2.5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊目錄索引

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解復(fù)合函數(shù)的概念.2.理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,并能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

復(fù)合函數(shù)的概念一般地,對于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果給定x的一個(gè)值,就得到了u的值,進(jìn)而確定了y的值,那么y可以表示成x的函數(shù),稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)的復(fù)合函數(shù),記作

,其中u為

.

y=f(φ(x))中間變量

思考辨析函數(shù)y=log2(x+1)是復(fù)合函數(shù)嗎?是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的?提示

是,函數(shù)y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)√√×2.函數(shù)y=sin(2x-1)如果看成復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x)),下列式子正確的是(

)A.φ(x)=2x

B.φ(x)=sinxC.φ(x)=2x-1 D.φ(x)=sin(2x-1)C解析

y=sin(2x-1)是由函數(shù)y=sin

u和u=2x-1復(fù)合而成,可見φ(x)=2x-1.知識(shí)點(diǎn)2

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x))對x的導(dǎo)數(shù)為y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x).名師點(diǎn)睛求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需處理好以下環(huán)節(jié):(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本初等函數(shù)結(jié)構(gòu);(2)關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次;(3)一般是從最外層開始,由外及里,一層層地求導(dǎo);(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體;(5)最后要把中間變量換成關(guān)于自變量的函數(shù).過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)函數(shù)y=e-x的導(dǎo)數(shù)為y'=e-x.(

)(2)函數(shù)f(x)=sin4x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=cos4x.(

)(3)已知f(x)=ln(2x+1),則f'(x)=.

(

)××√2.函數(shù)y=(2025-8x)3的導(dǎo)數(shù)y'等于(

)A.3(2025-8x)2B.-24xC.-24(2025-8x)2D.24(2025-8x)2C解析

y'=3(2

025-8x)2×(2

025-8x)'=3(2

025-8x)2×(-8)=-24(2

025-8x)2.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x-);(3)y=ln(4x-1);(4)y=.分析先分析每個(gè)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,再按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).解

(1)設(shè)y=u2,u=4-3x,則yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即y'=18x-24.規(guī)律方法

1.解答此類問題常犯兩個(gè)錯(cuò)誤:(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù);(2)若是復(fù)合函數(shù),不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成.2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟:變式訓(xùn)練1[人教B版教材例題]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)h(x)=e5x-1;(2)f(x)=ln(2x+1);解

(1)h(x)=e5x-1可以看成f(u)=eu與u=g(x)=5x-1的復(fù)合函數(shù),因此h'(x)=f'(u)g'(x)=(eu)'(5x-1)'=eu×5=5e5x-1.(2)f(x)=ln(2x+1)可以看成h(u)=ln

u與u=g(x)=2x+1的復(fù)合函數(shù),因此探究點(diǎn)二復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用【例2】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).規(guī)律方法

此類問題出錯(cuò)的主要原因一般有兩個(gè):一是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式記憶有誤;二是求導(dǎo)法則掌握不到位,尤其是對于積與商的求導(dǎo)法則中的符號(hào)混淆.對于復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo),一般遵循先化簡再求導(dǎo)的原則,但要注意化簡過程中變換的等價(jià)性.變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(2x-1)3;(2)y=sin2x+cos2x;(3)y=(ln

x)2.解

(1)設(shè)y=u3,u=2x-1,則yu'=3u2,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=6(2x-1)2,即y'=6(2x-1)2.(2)y'=(sin

2x)'+(cos

2x)'=2cos

2x-2sin

2x.探究點(diǎn)三與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的切線問題【例3】

(1)曲線y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是(

)A(2)設(shè)曲線y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直,則a=

.

