固定收益證券中文第五章

第五章債券價格波動性的衡量債券價格與收益率的關(guān)系債券價格波動性的特點價格波動性的衡量Ⅰ:基點價格值和價格變化的收益值價格波動性的衡量Ⅱ:凸性和久期第五章債券價格波動性的衡量第一節(jié)債券價格與收益率的關(guān)系在上一章,我們從債券價格的計算公式和到期收益率的求解公式中注意到,債券價格和收益率呈反方向變動。這是因為債券價格等于預期現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值。我們通過例題來進一步說明。

收益率息票現(xiàn)值(元)面值現(xiàn)值(元)債券價格(元)5.0%350.73707.731058.465.5%344.73684.001028.736.0%338.88661.121000.006.5%333.18639.06972.247.0%327.62617.78945.407.5%322.19597.26919.458.0%316.89577.48894.378.5%311.73558.39870.129.0%306.68539.97846.659.5%301.76522.21823.97

表5—1列出了在不同的收益率水平下該債券價格的不同值。

表5—1債券價格與收益率的關(guān)系

我們可以把表5—1中收益率與相應的債券價格的數(shù)據(jù)繪成圖5—1。圖5—1債券價格與收益的反向關(guān)系

債券發(fā)行以后,市場利率也有可能低于票面利率,債券的價格將會高于其面值。這時,投資者為了獲得高于市場利率的票面利率,應當支付的價格不得不高于債券面值。價格高于面值的債券被稱為溢價債券。我們總結(jié)出以下規(guī)律:市場利率=票面利率,價格=面值市場利率>票面利率,價格<面值市場利率<票面利率,價格>面值

除了收益率以外,到期時間是影響債券價格變化的另一個重要因素。通過考察債券價格和到期時間之間的關(guān)系,我們會發(fā)現(xiàn)一個重要規(guī)律:隨著到期日的臨近,債券的價格向面值趨近。圖5—2債券價格與到期時間的關(guān)系第二節(jié)債券價格波動性的特點在這一節(jié),我們具體考察價格風險的大小,它用價格的利率敏感性來衡量。影響價格的利率敏感性有三個重要因素:票面利率、到期時間以及初始收益率。它們與價格的利率敏感性之間呈現(xiàn)出這樣一些規(guī)律:●價格的利率敏感性與債券的票面利率具有反向關(guān)系?！駜r格的利率敏感性與債券的到期時間長短具有正向關(guān)系?！耠S著到期時間的增長,價格的利率敏感性增加,但是增加得越來越慢。收益率上升導致價格下跌的幅度比等規(guī)模的收益率降低帶來的價格上漲的幅度小,這被稱為價格波動的不對稱性?！駜r格的利率敏感性與債券的初始收益率水平具有反向關(guān)系。債券票面利率(%)到期時間(年)初始收益率(%)A1059B10209C4209D4205例如,有A、B、C、D四種債券,它們的相關(guān)資料如表5—2所示:表5—2

那么,當其他條件相同時,B比A的到期時間更長,價格的利率敏感性也就更強;C比B的票面利率低,價格的利率敏感性更強;D比C的初始收益率低,價格的利率敏感性更強。這四種債券價格的利率敏感性的大小關(guān)系是:A<B<C<D,如圖5—3所示。由于收益率上升對價格的影響比收益率下降對價格的影響小,所以圖中的曲線是凸狀的。一、票面利率大小與債券價格波動

其他因素保持不變,票面利率越低,債券價格的利率敏感性越大,利率風險也就越大。這就是說,收益率變動時,其他條件相同的零息債券的價格波動最大。圖5—4價格的利率敏感性的比較(票面利率不同的債券)

二、到期時間與債券價格波動

其他因素保持不變,長期債券的價格對利率變動的敏感性比短期債券更強。因此,債券的到期時間越長,利率風險也就越大。圖5—5價格的利率敏感性的比較(到期時間不同的債券)三、債券價格波動的不對稱性債券價格對于收益率的降低比對收益率的上升更加敏感。圖5—6價格波動的不對稱性四、初始收益率與債券價格波動

其他因素不變時,初始收益率水平越低,債券價格的利率敏感性越強。這有兩層含義:

一是說市場利率水平越低時,債券價格的利率敏感性越強。

二是說到期收益率水平越低,債券價格的利率敏感性越強。圖5—7初始收益率與價格波動第三節(jié)價格波動性的衡量Ⅰ:基點價格值和價格變化的收益值投資者只有準確衡量債券價格的波動性,才能規(guī)避利率風險,采取正確的投資策略。常用的價格波動性衡量方法包括:基點價格值、價格變化的收益值、久期和凸性。在這一節(jié),我們先介紹前兩者,在下一節(jié)中,我們將重點介紹凸性和久期。一、基點價格值基點價格值是指收益率變化一個基點,也就是0.01個百分點時,債券價格的變動值?；c價格值是價格變化的絕對值,價格變化的相對值稱作價格變動百分比,它是價格變化的絕對值相對于初始價格的百分比,用公式表示就是:價格變動百分比=基點價格值/初始價格。我們用下面的例子來說明什么是基點價格值。[例5—7]有A、B、C三種債券,半年付息一次,下一次付息在半年后,相關(guān)資料見表5—6:

