考研數學二分類模擬224

考研數學二分類模擬224一、選擇題1.

關于二次型下列說法正確的是______A.是正定的B.其矩陣可逆C.其秩為1D.其秩為2正確答案：C[解析]二次型的矩陣

所以r(A)=1，選項A、B、D都不正確。故選C。

2.

n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是______A.二次型xTAx的負慣性指數為零B.存在可逆矩陣P使P-1AP=EC.存在n階矩陣C使A=C-1CD.A的伴隨矩陣A*與E合同正確答案：D[解析]選項A是必要不充分條件。這是因為r(A)=p+q≤n，當q=0時，有r(A)=p≤n。此時有可能p＜n，故二次型xTAx不一定是正定二次型。因此矩陣A不一定是正定矩陣。例如f(x1，x2，x3)=。

選項B是充分不必要條件。這是因為P-1AP=E表示A與E相似，即A的特征值全是1，此時A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保證A正定，因此特征值全是1不是必要條件。

選項C中的矩陣C沒有可逆的條件，因此對于A=CTC不能說A與E合同，即沒有A是正定矩陣的結論。例如

顯然矩陣A不正定。

關于選項D．由于

A正定A-1正定A*正定A*與E合同，所以D項是充分必要條件。故選D。

此處要注意正定、負定、非正定、非負定是四個不同的概念，前兩者不允許有0特征值存在，后兩者允許有0特征值的存在。

3.

已知實二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩陣A=(aij)3×3，則______A.A是正定矩陣B.A是可逆矩陣C.A是不可逆矩陣D.以上結論都不對正確答案：B[解析]f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2

=xTATAx=(Ax)T(Ax)。

因為實二次型f正定，所以對任意x≠0，f＞0的充要條件是Ax≠0，即齊次線性方程組Ax=0只有零解，故A是可逆矩陣。故選B。

4.

設f=xTAx，g=xTBx是兩個n元正定二次型，則下列未必是正定二次型的是______A.xT(A+B)xB.xTA-1xC.xTB-1xD.xTABx正確答案：D[解析]因為f是正定二次型，A是n階正定矩陣，所以A的n個特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。設Apj=λjpj，則，A-1的n個特征值(j=1，2，…，n)必都大于零，這說明A-1為正定陣，xTA-1x為正定二定型。

同理，xTB-1x為正定二次型，對任意n維非零列向量x都有xT(A+B)x=xTAx+xTBx＞0，這說明xT(A+B)x為正定二次型。由于兩個同階對稱陣的乘積未必為對稱陣，所以xTABx未必為正定二次型。故選D。

5.

設A，B均為n階正定矩陣，下列各矩陣中不一定是正定矩陣的是______A.A-1+B-1B.ABC.A*+B*D.2A+3B正確答案：B[解析]A，B為正定矩陣，則A-1，B-1仍是正定矩陣，故A-1+B-1也是正定矩陣。類似地，選項C、D中的矩陣均為正定矩陣。故選B。

事實上，由于(AB)T=BTAT=BA，但AB=BA不一定成立，故AB不一定是正定矩陣。

6.

下列條件不能保證n階實對稱矩陣A正定的是______A.A-1正定B.A沒有負的特征值C.A的正慣性指數等于nD.A合同于單位矩陣正確答案：B[解析]A-1正定表明存在可逆矩陣C，使CTA-1C=E，兩邊求逆得到

C-1A(CT)-1=C-1A(C-1)T=E，

即A合同于E，A正定，因此排除選項A。

C選項表明A的正慣性指數等于n，故A是正定矩陣，排除選項C。

D選項是A正定的定義，也不正確，排除選項D。

由排除法，故選B。

事實上，一個矩陣沒有負的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數。

7.

設二次型f(x1，x2，x3)在正交變換x=Py下的標準形為，其中P=(e1，e2，e3)。若Q=(e1，-e3，e2)，則f(x1，x2，x3)在正交變換x=Qy下的標準形為______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]方法一：由題設可知f=xTAx=yT(PTAP)y=且

所以f=xTAx=yT(QTAQ)y=故選A。

方法二：由題意可知，二次型f(x1，x2，x3)的矩陣A的特征值為2，1，-1，對應的特征向量分別為P1，e2，e3。由特征向量的性質可知，e1，e2，-e3仍然分別是屬于特征值2，1，-1的特征向量，同時e1，e2，-e3仍為單位正交向量組，故QTAQ=diag{2，-1，1)。所以二次型f(x1，x2，x3)在正交變換x=Qy下的標準形為，故選A。

這種題型一般有兩種解法。一種是通過初等矩陣與初等變換之間的關系，找到與二次型矩陣合同的對角矩陣，從而得到標準形。另一種是借助二次型在正交變換下的合同標準形與正交變換矩陣之間的關系進行求解。

8.

