第二章 第7講 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

第二章函數(shù)第7講函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.2.了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會(huì)畫程序框圖，能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間

本講是高考的熱點(diǎn)，主要考查函數(shù)是否存在零點(diǎn)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用零點(diǎn)(方程實(shí)根)的存在情況求相關(guān)參數(shù)的范圍，題型以選擇題、填空題為主，有時(shí)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)綜合考查，一般難度較大.備考時(shí)，要掌握函數(shù)零點(diǎn)存在定理及數(shù)形結(jié)合思想.判斷函

數(shù)的零

點(diǎn)個(gè)數(shù)

2021北京T15；2019

全國(guó)卷ⅢT5課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.2.了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會(huì)畫程序框圖，能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.函數(shù)零

點(diǎn)的應(yīng)

用2023天津T15；2022天津T15；2020天津T9；2019浙江T9本講是高考的熱點(diǎn)，主要考查函數(shù)是否存在零點(diǎn)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用零點(diǎn)(方程實(shí)根)的存在情況求相關(guān)參數(shù)的范圍，題型以選擇題、填空題為主，有時(shí)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)綜合考查，一般難度較大.備考時(shí)，要掌握函數(shù)零點(diǎn)存在定理及數(shù)形結(jié)合思想.

1.函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)

y

＝

f

(

x

)，我們把使①

的實(shí)數(shù)

x

叫做函數(shù)

y

＝

f

(

x

)的零點(diǎn).注意

零點(diǎn)不是點(diǎn)，是滿足

f

(

x

)＝0的實(shí)數(shù)

x

.f

(

x

)＝0

2.三個(gè)等價(jià)關(guān)系3.零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)

y

＝

f

(

x

)在區(qū)間[

a

，

b

]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有④

?

，那么，函數(shù)

y

＝

f

(

x

)在區(qū)間⑤

內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在

c

∈(

a

，

b

)，使得⑥

，這個(gè)

c

也就是方程

f

(

x

)＝0的解.注意

(1)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷

函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn).(2)對(duì)于連續(xù)函數(shù)

f

(

x

)，在[

a

，

b

]上，

f

(

a

)·

f

(

b

)＜0是

f

(

x

)在(

a

，

b

)上存在零點(diǎn)的

充分不必要條件.f

(

a

)·

f

(

b

)＜0

(

a

，

b

)

f

(

c

)＝0

規(guī)律總結(jié)(1)若圖象連續(xù)不斷的函數(shù)

f

(

x

)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)

f

(

x

)至多有一個(gè)零點(diǎn).(2)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).4.二分法對(duì)于在區(qū)間[

a

，

b

]上圖象連續(xù)不斷且

f

(

a

)·

f

(

b

)＜0的函數(shù)

y

＝

f

(

x

)，通過(guò)不斷地把

它的⑦

所在區(qū)間⑧

?，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，

進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.零點(diǎn)

一分為二

思維拓展給定精確度ε，用二分法求函數(shù)

y

＝

f

(

x

)零點(diǎn)

x

0的近似值的一般步驟：1.確定零點(diǎn)

x

0的初始區(qū)間[

a

，

b

]，驗(yàn)證

f

(

a

)

f

(

b

)＜0.2.求區(qū)間(

a

，

b

)的中點(diǎn)

c

.3.計(jì)算

f

(

c

)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：(1)若

f

(

c

)＝0(此時(shí)

x

0＝

c

)，則

c

就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若

f

(

a

)

f

(

c

)＜0(此時(shí)

x

0∈(

a

，

c

))，則令

b

＝

c

；(3)若

f

(

c

)

f

(

b

)＜0(此時(shí)

x

0∈(

c

，

b

))，則令

a

＝

c

.4.判斷是否達(dá)到精確度ε：若｜

a

－

b

｜＜ε，則得到零點(diǎn)近似值

a

(或

b

)；否則重復(fù)

步驟2～4.

1.下列說(shuō)法正確的是(

D

)A.函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)B.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0C.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac≤0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)D.函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)解D1234

A.(3，4)B.(2，3)C.(1，2)D.(0，1)

B1234

[解析]當(dāng)

x

≤0時(shí)，由

x

2＋

x

－2＝0，得

x

＝－2.當(dāng)

x

＞0時(shí)，由－1＋lnx

＝0，得

x

＝e.所以

f

(

x

)的零點(diǎn)為－2，e.－2，e

12344.已知函數(shù)

y

＝

f

(

x

)

的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對(duì)應(yīng)值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6則函數(shù)

y

＝

f

(

x

)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有

個(gè).[解析]依題意，

f

(2)＞0，

f

(3)＜0，

f

(4)＞0，

f

(5)＜0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，

f

(

x

)在區(qū)間(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有1個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)

y

＝

f

(

x

)在區(qū)間

[1，6]上的零點(diǎn)至少有3個(gè).3

1234

命題點(diǎn)1

判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間

例1(1)[2024海南模擬]函數(shù)

f

(

x

)＝

x

＋sin

x

－2的零點(diǎn)所在區(qū)間為(

B

)A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)[解析]因?yàn)?/p>

f

'(

x

)＝1＋cos≥0，所以

f

(

x

)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.因?yàn)?/p>

f

(1)＝－1＋

sin1＜0，

f

(2)＝sin2＞0，所以函數(shù)

f

(

x

)的零點(diǎn)在(1，2)內(nèi).故選B.B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5(2)函數(shù)

f

(

x

)＝log3

x

＋

x

－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

B

)A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)[解析]

