所以的面積的最大值為，故答案為：.變式35．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，為定長(zhǎng)，，若的面積的最大值為，則邊的長(zhǎng)為____________．【答案】【解析】設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，，利用求向量模的公式，可得，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)一步求出的值即為所求.設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，則，即，由，可得.則.故答案為：.變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）中，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)P使得，，則的面積最大值為__________________．【答案】【解析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)，由，，可得，即，即點(diǎn)P既在以為圓心，半徑為的圓上，也在為圓心，為半徑的圓上，可得，由兩邊平方化簡(jiǎn)可得，則的面積為，由，可得．故答案為：.變式37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中，，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則面積的最大值為__________．【答案】【解析】設(shè)，以所在直線為軸、其中垂線所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，設(shè)，由，得，即，則，則，即，解得，即，即面積的最大值為.題型十一：兩邊夾問題例31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，且的周長(zhǎng)為12．(1)求證：為直角三角形；(2)求面積的最大值．【解析】（1）在中有，，又，則，可得，可得①，又，，是三角形內(nèi)角，若，則，此時(shí)①式不成立；若，則，此時(shí)①式不成立；所以，則，則，所以是直角三角形．（2）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，則直角三角形的面積，又，則，所以，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為．例32．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，，延長(zhǎng)至，若，則面積的最大值為__________.【答案】【解析】，，①又成等比數(shù)列，，由正弦定理可得，②①-②得，，解得，由，得，，為正三角形，設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為，則，，時(shí)等號(hào)成立．即面積的最大值為，故答案為.例33．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為，b，c．已知，b，c依次成等比數(shù)列，且，延長(zhǎng)邊BC到D，若，則面積的最大值為______．【答案】【解析】∵，，∴，①∵a，b，c依次成等比數(shù)列，∴，由正弦定理可得，②①-②可得，∴∴，∴，∵，∴，即∴為正三角形，設(shè)邊長(zhǎng)a，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)故答案為題型十二：與正切有關(guān)的最值問題例34．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在銳角三角形中，角??的對(duì)邊分別為??，且滿足，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，由余弦定理得，所以，，由正弦定理得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，由，得，，，，所以．故答案為：．例35．（2024·全國·高一階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求A角的值；(2)若為銳角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，∵，∴，∵，∴，∴，因?yàn)?，∴，?（2）由正弦定理，，∵為銳角三角形，∴，即，，∴}∴的取值范圍是.例36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋?因?yàn)?，，因?yàn)?（2）由正弦定理，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的取值范圍?變式38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以.又，所以，所以.又，且，故，所以.又，所以，得，所以，故選：C.變式39．（2024·安徽合肥·高一合肥市第七中學(xué)?？计谥校┰阡J角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】△ABC中，，由，得，∴；即，∵，∴，∴，∴，∴，∵△ABC為銳角三角形，∴,∴，∴，∴,∴，故選：D．變式40．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴所以因此設(shè)，∵是銳角三角形，∴，∴∴，在上單調(diào)遞增，∴，故選：C題型十三：最大角問題例37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問題：“設(shè)點(diǎn)M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P，使得∠MPN最大．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過M，N兩點(diǎn)且和射線QB相切的圓與射線QB的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7【答案】A【解析】，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，易知，則經(jīng)過兩點(diǎn)的圓的圓心在線段的垂直平分線上，設(shè)圓心為，則圓的方程為，當(dāng)取最大值時(shí)，圓必與軸相切于點(diǎn)（由題中結(jié)論得），則此時(shí)P的坐標(biāo)為，代入圓的方程得，解得或，即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為和，因?yàn)閷?duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，又過點(diǎn)M，N，的圓的半徑大于過點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，所以，故點(diǎn)為所求，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故選：A例38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，由正弦定理及得：，即，整理得：，即，因，則，否則為鈍角，也為鈍角，矛盾，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故選：D例39．（2024·江西上饒·高三上饒中學(xué)校考期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，當(dāng)tan(A－B)取最大值時(shí)，角C的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得，化簡(jiǎn)得.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由于故為銳角，故，所以.故選A.變式41．（2024·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”．如圖，樹頂離地面12米，樹上另一點(diǎn)離地面8米，若在離地面2米的處看此樹，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則．