表5—6

ABC票面利率8%8%8%面值(元)100100100信用評級AaAaAa到期時間(年)51015收益率8%8%8%價格(元)100100100分別計算它們的基點價格值。解:令收益率上升一個基點,從8%提高到8.01%,可以計算出,新的債券價格分別是:99.9595元、99.9321元、99.9136元,價格分別變動-0.0405元、-0.0679元和-0.0864元,基點價格值分別是0.0405元、0.0679元和0.0864元。令收益率下降一個基點,從8%減少到7.99%,新的債券價格分別是:100.0406元、100.0680元和100.0865元,價格分別變動0.0406元、0.0680元和0.0865元,基點價格值分別是0.0406元、0.0680元和0.0865元?？梢钥闯?收益率上升或下降一個基點時的基點價格值是近似相等的。在上一節(jié)我們知道,收益率下降引起的價格變動幅度比同等的收益率上升引起的價格變動幅度應該大一些。在這里,由于收益率的變動很小(僅為一個基點),收益率上升或下降引起的價格波動是大致相等的。結(jié)合上例中基點價格值對應的結(jié)果,我們可以總結(jié)出一條規(guī)律:當收益率變動的幅度較小時(例如10個基點),收益率變動n個基點,價格就近似變動基點價格值的n倍。由于收益率的變動較小,收益率下降或上升導致的價格波動仍然是大致相等的,價格波動的不對稱性可以被忽略。二、價格變化的收益值價格變化的收益值是度量債券價格波動性的另一種工具,它是債券價格變動一定數(shù)量時,對應的收益率變動值。價格變化的收益值越小,意味著價格變動一定數(shù)量時,收益率的變動越小;反過來,收益率變動一個基點時,價格的變動越大,即基點價格值越大。[例5—10]利用例5—7中的資料,如果價格變動0.125%,分別求出三種債券價格變化的收益值。解:債券價格上升0.125%,即從100元上升到100.125元時,可以求出債券A、B、C的收益率分別為:7.9692%、7.9816%和7.9856%,收益率的變動分別為-0.0308%、-0.0184%和-0.0144%。我們可以得出結(jié)論:價格變化的收益值分別是0.0308%、0.0184%和0.0144%。債券A的基點價格值最小,價格變化的收益值卻最大;債券C的基點價格值最大,價格變化的收益值反而最小。第四節(jié)價格波動性的衡量Ⅱ:凸性和久期一、久期(一)久期的定義

收益率變化會導致債券價格變化,我們可以利用久期來衡量債券價格的收益率敏感性。久期就是價格變化的百分比除以收益率變化的百分比。

D=(ΔP/P)/[Δ(1+y)/(1+y)]=-(ΔP/P)/[Δy/(1+y)](5.1)式中:P——債券的初始價格;ΔP——債券價格變化值;y——初始收益率;Δ(1+y)(或Δy)——收益率變化值。

久期實際上是價格的利率彈性。

將式(5.1)重新整理,可以得到如下關(guān)系式:

ΔP/P=[-D/(1+y)]×Δy(5.2)

因此,如果知道某個債券的久期,就可以根據(jù)式(5.2)計算一定的收益率變化百分比導致的價格變化百分比。定義D/(1+y)為修正久期,用D*表示,那么,式(5.2)可以轉(zhuǎn)換為ΔP/P=-D×Δy。如何計算債券的久期呢?根據(jù)久期的定義,可以將債券價格對收益率求導。下面我們計算最普通的附息債券的久期,即該債券沒有附加任何選擇權(quán),每期期末按照固定票面利率和面值的乘積支付利息,到期還本。

美國經(jīng)濟學家弗雷德里克?麥考利首先將式(5.6)稱為久期,久期因此也被稱為麥考利久期。可以看出,普通債券的久期是債券現(xiàn)金流時間的加權(quán)平均,其權(quán)重是每次現(xiàn)金流現(xiàn)值占現(xiàn)金流現(xiàn)值總和(即債券價格)的比例。

Wt是現(xiàn)金流時間的權(quán)重,是第t期現(xiàn)金流的現(xiàn)值占債券價格的比重。權(quán)重之和等于1,因為按到期收益率貼現(xiàn)的現(xiàn)金流之和就等于債券的價格。應當注意,從上式中求出的久期是以期數(shù)為單位的,我們還要把它除以每年付息的次數(shù),轉(zhuǎn)化成以年為單位的久期。

