2.5.1直線與圓的位置關(guān)系（第2課時直線與圓的方程的應(yīng)用）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程2.5.1直線與圓的位置關(guān)系第2課時直線與圓的方程的應(yīng)用自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)直線與圓的方程的應(yīng)用1.用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”第一步:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素,如點、直線、圓,把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步:通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題;第三步:把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.2.一輛卡車寬2.7米,要經(jīng)過一個半徑為4.5米的半圓形隧道(雙車道,不得違章),則這輛卡車的平頂車篷篷頂距離地面的高度不得超過(

)A.1.4米 B.3.0米

C.3.6米 D.4.5米解析:根據(jù)題意,畫出示意圖,如圖所示.答案:C合作探究釋疑解惑探究一直線與圓的方程的實際應(yīng)用【例1】

已知臺風(fēng)中心從A地以20千米/時的速度向東北方向移動,離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A的正東40千米處,求B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間.分析:將實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為直線與圓相交求弦長問題.解:以A為原點,AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.射線AC為∠xAy的角平分線,則臺風(fēng)中心沿射線AC方向移動.反思感悟

1.解決直線與圓的方程的實際應(yīng)用題的步驟:2.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循的三個原則:(1)若曲線是軸對稱圖形,則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸.(2)常選特殊點作為直角坐標(biāo)系的原點.(3)盡量使更多的已知點位于坐標(biāo)軸上.【變式訓(xùn)練1】

有一種大型商品,A,B兩地均有出售且價格相同,某地居民從兩地之一購得商品運回來,每千米的運費A地是B地的兩倍.如果A,B兩地相距10km,顧客選擇A地或B地購買這種商品的運費和價格的總費用較低,那么不同地點的居民應(yīng)如何選擇購買此商品的地點?解:以線段AB的中點為原點,AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(-5,0),則B(5,0).在坐標(biāo)平面內(nèi)任取一點P(x,y),設(shè)從A地運貨到P地的運費為2a元/km,則從B地運貨到P地的運費為a元/km.若P地居民去A地購買此商品的總費用較低,即P地居民去A地購買的運費較低,也就是說,圓C內(nèi)的居民應(yīng)選擇去A地購物,總費用較低.同理可推得圓C外的居民應(yīng)選擇去B地購物,總費用較低.圓C上的居民可任意選擇A,B兩地之一購物.探究二與圓有關(guān)的最值問題【例2】

已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.分析:本題可將

和y-x轉(zhuǎn)化成與直線斜率、截距有關(guān)的問題,x2+y2可看成是點(x,y)與點(0,0)間的距離的平方,然后結(jié)合圖形求解.解:方程x2+y2-4x+1=0可化為(x-2)2+y2=3,(2)設(shè)y-x=b,則y=x+b表示經(jīng)過圓上一點(x,y),斜率為1,在y軸上的截距為b的直線.當(dāng)直線與圓相切時,b取得最大、最小值.(3)x2+y2表示圓上一點與原點的距離的平方,由平面幾何知識知,在原點和圓心的連線與圓的兩個交點處,圓上的點與原點的距離取得最大值和最小值.若把例2中實數(shù)x,y滿足的方程改為“(x-3)2+(y-3)2=6”,則

的最大值與最小值分別為

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解析:設(shè)P(x,y),則點P的軌跡就是已知圓C:(x-3)2+(y-3)2=6.反思感悟

求與圓上的點的坐標(biāo)有關(guān)的最值問題時,常常根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征,尋找它的幾何意義,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成與圓的性質(zhì)有關(guān)的問題解決,其中構(gòu)造斜率、截距、距離是最常用的方法.【變式訓(xùn)練2】

圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差是

.

解析:圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y-2)2=18.探究三過直線與圓的交點的圓系方程【例3】

求過直線2x+y+4=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點,且面積最小的圓的方程.分析:本題求面積最小的圓即求以兩交點間的距離為直徑的圓,可由過圓與直線交點的圓系方程求解.解:設(shè)過圓x2+y2+2x-4y+1=0與直線2x+y+4=0的交點的圓系方程為x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,其中λ∈R.整理得x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0.要使圓的面積最小,只需半徑r最小.反思感悟

解答此類問題一般有如下兩種方法:(1)聯(lián)立方程組,求出交點坐標(biāo),再根據(jù)交點坐標(biāo)求方程.(2)設(shè)圓系方程確定參數(shù),一般地,過直線l:Ax+By+C=0與圓O:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的交點的圓系方程可設(shè)為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,注意系數(shù)λ一定要寫在直線方程之前.【變式訓(xùn)練3】

一圓過圓x2+y2-2x=0與直線x+2y-3=0的交點,且圓心在y軸上,則這個圓的方程是

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解析:設(shè)所求圓的方程為x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0,λ∈R,即x2+y2+(λ-2)x+2λy-3λ=0.故圓的方程為x2+y2+4y-6=0.答案:x2+y2+4y-6=0探究四由直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程【例4】

設(shè)圓上的點A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對稱點仍在圓上,且直線x-y+1=0被圓截得的弦長為2,求圓的方程.分析:由對稱點在圓上,可得圓心與直線的關(guān)系,再由弦長得到方程組,即可求解.解:設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由題意知,直線x+2y=0過圓心,故a+2b=0.①∵點A在圓上,∴(2-a)2+(3-b)2=r2.②故所求圓的方程為(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.反思感悟

圓上的點關(guān)于直線的對稱點仍在圓上,說明直線一定經(jīng)過圓心.【變式訓(xùn)練4】

已知圓C和y軸相切,圓心在直線x-3y=0上,且直線y=x被圓C截得的弦長為2,則圓C的方程為

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解析:設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m,m).∵圓C和y軸