第8章概率（考點串講）高二數(shù)學下學期期末考點大串講（2019選擇性）

蘇教版（2019）選擇性必修第二冊第8章概率考點大串講串講03第8章概率010203目

錄押題預測題型剖析考點透視10大?？键c：知識梳理、思維導圖9個題型典例剖析+技巧點撥精選13道期末真題對應考點練考點透視01考點1相互獨立事件(1)概念：對兩個隨機事件A，B，如果P(AB)＝

成立，則稱事件A，事件B為相互獨立事件.P(A)P(B)B考點2條件概率P(B|A)A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率(2)兩個公式①利用古典概型：P(B|A)＝

；②概率的乘法公式：P(AB)＝

.P(A)P(B|A)(3)條件概率的性質(zhì)①P(Ω|A)＝

；②P(?|A)＝

；③若B1，B2互斥，則P((B1＋B2)|A)＝

.10P(B1|A)＋P(B2|A)(1)概念：一般地，設A，B為兩個事件，P(A)>0，我們稱_______為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率，記為

，讀作“________

”.即P(B|A)＝(P(A)>0).考點3.全概率公式

考點4離散型隨機變量的概率分布隨機變量X的概率分布列一般地，隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，①則稱①為隨機變量X的

，簡稱為X的分布列.概率分布列(2)隨機變量X的概率分布表Xx1x2…xnPp1p2…pn通常將上表稱為隨機變量X的

.隨機變量X的概率分布、概率分布表都叫作隨機變量X的概率分布.概率分布表考點6離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)3.離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)(1)pi

0(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝

.4.離散型隨機變量的均值與方差E(X)＝μ＝

.D(X)＝σ2＝

.≥1p1x1＋p2x2＋…＋pnxn(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn5.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝

.(2)D(aX＋b)＝

(a，b為常數(shù)).aE(X)＋ba2D(X)考點7.兩點分布（或0－1分布）如果隨機變量X的分布列為X01P1－pp其中0＜p＜1，則稱離散型隨機變量X服從兩點分布或0－1分布.其中p＝P（X＝1）稱為成功概率.考點8.超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.提醒

超幾何分布中的隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).主要特征為：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.考點9.正態(tài)分布正態(tài)密度曲線下方x軸上(a，b]上方X～N(μ，σ2)68.3%95.4%99.7%5.正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝

，D(X)＝

.μσ2若X是一個隨機變量，則對任給區(qū)間(a，b]，P(a<X≤b)是_____________

和

所圍成的圖形的面積，我們就稱隨機變量X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布，簡記為

.4.正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值(1)落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)的概率約為

.(2)落在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)的概率約為

.(3)落在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)的概率約為

.

上方

⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.x＝μ

1

考點10.正態(tài)曲線的特點題型剖析02題型1.事件相互獨立性的判斷【例題1】已知A，B為兩個隨機事件，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，則A.P(A＋B)<1B.若A，B為互斥事件，則P(AB)＝0C.若P(AB)＝0.24，則A，B為相互獨立事件√√√題型1.事件相互獨立性的判斷若A，B為互斥事件，又P(A)＋P(B)＝1，則AB＝?且A＋B＝Ω，故P(A＋B)＝1，P(AB)＝0，故A錯誤，B正確；若P(AB)＝0.24，即P(AB)＝P(A)P(B)，故A，B為相互獨立事件，故C正確；【例2】

已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同.甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為

（

）A.B.C.D.

答案

B

題型2.條件概率（2）在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品，現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率為

?.

題型3.條件概率性質(zhì)的應用√√題型3.條件概率性質(zhì)的應用因為A，B是相互獨立事件，則P(AB)＝P(A)P(B)，因為A，B是互斥事件，P(AB)＝0，則根據(jù)條件概率公式P(B|A)＝0，而P(B)∈(0,1)，故D錯誤.題型4.全概率公式

A.B.C.D.