[例5—11]面值為100元、票面利率為8%的3年期債券,半年付息一次,下一次付息在半年后。如果到期收益率為10%,計算它的久期。解:該債券的久期是5.4351個半年,也就是5.4351/2=2.7176(年),計算過程見表5—8:表5—8息票債券久期的計算時間(期數(shù))現(xiàn)金流(元)現(xiàn)金流的現(xiàn)值(元)權(quán)重時間×權(quán)重143.80950.04010.0401243.62810.03820.0764343.45540.03640.1092443.29080.03470.1388543.13410.03300.1650610477.60640.81764.9056總計94.9243

1

5.4351

(三)久期的規(guī)則

票面利率、到期時間、到期收益率是影響債券價格的利率敏感性的三個重要因素,它們與久期之間的關(guān)系也表現(xiàn)出一些規(guī)則。(1)保持其他因素不變,票面利率越低,息票債券的久期越長。(2)保持其他因素不變,到期收益率越低,息票債券的久期越長。(3)一般來說,在其他因素不變的情況下,到期時間越長,久期越長。

(四)浮動利率債券的久期下面考察一種特殊的債券——浮動利率債券的久期。從第三章對浮動利率債券定價的介紹可知,在每個利息支付日(即剛剛支付完利息),浮動利率債券的價格都等于面值。而在下一個利息支付日,浮動利率債券的價值則等于面值加上利息。

所以,這種每隔一定時期重新設(shè)定票面利率的浮動利率債券,完全等同于零息債券,該零息債券的期限則等于重新設(shè)定票面利率所經(jīng)歷的期限。例如,每年重新設(shè)定票面利率的債券就等同于期限為1年期的零息債券。

因此,浮動利率債券的久期就等于重新設(shè)定票面利率的期限。如果浮動利率的票面利率是每年重新設(shè)定一次,不論這種浮動利率債券本身的期限有多長,該浮動利率債券的久期都等于1年。

(五)關(guān)鍵利率久期1.定義在利率期限結(jié)構(gòu)中,某些關(guān)鍵的整數(shù)期限的利率是債券市場十分重要的利率,對金融市場交易者的心理影響也是至關(guān)重要的,例如,1年期利率、5年期利率。關(guān)鍵利率久期正是以這些關(guān)鍵期限利率為基礎(chǔ),衡量固定收益證券價格對利率敏感性的方法,即關(guān)鍵年期的利率發(fā)生變化時,債券價格的敏感性。2.計算步驟第一步:選擇數(shù)個關(guān)鍵的利率或利率因子。為了說明方便,我們僅考慮三種關(guān)鍵利率:6個月期、10年期與30年期利率。第二步:設(shè)定其他利率如何隨著關(guān)鍵利率的變動而變動。

由于關(guān)鍵利率久期是利率期間的函數(shù),以柱狀圖的方式來表示,將有助于了解證券價格對于收益率曲線形狀變動的敏感性。以圖5—9為例,它分析的是一種30年期不可提前清償?shù)牡盅嘿J款債券,所采用的關(guān)鍵利率有五種:6個月期、5年期、10年期、20年期與30年期利率。圖5—9不可提前清償貸款的關(guān)鍵利率久期關(guān)鍵利率久期最初會呈現(xiàn)上升狀態(tài),這是因為較長期的現(xiàn)金流量,其久期大于較短期的現(xiàn)金流量。當5年期關(guān)鍵利率變動時,5年期附近的利率水準與久期所受到的影響最大;當10年期關(guān)鍵利率變動時,10年期附近的利率水準與久期所受到的影響最大。所以,就利率變動的價格敏感性來說,10年期利率大于5年期利率。另一方面,定額付款的抵押貸款債券,其每期的現(xiàn)金流量都相等,期限越長,現(xiàn)金流量的現(xiàn)值越低。因此,越長期的付款,其久期雖然越大,但它在整體債券價值中所占的比例越來越低。這可以解釋為什么30年期關(guān)鍵利率久期小于10年期與20年期即使抵押貸款債券是長期債券,它們受到中期利率的影響程度也經(jīng)常超過長期利率。圖5—9可以解釋其中的緣故。在分析這類問題時,關(guān)鍵利率久期的柱狀圖非常有用。二、久期與價格波動的關(guān)系我們已經(jīng)知道,債券的到期時間與價格的利率敏感性是相關(guān)的。與到期時間相比,久期能更準確地衡量債券價格的利率敏感性,是對債券利率風險程度的測量,是規(guī)避資產(chǎn)組合利率風險的重要工具。債券價格波動與久期成比例,而不是與到期時間成比例。

前面的公式(5.2)清楚地表達了價格波動與久期的關(guān)系:

