中考銜接點9　等邊三角形與含30°角的直角三角形的性質(zhì)

中考銜接點9等邊三角形與含30°角的直角三角形的性質(zhì)中考早知道：等邊三角形結合平行線求角度或利用等邊三角形的性質(zhì)和判定進行相

關計算，含30°角的直角三角形的性質(zhì)的應用.

(2023駐馬店期末)如圖，直線

a

∥

b

，等邊三角形

ABC

的頂點

C

在直線

b

上，∠2＝40°，則∠1的度數(shù)為(

A

)母題1圖A.

80°B.

70°C.

60°D.

50°A子題1.1(2023鄭州期末)如圖，△

ABC

是等邊三角形，

AD

⊥

BC

于點

D

，點

E

在

AC

上，且

AE

＝

AD

，則∠

DEC

的度數(shù)為(

A

)子題1.1圖A.

105°B.

95°C.

85°D.

75°A

如圖，等邊三角形紙片

ABC

的邊長為6，

E

，

F

是邊

BC

上的三等分點.分別

過點

E

，

F

沿著平行于

BA

，

CA

方向各剪一刀，則剪下的△

DEF

的周長是

?.母題2圖6

解析：∵等邊三角形紙片

ABC

的邊長為6，

E

，

F

是邊

BC

上的三等分點，∴

EF

＝

2.∵△

ABC

是等邊三角形，∴∠

B

＝∠

C

＝60°.又∵

DE

∥

AB

，

DF

∥

AC

，∴∠

DEF

＝∠

B

＝60°.∠

DFE

＝∠

C

＝60°，∴△

DEF

是等邊三角形，∴剪下的△

DEF

的周

長是2×3＝6.子題2.1如圖，在一個池塘兩旁有一條筆直小路(

B

，

C

為小路端點)和一棵小樹(

A

為

小樹位置).測得的相關數(shù)據(jù)為∠

ABC

＝60°，∠

ACB

＝60°，

BC

＝48米，則

AC

＝

米.子題2.1圖48

子題2.2如圖，兩塊完全一樣的含30°角的直角三角板，將它們重疊在一起并繞其較

長直角邊的中點

M

轉動，使上面一塊三角板的斜邊剛好過下面一塊三角板的直角

頂點

C

.

已知

AC

＝4，則這兩塊直角三角板頂點

A

，

A

'之間的距離為

?.子題2.2圖2

解析：如圖，連接AA'.

創(chuàng)設情境

(教材P81例5改編)如圖，廠房屋頂鋼架外框是等腰三角形，∠

BAC

＝120°，點

E

是斜梁

AB

的中點，立柱

AD

，

EF

，

GH

垂直于橫梁

BC

，

AB

＝8

m，則

EF

的長為(

C

)母題3圖A.

8

mB.

4

mC.

2

mD.

6

mC子題3.1(2024商丘期末)如圖，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

B

＝30°，邊

AB

的垂直平

分線

DE

交

AB

于點

E

，交

BC

于點

D

，連接

AD

，若

CD

＝5，則

BC

的長為(

B

)子題3.1圖A.

18B.

15C.

12D.

10解析：∵

DE

是邊

AB

的垂直平分線，∴

AD

＝

BD

，∴∠

B

＝∠

DAB

.

∵∠

B

＝

30°，∠

C

＝90°，∴∠

CAB

＝60°，∠

DAB

＝∠

B

＝30°，∴∠

CAD

＝60°－30°＝

30°，∴

AD

＝2

CD

＝

BD

.

∵

CD

＝5，∴

BD

＝10，∴

BC

＝10＋5＝15.B

(教材P83習題T12改編)(1)如圖1，△

ABD

和△

AEC

都是等邊三角形，求證：

BE

＝

DC

；

(2)如圖2，已知點

F

在直線

BC

上，∠

ABC

＝60°，以

AF

為邊作等邊三角形

AEF

，

連接

BE

，求證：

AB

＋

BF

＝

BE

.

5.

情景應用圖1中所示的遮陽傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如圖2.當傘收緊

時，點

P

與點

A

重合；當傘慢慢撐開時，動點

P

由點

A

向點

B

移動；當點

P

到達點

B

時，傘張得最開.已知傘在撐開的過程中，總有

PM

＝

PN

，

CM

＝

CN

.

(1)求證：

PC

垂直平分

MN

；

(2)若

CN

＝

PN

＝60

cm，當∠

CPN

＝60°時，求

AP

的長.解：(2)∵

CN

＝

PN

＝60

cm，當傘收緊時，點

P

與點

A

重合，∴

AC

＝

CN

＋

PN

＝12