高一數(shù)學(xué)分層訓(xùn)練AB卷(人教A版2019必修第二冊(cè))第八章立體幾何初步知識(shí)詳解-(原卷版+解析)

第八章立體幾何初步知識(shí)詳解一．基本立體圖形多面體一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).旋轉(zhuǎn)體一條平面曲線，包括直線，繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面.封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.棱柱一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.在棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形，其余各面叫做棱柱的側(cè)面，它們都是平行四邊形，相鄰兩邊的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面和底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形，我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱.一般地，我們把側(cè)面垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，側(cè)面不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多邊形的，直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱，也叫做平行六面體.棱錐一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面，有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面，相鄰兩邊的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱，這側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).棱錐，用表示頂點(diǎn)和各面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，其中三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.棱臺(tái)用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái).在棱臺(tái)中，原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面面，類(lèi)似于棱柱、棱錐，棱臺(tái)也有側(cè)面、側(cè)棱和頂點(diǎn).圓柱與矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面，叫做圓柱的底面，平行的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊叫做圓柱側(cè)面的母線.圓錐與圓柱一樣，圓錐也可以看作是由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.圓錐也有底面、側(cè)面和母線.圓錐也用表示它的軸的字母表示.8.圓臺(tái)與棱臺(tái)相似，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).與圓柱和圓錐一樣，圓臺(tái)也有軸、底面、側(cè)面、母線.9.球半圓與它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑，連接球面上兩點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)圓心的線段叫做球的直徑.球常用表示全新的字母來(lái)表示，記作球O.棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球是常見(jiàn)的簡(jiǎn)單幾何體，其中棱柱與圓柱統(tǒng)稱(chēng)為主體，圓錐與棱錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體，棱臺(tái)與圓臺(tái)，統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體.簡(jiǎn)單組合體除原柱體、錐體、臺(tái)體和球等簡(jiǎn)單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的，這些幾何體稱(chēng)作簡(jiǎn)單組合體.簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式，一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成，一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成.題型一：旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)概念例1.1.用一個(gè)平面去截一個(gè)圓臺(tái)，得到的圖形不可能是（

）A．矩形 B．圓形 C．梯形 D．三角形2.下列說(shuō)法中正確的是()A．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行

B．棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一條側(cè)棱就是棱柱的高

D．棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形3.．已有OA為球O的半徑，過(guò)OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．(1)若，求圓M的面積；(2)若圓M的面積為，求OA．舉一反三1．將一個(gè)等腰梯形繞著它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（

）A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．一個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱C．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱 D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐2．下面多面體中，是棱柱的有()A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)3．已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為1cm，2cm，高為3cm，求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng).4.已知正四棱錐的底面面積為，一條側(cè)棱長(zhǎng)為，求它的高與斜高.二.空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法的基本步驟：①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系（盡可能使更多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）②建立斜坐標(biāo)系，使=450（或1350）③畫(huà)對(duì)應(yīng)圖形在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于X‘軸，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于Y‘軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；直觀圖與原圖形的面積關(guān)系：例2．某水平放置的用斜二測(cè)畫(huà)法得到如圖所示的直觀圖，若，則中（）A． B．C． D．舉一反三1．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，它是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．2．關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖說(shuō)法不正確的是（）A．在實(shí)物圖中取坐標(biāo)系不同，所得的直觀圖有可能不同B．平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標(biāo)軸C．平行于坐標(biāo)軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中仍然保持不變D．斜二測(cè)坐標(biāo)系取的角可能是三．簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積1．柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]1．幾何體的側(cè)面積和全面積幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和．對(duì)側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖來(lái)進(jìn)行．要特別留意根據(jù)幾何體側(cè)面展開(kāi)圖的平面圖形的特點(diǎn)來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題．如直棱柱(圓柱)側(cè)面展開(kāi)圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解．再如圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，此扇形的特點(diǎn)是半徑為圓錐的母線長(zhǎng)，圓弧長(zhǎng)等于底面的周長(zhǎng)，利用這一點(diǎn)可以求出展開(kāi)圖扇形的圓心角的大?。?．等積法等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過(guò)作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值．題型一：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積與表面積例3（1）．如圖，設(shè)計(jì)一個(gè)正四棱錐形冷水塔塔頂，高是0.85m，底的邊長(zhǎng)是1.5m，制造這種塔頂需要多少平方米鐵板（保留兩位有效數(shù)字）？（2）．如圖所示，正六棱錐被過(guò)棱錐高PO的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺(tái)和較小的棱錐.(1)求大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面面積之比；(2)若大棱錐PO的側(cè)棱長(zhǎng)為12cm，小棱錐的底面邊長(zhǎng)為4cm，求截得的棱臺(tái)的側(cè)面面積和表面積.舉一反三1．已知四面體S-ABC的棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形，求它的表面積．2．底面是菱形的直四棱柱中，體對(duì)角線長(zhǎng)分別為9和15，高是5，求該直四樓柱的側(cè)面積.(本題需自己作圖并指明長(zhǎng)度，無(wú)圖不得分)題型二：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積例.4.如圖為正四棱錐P-ABCD，PO⊥平面ABCD，BC=3，PO=2.(1)求正四棱錐P-ABCD的體積；(2)求正四棱錐P-ABCD的表面積.舉一反三1．如圖，在幾何體中，，，，側(cè)棱，，均垂直于底面，，，，求該幾何體的體積.2．某人買(mǎi)了一罐容積為VL，高為am的直三棱柱形罐裝進(jìn)口液體車(chē)油，由于不小心摔落地上，結(jié)果有兩處破損并發(fā)生滲漏，它們的位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為bm，cm的地方（如圖）．為了減少罐內(nèi)液體車(chē)油的損失，該人采用破口朝上，傾斜罐口的方式拿回家．試問(wèn)罐內(nèi)液體車(chē)油最多還能剩多少？題型三：圓柱、圓錐、圓臺(tái)臺(tái)的側(cè)面積與表面積例5.已知某圓柱底面半徑和母線長(zhǎng)都是.(1)求出該圓柱的表面積和體積；(2)若圓錐與該圓柱底面半徑?高都相等，求圓錐的側(cè)面積.舉一反三1．在底面半徑為2高為的圓錐中內(nèi)接一個(gè)圓柱，且圓柱的底面積與圓錐的底面積之比為1∶4，求圓柱的表面積．2．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺(tái)的表面積是多少？(結(jié)果中保留π)題型四：圓柱、圓錐、圓臺(tái)臺(tái)的體積例6：1．如圖，已知圓錐的軸截面是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形．試求：（1）圓錐的側(cè)面積；（2）圓錐的體積．13．設(shè)圓臺(tái)的高為3，在軸截面中母線與底面圓直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對(duì)角線垂直于腰，求圓臺(tái)的側(cè)面積及體積.舉一反三1．某部門(mén)建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12m，高4m，該部門(mén)擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽，現(xiàn)有兩種方案：一是底面直徑比原來(lái)增加4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）．(1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積；(2)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的表面積；(3)哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？為什么？題型五：球的體積與表面積例7：1．如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，求該幾何體的表面積（其中）及其體積．舉一反三1．有一種空心鋼球，質(zhì)量為，測(cè)得外徑為，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為，結(jié)果精確到）．2．如圖，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等．相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)：圖中圓柱的體積是球體積的，圓柱的表面積也是球表面積的．他的發(fā)現(xiàn)是否正確？試說(shuō)明理由．四．空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一.平面基本性質(zhì)即三條公理公理1公理2公理3圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.符號(hào)語(yǔ)言作用判斷線在面內(nèi)確定一個(gè)平面證明多點(diǎn)共線公理2的三條推論：推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.二．直線與直線的位置關(guān)系共面直線：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).（既不平行，也不相交）1異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線.2．兩條異面直線的性質(zhì)：既不平行，也不相交.3.空間兩條異面直線的畫(huà)法.4．異面直線所成的角：將兩條異面直線平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4個(gè)，兩對(duì)對(duì)頂角，這時(shí)根據(jù)平面內(nèi)的兩條直線所成角的范圍讓學(xué)生自己猜想應(yīng)該是那一個(gè)角）.如果兩條異面直線夾角等于90°，我們說(shuō)兩條直線垂直三．直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．符號(hào)aα相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)符號(hào)a∩α=A平行——沒(méi)有公共點(diǎn)符號(hào)a∥α說(shuō)明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線在平面外，可用aα來(lái)表示平面與平面的位置關(guān)系有二種情況：平面相交：平面平行：等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)題型一：平面例8：（2007·重慶·高考真題（理））若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分題型二：點(diǎn)、線確定平面數(shù)量問(wèn)題例9：（2021·上海市大同中學(xué)三模）下列命題正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．三條相交直線確定一個(gè)平面C．對(duì)于直線、、，若，，則D．對(duì)于直線、、，若，，則舉一反三（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在空間，已知直線及不在上兩個(gè)不重合的點(diǎn)?，過(guò)直線做平面，使得點(diǎn)?到平面的距離相等，則這樣的平面的個(gè)數(shù)不可能是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)題型三：空間中點(diǎn)、線共面問(wèn)題例10：（2009·湖南·高考真題（文））平行六面體中，既與共面也與共面的棱的條數(shù)為

