4.1數(shù)列的概念（第1課時數(shù)列的概念與簡單表示）課件高二數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第四章數(shù)列4.1數(shù)列的概念第1課時數(shù)列的概念與簡單表示人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類.3.理解數(shù)列的函數(shù)特征,掌握判斷數(shù)列單調(diào)性的方法.4.掌握數(shù)列通項公式的概念及其應(yīng)用,能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1

數(shù)列1.定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.2.項:數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項,常用符號a1表示,第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項,用a2表示……第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項,用an表示.其中第1項也叫做

.

數(shù)列中的數(shù)不能變換位置

n為正整數(shù)

3.表示:數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.首項

名師點(diǎn)睛1.數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù),有序性是數(shù)列的基本屬性.數(shù)相同而順序不同的兩個數(shù)列是不相同的數(shù)列,例如1,2,3,…與3,2,1…就是不同的數(shù)列.2.符號{an}和an是不同的概念,{an}表示一個數(shù)列,而an表示數(shù)列中的第n項.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)0,0,0,6不是一個數(shù)列.(

)(2)數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列.(

)2.數(shù)列與集合之間有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系?××提示

(1)集合中的元素具有確定性、無序性、互異性,而數(shù)列中的項具有確定性、有序性、可重復(fù)性;(2)集合中的元素可以是數(shù),也可以是點(diǎn)、方程以及其他事物等,但數(shù)列中的每一項必須是數(shù);(3)數(shù)列{an}不是集合,它是數(shù)列的一個整體符號,{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示數(shù)列的第n項.3.[人教B版教材習(xí)題]已知數(shù)列{an}為2,4,8,16,…,寫出a1,a2,a3.解

a1=2,a2=4,a3=8.知識點(diǎn)2

數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù),關(guān)系如下表:定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})對應(yīng)關(guān)系自變量是序號n,對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an,記為an=f(n)值域自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的函數(shù)值構(gòu)成過關(guān)自診1.數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)?2.在1984年到2016年的9屆夏季奧運(yùn)會上,我國獲得的金牌數(shù)依次排成數(shù)列:15,5,16,16,28,32,51,38,26.試畫出該數(shù)列的圖象.提示

是一系列孤立的點(diǎn).解

該數(shù)列的圖象如圖所示.知識點(diǎn)3

數(shù)列的分類

分類依據(jù)類型含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)

的數(shù)列

無窮數(shù)列項數(shù)

的數(shù)列

按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起,每一項都

它的前一項的數(shù)列

an+1>an遞減數(shù)列從第2項起,每一項都

它的前一項的數(shù)列

an+1<an常數(shù)列各項都

的數(shù)列

擺動數(shù)列從第2項起,有些項

它的前一項,有些項

它的前一項的數(shù)列

有限

無限大于小于相等大于小于過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)如果一個數(shù)列不是遞增數(shù)列,那么它一定是遞減數(shù)列.(

)(2)數(shù)列0,1,2,3,4,5是有窮數(shù)列.(

)(3)常數(shù)列中的項不能為0.(

)2.若無窮數(shù)列{an}滿足a1<a2<a3,則數(shù)列一定是遞增數(shù)列嗎?×√×提示

不一定,因?yàn)橹挥胁糠猪棟M足遞增數(shù)列的大小關(guān)系,不能確定數(shù)列一定是遞增數(shù)列.知識點(diǎn)4

數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的

.

名師點(diǎn)睛1.并不是所有的數(shù)列都有通項公式.2.同一數(shù)列的通項公式,其表達(dá)形式可以是不唯一的,例如數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,…的通項公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos

nπ等.通項公式

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)所有的數(shù)列都有通項公式.(

)(2)數(shù)列1,3,5,7,…的第10項是21.(

)(3)數(shù)列的通項公式實(shí)際上是一個以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})為定義域的函數(shù)解析式.(

)(4)數(shù)列0,1,2,3,…的通項公式可表示為an=n-1,n∈N*.(

)××√√2.[北師大版教材習(xí)題]已知數(shù)列{an}的通項公式為an=25-2n,在下列各數(shù)中,不是數(shù)列{an}的項的是(

)A.1 B.-1 C.2 D.3C解析

因?yàn)?n是偶數(shù),所以25-2n為奇數(shù),故2不是數(shù)列{an}的項.重難探究·能力素養(yǎng)全提升重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一數(shù)列的概念及分類【例1】

給出下列說法:①數(shù)列中的項數(shù)一定是無限的;②數(shù)列1,3,2,6,3,9,…是遞增的無窮數(shù)列;其中正確說法的序號是

.

