北京市房山區(qū)2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試卷 含解析

房山區(qū)2023-2024學年度第二學期學業(yè)水平調(diào)研（二）高二數(shù)學本試卷共5頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知數(shù)列滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列概念及通項可得結(jié)果.【詳解】由可得為定值，又，所以是以為首項，公比的等比數(shù)列，∴=4，故選：B2.函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合導數(shù)的幾何意義判斷即可【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，應用導數(shù)的幾何意義是函數(shù)的切線斜率，在1處的切線斜率小于在3處的切線斜率，所以，A,B選項錯誤；又因為，所以，D選項錯誤.故選：C.3.如圖①、②、③、④分別為不同樣本數(shù)據(jù)的散點圖，其對應的線性相關系數(shù)分別為，則中最大的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由散點圖圖形趨勢可判斷大小關系.【詳解】因③圖形比較分散，則；因①②④相較③接近于一條直線附近，則，又②為下降趨勢，則，①比④更接近一條直線，且呈上升趨勢，則.綜上，最大故選：A4.設等差數(shù)列的前項和為，若，，使最小的的值為（）A.4 B.5 C.6 D.4或5【答案】D【解析】【分析】設公差為，依題意得到方程組，求出、，即可求出通項公式，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷即可.【詳解】設公差為，由，，所以，解得，所以，令，解得，則數(shù)列單調(diào)遞增，且，所以當或時取得最小值.故選：D5.要安排5位同學表演文藝節(jié)目的順序，要求甲同學既不能第一個出場，也不能最后一個出場，則不同的安排方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】【分析】先將甲同學排列在中間3個位置，再將其余節(jié)目全排列即可.【詳解】第一步：先將甲同學排列除第一個、最后一個之外得3個位置，共有種排法，第二步：將剩余得4個節(jié)目全排列，共有種排法，所以共有種，故選：6.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】寫出二項展開式的通項，利用賦值法可得特定項系數(shù).【詳解】由已知可得展開式的通項，令，解得，所以，系數(shù)為，故選：B.7.某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，夏季里，每天下雨的概率是，刮風的概率為，既刮風又下雨的概率為.則夏季的某一天里，已知刮風的條件下，也下雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式直接可得解.【詳解】設事件為當天下雨，事件為當天刮風，則，，則已知刮風的條件下，也下雨的概率，故選：D.8.為了研究兒子身高與父親身高的關系，某機構(gòu)調(diào)查了某所高校14名男大學生的身高及其父親的身高（單位：cm），得到的數(shù)據(jù)如表所示.編號1234567891011121314父親身高174170173169182172180172168166182173164180兒子身高176176170170185176178174170168178172165182父親身高的平均數(shù)記為，兒子身高的平均數(shù)記為，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，得到兒子身高關于父親身高的回歸直線方程為.則下列結(jié)論中正確的是（）A.與正相關，且相關系數(shù)為B.點不在回歸直線上C.每增大一個單位，增大個單位D.當時，.所以如果一位父親的身高為176cm，他兒子長大成人后的身高一定是177cm【答案】C【解析】【分析】由回歸方程意義及性質(zhì)可判斷選項正誤.【詳解】A選項，因，則與正相關，但相關系數(shù)不是，故A錯誤；B選項，回歸方程過定點，故B錯誤；C選項，由回歸方程可知每增大一個單位，增大個單位，故C正確；D選項，回歸方程得到的為預測值，不一定滿足實際情況，故D錯誤.故選：C9.設隨機變量的分布列如下表所示，則下列說法中錯誤的是（）A.B.隨機變量的數(shù)學期望可以等于C.當時，D.數(shù)列的通項公式可以為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)概率和為可判斷A選項；當時，期望為，可判斷B選項；根據(jù)等比數(shù)列求和公式化簡可判斷C選項；D選項，利用裂項相消法可得的前項和，進而可判斷D選項.【詳解】A選項：由已知，則，A選項正確；B選項：當時，期望為，B選項正確；C選項：由，則，C選項正確；D選項：由，則其前項和為，D選項錯誤；故選：D.10.已知數(shù)列：，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，依此類推.