KS5U2024高考?jí)狠S卷-數(shù)學(xué)（理）（全國(guó)乙卷） 含解析

KS5U2024高考?jí)狠S卷全國(guó)乙卷理數(shù)試題本試卷共4頁(yè)，23題（含選考題）.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.選考題的作答：先把所選題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑.答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.5.考試結(jié)束后'，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.第I卷一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.已知，則（）A.2B.C.D.13.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則A. B. C. D.4．為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國(guó)，扎實(shí)推動(dòng)鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)、人才、文化、生態(tài)、組織振興”的目標(biāo)，某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù)．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例P關(guān)于還款人的年收入x（單位：萬(wàn)元）的Logistic模型：．已知當(dāng)貸款人的年收入為9萬(wàn)元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50％，若貸款人的年收入約為5萬(wàn)元，則實(shí)際還款比例約為（）．（參考數(shù)據(jù)：）A．30％ B．40％ C．60％ D．70％5.下列說法不正確的是（）①命題“，”的否定是“,”；②“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件；③命題，，命題,，則為真命題；④“函數(shù)在上是減函數(shù)”，為真命題.A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④6.函數(shù)圖象大致為（）A. B.C. D.7.中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）A.8種 B.14種 C.20種 D.16種8.龍洗，是我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái)．現(xiàn)有一龍洗盆高15cm，盆口直徑40cm，盆底直徑20cm．現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深6cm時(shí)，盆內(nèi)水的體積近似為（）A. B. C. D.9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列，若中存在兩項(xiàng)，，使得為其等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A.4 B.9 C. D.10.設(shè)為雙曲線的上?下焦點(diǎn)，點(diǎn)為的上頂點(diǎn)，以為直徑的圓交的一條漸近線于兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A.B.C.D.11.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A.直線共面B.C.直線與平面所成角的正切值為D.過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為912.已知定義在上的函數(shù)滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知函數(shù)，對(duì)任意的，都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為__________．14.展開式的常數(shù)項(xiàng)為__________.15.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值為________．16.已知是球的球面上的三點(diǎn)，，且三棱錐的體積為，則球的體積為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在①，②中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下列問題中，并作答．問題：在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知______．（1）求B；（2）若的外接圓半徑為2，且，求ac．注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．18.已知等差數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為是關(guān)于的二次函數(shù)且最高次項(xiàng)系數(shù)為1.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知，求的前項(xiàng)和.19.如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是線段上（包括端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）若直線與平面的夾角為，求的值.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn).（1）若直線過的焦點(diǎn)，求的值；（2）若直線分別與軸相交于兩點(diǎn)，且，試判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.21．已知，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對(duì)任意的，，．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求C與l的直角坐標(biāo)方程；（2）若P是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求P到l的距離的取值范圍．[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若是的最小值，且正數(shù)滿足，證明：．KS5U2024高考?jí)狠S卷全國(guó)乙卷理數(shù)試題答案1【KS5U答案】D【KS5U解析】由可解得：或，即，由函數(shù)有意義可得：，解得：，即，于是.故選：D.【KS5U答案】D【KS5U解析】由，得，所以，所以.故選D.3【KS5U答案】D【KS5U解析】，將代入得，故選D．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到方程關(guān)系．4．【KS5U答案】B【KS5U解析】由題意得當(dāng)時(shí)，％，則％，得，所以，得，所以．當(dāng)時(shí)，％．故選B．5【KS5U答案】C【KS5U解析】對(duì)于①：命題“，”的否定是“,”，故①不正確；對(duì)于②：若，則的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；若函數(shù)為奇函數(shù)，且的定義域?yàn)?，可得，整理得恒成立，解得，即必要性不成立；所以“”是“函?shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)楹愠闪?