考研數(shù)學二分類模擬202

考研數(shù)學二分類模擬202一、選擇題1.

設函數(shù)f(x)連續(xù)，則在下列變上限積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]方法一：取f(x)=x，則相應地，

均為奇函數(shù)。故選B。

方法二：易知f(t)+f(-t)為偶函數(shù)，t為奇函數(shù)，故t[f(t)+f(-t)]為奇函數(shù)，由函數(shù)及其導函數(shù)奇偶性的關系可知，其原函數(shù)必為偶函數(shù)。

同理可知，選項A、C為奇函數(shù)，選項D無法判斷。故選B。

2.

設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1，3]上的圖形如圖所示，則函數(shù)的圖形為______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]觀察被積函數(shù)f(x)的圖像可知：

在區(qū)間[-1，3]上，f(x)只有兩個跳躍間斷點，所以f(x)可積，則連續(xù)，據(jù)此可排除選項B。

注意到在區(qū)間[-1，0)上，f(x)=1，故當-1＜x＜0時，據(jù)此可排除選項A、C。

綜上所述，故選D。

3.

設函數(shù)

若反常積分收斂，則______A.α＜-2B.α＞2C.-2＜α＜0D.0＜α＜2正確答案：D[解析]根據(jù)反常積分的收斂性判斷，將已知積分分解為

其中

當且僅當α-1＜1時才收斂；

當且僅當α＞0時才收斂。

從而僅當0＜α＜2時，反常積分才收斂。故選D。

當廣義積分有多個瑕點時，則需要將廣義積分的積分區(qū)間拆開，保證每個區(qū)間上只有一個瑕點，此時整個廣義積分收斂當且僅當每一個積分均收斂。

4.

反常積分的斂散性為______A.①發(fā)散，②收斂B.①收斂，②發(fā)散C.①收斂，②收斂D.①發(fā)散，②發(fā)散正確答案：B[解析]故①收斂；

故②發(fā)散。

故選B。

5.

曲線y=e-xsinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成圖形的面積可表示為______

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]當0≤x≤π或2π≤x≤3π時y≥0，當π≤x≤2π時y≤0。所以y=e-xsinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成圖形的面積為

故選C。

6.

曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸所圍成的平面圖形的面積可表示為______

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]由于所求平面圖形在x軸上、下方各有一部分，其面積為這兩部分的面積之和，所以只要考查B、C選項中的每一部分是否均為正即可，顯然C正確。事實上，有

故選C。

二、填空題1.

正確答案：[解析]

2.

正確答案：1[解析]

3.

正確答案：[解析]

4.

正確答案：[解析]令x=sint，則有

5.

正確答案：[解析]令則有

6.

正確答案：[考點]本題主要考查的是湊微分法和牛頓-萊布尼茨公式。[解析]

7.

正確答案：ln2[解析]

8.

設函數(shù)且λ＞0，則正確答案：[解析]已知x≤0時，函數(shù)f(x)的值恒為0，因此可得

9.

已知則k=______。正確答案：-2[解析]題干要求極限存在，所以k＜0。那么所以k=-2。

10.

由曲線和直線y=x及y=4x在第一象限中圍成的平面圖形的面積為______。正確答案：4ln2[解析]先畫圖，作出y=4x與的交點(1，4)，直線y=x與的交點(2，2)，由圖可知，面積S分兩塊(如圖)。

三、解答題1.

設f(x)在[0，a]上有一階連續(xù)導數(shù)，證明至少存在一點ξ∈[0，a]，使得

正確答案：證明：由已知

因為f'(x)連續(xù)，所以f'(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，則

m(a-x)≤(a-x)f'(x)≤M(a-x)，

故則再由介值定理可知，至少存在一點ξ∈[0，a]，使得

于是

2.

設f(x)在區(qū)間[a，b]上可導，且滿足證明至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=f(ξ)·tanξ。正確答案：證明：由f(x)在區(qū)間[a，b]上可導，知f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，從而F(x)=f(x)·cosx在上連續(xù)，由積分中值定理，知存在一點使得

在[c，b]上，由羅爾定理得至少存在一點ξ∈(c，b)(a，b)，使

F'(ξ)=f'(ξ)cosξ-f(ξ)sinξ=0，

即得f'(ξ)=f(ξ)tanξ，ξ∈(a，b)。

3.