A．3 B．4 C．5 D．6舉一反三（2022·北京東城·三模）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為CC1，D1C1的中點(diǎn)，則下列直線中與直線相交的是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線題型四：空間中點(diǎn)共線問(wèn)題例11：（2019·上海奉賢·一模）空間四個(gè)點(diǎn)中，三點(diǎn)共線是這四個(gè)點(diǎn)共面的（

）A．充分非必要條件； B．必要非充分條件； C．充要條件；D．既非充分又非必要條件．舉一反三（2022·河南·三模（文））如圖，在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)．(1)證明：E，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面．．．題型五：空間中線共點(diǎn)問(wèn)題例12：（2022·河南·三模（文））如圖，在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)．舉一反三（2021·江西南昌·一模（理））如圖，，，分別是菱形的邊，，，上的點(diǎn)，且，，，，現(xiàn)將沿折起，得到空間四邊形，在折起過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線，有可能平行B．直線，一定異面C．直線，一定相交，且交點(diǎn)一定在直線上D．直線，一定相交，但交點(diǎn)不一定在直線上題型六：空間中平面性質(zhì)例13：（2022·上海靜安·模擬預(yù)測(cè)）正方體的棱長(zhǎng)為1，、分別為、的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面面積為_(kāi)___________．舉一反三（2022·江西·南昌市八一中學(xué)三模（理））在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線，的交點(diǎn)，若平面平面，，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．題型七：等角定理例14：（2022·四川·成都七中三模（理））過(guò)正方形的頂點(diǎn)作直線，使得與直線，所成的角均為，則這樣的直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4舉一反三（多選）（2022·河北廊坊·模擬預(yù)測(cè)）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個(gè)真命題，在空間中仍然成立的有（

）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)D．一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)題型八：異面直線例15：1.（2015·湖北·高考真題（文））表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件2．（2021·全國(guó)·高考真題（理））在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．舉一反三1.（2016·上?！じ呖颊骖}（文））如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF相交的是（）.A．直線AA1 B．直線A1B1C．直線A1D1 D．直線B1C12．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，，P為AC的中點(diǎn)，則直線BP與AD所成的角為（

