2020-2021學(xué)年湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題解析版

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)第Page\*MergeFormat14頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat14頁(yè)2020-2021學(xué)年湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)集合B，再利用并集運(yùn)算求解.【詳解】∵，∴.故選：D2．已知直線，和平面，，下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】C【分析】根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系結(jié)合線面平行，面面平行的判定定理及性質(zhì)定理來(lái)判斷.【詳解】選項(xiàng)A：若，，則可能在平面內(nèi)，也可能與平面平行，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若，，則與可能平行也可能異面，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由面面平行的性質(zhì)定理可知選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：若，，，則與可能平行也可能異面，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.3．兩座燈塔和與海洋觀察站的距離分別為5，8，燈塔在觀察站的北偏東方向上，燈塔在觀察站的南偏東方向上，則燈塔與的距離為（）A．6 B．7 C． D．【答案】B【分析】首先畫(huà)出圖形，得到，再利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖所示：由題意可得，所以，即：.故選：B4．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象至少向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度得到A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用兩角和與差的正弦公式的逆應(yīng)用將函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)相位判斷平移的單位長(zhǎng)度即可.【詳解】，，∴從到，至少向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選：B.5．已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，則的值為（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由，利用正弦定理求得，再利用余弦定理結(jié)合，求得a，c的關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?，所，∴，∴，，?6．等腰三角形底和腰之比為黃金分割比的三角形稱為黃金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5個(gè)黃金三角形和一個(gè)正五邊形組成﹐且每個(gè)黃金三角形都是頂角為的等腰三角形，如圖所示，在黃金三角形中，.根據(jù)這些信息，可求得的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用等腰三角形求出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式和降冪公式可求的值.【詳解】在等腰中，，∴.故選：A.7．已知是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求方程根的個(gè)數(shù)，即求與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖像即可得出答案.【詳解】解：的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖像可得共有8個(gè)交點(diǎn).故選：D.8．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將，利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式得到，進(jìn)而求得角B，再利用正弦定理，得到，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?∵，∴，∴∴，，所以最大值為.故選：A二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B．的虛部為C．的共輒復(fù)數(shù)為 D．在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第四象限【答案】ABC【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算可得，根據(jù)復(fù)數(shù)模的求法可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可判斷B；由共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷C；由復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】，；的虛部為；的共輒復(fù)數(shù)為；在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第四象限.故A、B、C錯(cuò)誤，故選：ABC10．已知向量，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．與的夾角為【答案】BC【分析】由，，，求得，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】，∴，∴，∴，，，∴與的夾角不是，故選：BC.11．已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，的面積，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)條件結(jié)合三角形的面積公式可求出選項(xiàng)A；根據(jù)條件結(jié)合三角形的面積公式可求出選項(xiàng)B；根據(jù)選項(xiàng)AB結(jié)合三角形內(nèi)的隱含條件可求出的值；根據(jù)條件結(jié)合余弦定理可得出選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，所以，，，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由得，所以，由解得，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.12．如圖，正三棱柱中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，則下列結(jié)論中正確的是（）A．平面B．該三棱柱有內(nèi)切球(球與棱柱的每個(gè)面都相切)C．該三棱柱外接球的體積為D．