第七章 第5講 空間向量及空間位置關系

第七章立體幾何與空間向量第5講空間向量及空間位置關系

課標要求命題點五年考情命題分析預測1.(1)了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標

系刻畫點的位置；(2)借助特殊長方體頂點的坐

標，探索并得出空間兩點間的距離公式.2.了解空間向量的概念.空間向

量的基

本定理該講知識是利

用空間向量求

解立體幾何問

題的基礎，課標要求命題點五年考情命題分析預測3.(1)了解空間向量基本定理及其意義，掌握

空間向量的正交分解及其坐標表示；(2)掌握

空間向量的線性運算及其坐標表示；(3)掌握

空間向量的數(shù)量積及其坐標表示；(4)了解空

間向量投影的概念以及投影向量的意義.空間向

量的坐

標運算主要用來求解

平面的法向量

和直線的方向

向量，課標要求命題點五年考情命題分析預測4.(1)理解直線的方向向量與平面的法向

量；(2)能用向量語言表述直線與直線、

直線與平面、平面與平面的垂直與平行

關系；(3)能用向量方法證明有關直線、

平面位置關系的判定定理.利用向

量法證

明平行

與垂直

問題2021新高考卷

ⅡT10；2021全

國卷甲T19；

2021浙江T6；

2020天津T17以及利用向量

解決空間位置

關系的判斷問

題，考查數(shù)學

運算素養(yǎng).

1.空間向量的三個定理共線向

量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使①

?.共面向

量定理若兩個向量a，b②

，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有

序實數(shù)對(x，y)，使③

?.空間向

量基本

定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有

序實數(shù)組(x，y，z)，使得p＝④

，{a，b，c}叫做空間的一

個基底.注意

(1)空間任意三個不共面的向量都可構成空間的一個基底.(2)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.a＝λb

不共線

p＝xa＋yb

xa＋yb＋zc

規(guī)律總結應用共線(面)向量定理證明點共線(面)的方法P，A，B三點共線M，P，A，B四點共面2.空間向量的坐標運算設

a

＝(

a

1，

a

2，

a

3)，

b

＝(

b

1，

b

2，

b

3)，則(1)

a

±

b

＝(

a

1±

b

1，

a

2±

b

2，

a

3±

b

3)；(2)λ

a

＝(λ

a

1，λ

a

2，λ

a

3)(λ∈R)；(3)

a

·

b

＝⑤

?；(4)

a

∥

b

?

a

＝λ

b

(

b

≠0)?⑥

?；(5)

a

⊥

b

?

a

·

b

＝0?⑦

?；

a

1

b

1＋

a

2

b

2＋

a

3

b

3

a

1＝λ

b

1，

a

2＝λ

b

2，

a

3＝λ

b

3(λ∈R)

a

1

b

1＋

a

2

b

2＋

a

3

b

3＝0

規(guī)律總結空間兩點間的距離及中點坐標公式設點

A

(

x

1，

y

1，

z

1)，

B

(

x

2，

y

2，

z

2)是空間中兩點，則(1)

AB

＝⑧

?；

3.直線的方向向量和平面的法向量直線的

方向向

量如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱向量a

為直線l的方向向量.平面的

法向量直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.一個平面

的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量.

確定平面法向量的方法(1)直接法：觀察是否有垂直于平面的直線，若有，則此直線的方向向量就是平面的

法向量.

注意

n

＝(0，0，0)不能作為法向量.

方法技巧向量的叉乘

a

×

b

運算得出的是與

a

，

b

垂直的向量，所以可以利用叉乘計算平面的

法向量，運算法則如下：

4.空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為

n1，n2.l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R，λ≠0)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α

的法向量為m.l∥αn⊥m?⑨

?l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R，λ≠0)平面α，β的法向量分別為

n，m.α∥βn∥m?n＝λm(λ∈R，λ≠0)α⊥βn⊥m?⑩

?m·n＝0

m·n＝0

1.下列說法正確的是(

C

)A.直線的方向向量是唯一確定的B.若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥αC.若兩平面的法向量平行，則兩平面平行D.若直線a的方向向量與平面α的法向量垂直，則a∥αC123452.已知

A

(1，0，0)，

B

(0，1，0)，

C

(0，0，1)，則下列向量是平面

ABC

的一個法

向量的是(

C

)A.(－1，1，1)B.(1，－1，1)C123453.在空間直角坐標系中，

A

(1，1，－2)，

B

(1，2，－3)，

C

(－1，3，0)，

D

(

x

，

y

，

z

)(

x

，

y

，

z

∈R)，若

A

，

B

，

C

，

D

四點共面，則(

A

)A.2x＋y＋z＝1B.x＋y＋z＝0C.x－y＋z＝－4D.x＋y－z＝0A123454.已知向量

a

＝(1，0，－1)，則下列向量中與

a

成60°夾角的是(

B

)A.(－1，1，0)B.(1，－1，0)C.(0，－1，1)D.(－1，0，1)B123455.[教材改編]已知

u

＝(3，

a

＋

b

，

a

－

b

)(

a

，

b

∈R)是直線

l

的方向向量，

n

＝(1，

2，3)是平面α的法向量.若

l

∥α，則

a

與

b

的關系式為

；若

l

⊥α，

則

a

＋

b

＝

?.