）A． B． C． D．五．空間直線、平面的平行直線與直線平行平行與同一直線的兩直線平行例16：1．已知棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．求證：四邊形是梯形．直線和平面平行的判定(1)定義：直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)直線平行于平面；(2)判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行.符號(hào)：例17.如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面.注：證明線面垂直1，找中位線2，找平行四邊形3，正兩個(gè)面平行舉一反三如圖所示，在四棱錐中，，，，底面，為的中點(diǎn).求證：平面直線和平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡(jiǎn)記為：線面平行，則線線平行.符號(hào):例18.如圖，在三棱錐中，分別是中點(diǎn)，平面平面.求證：.舉一反三1．如圖，三棱錐被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：平面EFGH．2．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC=l.求證:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．平面與平面平行的判定(1)定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，稱(chēng)這兩個(gè)平面平行；(2)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.簡(jiǎn)記為：線面平行，則面面平行.符號(hào)：例19.如圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面為正方形，棱與均垂直于底面，，求證：平面平面.舉一反三1．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點(diǎn)．(1)求證：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中點(diǎn)，求證：平面B1DF∥平面ACE．平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.簡(jiǎn)記為：面面平行，則線線平行.符號(hào)：補(bǔ)充：平行于同一平面的兩平面平行；夾在兩平行平面間的平行線段相等；兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個(gè)平面平行例20.如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點(diǎn)．M是AB上一點(diǎn)，連接MC，N是PM與DE的交點(diǎn)，連接FN，求證：FN∥CM．舉一反三1．如圖，已知平面平面，點(diǎn)P是平面，外一點(diǎn)，且直線PB，PD分別與，相交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D．如果，，，求PD的長(zhǎng)．2．如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，在平面四邊形ACDE中，，，，，求證：平面ABC．六．空間直線、平面的垂直直線與直線垂直1異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線.2．兩條異面直線的性質(zhì)：既不平行，也不相交.3.空間兩條異面直線的畫(huà)法.4．異面直線所成的角：將兩條異面直線平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4個(gè)，兩對(duì)對(duì)頂角，這時(shí)根據(jù)平面內(nèi)的兩條直線所成角的范圍讓學(xué)生自己猜想應(yīng)該是那一個(gè)角）.如果兩條異面直線夾角等于90°，我們說(shuō)兩條直線垂直例21.如圖所示，正方體中，E，F(xiàn)分別為平面與的中心，則與所成角的度數(shù)是_____________．舉一反三1．判斷正誤．（1）異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)．即O點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角的大小也不同．()（2）異面直線a與b所成角可以是．()（3）如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直．()直線與平面垂直的判定⑴定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直.⑵判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.簡(jiǎn)記為：線線垂直，則線面垂直.符號(hào)：例22：（2012·廣東·高考真題（理））如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE.（1）證明：BD⊥平面PAC；舉一反三（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．（1）證明：平面PDC；直線與平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)Ⅰ：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.符號(hào)：性質(zhì)Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行符號(hào)：推論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言：a∥b,a⊥α，?b⊥α例23：（2022·全國(guó)·高考真題（理））在四棱錐中，底面．(1)證明：；舉一反三（2012·廣東·高考真題（理））如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE.（1）證明：BD⊥平面PAC；2.（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；

平面與平面垂直的判定⑴定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.⑵判定定理：一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直.簡(jiǎn)記為：線面面垂直，則面面垂直.符號(hào)：推論：如果一個(gè)平面平行于另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面與另一個(gè)平面垂直.例24：（2022·全國(guó)·高考真題（文））如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；．舉一反三（2022·全國(guó)·高考真題（理））如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.簡(jiǎn)記為：面面垂直，則線面垂直.證明線線平行的方法①三角形中位線②平行四邊形③線面平行的性質(zhì)④平行線的傳遞性⑤面面平行的性質(zhì)⑥垂直于同一平面的兩直線平行；證明線線垂直的方法①定義：兩條直線所成的角為90°；（特別是證明異面直線垂直）；②線面垂直的性質(zhì)③利用勾股定理證明兩相交直線垂直；④利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；例25：（2015·山東·高考真題）如下圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求與所成角的余弦值；（2）求證：．舉一反三（2014·江西·高考真題（理））如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.求證：2.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面.(1)證明：平面；證明線線平行的方法①三角形中位線②平行四邊形③線面平行的性質(zhì)④平行線的傳遞性⑤面面平行的性質(zhì)⑥垂直于同一平面的兩直線平行；證明線線垂直的方法①定義：兩條直線所成的角為90°；（特別是證明異面直線垂直）；②線面垂直的性質(zhì)③利用勾股定理證明兩相交直線垂直；④利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；微專(zhuān)題：三種成角1.異面直線成角步驟：1、平移，轉(zhuǎn)化為相交直線所成角；2、找銳角（或直角）作為夾角；3、求解注意：取值范圍：（0.,90.].例1．如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求異面直線與所成的角.2.線面成角：斜線與它在平面上的射影成的角，取值范圍：（0.,90.].如圖：PA是平面的一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面上射影，為線面角.例2．如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊和的長(zhǎng)分別為4和3，側(cè)棱的長(zhǎng)為5.（1）求三棱柱的體積；（2）設(shè)是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正切值大小3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面形成的圖形取值范圍：（0.,180.）例3.如圖，三棱柱側(cè)棱垂直于底面,,,為的中點(diǎn).（1）求證：平面（2）若,求二面角的余弦值.微專(zhuān)題2：定義法和等體積法例1．已知四面體中面，，垂足為，，為中點(diǎn)，,（1）求證：面；（2）求點(diǎn)到面的距離．例2．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．例3．如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是和的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐的體積.微專(zhuān)題3：走進(jìn)高考1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．4．（2021·全國(guó)·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.5．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.6．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．7．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．8．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．9．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積．10．（2017·全國(guó)·高考真題）如圖，在四棱錐中，，且.（1）證明：平面平面；（2）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．第八章立體幾何初步知識(shí)詳解一．基本立體圖形多面體一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).旋轉(zhuǎn)體一條平面曲線，包括直線，繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面.封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.棱柱一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.在棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形，其余各面叫做棱柱的側(cè)面，它們都是平行四邊形，相鄰兩邊的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面和底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形，我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱.一般地，我們把側(cè)面垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，側(cè)面不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多邊形的，直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱，也叫做平行六面體.棱錐一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面，有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面，相鄰兩邊的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱，這側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).棱錐，用表示頂點(diǎn)和各面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，其中三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.棱臺(tái)用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái).在棱臺(tái)中，原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面面，類(lèi)似于棱柱、棱錐，棱臺(tái)也有側(cè)面、側(cè)棱和頂點(diǎn).圓柱與矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面，叫做圓柱的底面，平行的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊叫做圓柱側(cè)面的母線.圓錐與圓柱一樣，圓錐也可以看作是由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.圓錐也有底面、側(cè)面和母線.圓錐也用表示它的軸的字母表示.8.圓臺(tái)與棱臺(tái)相似，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).與圓柱和圓錐一樣，圓臺(tái)也有軸、底面、側(cè)面、母線.9.球半圓與它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑，連接球面上兩點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)圓心的線段叫做球的直徑.球常用表示全新的字母來(lái)表示，記作球O.棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球是常見(jiàn)的簡(jiǎn)單幾何體，其中棱柱與圓柱統(tǒng)稱(chēng)為主體，圓錐與棱錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體，棱臺(tái)與圓臺(tái)，統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體.簡(jiǎn)單組合體除原柱體、錐體、臺(tái)體和球等簡(jiǎn)單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的，這些幾何體稱(chēng)作簡(jiǎn)單組合體.簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式，一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成，一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成.題型一：旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)概念例1.1.用一個(gè)平面去截一個(gè)圓臺(tái)，得到的圖形不可能是（