平面截該三棱柱所得大小兩部分的體積比為11∶1【答案】AB【分析】根據(jù)線面平行的判定定理證明A，求出底面三角形內(nèi)切圓的半徑即可判斷B；求出底面三角外接圓的半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出外接球的體積，即可判斷C，平面即為平面，將三棱柱截下一個(gè)三棱錐，根據(jù)體積公式計(jì)算，，即可判斷D；【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，面，面，∴平面，故A正確；球在底面上的投影為的內(nèi)切圓，其半徑為高的，因?yàn)?，所以高為，所以的?nèi)切圓的半徑，若存在內(nèi)切球，則，故B正確；外接圓的半徑為，三棱柱的高為2，所以正三棱柱的外接球的半徑，∴外接球的體積，故C錯(cuò)誤；平面即為平面，將三棱柱截下一個(gè)三棱錐，設(shè)的面積為S，棱柱的高為，，，∴大小兩部分的體積比為5∶1，故D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題13．已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，，則______.【答案】或【分析】由正弦定理即可求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)以及即可求.【詳解】由正弦定理：，有，∴，而，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，由，顯然無(wú)解；∴或.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，結(jié)合應(yīng)用了三角形內(nèi)角和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14．已知，，，則___________.【答案】【分析】先由求得t，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】，∴，∴，∴.故答案為：-215．已知正三棱錐中，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】【分析】取中點(diǎn)，連接，，得到（或補(bǔ)角）即為異面直線與所成角求解.【詳解】如圖所示：，取中點(diǎn)，連接，，則，所以（或補(bǔ)角）即為異面直線與所成角，因?yàn)?，所以三棱錐側(cè)棱兩兩垂直，所以平面ABC，則，設(shè)，則，，，，∴.故答案為：四、雙空題16．已知外接圓的圓心為，其面積(，，為的三邊長(zhǎng))，，則外接圓的半徑為_(kāi)__________；的值為_(kāi)__________.【答案】3【分析】先根據(jù)面積計(jì)算外接圓半徑，設(shè)的中點(diǎn)為，結(jié)合向量關(guān)系得到A，，三點(diǎn)共線，即，，再計(jì)算中三邊長(zhǎng)度，利用余弦定理即求得.【詳解】因?yàn)椋?，?設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)題意可得，∴A，，三點(diǎn)共線，如圖所示，可知，，且，，即，根據(jù)勾股定理可得，，∴，中，根據(jù)余弦定理可得.故答案為：3；.五、解答題17．設(shè)平面三點(diǎn).（1）試求向量的模；（2）若向量與的夾角為，求.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由求得，利用向量模的公式求解即可；（2）分別求出、的坐標(biāo)表示，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，利用向量模的公式求出，由平面向量夾角余弦公式可得結(jié)果.【詳解】（1）∵＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5），∴2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴|2＋|＝＝．（2）∵||＝＝．||＝＝，·＝（－1）×1＋1×5＝4．∴＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.18．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，已知，，且，求的值.【答案】（1）()；（2）.【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式及輔助角公式將函數(shù)化為，再利用整體法結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由求出角，再由，求出，最后根據(jù)結(jié)合余弦定理即可求出答案.【詳解】解：（1），令得()，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為().（2）由得，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由余弦定理得，∴.19．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，、、分別為、、的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，.【分析】（1）先利用線線平行證明線面平行，再根據(jù)線面平行證明面面平行即可；（2）取中點(diǎn)，連接、，利用中位線定理，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)證明四邊形是平行四邊形，即證，再根據(jù)線面平行的判定定理即證結(jié)果.【詳解】（1）證明：∵是平行四邊形，、、分別為、、的中點(diǎn)，∴，，又平面，平面，平面，平面，∴平面，平面，∵，且、平面，∴平面平面.（2）解：存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得平面，且.證明如下：取中點(diǎn)，連接、，∵、、分別是、、的中點(diǎn)，∴，且，即，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面，且.20．已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，.（1）證明：；（2）請(qǐng)問(wèn)角是否存在最大值？若存在，求出角的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，.【分析】（1）利用正弦定理與余弦定理把角全部化為邊，然后化簡(jiǎn)即可（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】（1）由已知及正余弦定理得，.（2）由（1）可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴角存在最大值為.21．如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明，推出（或補(bǔ)角）為異面直線與所成角，再運(yùn)用余弦定理求值；（2）延長(zhǎng)，交于，連接交于，證明；在上只需找一點(diǎn)滿足即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，，.因?yàn)槭钦襟w，，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以（或補(bǔ)角）為異面直線與所成角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，所以，即異面直線與所成角的余弦值為.（2）存在，且，證明如下：延長(zhǎng)，