5

a

－

b

＋3＝0

6

12345

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件A例1訓練1訓練2例2訓練3例3[解析]由題可知，要使

P

，

A

，

B

，

C

四點共面，則需

x

＋

y

＋

z

＝1.當

x

＝2，

y

＝

－3，

z

＝2時滿足條件，所以

x

＝2，

y

＝－3，

z

＝2是

P

，

A

，

B

，

C

四點共面的充

分條件；反之，當四點共面時，只要

x

＋

y

＋

z

＝1即可，不一定要取

x

＝2，

y

＝－3，

z

＝2，所以

x

＝2，

y

＝－3，

z

＝2不是

P

，

A

，

B

，

C

四點共面的必要條件.故

x

＝2，

y

＝－3，

z

＝2是

P

，

A

，

B

，

C

四點共面的充分不必要條件.例1訓練1訓練2例2訓練3例3

B例1訓練1訓練2例2訓練3例3

例1訓練1訓練2例2訓練3例3方法技巧1.證明空間四點共面的方法(1)利用共線向量定理；(2)利用共面向量定理.2.空間基底的要求是不共面的三個向量.例1訓練1訓練2例2訓練3例3訓練1

[多選]如圖，在四面體

PABC

中，以下說法正確的有(

ABC

)ABC例1訓練1訓練2例2訓練3例3

例1訓練1訓練2例2訓練3例3

例1訓練1訓練2例2訓練3例3命題點2

空間向量的坐標運算例2

(1)若向量

a

＝(1，1，

x

)，

b

＝(1，2，1)，

c

＝(1，1，1)，且(

c

－

a

)·(2

b

)＝-2，則

x

＝

?.[解析]

c

－

a

＝(0，0，1－

x

)，(

c

－

a

)·(2

b

)＝(0，0，1－

x

)·2(1，2，1)＝2(1－

x

)

＝－2，解得

x

＝2.2

例1訓練1訓練2例2訓練3例3

例1訓練1訓練2例2訓練3例3

依題意得

A

1(1，0，2)，

C

(0，0，0)，

B

1(0，1，2).

例1訓練1訓練2例2訓練3例3方法技巧空間向量的概念以及空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運算及其坐標表示是平面向

量的類比推廣.例1訓練1訓練2例2訓練3例3訓練2

(1)[多選]已知空間向量

a

＝(2，－2，1)，

b

＝(3，0，4)，則下列說法正確的

是(

BC

)A.向量c＝(－8，5，6)與a，b垂直B.向量d＝(1，－4，－2)與a，b共面D.向量a在向量b上的投影向量為(6，0，8)BC例1訓練1訓練2例2訓練3例3

例1訓練1訓練2例2訓練3例3

1

2

例1訓練1訓練2例2訓練3例3

例1訓練1訓練2例2訓練3例3命題點3

利用向量法證明平行與垂直問題例3

[2021浙江高考]如圖，已知正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1，

M

，

N

分別是

A

1

D

，

D

1

B

的中點，則(

A

)AA.直線A1D與直線D1B垂直，直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交，直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥平面BDD1B1例1訓練1訓練2例2訓練3例3

例1訓練1訓練2例2訓練3例3解法二連接

AD

1，則易得點

M

在

AD

1上，且

AD

1⊥

A

1

D

.

因為

AB

⊥平面

AA

1

D

1

D

，所以

AB

⊥

A

1

D

，又

AB

∩

AD

1＝

A

，所以

A

1

D

⊥平面

ABD

1，所以

A

1

D

與

BD

1

異面且垂直，故B，C不正確.在△

ABD

1中，由中位線定理可得

MN

∥

AB

，又

MN

?

平面

ABCD

，

AB

?平面

ABCD

，所以

MN

∥平面

ABCD

，故A正確.易知直線

AB

與平

面

BB

1

D

1

D

成45°角，所以

MN

與平面

BB

1

D

1

D

不垂直，故D不正確.故選A.例1訓練1訓練2例2訓練3例3方法技巧1.利用空間向量證明平行問題的方法線線

平行證明兩條直線的方向向量共線.線面

平行(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；(2)證明該直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行；(3)證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性表示.面面

平行(1)證明兩個平面的法向量平行；(2)轉化為線線平行、線面平行問題.例1訓練1訓練2例2訓練3例32.利用空間向量證明垂直問題的方法線線

垂直證明兩直線的方向向量垂直，即證它們的數(shù)量積為零.線面

垂直(1)證明直線的方向向量與平面的法向量共線；(2)證明直線的方向向量與平面內的兩條相交直線的方向向量都垂直.面面

垂直(1)其中一個平面與另一個平面的法向量平行；(2)兩個平面的法向量垂直.注意

用向量法證明平行與垂直問題時，要注意解題的規(guī)范性.如證明線面平行

時，需要說明一條直線在平面內，另一條直線在平面外.例1訓練1訓練2例2訓練3例3訓練3

如圖，在矩形

ABCD

中，

AB

＝2

BC

，

P

，

Q

分別為線段

AB

，

CD

的中點，

EP

⊥平面

ABCD

.