）A．矩形 B．圓形 C．梯形 D．三角形【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合空間想象可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征，用一個(gè)平行底面的平面截圓臺(tái)可得圓形，當(dāng)平面與圓柱軸所在直線線平行或經(jīng)過(guò)軸所在直線時(shí)，可得梯形，不論平面與圓臺(tái)如何相交，截面都不可能是矩形和三角形，故選：AD2.下列說(shuō)法中正確的是()A．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行

B．棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一條側(cè)棱就是棱柱的高

D．棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形【答案】A【解析】【詳解】對(duì)A，棱柱的兩個(gè)底面是平行，故正確對(duì)B，不一定，比如正方體，故錯(cuò)誤對(duì)C，不一定，比如平行六面體對(duì)D，不一定，比如平行六面體故選：A3.．已有OA為球O的半徑，過(guò)OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．(1)若，求圓M的面積；(2)若圓M的面積為，求OA．解：(1)過(guò)球心作截面，如圖，因?yàn)椋?即圓M的半徑為，圓M的面積為，(2)因?yàn)閳AM的面積為，所以圓M的半徑.設(shè)球的半徑為R,則，解得，所以.舉一反三1．將一個(gè)等腰梯形繞著它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（

）A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．一個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱C．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱 D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐【答案】D【解析】【分析】畫(huà)出等腰梯形，考慮較長(zhǎng)的底邊，旋轉(zhuǎn)可得形狀．【詳解】設(shè)等腰梯形，較長(zhǎng)的底邊為，則繞著底邊旋轉(zhuǎn)一周可得一個(gè)圓柱和兩個(gè)圓錐，軸截面如圖，故選：D2．下面多面體中，是棱柱的有()A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)【答案】D【解析】【詳解】根據(jù)棱柱的定義可知依次為：四棱柱，三棱柱，五棱柱，六棱柱故選：D3．已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為1cm，2cm，高為3cm，求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng).【答案】cm【解析】【分析】畫(huà)出圓臺(tái)的軸截面，再利用已知條件計(jì)算即可得解.【詳解】如圖，等腰梯形ABCD是圓臺(tái)的軸截面，其中O1，O2是圓臺(tái)上下底面圓圓心，過(guò)D作于E，則線段DE長(zhǎng)為圓臺(tái)的高，AD長(zhǎng)是母線長(zhǎng)，即DE=3cm，而O1D=1cm，O2A=2cm，于是得(cm)，所以該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為cm.4.已知正四棱錐的底面面積為，一條側(cè)棱長(zhǎng)為，求它的高與斜高.【答案】高為，斜高為.【解析】【分析】在正四棱椎中，作底面于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接、、，計(jì)算出底面的邊長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理可計(jì)算出該正四棱錐的高和斜高.【詳解】如圖，在正四棱椎中，作底面于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接、、，由正四棱錐的底面面積為可得，所以，.因?yàn)椋际侵苯侨切?，?cè)棱，所以高為，斜高.二.空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法的基本步驟：①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系（盡可能使更多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）②建立斜坐標(biāo)系，使=450（或1350）③畫(huà)對(duì)應(yīng)圖形在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于X‘軸，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于Y‘軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；直觀圖與原圖形的面積關(guān)系：例2．某水平放置的用斜二測(cè)畫(huà)法得到如圖所示的直觀圖，若，則中（）A． B．C． D．【答案】D【分析】，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.【詳解】設(shè)，所以，所以，所以在中，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由題得，，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.故選：D舉一反三1．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，它是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法求解.【詳解】直觀圖如圖所示：由圖知：原圖形的周長(zhǎng)為,故選：C2．關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖說(shuō)法不正確的是（）A．在實(shí)物圖中取坐標(biāo)系不同，所得的直觀圖有可能不同B．平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標(biāo)軸C．平行于坐標(biāo)軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中仍然保持不變D．斜二測(cè)坐標(biāo)系取的角可能是【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，平行關(guān)系不變，平行于、軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段長(zhǎng)度減半，直角變?yōu)榛蜻M(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在實(shí)物圖中取坐標(biāo)系不同，所得的直觀圖有可能不同，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B、C選項(xiàng)，由平行于軸或軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中仍然保持不變，平行于軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中是原來(lái)的一半，則B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，在平面直角坐標(biāo)系中，，在斜二測(cè)畫(huà)法中，或，D選項(xiàng)正確.故選：C.三．簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積1．柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]1．幾何體的側(cè)面積和全面積幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和．對(duì)側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖來(lái)進(jìn)行．要特別留意根據(jù)幾何體側(cè)面展開(kāi)圖的平面圖形的特點(diǎn)來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題．如直棱柱(圓柱)側(cè)面展開(kāi)圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解．再如圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，此扇形的特點(diǎn)是半徑為圓錐的母線長(zhǎng)，圓弧長(zhǎng)等于底面的周長(zhǎng)，利用這一點(diǎn)可以求出展開(kāi)圖扇形的圓心角的大?。?．等積法等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過(guò)作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值．