設(shè)，在中，．在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故選：C.變式42．（2024·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中）如圖：已知樹頂A離地面米，樹上另一點(diǎn)離地面米，某人在離地面米的處看此樹，則該人離此樹（）米時(shí)，看A、的視角最大.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，則又，且余弦函數(shù)在單調(diào)遞減，則當(dāng)，即時(shí)最大.即該人離此樹6米時(shí)，看A、的視角最大.故選：C題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問題例40．（2024·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）內(nèi)一點(diǎn)O，滿足，則點(diǎn)O稱為三角形的布洛卡點(diǎn)．王聰同學(xué)對(duì)布洛卡點(diǎn)產(chǎn)生興趣，對(duì)其進(jìn)行探索得到許多正確結(jié)論，比如，請(qǐng)你和他一起解決如下問題：(1)若a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，，證明：；(2)在（1）的條件下，若的周長(zhǎng)為4，試把表示為a的函數(shù)，并求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，在和中，由正弦定理得又，，，，又，，即．（2），即，又成等比數(shù)列，設(shè)（公比）（），，解得：，又，得，由且，則，故在上遞增，所以在上為減函數(shù)，易知，例41．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知在中，已知，，，且點(diǎn)在線段上，且滿足，若點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，由余弦定理可得，由正弦定理，即，所以，顯然為銳角，所以，設(shè)，則，即，解得，即，所以，所以，又，即為銳角，所以的三個(gè)內(nèi)角均小于，則為三角形的正等角中心，所以，所以，因?yàn)?故選：C例42．（2024·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)取到最小值時(shí)，則稱該點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”.當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)滿足如下特征：.如圖，在中，，，則其費(fèi)馬點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和為（

）A．4 B．2C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，為等腰三角形，，，在中，由余弦定理可得：，即，解得：，在中，由余弦定理可得：，即，解得：，，其費(fèi)馬點(diǎn)到，，三點(diǎn)距離之和為4．故選：A變式43．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）拿破侖·波拿巴最早提出了一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)”.在△ABC中，已知，且，，現(xiàn)以BC，AC，AB為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的邊長(zhǎng)為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，由題設(shè)，因?yàn)橐詾檫呄蛲庾魅齻€(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，所以，，故.故選：B.變式44．（2024·河南·高一校聯(lián)考期末）幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)．在中，已知，，外接圓的半徑為，現(xiàn)以其三邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的面積為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【解析】中，，故，，故，，，外接圓圓心為對(duì)應(yīng)等邊三角形的中心，如圖所示，連接，，

則，故，，，故，，，則，根據(jù)對(duì)稱性知：，故為等邊三角形，其面積.故選：C.題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似例43．（2024·江蘇淮安·高一校聯(lián)考期中）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC、BD是其兩條對(duì)角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（

）A． B．16 C． D．12【答案】C【解析】設(shè)，由托勒密定理可知，即，所以，，又因?yàn)?，，因此?故選：C.例44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和．其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，、是其兩條對(duì)角線，，且為正三角形，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由托勒密定理可知，即，所以，，又因?yàn)?，，因此?故選：C.例45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接AC，BD．由，及正弦定理，得，解得，．在中，，，，所以．因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于半徑為的圓，它的對(duì)角互補(bǔ)，所以，所以,所以，所以四邊形ABCD的周長(zhǎng)為．故選：A．變式45．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于180°的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形ABCD中，，，，，當(dāng)變化時(shí)，對(duì)角線BD的最大值為（）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，，，在△ABC中，由余弦定理，得，由正弦定理，得，∴.∵，，，在△BCD中，由余弦定理，得,∴，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，為，即BD的最大值為.故選：C.變式46．（2024·江蘇無錫·高一江蘇省江陰市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，，，以為邊作等腰直角三角形(為直角頂點(diǎn)，，兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)).當(dāng)角變化時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】A【解析】中，，，，在中，由正弦定理得：，，在中，，當(dāng)時(shí)最大為9，故最大值為3，故選：A變式47．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在中，，，以為邊作等腰直角三角形（為直角頂點(diǎn)，、兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)）.當(dāng)變化時(shí)，線段長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，，在中，，，，，

，在中，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即、、三點(diǎn)共線，此時(shí)有的最大值，的最大值為：，，的最大值為：.故選：C.

方法二：如圖，設(shè)，，在中，由余弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：，由同角關(guān)系可得：，，令，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.的最大值為：.故選：C.

變式48．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD為正三角形，則BCD面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在ABC中，設(shè)，，由余弦定理得：，∵ACD為正三角形，∴，，，在ABC中，由正弦定理：，∴，∴，∴，，∵，∴為銳角，，∴，，當(dāng)時(shí)，．題型十六：三角形中的平方問題例46．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，則△ABC面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，兩式平方相加得，而，兩式結(jié)合有，再用基本不等式求解.因?yàn)閍2+b2+2c2＝8，所以，由余弦定理得，即①由正弦定理得，即②由①，②平方相加得，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，取等號(hào).故選：B例47．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】由得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由于,故，則，則，故答案為