ΔP/P=[-D/(1+y)]×Δy

定義D/(1+y)為修正久期,用D*表示,那么,式(5.2)可以轉(zhuǎn)換為式(5.7),

ΔP/P=-D*×Δy(5.7)(5.7)式表明,債券價格的變動百分比(相對數(shù))等于修正的久期與到期收益率變動值(絕對數(shù))的乘積。修正的久期越大,利率變動時價格的波動越大,利率風險就越大。當收益率變動較小時,用修正久期估計的價格波動百分比是比較準確的,而當收益率的變動越來越大時,這種估計的誤差也就越來越大。另外,這種估計也不能體現(xiàn)價格波動的不對稱性。不論收益率上升或下降,用修正的久期計算出來的價格波動百分比大小都是相同的。

而實際情況是,收益率下降時價格上升的幅度比收益率上升時價格下降的幅度大。為什么利用久期估計會出現(xiàn)這些誤差?用修正的久期估計價格波動時,我們認為ΔP/P≈-D*×Δy,這表明債券價格的變動百分比與收益率的變動值成正比,將價格變動百分比相對于收益率變動值的函數(shù)繪成圖形后,應當是一條直線,它的斜率就等于-D*。

但是,事實上價格與收益率之間的關(guān)系并不是線性的,在圖中應當表現(xiàn)為一條凸形的曲線,這就造成了久期估計的誤差。我們用圖5—10來說明。圖5—10實際價格波動與久期估計的價格波動在圖5—10中,實際的曲線與久期估計的直線在初始點處(Δy=0)相切。對于收益率的小幅變動,兩條線之間的距離非常小,用久期估計的價格波動也就十分接近實際波動。隨著收益率的變動越來越大,兩條線之間的距離也越來越遠,久期估計的價格波動偏離實際波動的程度越來越大,估計值就越來越不準確。三、資產(chǎn)組合的久期資產(chǎn)組合也有久期,資產(chǎn)組合的久期是資產(chǎn)組合的有效平均到期時間。它的計算方法是對組合中所有資產(chǎn)的久期求加權(quán)平均數(shù),權(quán)重是各種資產(chǎn)的市場價格占資產(chǎn)組合總價值的比重。我們用例子來說明。[例5—15]利用例4—7的有關(guān)資料。一個債券組合由三種半年付息的債券構(gòu)成,相關(guān)資料見表5—11。求該債券組合的久期。

表5—11債券名稱面值(元)票面利率到期時間(年)市場價格(元)到期收益率(年率)A10006%6951.687%

B200005.5%520000.005.5%C100007.5%49831.688%

該債券組合的市場總價值等于30783.36元,債券A、B、C市場價格的權(quán)重分別是0.0309、0.6497和0.3194。因此,該債券組合的久期為:

D*=4.9276×0.0309+4.3201×0.6497+3.3887×0.3194=4.0414(年)四、凸性(一)凸性定義從圖5—10中可以明顯看出,在收益率降低時會低估價格的上升,在收益率上升時則會高估價格的下降。所以說,只有收益率變化不大的情況下利用久期估計價格的變化才比較準確,如果收益率變化較大,用久期估計價格變化就會產(chǎn)生較大誤差。而且,收益率變化越大,誤差就越大。

我們發(fā)現(xiàn),凸性的計算與久期非常相似,區(qū)別在于它是t2+t(而不是t)的加權(quán)平均,再除以(1+y)2,權(quán)重仍然是按到期收益率貼現(xiàn)的每期現(xiàn)金流現(xiàn)值占債券市場價格的比重。應當注意,從上式中求出的凸性是以期數(shù)為單位的,我們還要把它除以每年付息的次數(shù)的平方,轉(zhuǎn)化成以年為單位的凸性。時間t(期數(shù))現(xiàn)金流(元)現(xiàn)金流的現(xiàn)值(元)權(quán)重t(t+1)×權(quán)重143.80950.04010.0802243.62810.03820.2292343.45540.03640.4368443.29080.03470.6940543.13410.03300.9900610477.60640.817634.3392

總計94.9243136.7694[例5—16]計算例5—11中的3年期債券的凸性。解:計算過程見表5—12:表5—12債券凸性的計算

于是,半年期的凸性為:

C=36.7694/(1.05)2=33.350

轉(zhuǎn)化為以年為單位的凸性等于33.3509/(2)2=8.3377。

凸性的修正會在一定程度上消除這種高估或低估。收益率上升時,正的修正項會使估計的價格下降幅度變小;收益率下降時,正的修正項會使估計的價格上升幅度變大。因此,考慮凸性后估計的價格波動與實際情形更為貼近。正因為凸性是正值,所以,債券的凸性越大,對投資者就越有利。如果其他條件都相同,