高中數(shù)學(xué) 1.1.6棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積基礎(chǔ)鞏固試題 新人教B版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.1.6棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積基礎(chǔ)鞏固試題新人教B版必修2一、選擇題1．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是()A．32 B．16＋16eq\r(2)C．48 D．16＋32eq\r(2)[答案]B[解析]由三視圖知，四棱錐為正四棱錐，四個(gè)側(cè)面為四個(gè)全等的三角形，且三角形的高h(yuǎn)＝2eq\r(2)，S′＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)×4＝16eq\r(2)，所以表面積為S′＋4×4＝16eq\r(2)＋16.2．若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個(gè)圓錐的全面積是()A．3π B．3eq\r(3)πC．6π D．9π[答案]A[解析]設(shè)軸截面正三角形邊長為a，則面積為eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)，∴a＝2，∴母線長l＝2，底半徑r＝1，S全＝S底＋S側(cè)＝π×12＋π×1×2＝3π.3．(·甘肅天水一中高一期末測試)球的表面積與它的內(nèi)接正方體的表面積之比是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．π[答案]C[解析]設(shè)正方體的棱長為a，球半徑為R，則3a2＝4R2，∴a2＝eq\f(4,3)R2，球的表面積S1＝4πR2，正方體的表面積S2＝6a2＝6×eq\f(4,3)R2＝8R2，∴S1S2＝eq\f(π,2).4．(·河南洛陽高一期末測試)已知圓錐的表面積為12πcm2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為()A.eq\r(3)cm B．2cmC．2eq\r(3)cm D．4cm[答案]B[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πr2＋πrl＝12π,2πr＝πl(wèi)))，解得r＝2(cm)．5．將一個(gè)棱長為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了()A．6a2 B．12C．18a2 D．24a[答案]B[解析]原來正方體表面積為S1＝6a2，切割成27個(gè)全等的小正方體后，每個(gè)小正方體的棱長為eq\f(1,3)a，其表面積為6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a))2＝eq\f(2,3)a2，總表面積S2＝27×eq\f(2,3)a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.6．正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中有四個(gè)恰為正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的全面積與正四面體的全面積之比為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(6),2) D.eq\f(2\r(3),3)[答案]B[解析]設(shè)正方體的棱長為a，S正方體全＝6a2，而正四面體的棱長為eq\r(2)a，S正四面體全＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，∴eq\f(S正方體全,S正四面體全)＝eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).二、填空題7．正四棱柱的體對角線長為6，側(cè)面對角線長為3eq\r(3)，則它的側(cè)面積是________．[答案]36eq\r(2)[解析]設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，側(cè)棱長為b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝27,2a2＋b2＝36))，解得a＝3，b＝3eq\r(2)，則側(cè)面積為4ab＝36eq\r(2).8.若一個(gè)圓錐的主視圖(如圖所示)是邊長為3、3、2的三角形，則該圓錐的側(cè)面積為________．[答案]3π[解析]由主視圖知該圓錐母線長為3，底面半徑為1，則側(cè)面積為S＝π×1×3＝3π.三、解答題9．(·沈陽高一檢測)已知某幾何體的俯視圖是如圖所示矩形．主視圖是一個(gè)底邊長為8、高為4的等腰三角形，左視圖是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形．(1)判斷該幾何體形狀；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.[解析](1)這個(gè)幾何體是四棱錐．(2)作出該幾何體的直觀圖，如圖，E、F為AB、BC的中點(diǎn)，則AB＝8，PO＝4，BC＝6.在Rt△POF中，PF＝eq\r(16＋16)＝4eq\r(2)，∴S△PBC＝eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＝12eq\r(2)，在Rt△POE中，PE＝eq\r(16＋9)＝5，∴S△PAB＝eq\f(1,2)×8×5＝20，所以側(cè)面積為2(12eq\r(2)＋20)＝24eq\r(2)＋40.一、選擇題1．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是()A．28＋6eq\r(5) B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5) D．60＋12eq\r(5)[答案]B[解析]由三視圖可得該幾何體為三棱錐，如圖所示．利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，得：S△ACD＝S△ABD＝S△BCD＝10，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×6＝6eq\r(5).因此，該三棱錐的表面積為S＝30＋6eq\r(5).2．過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離是球半徑R的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，則球的表面積是()A．100π B．300πC.eq\f(100π,3) D.eq\f(400,3)π[答案]D[解析]如圖所示，作OH⊥面ABC，∵OA＝OB＝OC＝4，∴H是△ABC的外心，∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴△ABC為直角三角形，∴H是AC的中點(diǎn)，即截面圓的半徑r＝eq\f(1,2)AC＝5，∴eq\r(R2－\f(R2,4))＝5，解得R＝eq\f(10,\r(3))，∴S球＝4πR2＝eq\f(400,3)π.3．設(shè)球內(nèi)切于圓柱，則此圓柱的全面積與球表面積之比是()A．11 B．21C．32 D．43[答案]C[解析]∵圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，設(shè)球的直徑為2R，則圓柱全面積S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，球表面積S2＝4πR2，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(3,2).4.(·廣東揭陽一中高一階段測試)如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為()A.eq\f(3π,2) B．2πC．π D．4π[答案]A[解析]由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為eq\f(1,2)，高為1的圓柱．S圓柱側(cè)＝2πRh＝2π×eq\f(1,2)×1＝π.S圓柱底＝2πR2＝eq\f(π,2)，∴圓柱的全面積為π＋eq\f(π,2)＝eq\f(3π,2).二、填空題5．如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則此幾何體的表面積是________cm2.[答案]80＋16eq\r(2)[解析]由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)棱長為4的正方體和一個(gè)底邊長為4，高為2的正四棱錐組合而成的，如圖所示．其表面積為S＝5×4×4＋4×eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝80＋16eq\r(2)(cm2)．6．若球的表面積為16π，則與球心距離為eq\r(3)的平面截球所得的圓面面積為________．[答案]π[解析]如圖所示，∵球的表面積為16π，∴球的半徑R＝2，又球心O到截面的距離為eq\r(3)，∴截面圓的半徑r＝1，∴截面圓的面積為πr2＝π.三、解答題7．圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺的表面積是多少？[解析]如圖所示，設(shè)圓臺的上底面周長為c，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，∴SA＝20.同理可得SB＝40，∴AB＝SB－SA＝20，∴S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺的表面積為1100πcm2.8．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖中△ABC是邊長為2的正三角形，俯視圖為正六邊形，求該幾何體的表面積．[解析]由三視圖可知該幾何體是正六棱錐(如圖)，其底面邊長為eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×2＝1，側(cè)棱長為AC＝2，斜高AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(22－\f(1,2)