求證：(1)

AQ

∥平面

CEP

；例1訓練1訓練2例2訓練3例3[解析]

如圖，連接

PQ

，因為四邊形

ABCD

為矩形，且

P

，

Q

分別為線段

AB

，

CD

的中點，則

PQ

⊥

AB

.

易知

PA

，

PQ

，

PE

兩兩垂直，以

P

為坐標原點，分別以

PA

，

PQ

，

PE

所在直線為

x

軸、

y

軸、

z

軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設

AB

＝2，

PE

＝

a

，則

P

(0，0，0)，

A

(1，0，0)，

Q

(0，1，0)，

E

(0，0，

a

)，

C

(－1，1，0)，

D

(1，1，0).

又

AQ

?平面

CEP

，

PC

?平面

CEP

，(注意說明前提條件)所以

AQ

∥平面

CEP

.

例1訓練1訓練2例2訓練3例3

(2)平面

AEQ

⊥平面

DEP

.

例1訓練1訓練2例2訓練3例3

1232.[命題點1，2]已知向量

a

＝(2，－1，3)，

b

＝(－1，4，－2)，

c

＝(7，5，λ)，若

a

，

b

，

c

三向量共面，則實數(shù)λ＝

?.

123

123

設

CD

＝

a

，因為

P

為

BM

的中點，

AQ

＝3

QC

，

又平面

BCD

的一個法向量

n

＝(0，0，1)，

又

PQ

?平面

BCD

，所以

PQ

∥平面

BCD

.

123

1.以下各選項中的三個向量，不能構成空間基底的是(

A

)B.a＝(1，0，0)，b＝(0，1，0)，c＝(0，0，2)C.a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，c＝(2，1，2)D.a＝(1，1，1)，b＝(0，1，0)，c＝(1，0，2)A1234567891011

12345678910112.已知直線

l

1的一個方向向量

a

＝(2，4，

x

)，直線

l

2的一個方向向量

b

＝(2，

y

，

2)，若｜

a

｜＝6，且

l

1⊥

l

2，則

x

＋

y

的值是(

A

)A.－3或1B.3或－1C.－3D.1

A12345678910113.已知

a

＝(1，2，－

y

)，

b

＝(

x

，1，2)，且(

a

＋2

b

)∥(2

a

－

b

)，則

(

B

)D.x＝1，y＝－1

B12345678910114.[多選/2024廣東佛山一中校考]下列關于空間向量的命題中，正確的有(

BD

)A.直線l的一個方向向量是a＝(0，3，0)，平面α的一個法向量是u＝(0，－5，0)，則

l∥αB.若a，b，c可構成空間的一個基底，則向量a＋b，b＋c，c＋a也可構成空間的一

個基底C.若非零向量a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則有a∥cBD1234567891011

1234567891011

1234567891011

1234567891011

A.－8D.1B1234567891011

1234567891011

12345678910117.[多選/2024浙江聯(lián)考]如圖，在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝2，點

M

，

N

分別在棱

AB

和

BB

1上運動(不含端點)，若

D

1

M

⊥

MN

，則下列命題正確的是

(

AD

)A.MN⊥A1MB.MN⊥平面D1MCC.線段BN長度的最大值為1D.三棱錐D1－A1C1M體積不變AD1234567891011

1234567891011

12345678910118.[多選/2024廣東清遠模擬]如圖，正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱長為2，點

O

為

底面

ABCD

的中心，點

P

為側面

BB

1

C

1

C

內(不含邊界)的動點，則(

AC

)A.D1O⊥ACB.存在點P，使得D1O∥B1PAC1234567891011[解析]以點

D

為坐標原點，

DA

，

DC

，

DD

1所在直線分別為

x

軸，

y

軸，

z

軸建立

如圖所示的空間直角坐標系，則

A

(2，0，0)，

C

(0，2，0)，

D

(0，0，0)，

D

1(0，

0，2)，

B

1(2，2，2)，

C

1(0，2，2)，

O

(1，1，0)，設點

P

(

x

，2，

z

)，其中0＜

x

＜

2，0＜

z

＜2.1234567891011

1234567891011

12345678910119.如圖，已知平行六面體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，底面

ABCD

是邊長為1的正方

形，

AA

1＝2，∠

A

1

AB

＝∠

A

1

AD

＝120°.(1)求線段

AC

1的長；1234567891011

1234567891011

(2)求異面直線

AC

1與

A

1

D

所成角的余弦值；1234567891011(3)求證：

AA

1⊥

BD

.

123456789101110.[2024遼寧省遼東教學共同體聯(lián)考]如圖，已知四棱錐

P

－

ABCD

的底面是直角梯

形，

AB

∥

DC

，∠

DAB

＝90°，

PD

⊥底面

ABCD

，且

PD

＝

DA

＝

CD

＝2

AB

＝2，

M

點為

PC

的中點.(1)求證：

BM

∥平面

PAD

.

[解析]