設二次型的正、負慣性指數分別為1，2，則______A.a＞1B.a＜-2C.-2＜a＜1D.a=1或a=-2正確答案：C[解析]二次型矩陣為則由|λE-A|=(λ-a+1)2(λ-a-2)可知其特征值為a-1，a-1，a+2，于是a-1＜0，a+2＞0，即-2＜a＜1，故選C。

二、填空題1.

二次型廠(x1，x2，x3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同規(guī)范形為______。正確答案：[解析]令所以該線性變換是非退化的，則原二次型與變換之后的二次型f=y1y2是合同的，故有相同的合同規(guī)范形。

二次型f=y1y2的矩陣為其特征值為所以原二次型的正、負慣性指數均為1，故原二次型的合同標準形為

2.

設為正定二次型，則未知系數a的范圍是______。正確答案：[解析]二次型的矩陣為

其各階主子式為

因為f為正定二次型，所以必有1-a2＞0且-a(5a+4)＞0，因此

故當時，A正定，從而f正定。

3.

設A是三階實對稱矩陣，滿足A3=2A2+5A-6E，且kE+A是正定矩陣，則k的取值范圍是______。正確答案：k＞2[解析]根據題設條件，則有A3-2A2-5A+6E=O。設A有特征值λ，則λ滿足條件λ3-2λ2-5λ+6=0，將其因式分解可得λ3-2λ2-5λ+6=(λ-1)(λ+2)(λ-3)=0，因此可知矩陣A的特征值分別為1，-2，3，故kE+A的特征值分別為k+1，k-2，k+3，且當k＞2時，kE+A的特征值均為正數。故k＞2。

4.

設α=(1，0，1)T，A=ααT，若B=(kE+A)*是正定矩陣，則k的取值范圍是______。正確答案：k＞0或k＜-2[解析]矩陣A=ααT的秩為1，且tr(A)=αTα=2，故矩陣A的特征值是2，0，0，從而矩陣kE+A的特征值是k+2，k，k。矩陣B=(kE+A)*=|kE+A|(kE+A)-1的特征值是k2，k(k+2)，k(k+2)。矩陣B正定的充要條件是特征值均大于零，即k2＞0且k(k+2)＞0，解得k＞0或k＜-2。

5.

二次型則f的正慣性指數為______。正確答案：2[解析]方法一：利用二次型矩陣A的特征值。因為

所以

即A的特征值為λ1=0，λ2=1，λ3=4，原二次型的標準形為其正慣性指數p=2。

方法二：配方法得

因此原二次型的正慣性指數為2。

一般求正慣性指數可先把二次型化為標準形，標準形中正平方項的個數就是二次型的正慣性指數。

6.

設二次型的負慣性指數是1，則a的取值范圍是______。正確答案：[-2，2][解析]方法一：由配方法可知，

因二次型的負慣性指數為1，故4-a2≥0，所以a的取值范圍是[-2，2]。

方法二：二次型的矩陣為由題意可知A的特征值中有且僅有一個為負數。

又由于tr(A)=0，矩陣A的慣性指數有兩種可能：正慣性指數為1，負慣性指數為1；正慣性指數為2，負慣性指數為1，出現這兩種情況之一的充要條件是|A|≤0。|A|=a2-4，可知a∈[-2，2]。

三、解答題1.

設為正定矩陣，其中A，B分別為m階，n階對稱矩陣，C為m×n矩陣。

(Ⅰ)計算PTDP，其中

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結果判斷矩陣B-CTA-1C是否為正定矩陣，并證明結論。正確答案：解：(Ⅰ)因為則

(Ⅱ)由(Ⅰ)中結果知矩陣D與矩陣合同，又因D是正定矩陣，所以矩陣M為正定矩陣，從而可知M是對稱矩陣，那么B-CTA-1C是對稱矩陣。

對m維零向量x=(0，0，…，0)T和任意n維非零向量y=(y1，y2，…，yn)T，都有

即

yT(B-CTA-1C)y＞0，

依定義，yT(B-CTA-1C)Y為正定二次型，所以矩陣B-CTA-1C為正定矩陣。

2.