分析

根據(jù)數(shù)列的定義、分類進(jìn)行判斷.③

解析

對于①,錯誤,數(shù)列中的項數(shù)可以是有限的或無限的;對于②,錯誤,該數(shù)列是無窮數(shù)列,但不是遞增數(shù)列;對于③,正確.規(guī)律方法

數(shù)列類型的判斷在判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn).是遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列要從項的變化趨勢來分析;而是有窮還是無窮數(shù)列則看項的個數(shù)是有限個還是無限個.變式訓(xùn)練1下列數(shù)列既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是(

)B解析

A,B,C中的數(shù)列都是無窮數(shù)列,A,C中的數(shù)列都是遞減數(shù)列,雖然D中的數(shù)列是遞增數(shù)列,但是該數(shù)列只有四項,是一個有窮數(shù)列,故只有B中的數(shù)列既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列.探究點(diǎn)二根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式【例2】

寫出下列數(shù)列的一個通項公式:分析

觀察、分析項的特征,尋找數(shù)列的每一項與其所在項的序號之間的關(guān)系.解

數(shù)列的項有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察,(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9999,…;解

數(shù)列各項的絕對值分別為1,3,5,7,9,…,是連續(xù)的正奇數(shù),其通項公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號的作用,所以數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n+1(2n-1).解

各項加1后,分別變?yōu)?0,100,1

000,10

000,…,此數(shù)列的一個通項公式為10n,可得原數(shù)列的一個通項公式為an=10n-1.解

數(shù)列中每一項均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,其通項公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個自然數(shù),其通項公式為n,綜合得原數(shù)列的一個通解

這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項為負(fù),偶數(shù)項為正,所以它的一個通項公式是(6)4,0,4,0,4,0,….解

由于該數(shù)列中,奇數(shù)項全部都是4,偶數(shù)項全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項公式,又因?yàn)閿?shù)列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通項公式又可表示為an=2+2×(-1)n+1.規(guī)律方法

用觀察法求數(shù)列的通項公式的一般規(guī)律(1)一般數(shù)列通項公式的求法(2)對于符號交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對值,再用(-1)k處理符號問題.(3)對于周期出現(xiàn)的數(shù)列,可考慮拆成幾個簡單數(shù)列和的形式,或者利用周期函數(shù),如三角函數(shù)等.變式訓(xùn)練2寫出下列數(shù)列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數(shù):(2)an=2n+1.探究點(diǎn)三數(shù)列通項公式的應(yīng)用分析

數(shù)列的前3項已知,由此代入通項公式,可得到關(guān)于a,b,c的方程組,解方程組即得a,b,c的值,從而求出數(shù)列的通項公式,再求a4,a5;令an=,解關(guān)于n的方程,可判斷

是不是數(shù)列中的項.規(guī)律方法

1.利用數(shù)列的通項公式求某項的方法數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系,只要用序號代替公式中的n,就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項.2.判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法先假定它是數(shù)列中的第n項,然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù),則是數(shù)列中的項;若方程無解或解不是正整數(shù),則不是該數(shù)列中的項.變式訓(xùn)練3在數(shù)列{an}中,a1=2,a17=66,an是n的一次函數(shù).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)判斷88是不是數(shù)列{an}中的項.(2)令an=88,即4n-2=88,解得n=22.5?N*,∴88不是數(shù)列{an}中的項.探究點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性及其應(yīng)用角度1.數(shù)列單調(diào)性判斷【例4】

已知數(shù)列{an}的通項公式an=

(k∈R).(1)當(dāng)k=1時,判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性;(2)若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.分析

(1)由于數(shù)列的通項公式已知,因此可以通過比較數(shù)列的相鄰兩項an與an+1的大小來確定數(shù)列的單調(diào)性;(2)可根據(jù)數(shù)列是遞減數(shù)列,得出an與an+1的大小關(guān)系,從而確定k的取值范圍.規(guī)律方法

判斷數(shù)列的單調(diào)性,一般是將其轉(zhuǎn)化為比較相鄰兩項的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判斷數(shù)列單調(diào)性的步驟為先作差,再變形、定號,最后下結(jié)論.作商法適用于各項都是同號的數(shù)列,且應(yīng)比較比值與1的大小關(guān)系.變式訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=,設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=f(n),其中n∈N*.(1)求證:0≤an<1;(2)判斷{an}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列,并說明理由.角度2.利用數(shù)列單調(diào)性求數(shù)列最大(小)項【例5】

(1)已知數(shù)列{an}滿足an=n2-5n-6,n∈N*.①數(shù)列中有哪些項是負(fù)數(shù)?②當(dāng)n為何值時,an取得最小值?求出此最小值.分析①根據(jù)數(shù)列的函數(shù)的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.解