題型一：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積與表面積例3（1）．如圖，設(shè)計(jì)一個(gè)正四棱錐形冷水塔塔頂，高是0.85m，底的邊長(zhǎng)是1.5m，制造這種塔頂需要多少平方米鐵板（保留兩位有效數(shù)字）？【答案】3.4【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱錐的斜高，再利用正棱錐的側(cè)面積公式即可求出結(jié)果．【詳解】如圖，連接SE：表示塔的頂點(diǎn)，表示底面的中心，則是高，設(shè)是斜高，在中，根據(jù)勾股定理得，所以，答：制造這種塔頂需要鐵板約．（2）．如圖所示，正六棱錐被過(guò)棱錐高PO的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺(tái)和較小的棱錐.(1)求大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面面積之比；(2)若大棱錐PO的側(cè)棱長(zhǎng)為12cm，小棱錐的底面邊長(zhǎng)為4cm，求截得的棱臺(tái)的側(cè)面面積和表面積.【答案】(1)；(2)側(cè)面積；表面積.【解析】【分析】（1）設(shè)小棱錐的底面邊長(zhǎng)為，斜高為，從而可得出大棱錐的底面邊長(zhǎng)和斜高，然后可分別求出大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面積，從而可求出大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面積之比；（2）根據(jù)條件可求出大棱錐的底面邊長(zhǎng)和斜高，從而可求出大棱錐的側(cè)面積；根據(jù)（1）的結(jié)論可求出棱臺(tái)的側(cè)面積；再求出棱臺(tái)的上下底面的面積，從而可求出棱臺(tái)的表面積.(1)設(shè)小棱錐的底面邊長(zhǎng)為，斜高為，則大棱錐的底面邊長(zhǎng)為，斜高為，所以大棱錐的側(cè)面積為，小棱錐的側(cè)面積為，棱臺(tái)的側(cè)面積為，所以大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面積之比.(2)因?yàn)樾±忮F的底面邊長(zhǎng)為4cm，所以大棱錐的底面邊長(zhǎng)為8cm，因?yàn)榇罄忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為12cm，所以大棱錐的斜高為cm，所以大棱錐的側(cè)面積為，所以棱臺(tái)的側(cè)面積為，棱臺(tái)的上，下底面的面積和為，所以棱臺(tái)的表面積為.舉一反三1．已知四面體S-ABC的棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形，求它的表面積．【答案】.【解析】【分析】由等邊三角形的面積計(jì)算公式可得：的面積．即可得出四面體的表面積．【詳解】如圖所示，由等邊三角形的面積計(jì)算公式可得：的面積．四面體的表面積為．2．底面是菱形的直四棱柱中，體對(duì)角線長(zhǎng)分別為9和15，高是5，求該直四樓柱的側(cè)面積.(本題需自己作圖并指明長(zhǎng)度，無(wú)圖不得分)【答案】【解析】【分析】設(shè)題中直四棱柱為，作出圖形，設(shè)底面對(duì)角線，其交點(diǎn)為，由題意知，根據(jù)題意求出底面菱形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可以求出側(cè)面積.【詳解】設(shè)題中直四棱柱為，如圖所示，設(shè)底面對(duì)角線，其交點(diǎn)為，由題意知,所以，所以.因?yàn)榈酌媸橇庑危?所以，即,所以該直四棱柱的側(cè)面積為.題型二：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積例.4.如圖為正四棱錐P-ABCD，PO⊥平面ABCD，BC=3，PO=2.(1)求正四棱錐P-ABCD的體積；(2)求正四棱錐P-ABCD的表面積.【答案】(1)6；(2)24.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合錐體體積公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合棱錐表面積求法，即可求解.(1)根據(jù)題意，得.(2)如圖所示，作的中點(diǎn)，連接，，則，故正四棱錐P-ABCD的表面積.舉一反三1．如圖，在幾何體中，，，，側(cè)棱，，均垂直于底面，，，，求該幾何體的體積.【答案】96【解析】【分析】在上取點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，連接，則幾何體是由三棱柱和四棱錐組合而成的，分別求出三棱柱和四棱錐的體積，即可得出答案.【詳解】解：在上取點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，連接，則幾何體為直三棱柱，因?yàn)?，，，所以，所以是以為直角的直角三角形，，，則多面體是四棱錐，高為8，所以幾何體是由三棱柱和四棱錐組合而成的，，，所以該幾何體的體積為.2．某人買(mǎi)了一罐容積為VL，高為am的直三棱柱形罐裝進(jìn)口液體車(chē)油，由于不小心摔落地上，結(jié)果有兩處破損并發(fā)生滲漏，它們的位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為bm，cm的地方（如圖）．為了減少罐內(nèi)液體車(chē)油的損失，該人采用破口朝上，傾斜罐口的方式拿回家．試問(wèn)罐內(nèi)液體車(chē)油最多還能剩多少？【答案】L.【解析】【分析】由題可知當(dāng)平面與水平面平行時(shí)，容器內(nèi)的油是最理想的剩余量，然后利用椎體體積公式及條件即求.【詳解】如圖所示，設(shè)直三棱柱的底面面積為S，則V=aS,當(dāng)平面與水平面平行時(shí)，容器內(nèi)的油是最理想的剩余量，連接，則，∵，又，∴，∴，∴罐內(nèi)液體車(chē)油最多還能剩L.題型三：圓柱、圓錐、圓臺(tái)臺(tái)的側(cè)面積與表面積例5.已知某圓柱底面半徑和母線長(zhǎng)都是.(1)求出該圓柱的表面積和體積；(2)若圓錐與該圓柱底面半徑?高都相等，求圓錐的側(cè)面積.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）、根據(jù)圓柱的表面積和體積公式計(jì)算即可；（2）、先求出圓錐母線長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐側(cè)面積公式計(jì)算即可.(1)圓柱底面半徑和母線長(zhǎng)都是,；；(2)由題意可知圓錐底面半徑?高為，圓錐母線長(zhǎng)為.舉一反三1．在底面半徑為2高為的圓錐中內(nèi)接一個(gè)圓柱，且圓柱的底面積與圓錐的底面積之比為1∶4，求圓柱的表面積．【答案】【解析】【分析】根據(jù)底面積之比可得半徑之比，進(jìn)一步得到母線長(zhǎng)與圓錐的高之比，最后根據(jù)圓柱表面積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閳A柱的底面積與圓錐的底面積之比為1∶4，所以圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑之比為1∶2，所以圓柱的母線長(zhǎng)與圓錐的高之比為1∶2，所以圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為．所以圓柱的表面積2．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺(tái)的表面積是多少？(結(jié)果中保留π)【答案】表面積為1100πcm2.【解析】【分析】計(jì)算得到，，，再利用圓臺(tái)的表面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】如圖，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為c.因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，所以c＝π·SA＝2π×10，故SA＝20.同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，因此S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋＋＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2).故圓臺(tái)的表面積為1100πcm2.題型四：圓柱、圓錐、圓臺(tái)臺(tái)的體積例6：1．如圖，已知圓錐的軸截面是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形．試求：（1）圓錐的側(cè)面積；（2）圓錐的體積．【答案】（1）圓錐的側(cè)面積；（2）圓錐的體積．【解析】【分析】（1）根據(jù)圓錐的母線長(zhǎng)和結(jié)構(gòu)特征求出圓錐的高和底面半徑，即可求出側(cè)面積；（2）根據(jù)圓錐體積公式可求.【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，，∴，即圓錐的高h(yuǎn)=1，圓錐的底面半徑r=1．（1）圓錐的側(cè)面積；（2）圓錐的體積．13．