2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（原卷版）

.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)知識點一用不等式(組)表示不等關(guān)系【【解題思路】1.將不等關(guān)系表示成不等式(組)的解題思路（1）讀懂題意，找準不等式所聯(lián)系的量．（2）用適當?shù)牟坏忍栠B接．（3）多個不等關(guān)系用不等式組表示．2.常見的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過符號語言><≥≤【例1-1】（22-23高一上·四川眉山·階段練習）將一根長為的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為m，若兩段繩子長度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為（

）A． B．或C． D．【例1-2】（23-24高一上·貴州遵義·階段練習）持續(xù)的高溫干燥天氣導致某地突發(fā)山火，現(xiàn)需將物資運往滅火前線．從物資集散地到滅火前線-共，其中靠近滅火前線的山路崎嶇，需摩托車運送，其他路段可用汽車運送．已知在可用汽車運送的路段，運送的平均速度為，設需摩托車運送的路段平均速度為，為使物資能在1小時內(nèi)到達滅火前線，則x應該滿足的不等式為（

）．A． B．C． D．【變式】1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列說法正確的是（

）A．某人的月收入元不高于元可表示為“”B．小明的身高為，小華的身高為，則小明比小華矮可表示為“”C．變量不小于可表示為“”D．變量不超過可表示為“”2．（23-24高一上·廣東深圳·階段練習）公司運輸一批木材，總重600噸，車隊有兩種貨車，A型貨車載重量30噸，型貨車載重量24噸，設派出A型貨車輛，型貨車輛，則運輸方案應滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·四川南充·階段練習）火車站有某公司待運的甲種貨物1530噸，乙種貨物1150噸．現(xiàn)計劃用A，B兩種型號的貨箱共50節(jié)運送這批貨物．已知35噸甲種貨物和15噸乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨箱，25噸甲種貨物和35噸乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨箱，據(jù)此安排A，B兩種貨箱的節(jié)數(shù)，下列哪個方案不滿足：（

）A．A貨箱28節(jié)，B貨箱22節(jié) B．A貨箱29節(jié)，B貨箱21節(jié)C．A貨箱31節(jié)，B貨箱19節(jié) D．A貨箱30節(jié)，B貨箱20節(jié)知識點二作差法、作商法比較大小【【解題思路】作差法或作商法比較兩個實數(shù)大小的解題思路作差或作商變形：采用配方、因式分解、通分、分子分母有理化等定號：作差法-判斷差值與0的大??；作商法-判斷商與1的大小結(jié)論：利用實數(shù)a、b大小比較的結(jié)果【例2-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）設，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無法確定【例2-2】（23-24高一上·北京·階段練習）設，，則（填入“＞”或“＜”）．【變式】1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，設，則與的值的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）（1）;

（2）;（3）;

（4）,;（5）3．（23-24高一上·貴州六盤水·期中）從下列三組式子中選擇一組比較大?。孩僭O，比較的大?。虎谠O，比較的大小；③設，比較的大小.注：如果選擇多組分別解答，按第一個解答計分.知識點三不等式的性質(zhì)【【解題思路】利用不等式性質(zhì)判斷命題真假解題思路(1)運用不等式的性質(zhì)判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當然隨意捏造性質(zhì)．(2)解有關(guān)不等式的選擇題時，也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．【例3-1】（23-24高二下·浙江溫州·期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【例3-2】．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式】1．（2024高二上·福建·學業(yè)考試）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．（2024·福建福州·模擬預測）設，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．知識點四不等式的性質(zhì)求取值范圍【【解題思路】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的解題思路(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍．注意：求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地分別求出單個變量的范圍，再去求其他不等式的范圍．【例4-1】（23-24高一上·陜西咸陽·階段練習）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例4-2】（23-24高一上·河北保定·階段練習）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式】1．（22-23高一上·河南·階段練習）若，則下列各式恒成立的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·山西太原·階段練習）已知，，則的取值范圍（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）（多選）已知，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如果，則（1）的取值范圍是；（2）的取值范圍是；（3）的取值范圍是；（4）的取值范圍是.單選題1．（2023廣西）如圖，在一個面積為200m2的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地，倉庫的長a大于寬b的4倍，則表示上述的不等關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024浙江杭州·階段練習）已知且，，則、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不能確定3．（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023云南）若，下列不等式中不一定成立的是（）A． B． C． D．5．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則6．（2024·新疆克拉瑪依）如果，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特）我國經(jīng)典數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進行計算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大?小竹子各多少根？每根竹子單價各是多少錢？則在這個問題中大竹子每根的單價可能為（

）A．6錢 B．7錢 C．8錢 D．9錢8．（2023春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考開學考試）對于實數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則．多選題9．（23-24高一上·吉林延邊·階段練習）已知實數(shù)x，y滿足，，則（）A． B．C． D．10．（2024·湖南長沙·二模）設a，b，c，d為實數(shù)，且，則下列不等式正確的有（

）A． B． C． D．11．（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列選項中是“”的充分條件的是（

）A． B．C． D．填空題12．（2024高三·全國·專題練習）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，則a與b的大小關(guān)系為．13．（23-24高二下·山東青島·期中）已知，則的取值范圍是.14．（23-24高二下·天津河西·期末）給出下列命題：①若，則；②若，則；③若a，b是非零實數(shù)，且，則；④若，則解答題15．（23-24高一上·云南紅河·期中）比較下列兩式大?。?1)與(2)與（3）已知，試比較與的大小.（4）已知，試比較和的大小.16．（22-23高一上·山東淄博·階段練習）（1）如果，，求，，的取值范圍.（2）已知，滿足，，求的取值范圍.（3）實數(shù)a，b滿足，.①求實數(shù)a，b的取值范圍；②求的取值范圍.17．（23-24高一上·山東青島·階段練習）現(xiàn)有四個長方體容器，的底面積均為，高分別為；的底面積均為，高分別為（其中）．現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個盛水，盛水多者為勝．問先取者在未能確定與大小的情況下有沒有必勝的方案？若有，有幾種？請加以證明.18．（22-23高一·全國·課堂例題）糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出一個怎樣的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加點糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡.19．（23-24高一上·上海嘉定·階段練習）對在