是數(shù)列的前項和，若，則的值可以等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將數(shù)列分組，使每組第一項均為1，第一組：，第二組：，第三組：，……，第組：，根據(jù)等比例數(shù)列前項和公式對選項逐一驗證即可.【詳解】將數(shù)列分組，使每組第一項均為1，即：第一組：第二組：第三組：……第組：根據(jù)等比例數(shù)列前項公式，得每組和分別為：，每組含有的項數(shù)分別為.所以若，即，將選項A代入，若，則，即為前5組與第6組的第1個數(shù)的和，此時，無解；同理若，則，此時，即，符合題意；同理若，則，此時，無解；同理若，則，此時，無解；綜上可知，，故選：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于找出數(shù)列的規(guī)律，對該數(shù)列進行分組，利用等比數(shù)列前項和公式構(gòu)造方程，即可求解.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若，則____.【答案】##【解析】【分析】求導代入計算可得結(jié)果.【詳解】由可得，∴，故答案為：12.若，則____；____.【答案】①.1②.-8【解析】【分析】利用賦值法，令可得，由通項分別求出可得結(jié)果.【詳解】由題意知，令可得，即，由二項展開式的通項可得，，即，，即，即，故答案為：13.為了提高學生的科學素養(yǎng)，某市定期舉辦中學生科技知識競賽．某次科技知識競賽中，需回答個問題，記分規(guī)則是：每答對一題得分，答錯一題扣分．從參加這次科技知識競賽的學生中任意抽取名，設其答對的問題數(shù)量為，最后得分為分．當時，的值為____；若，則____.【答案】①.20②.0.3##【解析】【分析】易知當時，答錯道題，因此得分為；根據(jù)題意得出隨機變量與的關系式，再由對立事件概率可求結(jié)果.【詳解】由題意知，說明答對道題，答錯道題，又答對得分，答錯得分，所以最后得分,即當時，;若，即,可得,∴，∴，故答案為：；14.設無窮數(shù)列的通項公式為.若是單調(diào)遞減數(shù)列，則的一個取值為____.【答案】（答案不唯一，即可）【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性，可得，解不等式可得的取值范圍.【詳解】由可得，又是單調(diào)遞減數(shù)列，可得，即，整理得恒成立，即恒成立，∴，又因為，所以，即取值范圍為，故答案為：（答案不唯一，即可）15.已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①當時，在定義域上單調(diào)遞增；②對任意，存在極值；③對任意，存在最值；④設有個零點，則的取值構(gòu)成的集合是.其中所有正確結(jié)論的序號是____.【答案】②③④【解析】【分析】取值計算判斷①；函數(shù)的極值點情況判斷②，分別求出兩段的最大值判斷③；分段探討零點個數(shù)判斷④即得答案.【詳解】對于①，當時，f(x)=?x2?1,x≤0對于②，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，因此對任意，存在極值，②正確；對于③，當時，，，，當時，，由，得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，因此，，③正確；對于④，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上無零點，在上單調(diào)遞增，，，在有一個零點，；當時，，在上單調(diào)遞增，同理得，當時，，在上單調(diào)遞增，，；當時，，在上有兩個零點，當時，，，當趨近于正無窮大時，趨近于負無窮大，即在上有兩個零點，；當時，，在上有兩個零點，，；當時，，在上有兩個零點，，，因此的取值構(gòu)成的集合是，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號是②③④.故答案為：②③④【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).三、解答題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求和的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由是等差數(shù)列求出，即可求出；（2）找出，由分組求和得解.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為d，，所以因為，所以，即等比數(shù)列的公比.所以，.所以.【小問2詳解】由（Ⅰ）知，，，因此從而數(shù)列的前n項和.17.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值點；（2）若的極小值為，求函數(shù)在上的最大值．【答案】（1）是函數(shù)的極小值點；是函數(shù)的極大值點.（2）最大值.【解析】【分析】（1）先求導函數(shù)再根據(jù)導函數(shù)正負得出函數(shù)的極值；（2）先根據(jù)極小值求出a，再根據(jù)極值及邊界值求最大值即可.【小問1詳解】，令，得或.，的情況如下：00遞減a遞增遞減所以是函數(shù)的極小值點；是函數(shù)的極大值點.