答案

B

｜解題技法｜應用全概率公式求概率的思路（1）按照確定的標準，將一個復雜事件分解為若干個互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）；（2）求P（Ai）和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）；（3）代入全概率公式計算.題型5.概率分布的性質(zhì)【例題5】(多選)已知隨機變量X的概率分布如表(其中a為常數(shù))：X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結(jié)果正確的是A.a＝0.1 B.P(X≤2)＝0.7C.P(X≥3)＝0.4 D.P(X≤1)＝0.3√√√題型5.概率分布的性質(zhì)X01234P0.10.20.40.2a因為0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正確；由概率分布知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正確；P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C錯誤；P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正確.題型6.求離散型隨機變量的概率分布及數(shù)字特征【例題6】已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時間互不影響，經(jīng)統(tǒng)計，甲、乙一個月內(nèi)從家中到工作單位所用時間在各個時間段內(nèi)的頻率如下：時間/分鐘10～2020～3030～4040～50甲的頻率0.10.40.20.3乙的頻率00.30.60.1題型6.求離散型隨機變量的概率分布及數(shù)字特征某日工作單位接到一項任務，需要甲在30分鐘內(nèi)到達，乙在40分鐘內(nèi)到達，用X表示甲、乙兩人在要求時間內(nèi)從家中到達單位的人數(shù)，用頻率估計概率，則X的均值和方差分別是A.E(X)＝1.5，D(X)＝0.36 B.E(X)＝1.4，D(X)＝0.36C.E(X)＝1.5，D(X)＝0.34 D.E(X)＝1.4，D(X)＝0.34時間/分鐘10～2020～3030～4040～50甲的頻率0.10.40.20.3乙的頻率00.30.60.1√時間/分鐘10～2020～3030～4040～50甲的頻率0.10.40.20.3乙的頻率00.30.60.1設事件A表示甲在規(guī)定的時間內(nèi)到達，B表示乙在規(guī)定的時間內(nèi)到達，P(A)＝0.5，P(B)＝0.9，A，B相互獨立，題型6.求離散型隨機變量的概率分布及數(shù)字特征時間/分鐘10～2020～3030～4040～50甲的頻率0.10.40.20.3乙的頻率00.30.60.1＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.9＝0.45，題型6.求離散型隨機變量的概率分布及數(shù)字特征時間/分鐘10～2020～3030～4040～50甲的頻率0.10.40.20.3乙的頻率00.30.60.1∴E(X)＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4，D(X)＝(0－1.4)2×0.05＋(1－1.4)2×0.5＋(2－1.4)2×0.45＝0.34.題型6.求離散型隨機變量的概率分布及數(shù)字特征｜解題技法｜離散型隨機變量分布列性質(zhì)的應用（1）利用“總概率之和為1”可以求相關參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“離散型隨機變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.題型7.超幾何分布【例7】

為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.（1）設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；

（2）設X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列.

所以隨機變量X的分布列為X1234P｜解題技法｜求超幾何分布的分布列的3個步驟（1）驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；（3）用表格的形式列出分布列.題型8.乘法公式的應用【例題8】經(jīng)統(tǒng)計，某射擊運動員進行兩次射擊時，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么該射擊運動員兩次均擊中9環(huán)的概率為

√設該射擊運動員“第一次擊中9環(huán)”為事件A，“第二次擊中9環(huán)”為事件B，由題意得P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.8，所以該射擊運動員兩次均擊中9環(huán)的概率為P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.8＝0.48.題型9.正態(tài)分布【例9】

（1）（2021·新高考Ⅱ卷）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），下列結(jié)論中不正確的是

（

）A.σ越小，該物理量在一次測量中在（9.9，10.1）的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測量中落在（9.9，10.2）與落在（10，10.3）的概率相等（1）解析

對于A，σ越小，正態(tài)分布的圖象越瘦長，總體分布越集中在對稱軸附近，故A正確；對于B、C，由于正態(tài)分布圖象的對稱軸為μ＝10，顯然B、C正確.D顯然錯誤.故選D.答案

D｜解題技法｜

解決正態(tài)分布問題有三個關鍵點：（1）對稱軸x＝μ；（2）標準差σ；（3）分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.?押題預測03?

A.B.C.D.

√3.對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的條件下，第二次摸出正品的概率是

（

）A.B.C.D.

4.在如圖所示的正方形區(qū)域中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N（0，1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（附：若X～N（μ，σ2），則P（μ－σ≤X≤μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）＝0.9544）

（

）A.2386B.2718C.3413D.4772

?

5.某考生回答一道四選一的考題，假設他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時，答對的概率為100%，而不知道正確答案時猜對的概率為0.25，那么他答對題目的概率為

（

）A.0.625B.0.75C.0.5D.0

A.甲類水果的平均質(zhì)量為0.4kgB.甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.σ2＝1.99

7.（多選）設隨機變量X服從正態(tài)分布N（0，1），則下列結(jié)論正確的是

（

）A.P（｜X｜＜a）＝P（｜X｜＜a）＋P（｜X｜＝a）（a＞0）B.P（｜X｜＜a）＝2P（X＜a）－1（a＞0）C.P（｜X｜＜a）＝1－2P（X＜a）（a＞0）D.P（｜X｜＜a）＝1－P（｜X｜＞a）（a＞0）解析：ABD

服從正態(tài)分布的隨機變量是連續(xù)型隨機變量，所以P（｜X｜＝a）＝0，A正確；X～N（0，1），μ＝0，所以正態(tài)曲線關于直線x＝0對稱，P（｜X｜＜a）＋2P（X＞a）＝1.又P（X＞a）＋P（X＜a）＝1，所以P（｜X｜＜a）＋2[1－P（X＜a）]＝1，即P（｜X｜＜a）＝2P（X＜a）－1（a＞0），所以B正確，C錯誤；P（｜X｜＜a）＋P（｜X｜＞a）＝1（a＞0），D正確.二、填空題8.已知離散型隨機變量ξ的概率分布如表所示.ξ－202Pab119.有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為

?.

解析：設種子發(fā)芽為事件A，種子成長為幼苗為事件B（發(fā)芽又成長為幼苗）.依題意P（B｜A）＝0.8，P（A）＝0.9.根據(jù)條件概率公式P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝0.8×0.9＝0.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.答案：0.72ξ－202Pab所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11.10.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），則c＝

?.