設(shè)圓臺(tái)的高為3，在軸截面中母線與底面圓直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對(duì)角線垂直于腰，求圓臺(tái)的側(cè)面積及體積.【答案】側(cè)面積為，體積為.【解析】【分析】根據(jù)條件求出圓臺(tái)的上下底面半徑和母線長(zhǎng)，然后用公式求面積和體積.【詳解】如圖：作出軸截面，設(shè)上下底面半徑，母線長(zhǎng)分別為，作與，則，，所以圓臺(tái)的側(cè)面積圓臺(tái)的體積圓臺(tái)的側(cè)面積為，體積為.舉一反三1．某部門(mén)建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12m，高4m，該部門(mén)擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽，現(xiàn)有兩種方案：一是底面直徑比原來(lái)增加4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）．(1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積；(2)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的表面積；(3)哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？為什么？【答案】(1)方案一：(m3)；方案二：96π(m3).(2)方案一：S1=32π(m2)；方案二：S2=60π(m2).(3)方案二比方案一更加經(jīng)濟(jì)，理由見(jiàn)詳解.【解析】【分析】（1）按照?qǐng)A錐體積公式S·h求得兩種方案的倉(cāng)庫(kù)體積即可；（2）分別求得兩種方案的母線長(zhǎng)，從而根據(jù)半徑等求得表面積；（3）比較兩種方案的體積大小及表面積大小，判斷經(jīng)濟(jì)性.(1)若按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16m，則倉(cāng)庫(kù)的體積為V1=S·h=×π××4=(m3).若按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8m，則倉(cāng)庫(kù)的體積為V2=S·h=×π××8=96π(m3).(2)若按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16m，半徑為8m.圓錐的母線長(zhǎng)為l1==4(m)，則倉(cāng)庫(kù)的表面積為S1=π×8×4=32π(m2).若按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8m.圓錐的母線長(zhǎng)為l2==10(m)，則倉(cāng)庫(kù)的表面積為S2=π×6×10=60π(m2).(3)由（1）、（2）知，V1<V2，S2<S1，故方案二體積更大，表面積更小，所需耗材更少，即方案二比方案一更加經(jīng)濟(jì).題型五：球的體積與表面積例7：1．如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，求該幾何體的表面積（其中）及其體積．【答案】，【解析】【分析】陰影部分旋轉(zhuǎn)后，可看作是球體中間去掉兩個(gè)同底的圓錐體，其表面積為外側(cè)球體的表面積加上兩個(gè)圓錐的側(cè)面積，其體積為球體體積減掉兩個(gè)圓錐的體積，計(jì)算求解即可.【詳解】過(guò)O作幾何體的截面如圖所示，過(guò)C作于點(diǎn)，由題意得，，，，，.，，，.又，，，.舉一反三1．有一種空心鋼球，質(zhì)量為，測(cè)得外徑為，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為，結(jié)果精確到）．【答案】【解析】【分析】設(shè)球的內(nèi)徑為，由題意可得，解方程即可求解.【詳解】設(shè)球的內(nèi)徑為，因?yàn)殇摰拿芏葹?，空心鋼球質(zhì)量為，所以空心鋼球體積為，因?yàn)榭招匿撉蝮w積為，所以，解得，所以空心鋼球的內(nèi)徑約為.2．如圖，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等．相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)：圖中圓柱的體積是球體積的，圓柱的表面積也是球表面積的．他的發(fā)現(xiàn)是否正確？試說(shuō)明理由．【答案】正確，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球與圓柱的體積與表面積，作比即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，，，，，，．所以他的發(fā)現(xiàn)正確.四．空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一.平面基本性質(zhì)即三條公理公理1公理2公理3圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.符號(hào)語(yǔ)言作用判斷線在面內(nèi)確定一個(gè)平面證明多點(diǎn)共線公理2的三條推論：推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.二．直線與直線的位置關(guān)系共面直線：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).（既不平行，也不相交）1異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線.2．兩條異面直線的性質(zhì)：既不平行，也不相交.3.空間兩條異面直線的畫(huà)法.4．異面直線所成的角：將兩條異面直線平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4個(gè)，兩對(duì)對(duì)頂角，這時(shí)根據(jù)平面內(nèi)的兩條直線所成角的范圍讓學(xué)生自己猜想應(yīng)該是那一個(gè)角）.如果兩條異面直線夾角等于90°，我們說(shuō)兩條直線垂直三．直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．符號(hào)aα相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)符號(hào)a∩α=A平行——沒(méi)有公共點(diǎn)符號(hào)a∥α說(shuō)明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線在平面外，可用aα來(lái)表示平面與平面的位置關(guān)系有二種情況：平面相交：平面平行：等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)題型一：平面例8：（2007·重慶·高考真題（理））若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分【答案】C【解析】【詳解】試題分析：畫(huà)出圖形，用三線表示三個(gè)平面，結(jié)合圖形進(jìn)行分析．解：可用三線a，b，c表示三個(gè)平面，其截面如圖，將空間分成7個(gè)部分，故選C．題型二：點(diǎn)、線確定平面數(shù)量問(wèn)題例9：（2021·上海市大同中學(xué)三模）下列命題正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．三條相交直線確定一個(gè)平面C．對(duì)于直線、、，若，，則D．對(duì)于直線、、，若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)可判定AB，根據(jù)平行線間的傳遞性可判定C，根據(jù)空間直線的垂直關(guān)系可判定D.【詳解】對(duì)A，不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，如正方體一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所在直線確定三個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)空間中平行線間的傳遞性可得若，，則，故C正確；對(duì)D，若，，則相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.舉一反三（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在空間，已知直線及不在上兩個(gè)不重合的點(diǎn)?，過(guò)直線做平面，使得點(diǎn)?到平面的距離相等，則這樣的平面的個(gè)數(shù)不可能是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【解析】分情況討論可得出.【詳解】（1）如圖，當(dāng)直線與異面時(shí)，則只有一種情況；（2）當(dāng)直線與平行時(shí)，則有無(wú)數(shù)種情況，平面可以繞著轉(zhuǎn)動(dòng)；（3）如圖，當(dāng)過(guò)線段的中垂面時(shí)，有兩種情況.故選：C.題型三：空間中點(diǎn)、線共面問(wèn)題例10：（2009·湖南·高考真題（文））平行六面體中，既與共面也與共面的棱的條數(shù)為

