5.1.1變化率問題課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

17世紀中葉，牛頓和萊布尼茨各自獨立地創(chuàng)立了微積分牛頓偏重從物理問題出發(fā)，應用了運動學的原理，如瞬時速度中的“微分”、運動變量的“積分”等概念.萊布尼茨從幾何學問題出發(fā)，用分析法引進微積分，得出運算法則，比牛頓的更為規(guī)范和嚴密.5.1.1變化率問題【問題1】高臺跳水運動員的速度

在一次高臺跳水運動中,某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關系：

如何描述運動員從起跳到入水的過程中運動的快慢程度呢？

我們可以把整個運動時間段分成許多小段,用運動員在每段時間內(nèi)的平均速度近似地描述他的運動狀態(tài).請計算對應時間段的平均速度：【問題1】高臺跳水運動員的速度

要精確地描述非勻速直線運動,就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度．再計算：思考：(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)平均速度能準確反映運動員的運動狀態(tài)嗎?(1)在這段時間內(nèi)，運動員并不處于靜止狀態(tài).(2)用平均速度不能準確反映運動員在這段時間內(nèi)里的運動狀態(tài).【問題1】高臺跳水運動員的速度思考：（1）瞬時速度與平均速度有什么關系？（2）你能利用這種關系求運動員在t=1s時的瞬時速度嗎？瞬時速度：物體在某一時刻的速度為了精確刻畫運動員的運動狀態(tài)，需要引入瞬時速度的概念.我們在t=1之后或之前，任意取一個時刻1+Δt，Δt是時間改變量，可以是正值，也可以是負值，但不為0.Δt<0Δt>0-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001給出Δt更多的值，計算-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.000049-5.0000049

【例1】某物體運動的位移s與時間t之間的函數(shù)關系式為s(t)＝sint，t∈

.【例2】某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時的瞬時速度.【變式1】若本例中的條件不變，試求物體的初速度.【變式2】若本例中的條件不變，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s.【問題2】拋物線的切線的斜率我們知道，如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切.對于一般的曲線C，如何確定它的切線呢？

【思考】對于拋物線f(x)=x2，應該如何定義它點P0(1,1)處的切線呢？xy121234O?PP0?T?將點P逐漸靠近點P0，觀察割線P0P的位置變化情況.當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線P0T稱為拋物線f(x)=x2在點P0(1,1)處的切線.xy121234OPP0?T?【思考】我們知道斜率是確定直線的一個要素，如何求拋物線f(x)=x2在點P0(1,1)處的切線的斜率呢？割線位置切線位置無限逼近割線斜率切線斜率無限逼近取極限記點P的橫坐標x=1+Δx，則點P的坐標即為

(1+Δx,(1+Δx)2).于是割線P0P的斜率?x<0?x>0?x?x通過觀察可得，當?x無限趨近于0，即無論x從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，割線P0P的斜率k近都無限趨近于2.我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0，并且可以通過不斷縮短橫坐標間隔|?x|來提高近似表示的精確度，得到如下表格：我們把2叫做“當Δx無限趨近于0時，的極限”，記為從幾何圖形上看，當橫坐標間隔|Δx|無限變小時，當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于點P0處的切線P0T

.

割線P0P的斜率k無限趨近于點P0處的切線的斜率k0.因此，切線P0T的斜率k0=2.xyO121234PP0T【