5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第一課時周期性與奇偶性 課件-2023

第5章5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第1課時

周期性與奇偶性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期一回顧與引入

上一節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正余弦曲線的畫法和形狀，你還能想起它們的位置和形狀嗎？

接下來，我們就應(yīng)該研究正余弦函數(shù)的性質(zhì)了.所謂性質(zhì)就是研究對象在變化過程中保持不變性的那些特征

從前面的學(xué)習(xí)中，我們知道，三角函數(shù)首先是具有”周而復(fù)始”的變化規(guī)律，這就是我們接下來要研究的性質(zhì)：周期性問題1

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的特點(diǎn)可以從哪些方面進(jìn)行驗(yàn)證？提示

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.我們可以從兩個方面來驗(yàn)證這種特點(diǎn)：①函數(shù)的圖象，回顧正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的畫法，我們是先畫出[0,2π]上的函數(shù)圖象，然后每次向左(右)平移2π個單位長度得到整個定義域上的函數(shù)圖象.②誘導(dǎo)公式一，sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，對任意的k∈Z都成立.1.函數(shù)的周期性一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個

，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且

，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).

叫做這個函數(shù)的周期.2.最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個

，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.非零常數(shù)Tf(x＋T)＝f(x)非零常數(shù)T最小的正數(shù)經(jīng)典應(yīng)用21

思考1：正弦就是單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)，當(dāng)這個點(diǎn)做圓周運(yùn)動時，其縱坐標(biāo)(正弦)就呈現(xiàn)周性的變化，由此你能猜出正弦函數(shù)的周期嗎？探究新知（一）sinx=n

當(dāng)P點(diǎn)轉(zhuǎn)一周，即角

x變化2π時，sinx的值重復(fù)出現(xiàn).因此，函數(shù)y=sinx的周期為2π

思考2：你能從y=sinx圖象的角度和代數(shù)的角度對上述猜想進(jìn)行解釋嗎？從圖象上看，每隔2π，y=sinx的圖象重復(fù).由誘導(dǎo)公式知，sin(x+2kπ)=sinx,k∈Z

思考3：2π是y=sinx的周期，那么4π，6π，-2π，-4π等呢?都是.事實(shí)上，y=sinx有無數(shù)個周期.3.正弦函數(shù)是

，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

.4.余弦函數(shù)是

，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

.周期函數(shù)周期函數(shù)2π2π注意點(diǎn)：(1)關(guān)鍵詞“每一個x”體現(xiàn)了對定義域中每一個值都得成立.(2)周期函數(shù)的周期不唯一，任何T的非零整數(shù)倍都是函數(shù)的周期.(3)三角函數(shù)的周期是函數(shù)的整體性質(zhì)，我們在研究函數(shù)時，只需研究一個周期上的圖象和性質(zhì)即可.(4)若不加特殊說明，一般求三角函數(shù)的周期的問題，求的是函數(shù)的最小正周期.正弦函數(shù)y=sin

x和余弦函數(shù)y=cos

x都是周期函數(shù)；2kπ

(k∈Z且

k≠0)

都是它們的周期，最小正周期2π.正余弦函數(shù)的周期性解：(1)因?yàn)?sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函數(shù)的定義知，y＝3sinx的周期為2π.解:解:拓展1：y＝|cosx|，x∈R.y＝|cosx|的圖象如圖(實(shí)線部分)所示.由圖象可知，y＝|cosx|的周期為π.求三角函數(shù)周期的方法(1)定義法：利用周期函數(shù)的定義求解.(2)公式法：對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，T＝(3)圖象法：畫出函數(shù)圖象，通過圖象直接觀察即可.跟蹤訓(xùn)練1求下列三角函數(shù)的最小正周期：(1)y＝|sinx|；(2)y＝cosπx；由f(x)＝|sinx|，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，得y＝|sinx|的最小正周期為π(或通過圖象判斷).二正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性問題2

繼續(xù)回顧正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，你還能發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？提示

正弦函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，余弦函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.正弦函數(shù)是

，余弦函數(shù)是

.奇函數(shù)偶函數(shù)例2判斷下列函數(shù)的奇偶性：因?yàn)?x∈R，都有－x∈R，(2)f(x)＝|sinx|＋cosx；函數(shù)f(x)＝|sinx|＋cosx的定義域?yàn)镽，因?yàn)?x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝|sinx|＋cosx是偶函數(shù).因?yàn)?x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sinx＝－f(x)，判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好的兩個方面：一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；二看f(x)與f(－x)的關(guān)系.(2)對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡后再判斷.提醒：研究函數(shù)性質(zhì)應(yīng)遵循“定義域優(yōu)先”的原則.跟蹤訓(xùn)練2判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝sinxcosx；函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱.∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，∴f(x)＝sinxcosx為奇函數(shù).∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x