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【詳解】如圖，用列舉法知合要求的棱為：、、、、故選C．舉一反三（2022·北京東城·三模）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為CC1，D1C1的中點(diǎn)，則下列直線中與直線相交的是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】A【解析】【分析】利用正方體的性質(zhì)可得，進(jìn)而可判斷A，根據(jù)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線為異面直線可判斷BCD.【詳解】連接，則，由，可得四邊形為平行四邊形，∴，，所以，即四邊形為梯形，故直線與直線相交，直線與直線為異面直線，直線與直線為異面直線，直線與直線為異面直線.故選：A.題型四：空間中點(diǎn)共線問(wèn)題例11：（2019·上海奉賢·一模）空間四個(gè)點(diǎn)中，三點(diǎn)共線是這四個(gè)點(diǎn)共面的（

）A．充分非必要條件； B．必要非充分條件； C．充要條件；D．既非充分又非必要條件．【答案】A【解析】【分析】空間四個(gè)點(diǎn)中，有三個(gè)點(diǎn)共線，根據(jù)一條直線與直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面得到這四個(gè)點(diǎn)共面，前者可以推出后者，當(dāng)四個(gè)點(diǎn)共面時(shí)，不一定有三點(diǎn)共線，后者不一定推出前者．【詳解】解：空間四個(gè)點(diǎn)中，有三個(gè)點(diǎn)共線，根據(jù)一條直線與直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面得到這四個(gè)點(diǎn)共面，前者可以推出后者，當(dāng)四個(gè)點(diǎn)共面時(shí)，不一定有三點(diǎn)共線，后者不一定推出前者，空間四個(gè)點(diǎn)中，有三個(gè)點(diǎn)共線是這四個(gè)點(diǎn)共面的充分不必要條件，故選：A．舉一反三（2022·河南·三模（文））如圖，在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)．(1)證明：E，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面．．【解析】(1)如圖，連接EF，BD，．∵EF是的中位線，∴．∵與平行且相等，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴E，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面．題型五：空間中線共點(diǎn)問(wèn)題例12：（2022·河南·三模（文））如圖，在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)．證明：BE，DF，三線共點(diǎn)．證明：∵，且，∴直線BE和DF相交．延長(zhǎng)BE，DF，設(shè)它們相交于點(diǎn)P，∵直線BE，直線平面，∴平面，∵直線DF，直線平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴BE，DF，三線共點(diǎn)．舉一反三（2021·江西南昌·一模（理））如圖，，，分別是菱形的邊，，，上的點(diǎn)，且，，，，現(xiàn)將沿折起，得到空間四邊形，在折起過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線，有可能平行B．直線，一定異面C．直線，一定相交，且交點(diǎn)一定在直線上D．直線，一定相交，但交點(diǎn)不一定在直線上【答案】C【解析】【分析】由已知可得四邊形為平面四邊形，且，，然后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．【詳解】解：，，，則，且，又，，，則，且，，且，四邊形為平面四邊形，故直線，一定共面，故錯(cuò)誤；若直線與平行，則四邊形為平行四邊形，可得，與矛盾，故錯(cuò)誤；由，且，，，可得直線，一定相交，設(shè)交點(diǎn)為，則，又平面，可得平面，同理，平面，而平面平面，，即直線，一定相交，且交點(diǎn)一定在直線上，故正確，錯(cuò)誤．故選：．題型六：空間中平面性質(zhì)例13：（2022·上海靜安·模擬預(yù)測(cè)）正方體的棱長(zhǎng)為1，、分別為、的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面面積為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】由題意畫(huà)出圖形，可得平面截正方體所得的截面為等腰梯形，由已知結(jié)合梯形面積公式求解.【詳解】如圖，連接則，可得等腰梯形為平面截正方體所得的截面圖形，由正方體的棱長(zhǎng)為1，得，，，則到的距離為，∴，故答案為：.舉一反三（2022·江西·南昌市八一中學(xué)三模（理））在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線，的交點(diǎn)，若平面平面，，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，利用平面的基本性質(zhì)可得直線即為直線，然后利用正方體的性質(zhì)可得，即得.【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接交于，∵平面，平面，平面平面，∴，故直線即為直線，取的中點(diǎn)，連接，又點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，即.故選：B.題型七：等角定理例14：（2022·四川·成都七中三模（理））過(guò)正方形的頂點(diǎn)作直線，使得與直線，所成的角均為，則這樣的直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)A在空間作直線l，使得與直線，所成的角均為，1條在平面內(nèi)，2條在平面外.【詳解】因?yàn)椋宰髦本€，使得與直線，所成的角均為，即過(guò)點(diǎn)A在空間作直線l，使得與直線，所成的角均為.因?yàn)椋耐饨瞧椒志€與所成的角相等，均為，所以在平面內(nèi)有一條滿(mǎn)足要求.因?yàn)榈慕瞧椒志€與所成的角相等均為，將角平分線繞點(diǎn)D向上轉(zhuǎn)動(dòng)到與面垂直的過(guò)程中，存在兩條直線與直線所成的角都等于.故符合條件的直線有3條.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.舉一反三（多選）（2022·河北廊坊·模擬預(yù)測(cè)）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個(gè)真命題，在空間中仍然成立的有（