【小問2詳解】因為的極小值為，即解得，又，.所以當時，取得最大值.18.袋子中有個大小和質(zhì)地相同的小球，其中個白球，個黑球.從袋中隨機摸出一個小球，觀察顏色后放回，同時放入一個與其顏色大小相同的小球，然后再從袋中隨機摸出一個小球.（1）求第一次摸到白球的概率；（2）求第二次摸到白球概率；（3）求兩次摸到的小球顏色不同的概率.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）由古典概型計算可得結(jié)果；（2）由全概率公式計算可得；（3）根據(jù)條件概率公式計算可得.【小問1詳解】設第一次摸到白球的事件為，則，即第一次摸到白球的概率為.【小問2詳解】設第二次摸到白球的事件為，則，即第二次摸到白球的概率.【小問3詳解】設兩次摸到的小球顏色不同的事件為，則，即兩次摸到的小球顏色不同的概率為.19.人工智能（簡稱）的相關技術(shù)首先在互聯(lián)網(wǎng)開始應用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的軟件主要有四項功能：“視頻創(chuàng)作”、“圖像修復”、“語言翻譯”、“智繪設計”.為了解某地區(qū)大學生對這款軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機抽取了名大學生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的軟件功能（每人只能選一項），統(tǒng)計結(jié)果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復語言翻譯智繪設計大學生人數(shù)假設大學生對軟件的喜愛傾向互不影響.（1）從該地區(qū)的大學生中隨機抽取人，試估計此人最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率；（2）采用分層抽樣的方式先從名大學生中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（3）從該地區(qū)的大學生中隨機抽取人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，的方差記作，（2）中的方差記作，比較與的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）有古典概型計算可得結(jié)果；（2）利用抽樣比可確定6人中有2人最喜歡“視頻創(chuàng)作”，求得的所有可能取值及其對應概率可得分布列和期望值（或利用超幾何分布計算可得結(jié)果）；（3）由（2）可得，由頻率估計概率可得地區(qū)的大學生中最喜歡“視頻創(chuàng)作”的概率為，因此，可得.【小問1詳解】設從該地區(qū)的大學生隨機抽取1人，此人選擇“視頻創(chuàng)作”的事件為A，則【小問2詳解】因為抽取的6人中喜歡“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，所以的所有可能取值為，所以的分布列為：（或則）【小問3詳解】由（2）可得；由頻率估計概率可得地區(qū)的大學生中最喜歡“視頻創(chuàng)作”的概率為，因此，可得.因此.20.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對于任意的，有，求的取值范圍.【答案】（1）（2）當時，在和上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在和上遞減，在上遞增.（3）【解析】【分析】（1）直接計算導數(shù)，并利用導數(shù)的定義即可；（2）對分情況判斷的正負，即可得到的單調(diào)區(qū)間；（3）對和兩種情況分類討論，即可得到的取值范圍.小問1詳解】由，知.所以當時，有，.故曲線在處的切線經(jīng)過，且斜率為，所以其方程為，即.【小問2詳解】當時，對有，對有，故在和上遞減，在上遞增；當時，對有，故在上遞增；當時，對有，對有，故在和上遞減，在上遞增.綜上，當時，在和上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在和上遞減，在上遞增.【小問3詳解】我們有.當時，由于，，故根據(jù)（2）的結(jié)果知在上遞增.故對任意的，都有，滿足條件；當時，由于，故.所以原結(jié)論對不成立，不滿足條件.綜上，的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于對進行恰當?shù)姆诸愑懻摚娇傻玫剿蟮慕Y(jié)果.21.若數(shù)列滿足：對任意，都有，則稱是“數(shù)列”．（1）若，，判斷，是否是“數(shù)列”；（2）已知是等差數(shù)列，，其前項和記為，若是“數(shù)列”，且恒成立，求公差的取值范圍；（3）已知是各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列，，記，若是“數(shù)列”，不是“數(shù)列”，是“數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）數(shù)列是“數(shù)列”；數(shù)列不是“數(shù)列”；（2）（3）或【解析】【分析】（1）直接根據(jù)