專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（考點串講）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點大串講（2020選修）

高二滬教版數(shù)學(xué)下冊期末考點大串講串講03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用01020403目

錄易錯易混題型剖析考點透視押題預(yù)測十一大易錯易混經(jīng)典例題4道期末真題對應(yīng)考點練五大重難點題型典例剖析+技巧總結(jié)七大?？键c：知識梳理考點透視知識梳理導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：在某個區(qū)間(a，b)上，如果f′(x)＞0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞增；如果f′(x)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間步驟：(1)求函數(shù)的的定義域；(2)求出f′(x)；(3)令f′(x)＝0，求出導(dǎo)數(shù)的零點；(4)用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性(或在定義域內(nèi)，令f′(x)＞0，解出x的取值范圍，得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；令f′(x)＜0，解出x的取值范圍，得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)已知單調(diào)性求參數(shù)取值范圍(1)對于函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的問題，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒為正或負的問題，進而轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的最值問題．(2)對于可導(dǎo)函數(shù)在某個區(qū)間不單調(diào)的問題，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間有穿過軸的實數(shù)根，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象求解．(3)對于函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間的問題，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上大于零或小于零有解的問題導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)極值①極大值：在點x＝a附近，滿足f(a)≥f(x)，當(dāng)x＜a時，f′(x)＞0，當(dāng)x＞a時，f′(x)＜0，則點a叫做函數(shù)的極大值點，f(a)叫做函數(shù)的極大值．②極小值：在點x＝a附近，滿足f(a)≤f(x)，當(dāng)x＜a時，f′(x)＜0，當(dāng)x＞a時，f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)最值一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．最大值是區(qū)間端點函數(shù)值和區(qū)間內(nèi)的極大值的最大者，最小值是區(qū)間端點函數(shù)值和區(qū)間內(nèi)的極小值的最小者．一般地，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟：(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；(2)求f(x)在給定區(qū)間上的端點值；(3)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值例1已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線方程;(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點,求直線l的方程及切點坐標(biāo);(3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點坐標(biāo)與切線方程.分析求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)可利用切點(2,-6)求出切線斜率,寫出切線方程;(2)設(shè)出切點坐標(biāo),表示出切線方程,利用切線過原點求解,也可以利用切點與原點連線的斜率等于導(dǎo)函數(shù)在切點處函數(shù)值列式求解;(3)設(shè)出切點坐標(biāo),利用兩直線互相垂直時,斜率之積為-1,列方程求解.題型一：導(dǎo)數(shù)的幾何意義題型剖析(方法2)設(shè)直線l的方程為y=kx,切點為(x0,y0),∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直線l的方程為13x-y=0,切點坐標(biāo)為(-2,-26).規(guī)律方法

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明確“過點P(x0,y0)的曲線y=f(x)的切線方程”與“在點P(x0,y0)處的曲線y=f(x)的切線方程”的異同點.(2)圍繞著切點有三個等量關(guān)系:已知切點(x0,y0),則①k=f'(x0);②y0=f(x0);③(x0,y0)滿足切線方程.題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題②當(dāng)a>2時,x,f'(x),f(x)的變化情況如下表:規(guī)律方法

(1)在解決問題的過程中,只能在函數(shù)的定義域內(nèi)進行.(2)在劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點外,還要注意定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點或不可導(dǎo)點.此外,求得的根要判斷是否在定義域中.(3)涉及含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間問題,一定要弄清參數(shù)對導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號是否有影響.若有影響,則必須分類討論.分析(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號確定極值點,利用極大值為2求a,b滿足的關(guān)系式;(2)可利用極值點x=a與區(qū)間[0,3]的位置關(guān)系,確定分類討論標(biāo)準(zhǔn)后,分類討論求最小值.題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最大(小)值問題解

(1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a,因為a>0,所以x1<x2.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:所以當(dāng)x=-1時,f(x)有極大值2,即3a+2b=3.x(-∞,-1)-1(-1,a)a(a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增(2)當(dāng)0<a≤3時,由(1)知,f(x)在[0,a)上單調(diào)遞減,在(a,3]上單調(diào)遞增,所以f(a)為最小值,規(guī)律方法