）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)D．一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)線線平行傳遞性和課本中的定理可判斷AC正確；垂直于同一條直線的兩條直線位置關(guān)系不確定，可判斷B，通過(guò)舉反例可判斷D.【詳解】根據(jù)線線平行具有傳遞性可知A正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關(guān)系可能是異面、相交、平行，故B錯(cuò)誤；根據(jù)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)可知C正確；如圖，且，則但和的關(guān)系不確定，故D錯(cuò)誤.故選：AC題型八：異面直線例15：1.（2015·湖北·高考真題（文））表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】A【解析】【詳解】若p：是異面直線，由異面直線的定義知，不相交，所以命題q：不相交成立，即p是q的充分條件；反過(guò)來(lái)，若q：不相交，則可能平行，也可能異面，所以不能推出是異面直線，即p不是q的必要條件，故應(yīng)選．考點(diǎn)：本題考查充分條件與必要條件、異面直線，屬基礎(chǔ)題．2．（2021·全國(guó)·高考真題（理））在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤危曰蚱溲a(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D舉一反三1.（2016·上?！じ呖颊骖}（文））如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF相交的是（）.A．直線AA1 B．直線A1B1C．直線A1D1 D．直線B1C1【答案】D【解析】【詳解】試題分析：只有與在同一平面內(nèi)，是相交的，其他A，B，C中的直線與都是異面直線，故選D．【考點(diǎn)】異面直線【名師點(diǎn)睛】本題以正方體為載體，研究直線與直線的位置關(guān)系，突出體現(xiàn)了高考試題的基礎(chǔ)性，題目不難，能較好地考查考生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力、空間想象能力等.2．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，，P為AC的中點(diǎn)，則直線BP與AD所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證明平面即可推理計(jì)算作答.【詳解】在四面體ABCD中，平面，平面，則，而，即，又，平面，則有平面，而平面，于是得，因P為AC的中點(diǎn)，即，而，平面，則平面，又平面，從而得，所以直線BP與AD所成的角為.故選：D五．空間直線、平面的平行直線與直線平行平行與同一直線的兩直線平行例16：1．已知棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．求證：四邊形是梯形．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】連接AC，利用正方體的性質(zhì)，得到四邊形AA′C′C為平行四邊形，再結(jié)合M，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，得到MN∥A′C′且MN=A′C′證明.【詳解】證明：如圖所示：連接AC，由正方體的性質(zhì)可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四邊形MNA′C′是梯形．直線和平面平行的判定(1)定義：直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)直線平行于平面；(2)判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行.符號(hào)：例17.如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)圖像，連接，與相交與，連接，是平行四邊形，是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得證.【詳解】如圖，連接，與相交與，連接，∵是平行四邊形，∴是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面.注：證明線面垂直1，找中位線2，找平行四邊形3，正兩個(gè)面平行舉一反三如圖所示，在四棱錐中，，，，底面，為的中點(diǎn).求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】取的中點(diǎn)，連接，由三角形的中位線定理可得∥,，而已知∥，，從而得∥，，所以四邊形為平行四邊形，從而得，再利用線面平行的判定定理可證明【詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以∥,，因?yàn)椤?，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?直線和平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡(jiǎn)記為：線面平行，則線線平行.符號(hào):例18.如圖，在三棱錐中，分別是中點(diǎn)，平面平面.求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)線面平行證明，結(jié)合平行的傳遞性可得.【詳解】因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，所以.又平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所?又，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中的直線與直線平行，線線平行可以通過(guò)線面平行轉(zhuǎn)化，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).舉一反三1．如圖，三棱錐被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：平面EFGH．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理、性質(zhì)定理即可得證【詳解】因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫鍮CD，平面BCD，所以平面BCD，又因?yàn)槠矫鍭CD，且平面平面BCD，所以，又因?yàn)槠矫鍱FGH，平面EFGH，所以平面EFGH2．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC=l.求證:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先由BC∥AD證明BC∥平面PAD，再結(jié)合平面PBC∩平面PAD=l，由線面平行推出線線平行，即得證；（2）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，可證明四邊形AMNE是平行四邊形，即MN∥AE，由線線平行推線面平行，即得證【詳解】（1）∵?ABCD∴BC∥AD，又BC平面PAD，平面PAD∴BC∥平面PAD.又∵平面PBC∩平面PAD=l，平面PBC∴l(xiāng)∥BC.（2）如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，則NE∥CD，且NE=CD，又AM∥CD，且AM=CD，∴NE∥AM，且NE=AM.∴四邊形AMNE是平行四邊形.∴MN∥AE.又∵AE?平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.平面與平面平行的判定(1)定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，稱(chēng)這兩個(gè)平面平行；(2)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.簡(jiǎn)記為：線面平行，則面面平行.符號(hào)：例19.如圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面為正方形，棱與均垂直于底面，，求證：平面平面.【答案】見(jiàn)解析【分析】由正方形的性質(zhì)得出，可得出平面，由線面垂直的性質(zhì)定理得出，可得出平面，再利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論.【詳解】由于四邊形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的證明，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.舉一反三1．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點(diǎn)．(1)求證：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中點(diǎn)，求證：平面B1DF∥平面ACE．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連BD，使BD∩AC＝G，連EG，由中位線定理以及線面平行判定定理證明即可；（2）證明B1F∥平面ACE，結(jié)合B1D∥平面ACE，利用面面平行判定定理證明即可.(1)連BD，使BD∩AC＝G，連EG．∵ABCD是正方形，BD∩AC＝G，∴DG＝BG．又∵E是BB1中點(diǎn)，∴B1E＝BE，∴DB1∥GE，又平面ACE，平面ACE，∴B1D∥平面ACE．(2)∵E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)．∴B1E∥CF且B1E＝CF，∴四邊形B1ECF是平行四邊形，∴B1F∥CE，又∴平面ACE，平面ACE，∴B1F∥平面ACE，由（1）B1D∥平面ACE，又∵DB1∩B1F＝B1，∴平面B1DF∥平面ACE．平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.簡(jiǎn)記為：面面平行，則線線平行.符號(hào)：補(bǔ)充：平行于同一平面的兩平面平行；夾在兩平行平面間的平行線段相等；兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個(gè)平面平行例20.如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點(diǎn)．M是AB上一點(diǎn)，連接MC，N是PM與DE的交點(diǎn)，連接FN，求證：FN∥CM．【答案】見(jiàn)解析．【分析】先通過(guò)中位線，通過(guò)線線平行，證得平面平面，在根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證得.【詳解】因?yàn)镈，E分別是PA，PB的中點(diǎn)，所以DE∥AB．又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以FN∥CM．【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線平行的證明、線面平行的證明和面面平行的證明，其中涉及到了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，還有面面平行的性質(zhì)定理.在平行轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，已知和求之間，用判定定理還是性質(zhì)定理，要看清楚題目所給的條件來(lái)判斷.舉一反三1．如圖，已知平面平面，點(diǎn)P是平面，外一點(diǎn)，且直線PB，PD分別與，相交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D．如果，，，求PD的長(zhǎng)．【答案】【解析】【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】由題意可知：平面，平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因此?2．如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，在平面四邊形ACDE中，，，，，求證：平面ABC．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)給定條件證明平面平面即可推理作答.【詳解】因?yàn)?，則四邊形ACDE是菱形，有，而平面ABC，平面ABC，于是得平面ABC，又，平面ABC