，即命題,為假命題，所以為假命題，故③不正確；對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，但，可得，所以函數(shù)在上不是減函數(shù)，故④不正確；故選：C.6【KS5U答案】C【KS5U解析】由，可知是奇函數(shù)，且定義域?yàn)?，排除BD；當(dāng)時(shí)，，排除A.故選：C7【KS5U答案】B【KS5U解析】第一類，甲、乙都不在天和核心艙共有種；第二類，甲、乙恰好有一人在天和核心艙，先排天和核心艙有種，然后排問天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙有種，所以，甲、乙恰好有一人天和核心艙共有種.綜上，甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)共有種.故選：B8【KS5U答案】B【KS5U解析】如圖所示，畫出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長(zhǎng)與于點(diǎn).根據(jù)題意，，，，，設(shè)，所以，解得，，所以，故選：B.9【KS5U答案】D【KS5U解析】因，，成等差數(shù)列，所以，又為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為q，所以，所以，解得或（舍），又為，的等比中項(xiàng)，所以，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、基本不等式等知識(shí)，并靈活應(yīng)用，數(shù)列中應(yīng)用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意取等條件，即角標(biāo)m，n必須為正整數(shù)，屬中檔題.【KS5U答案】C【KS5U解析】由題意知以為直徑的圓的方程為，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)一條漸近線方程為，聯(lián)立得，又，所以，則，即.所以離心率.故選C.11【KS5U答案】D【KS5U解析】對(duì)于A項(xiàng)，如圖①，分別連接,,在正方體中，易得矩形,故有，又E，G分別是棱的中點(diǎn)，則,故,即可確定一個(gè)平面，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，如圖②，,故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖③，連接,因平面，故直線與平面所成角即,在中，,故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，如圖④，連接,易得,因平面平面，則為過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面與平面的一條截線，即過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面即平面.由可得四邊形為等腰梯形，故其面積為：，即D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.12【KS5U答案】C【KS5U解析】令，則，即，故函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng),時(shí)，，則，故在,上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，則，則不等式，即，故，解得．故選：C．13．【KS5U答案】或【KS5U解析】因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，，解得，，∵，∴，，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，均滿足題意．【KS5U答案】48【KS5U解析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)是，所以所求常數(shù)項(xiàng)為.15【KS5U答案】【KS5U解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)是拋物線上任意一點(diǎn)，則題目所求為的最小值，過作，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可知，所以題意所求為的最小值，根據(jù)圖象可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，故最小值為.故答案為：16【KS5U答案】【KS5U解析】在中，，由余弦定理得，即，整理得，而，解得，顯然，即，則外接圓的半徑，令球心到平面的距離為，而的面積為，由棱錐的體積為，得，解得，球的半徑，則有，，所以球的體積.故答案為：17【KS5U答案】（1）（2）【分析】（1）選①利用余弦定理即可求出；選②根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊換角即可得到答案；（2）首先求出，再利用正弦定理整體求出即可.【小問1詳解】選擇條件①：因?yàn)?，在中，由余弦定理可得，即，則，因?yàn)?，所?選擇條件②：因?yàn)椋谥?，由正弦定理可得，即，則，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，則，即，又，所以.因?yàn)榈耐饨訄A半徑，所以由正弦定理可得，所以.18.解：（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，，...（2），..19.解：（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，四邊形是正方形，為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面平面平面.（2）易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則.，設(shè)，則..設(shè)平面的法向量為，則即令，則.又直線與平面的夾角為，，解得..20.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，所以，解得，所以的方程為，所以的焦點(diǎn)為.顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由得，所以，所以，所以.（2）設(shè)，顯然直線的斜率存在，且斜率為，所以直線的方程為，所以，即，同理可得，，所以，所以，即，①顯然直線的斜率存在，且斜率為，所以直線的方程為，②將①式代入②式，整理得，所以直線恒過定點(diǎn).21．（1）解：的定義域?yàn)椋?，若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增．若，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：當(dāng)時(shí)，．所以，．要證，即證，即證．由，得，即，，故只需證．下面給出證明：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以．所以對(duì)任意的，恒成立，即對(duì)任意的，恒成立．綜上所述，恒成立，故對(duì)任意的，，．22【KS5U答案】（1），；（2）.【分析】（1）消去參數(shù)求出曲線C的普通方程；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式求出l的直角坐標(biāo)方程.（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求出取值范圍.【小問1詳解】消去曲線C的參數(shù)方程中的參數(shù)得：，把代入直線l的極坐標(biāo)方程得