①an=n2-5n-6<0,n>0,解得0<n<6.∵n∈N*,∴數(shù)列中第1,2,3,4,5項為負(fù)數(shù),即-10,-12,-12,-10,-6.(2)已知數(shù)列{an}的通項公式an=(n+1)(n∈N*),試問數(shù)列{an}有沒有最大項?若有,求出最大項和最大項的項數(shù);若沒有,請說明理由.時,an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n=9時,an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n>9時,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴數(shù)列中有最大項,最大項為規(guī)律方法

求數(shù)列的最大(小)項的兩種方法(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),如單調(diào)性、最大值、最小值等,此時要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2,…,n}這一條件.變式訓(xùn)練5已知數(shù)列{an}的通項公式為an=-3n2+88n,則數(shù)列{an}各項中最大項是(

)A.第13項 B.第14項

C.第15項 D.第16項C解析

根據(jù)題意,數(shù)列{an}的通項公式為an=-3n2+88n,則an-1=-3(n-1)2+88(n-1)=-3n2+94n-91,則an-an-1=(-3n2+88n)-(-3n2+94n-91)=-6n+91.當(dāng)1<n≤15時,an-an-1>0,即an>an-1,當(dāng)n≥16時,an-an-1<0,即an<an-1,又a1=85<a15,故數(shù)列{an}各項中最大項是第15項.故選C.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)數(shù)列的概念與分類.(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的通項公式.(3)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.(4)數(shù)列通項公式的應(yīng)用.2.方法歸納:觀察法、歸納法、猜想法.3.常見誤區(qū):(1)歸納法求數(shù)列的通項公式時歸納不夠全面;(2)不注意用(-1)n進(jìn)行調(diào)節(jié),不注意分子、分母間的聯(lián)系;(3)分不清數(shù)列與集合,數(shù)列與函數(shù)之間的不同點(diǎn).重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測12345678910111213141516A級必備知識基礎(chǔ)練1718192021B123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021A.70 B.28

C.20

D.8C1234567891011121314151617181920214.[探究點(diǎn)三]數(shù)列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),…的第2n項為(

)A.6n-1 B.-6n+1 C.6n+2 D.-6n-2B解析

由數(shù)列可知奇數(shù)項為正數(shù),偶數(shù)項為負(fù)數(shù),即可表示為(-1)n-1,又首項為2,故數(shù)列的通項公式為an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n項為a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.1234567891011121314151617181920215.[探究點(diǎn)二·2023陜西西安檢測]數(shù)列-2,4,-6,8,…的通項公式可能為(

)A.an=(-1)n+12n B.an=(-1)n2nC.an=(-1)n+12n

D.an=(-1)n2nB解析

數(shù)列-2,4,-6,8,…的奇數(shù)項為負(fù),偶數(shù)項為正,且均為2的倍數(shù),故an=(-1)n2n.故選B.123456789101112131415161718192021AB1234567891011121314151617181920217.[探究點(diǎn)一](多選題)下面四個數(shù)列中,既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是(

)CD解析

選項C,D既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列.1234567891011121314151617181920218.[探究點(diǎn)四(角度2)]已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2021-3n,則使an>0成立的正整數(shù)n的最大值為

.

673又因?yàn)閚∈N*,所以正整數(shù)n的最大值為673.1234567891011121314151617181920219.[探究點(diǎn)三]已知數(shù)列{an}的通項公式,寫出這個數(shù)列的前5項,并作出它的圖象:(1)an=2;123456789101112131415161718192021解

列表法給出這兩個數(shù)列的前5項:n12345an22222bn1-43-165它們的圖象分別為

12345678910111213141516171819202110.[探究點(diǎn)二]寫出以下各數(shù)列的一個通項公式.(2)an=11-n;(3)an=n2+1;12345678910111213141516171819202111.[探究點(diǎn)三]已知數(shù)列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是該數(shù)列中的項?若是,是第幾項?(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是該數(shù)列中的項,并且是第16項.B級關(guān)鍵能力提升練123456789101112131415161718192021C12345678910111213141516171819202113.若數(shù)列{an}的通項公式為an=-2n2+25n,則數(shù)列{an}的各項中最大項是(

)A.第4項 B.第5項 C.第6項

D.第7項C12345678910111213141516171819202114.(多選題)已知數(shù)列{an}的前4項依次為2,0,2,0,則數(shù)列{an}的通項公式可以是(

)ABC123456789101112131415161718192021∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正確;∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正確;故選ABC.123456789101112131415161718192021A12345678910111213141516171819202116.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=,若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

.

(0,+∞)12345678910111213141516171819202117.函數(shù)f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值記為an,設(shè)bn=f(an),則數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別是an=

,bn=

.

n-1n2-3n+3

解析

當(dāng)x=1時,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,即an=n-1;將x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.123456789101112131415161718192021(1)0和1是不是數(shù)列{an}中的項?如果是,那么是第幾項