證明：(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則至少存在一點η∈[a，b]，使得

(Ⅱ)若函數(shù)φ(x)具有二階導數(shù)，且滿足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞則至少存在一點ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0。正確答案：證明：(Ⅰ)設M與m是連續(xù)函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值與最小值，即

m≤f(x)≤M，x∈[a，b]。

根據(jù)定積分性質(zhì)，有

根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，至少存在一點η∈[a，b]，使得

即有

(Ⅱ)由(Ⅰ)的結(jié)論可知至少存在一點η∈[2，3]，使

又由知2＜η≤3。

對φ(x)在[1，2]，[2，η]上分別應用拉格朗日中值定理，并結(jié)合φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)得

在[ξ1，ξ2]上對導函數(shù)φ'(x)應用拉格朗日中值定理，有

4.

設y=f(x)是區(qū)間[0，1]上的任一非負連續(xù)函數(shù)。

(Ⅰ)試證存在x0∈(0，1)，使得在區(qū)間[0，x0]上以f(x0)為高的矩形面積等于在區(qū)間[x0，1]上以y=f(x)為曲邊的梯形面積；

(Ⅱ)又設f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導，且證明(Ⅰ)中的x0是唯一的。正確答案：證明：(Ⅰ)本題可轉(zhuǎn)化為證明則φ(x)在閉區(qū)間[0，1]上是連續(xù)的，在開區(qū)間(0，1)上是可導的，又因為φ(0)=φ(1)=0，根據(jù)羅爾定理可知，存在一點x0∈(0，1)，使得φ'(x0)=0，即

也就是

(Ⅱ)令有

F'(x)=xf'(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf'(x)＞0，

即F(x)在(0，1)內(nèi)是嚴格單調(diào)遞增的，因此(Ⅰ)中的點x0是唯一的。

5.

設f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，且滿足

證明正確答案：證明：令F(x)=f(x)=g(x)，由題設G(x)≥0，x∈[a，b]，且

G(a)=G(b)=0，G'(x)=F(x)。

從而

由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有因此可得

6.

設f(x)，g(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，且f(0)=0，f'(x)≥0，g'(x)≥0。證明對任何a∈[0，1]，有

正確答案：證明：設有

則F(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，并且

F'(x)=g(x)f'(x)-f'(x)g(1)=f'(x)[g(x)-g(1)]，

由于x∈[0，1]時，f'(x)≥0，g'(x)≥0，因此F'(x)≤0，即F(x)在[0，1]上單調(diào)遞減。

注意到

又因為

故F(1)=0。

因此x∈[0，1]時，F(xiàn)(x)≥F(1)=0，由此可得對任何a∈[0，1]，有

7.

設f(x)在[a，b]上有連續(xù)的導數(shù)，證明

正確答案：證明：可設即證

即有

事實上

故得證。

8.

設證明曲線y=f(x)在區(qū)間(ln2，+∞)上與x軸圍成的區(qū)域有面積存在，并求此面積。正確答案：解：考慮廣義積分的收斂性。

因此廣義積分收斂，即所圍成區(qū)域的面積存在。

取變換ex=sect，則x=ln(sect)，exdx=secttantdt，

9.

設求曲線y=f(x)與x軸所圍封閉圖形的面積。正確答案：解：因為t|t|為奇函數(shù)，可知其原函數(shù)

為偶函數(shù)，由f(-1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)與x軸有交點(-1，0)，(1，0)。

又由f'(x)=x|x|可知，x＜0時，f'(x)＜0，故f(x)單調(diào)減少，因此f(x)＜f(-1)=0(-1＜x≤0)。

當x＞0時，f'(x)=x|x|＞0，故f(x)單調(diào)增加，所以當x＞0時，y=f(x)與x軸有一個交點(1，0)。

綜上，y=f(x)與x軸交點僅有兩個。

所