工科數(shù)學(xué)分析上學(xué)期AB卷期末考試題及答案2套

《工科數(shù)學(xué)分析》試卷第2頁共2頁姓名學(xué)號(hào)姓名學(xué)號(hào)學(xué)院專業(yè)座位號(hào)(密封線內(nèi)不答題)……………………密………………封………線……線………_____________________…期末考試《工科數(shù)學(xué)分析》試卷A注意事項(xiàng)：1.考前請(qǐng)將密封線內(nèi)各項(xiàng)信息填寫清楚；2.所有答案請(qǐng)直接答在試卷上(或答題紙上)；3．考試形式：閉卷；4.本試卷共十大題，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘。題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分評(píng)卷人一．計(jì)算下列極限（每小題5分，共10分）（1） （2）二．（10分）設(shè)為連續(xù)函數(shù),試確定常數(shù)a和b.三．（10分）設(shè)參數(shù)方程確定了函數(shù),求與,并判定函數(shù)的單調(diào)性及凸性.四．（10分）造一個(gè)容積為V的圓柱形無蓋水池,問高h(yuǎn)及底半徑r為多少時(shí),可使其表面積最小?五．（10分）設(shè)時(shí),方程有且僅有一個(gè)解,求k的取值范圍.六．（10分）計(jì)算下列積分（每小題5分，共10分）（1） （2）七．（10分）設(shè)(為正整數(shù)),試建立數(shù)列的遞推公式,并求的值.八．（10分）求拋物線在點(diǎn)處法線與拋物線圍成的圖形的面積.九.（10分）設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)且,如果,試證明對(duì)任意,有.十．（10分）設(shè),,證明數(shù)列收斂并求其極限.《工科數(shù)學(xué)分析》試卷A答案一. （1）解：（2）解：二. 解:,由于為連續(xù)函數(shù),故,即 ,解之得三.解:,.因,故,從而,.因此,方程確定的函數(shù)單調(diào)增加且上凸.四.解:表面積,令,得,此時(shí).因S有唯一駐點(diǎn),由實(shí)際問題可知必有最小表面積,故當(dāng),時(shí),表面積最小.五.解:令,則.時(shí),在單調(diào)下降.又,(),()因此,當(dāng)時(shí),在只有一個(gè)零點(diǎn),即原方程在內(nèi)只有一個(gè)解.當(dāng)時(shí),有唯一駐點(diǎn),且在與內(nèi)分別單調(diào)增加和單調(diào)減少.注意到此時(shí),故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即原方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)解.六. 解:(1)令,于是(2)七.因?yàn)橛谑侨菀字?又因?yàn)?故有八.因,故,從而可知拋物線在點(diǎn)的法線方程為或.除去切點(diǎn)外拋物線與法線的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以所求圖形的面積九.,.由泰勒公式,,,有上式當(dāng)時(shí)顯然成立.證畢.十.單調(diào)增加（減少）有上界（下界）的數(shù)列必收斂.下面我們證明數(shù)列是單調(diào)減少有下界的數(shù)列.由于故數(shù)列有下界.此外,因?yàn)楣蕯?shù)列單調(diào)減少.因此,數(shù)列收斂,設(shè)其極限為A,于是解之得（由極限保號(hào)性負(fù)根舍去）.姓名學(xué)號(hào)姓名學(xué)號(hào)學(xué)院專業(yè)座位號(hào)(密封線內(nèi)不答題)……………………密………………封………線……線………_____________________…期末考試《工科數(shù)學(xué)分析》試卷B注意事項(xiàng)：1.考前請(qǐng)將密封線內(nèi)各項(xiàng)信息填寫清楚；2.所有答案請(qǐng)直接答在試卷上(或答題紙上)；3．考試形式：閉卷；4.本試卷共十大題，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘。題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分評(píng)卷人一．計(jì)算極限（每小題5分，共10分）（1） （2）二．（10分）設(shè),試根據(jù)和的值,討論在處的連續(xù)性(包括左連續(xù)、右連續(xù)及間斷點(diǎn)的類型).三．（10分）設(shè)方程確定函數(shù),求.四．（10分）試確定數(shù)列中的最大項(xiàng).五．（10分）設(shè),試討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù).六．計(jì)算下列積分（每小題5分，共10分）（1） （2）七．（10分）設(shè)(為正整數(shù)),試建立數(shù)列的遞推公式,并求的值.八．（10分）求拋物線與直線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.九.（10分）設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),,,,試證明.十．（10分）已知,,,證明數(shù)列收斂并求其極限.《工科數(shù)學(xué)分析》試卷B答案一. （1）解：（2）解：二. 解:.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),不存在.因此,當(dāng)且時(shí),函數(shù)在處連續(xù);當(dāng)且時(shí),函數(shù)在處左連續(xù)但又不連續(xù),為第一類間斷點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)在處左連續(xù),為第二類間斷點(diǎn).三.解:方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得 整理得 于是, .四.解:令,.令,得.則在與上分別單調(diào)增加和單調(diào)減少.從而因此,為最大項(xiàng).五.解:令,.解得唯一駐點(diǎn).在與內(nèi)分別單調(diào)增加和單調(diào)減少.又由于,,所以有如下結(jié)論:(1)當(dāng)時(shí),,原方程沒有根;(2)當(dāng)時(shí),,原方程有一個(gè)根;(3)當(dāng)時(shí),,原方程有兩個(gè)根六. (1)令,則,于是(2)七.因?yàn)橛谑侨菀字?又因?yàn)?故有八.體積元素,因此所求體積九.由泰勒公式,,兩式相減得因此十.單調(diào)增