設二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，記

(Ⅰ)證明二次型f對應的矩陣為2ααT+ββT；

(Ⅱ)若α，β正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標準形為正確答案：證明：(Ⅰ)

所以二次型f對應的矩陣為2ααT+ββT。

(Ⅱ)設A=2ααT+ββT，由于|α|=1，αTβ=βTα=0，則

Aα=(2ααT+ββT)α=2α|α|2+ββTα=2α，

所以α為矩陣對應特征值λ1=2的特征向量；

Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααTβ+β|β|2=β，

所以β為矩陣對應特征值λ2=1的特征向量。

而矩陣A的秩

r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2，

所以λ3=0也是矩陣的一個特征值。故廠在正交變換下的標準形為。[解析]二次型在正交變換下的合同標準形是由其特征值組成的，故要證明二次型f在正交變化下的標準形為二次型，也就相當于要證明二次型的特征值為2，1，0。

3.

用正交變換將二次型化為標準形，并給出所施行的正交變換。正確答案：解：二次型的矩陣為特征多項式為

矩陣A的特征值為λ1=-7，λ2=λ3=2。

由(λiE-A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=-7和λ2=λ3=2對應的特征向量分別為

α1=(1，2，-2)T，α2=(-2，1，0)T，α3=(2，0，1)T，

由于實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以先將α2，α3正交化，即

再將α1，β2，β3單位化，即

那么令

則二次型xTAx在正交變換x=Qy下的標準形為

4.

設二次型通過正交變換化為標準形

(Ⅰ)求常數a，b及所用的正交變換矩陣Q；

(Ⅱ)求f在xTx=3下的最大值。正確答案：解：(Ⅰ)二次型矩陣及其對應的標準形矩陣分別為

由矩陣B可知矩陣A的特征值為2，2，b。由矩陣A的跡tr(A)=3=2+2+b可得b=-1。

由于2是A的二重特征值，而實對稱矩陣A必可相似對角化，所以矩陣A的對應于特征值2的線性無關的特征向量有兩個。于是矩陣2E-A的秩為1，而

所以a=-1。

由(λiE-A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=λ2=2和λ3=-1對應的特征向量分別為

α1=(1，0，-1)T，α2=(0，1，-1)T，α3=(1，1，1)T，

由于實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以先將α1，α2正交化，即

再將β1，β2，α3單位化，即

則正交變換矩陣

(Ⅱ)二次型f=xTAx在正交變換x=Qy下的標準形為。條件xTx=3等價于yTQTQy=的最大值為6，所以f在xTx=3下的最大值是6。

5.

已知二次型

(Ⅰ)寫出二次型f的矩陣表達式；

(Ⅱ)用正交變換把二次型f化為標準形，并寫出相應的正交矩陣。正確答案：解：(Ⅰ)二次型的矩陣為

則二次型的矩陣表達式為f=xTAx。

(Ⅱ)矩陣A的特征多項式為

矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=6，λ3=-6。

由(λiE-A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1，λ2=6，λ3=-6對應的特征向量分別為

α1=(-2，0，1)T，α2=(1，5，2)T，α3=(1，-1，2)T，

由于實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以可直接將α1，α2，α3單位化，即

則正交變換矩陣

且二次型xTAx在正交變換x=Qy下的標準形為

6.

設二次型

(Ⅰ)寫出二次型的矩陣表達式；

(Ⅱ)求正交矩陣P，作變換x=Py將二次型化為標準形。正確答案：解：(Ⅰ)二次型的矩陣為

則二次型的矩陣表達式為f=xTAx。

(Ⅱ)矩陣A的特征多項式為

矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=3，λ3=7。

由(λiE-A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1，λ2=3，λ3=7對應的特征向量分別為

α1=(-1，1，1)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，-1，2)T，

由于實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以可直接將α1，α2，α3單位化，即

則正交變換矩陣

且二次型xTAx在正交變換x=Py下的標準形為

7.

已知n元實二次型f=xTAx，其中x=(x1，x2，…，xn)T。試證f在條件下的最大值恰好為矩陣A的最大特征值。正確答案：證明：實二次型f=xTAx所對應的矩陣A為實對稱矩陣，則存在正交矩陣P使

其中λi(i=1，2，…，n)是矩陣A的特征值。作線性變換x=Py，其中y=(y1，y2，…，yn)T，則

求f=xTAx在條件xTx=1下的最大值可轉化為求在條件下的最大值。設C=max{λ1，λ2，…，λn}，則

上式取y=(1，0，…，0)T時，等號成立，此時f取到最大值c。故在條件xTx=1下，f的最大值恰好為矩陣A的最大特征值。

8.

設實二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是參數。

(Ⅰ)求f(x1，x2，x3)=0的解；

(Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的規(guī)范形。正確答案：解：(Ⅰ)由f(x1，x2，x3)=0可知

該齊次線性方程組的系數矩陣為將其經初等行變換化為階梯形矩陣，則有

當a≠2時，f(x1，x2，x3)=0有唯一解(0，0，0)T。

當a=2時，其通解為k(-