(1)求函數(shù)y=f(x)的極值點時一般需確定f'(x)=0的根和函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性,對于常見連續(xù)函數(shù),先確定單調(diào)性即可得極值點,當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點只有一個時,相應(yīng)的極值點必為函數(shù)的最大(小)值點.(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最大(小)值時,對函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再進行判斷,只需要直接與端點的函數(shù)值比較即可獲得結(jié)論.例4某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱體,左右兩端均為半球體,按照設(shè)計要求容器的體積為

立方米.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱體部分每平方米建造費用為3千元,半球體部分每平方米建造費用為4千元.設(shè)該容器的總建造費用為y千元.(1)將y表示成r的函數(shù),并求該函數(shù)的定義域;(2)確定r和l為何值時,該容器的建造費用最小,并求出最小建造費用.分析根據(jù)題意,求出容器的表面積關(guān)于半徑r的關(guān)系式,結(jié)合建筑費用建立y關(guān)于r的關(guān)系式.題型四：生活中的優(yōu)化問題規(guī)律方法

解決優(yōu)化問題的步驟(1)分析問題中各個數(shù)量之間的關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,并確定函數(shù)的定義域.(2)通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值與最大(小)值,提出優(yōu)化方案,使問題得以解決.在這個過程中,導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具.(3)驗證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實際意義.角度1

利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(函數(shù)的零點)例5已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.若方程f(x)=g(x)在區(qū)間[,e]上有兩個不相等的實數(shù)根,求a的取值范圍.分析方程f(x)=g(x)有根即方程ax2=2ln

x有解,因此可以分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為方程a=有根,構(gòu)造函數(shù)求解.題型五：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點或方程根個數(shù)的常用方法(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),轉(zhuǎn)化確定g(x)的零點個數(shù)問題求解,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值,并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等,畫出g(x)的圖象草圖,數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點的個數(shù).(2)利用零點存在定理:先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最大(小)值)及區(qū)間端點值符號,進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).角度2

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題例6已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g'(x)+2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.分析(1)可通過解不等式f'(x)>0和f'(x)<0得到單調(diào)區(qū)間;(2)先將不等式進行參數(shù)分離,把待求范圍的參數(shù)a移至不等式的一邊,再利用導(dǎo)數(shù)求另一邊函數(shù)的最大值,從而求得參數(shù)的取值范圍.x(0,1)1(1,+∞)h'(x)+0-h(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴當(dāng)x=1時,h(x)取得最大值,且h(x)max=h(1)=-2,∴若a≥h(x)在x∈(0,+∞)上恒成立,則a≥h(x)max=-2,即a≥-2,故a的取值范圍是[-2,+∞).解析D易錯點01忽略導(dǎo)數(shù)定義式中Δx，Δy的對應(yīng)關(guān)系易錯易混解析D易錯點02沒有正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義致誤解析B易錯點03沒有把握好切點的“雙重身份”(既在切線上，又在原函數(shù)圖象上)解易錯點04混淆“過某點”和“在某點處”切線方程的求法致誤解析A易錯點05求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時忽視中間變量致誤C易錯點06混淆原函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象致錯解析解析(－∞，－16]∪[2，＋∞)易錯點07利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時考慮不全致誤易錯點08不清楚函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間與函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的區(qū)別致誤解析解析D易錯點09混淆極值點與極值致誤解析0易錯點10根據(jù)極值點求參數(shù)時忘記檢驗致誤解析A易錯點11混淆極值與最值致誤

C押題預(yù)測

2.（2023春?黃浦區(qū)期末）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f′(x)是偶函數(shù)，則曲線：y=f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為______________．【解析】解：∵f(x)=x3+ax2+(a-3)x,∴f′(x)=3x2+2ax+(a-3)，∵f′(x)是偶函數(shù)，∴3(-x)2+2a(-x)+(a-3)=3x2+2ax+(a-3)，解得a=0，∴f(x