2解析

令y=f(x),則曲線y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為f'(0),又因?yàn)榍芯€與直線x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因?yàn)閒(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.變式探究將本例(2)中的問題改為“求曲線y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積”.解

由題意可知,切線方程為y-1=2x,即2x-y+1=0.令x=0得y=1;規(guī)律方法

導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的解題策略本題正確地求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是前提,審題時(shí)應(yīng)注意所給點(diǎn)是不是切點(diǎn),挖掘題目隱含條件,求出參數(shù).解決已知經(jīng)過一定點(diǎn)的切線問題,尋求切點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用.(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.2.方法歸納:復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):不能正確地區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù).學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級必備知識(shí)基礎(chǔ)練181920D12345678910111213141516171819202.[探究點(diǎn)二]若f(x)=e2xln2x,則f'(x)等于(

)C12345678910111213141516171819203.[探究點(diǎn)二]若函數(shù)f(x)=x(1-ax)2(a>0),且f'(2)=5,則a等于(

)A.1 B.-1 C.2 D.-2A解析

f'(x)=(1-ax)2-2ax(1-ax),則f'(2)=12a2-8a+1=5(a>0),解得a=1.1234567891011121314151617181920C解析

因?yàn)閥=sin2x,所以y'=2sin

x(sin

x)'=2sin

x·cos

x=sin

2x,12345678910111213141516171819205.[探究點(diǎn)三]函數(shù)y=e2x-4的圖象在點(diǎn)(2,1)處的切線方程為(

)A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0A解析

y'=2e2x-4,則當(dāng)x=2時(shí),y'=2e0=2,∴所求切線的斜率為2.又切點(diǎn)為(2,1),∴切線方程為y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.12345678910111213141516171819206.[探究點(diǎn)一]質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(t)=(2t+1)2做直線運(yùn)動(dòng)(位移s(t)的單位:m,時(shí)間t的單位:s),則質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為

m/s.

20解析

∵s(t)=(2t+1)2,∴s'(t)=2(2t+1)×2=8t+4,則質(zhì)點(diǎn)在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為s'(2)=8×2+4=20(m/s).12345678910111213141516171819207.[探究點(diǎn)三]設(shè)曲線f(x)=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線y=x平行,則a=

.

112345678910111213141516171819208.[探究點(diǎn)二]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(2x-1)4;(2)y=e-x·sin2x;解

(1)y'=4(2x-1)3·(2x-1)'=8(2x-1)3.(2)y'=(e-x)'sin

2x+e-x·(sin

2x)'=-e-xsin

2x+2e-xcos

2x.1234567891011121314151617181920B級關(guān)鍵能力提升練9.設(shè)f(x)=ln(2x-1),若f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)=1,則x0的值為(

)B1234567891011121314151617181920C123456789101112131415161718192011.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,設(shè)g(x)=e-x·f(x),若函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)的圖象如圖所示,則(

)A.a<b,b<c B.a>b,b>cC.>1,b=c D.<1,b=cD123456789101112131415161718192012.設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=ex+ae-x的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),且f'(x)是奇函數(shù).若曲線y=f(x)的一條切線的斜率是,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(

)A解析

對f(x)=ex+ae-x求導(dǎo)得f'(x)=ex-ae-x,定義域?yàn)镽,又f'(x)是奇函數(shù),故f'(0)=1-a=0,解得a=1,故有f'(x)=ex-e-x,故選A.123456789101112131415161718192013.(多選題)若直線y=x+b(b∈R)是曲線

y=f(x)的切線,則曲線y=f(x)可以是(

)A.f(x)=x3+2x2+8 B.f(x)=tanxC.f(x)=xex

D.f(x)=AC1234567891011121314151617181920對于選項(xiàng)C,由f(x)=xex可得f'(x)=ex+xex=ex(x+1),令f'(x)=ex(x+1)=,即2x+2=e-x,作出y=2x+2和y=e-x的圖象如圖所示,故選AC.1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192014.(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+φ)(-π<φ<π).若f(x)+f'(x)是偶函數(shù),則φ=(

)AB123456789101112131415161718192015.設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f(lnx)=2x-lnx,則f'(1)=

.

2e-1解析

因?yàn)閒(ln

x)=2x-ln

x,令t=ln

x,則x=et,所以f(t)=2et-t,即f(x)=2ex-x,所以f'(x)=2ex-1,因此f'(1)=2e-1.123456789101112131415161718192016.

已知函數(shù)f(x)=asinx+b(ex-e-x)+1