解法一函數(shù)

f

(

x

)＝log3

x

＋

x

－2的定義域?yàn)?0，＋∞)，并且

f

(

x

)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.由題意知

f

(1)＝－1＜0，

f

(2)＝log32＞0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)

f

(

x

)＝log3

x

＋

x

－2有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi).故選B.B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5解法二將判斷函數(shù)

f

(

x

)的零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)

g

(

x

)＝log3

x

，

h

(

x

)＝

－

x

＋2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的范圍.作出兩函數(shù)圖象如圖所示，可知

f

(

x

)的零點(diǎn)

所在的區(qū)間為(1，2).故選B.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5方法技巧確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先看函數(shù)

y

＝

f

(

x

)在區(qū)間[

a

，

b

]上的圖象是否連續(xù)，再

看是否有

f

(

a

)·

f

(

b

)＜0.(2)數(shù)形結(jié)合法：畫函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象與

x

軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷，也可轉(zhuǎn)化為觀察兩個(gè)函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5訓(xùn)練1若

a

＜

b

＜

c

，則函數(shù)

f

(

x

)＝(

x

－

a

)(

x

－

b

)＋(

x

－

b

)(

x

－

c

)＋(

x

－

c

)(

x

－

a

)

的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(

A

)A.(a，b)和(b，c)內(nèi)B.(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D.(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)[解析]因?yàn)?/p>

f

(

a

)＝(

a

－

b

)(

a

－

c

)＞0，

f

(

b

)＝(

b

－

c

)(

b

－

a

)＜0，

f

(

c

)＝(

c

－

a

)(

c

－

b

)＞0，所以

f

(

a

)·

f

(

b

)＜0，

f

(

b

)·

f

(

c

)＜0，所以函數(shù)

f

(

x

)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(

a

，

b

)和(

b

，

c

)內(nèi).故選A.A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5命題點(diǎn)2

判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例2(1)[全國(guó)卷Ⅲ]函數(shù)

f

(

x

)＝2sin

x

－sin2

x

在[0，2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

B

)A.2B.3C.4D.5[解析]

f

(

x

)＝2sin

x

－2sin

x

cos

x

＝2sin

x

(1－cos

x

)，令

f

(

x

)＝0，則sin

x

＝0或

cos

x

＝1，所以

x

＝

k

π(

k

∈Z)，又

x

∈[0，2π]，所以

x

＝0或

x

＝π或

x

＝2π.故選B.B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

A.3B.7C.5D.6B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5方法技巧判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)直接法：令

f

(

x

)＝0，解方程可得.(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理：利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如

單調(diào)性、奇偶性)判斷.(3)圖象法：將判斷函數(shù)

f

(

x

)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)

f

(

x

)的圖象與

x

軸交點(diǎn)的個(gè)

數(shù)，或?qū)⒑瘮?shù)

f

(

x

)拆成兩個(gè)函數(shù)

h

(

x

)和

g

(

x

)的差的形式，判斷函數(shù)

y

＝

h

(

x

)和

y

＝

g

(

x

)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

A.14B.13C.12D.11B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5[解析]易得函數(shù)

y

＝

f

(

x

)是周期為2的函數(shù)，因?yàn)?/p>

x

∈[－1，1]時(shí)，

f

(

x

)＝1－

x

2，

所以作出

y

＝

f

(

x

)的圖象，如圖所示.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5(2)[2023河南省部分學(xué)校押題信息卷]設(shè)

f

(

x

)是定義在R上且周期為5的奇函數(shù)，

f

(3)

＝0，則

f

(

x

)在[0，10]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少是(

D

)A.4B.6C.7D.9

D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

C.(－2，0)D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

C.(－∞，0)B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5方法技巧已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)取值范圍的方法(1)直接法：先直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過(guò)解不等式(組)

確定參數(shù)的取值范圍.(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，再在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，最

后數(shù)形結(jié)合求解.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5角度3

函數(shù)零點(diǎn)(或方程根)的和例5

[2023廣東六校第一次聯(lián)考]定義在R上的函數(shù)

f

(

x

)滿足

f

(－

x

)＋

f

(

x

)＝0，

f

(

x

)

＝

f

(2－

x

)；且當(dāng)

x

∈[0，1]時(shí)，

f

(

x

)＝

x

3－

x

2＋

x

.則方程7

f

(

x

)－

x

＋2＝0所有的根

的和為(

A

)A.14B.12C.10D.8A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5[解析]由

f

(－

x

)＋

f

(

x

)＝0，

f

(

x

)＝

f

(2－

x

)可得

f

(

x

)為奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線

x

＝1對(duì)稱，且易得

f

(

x

)的周期為4.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5方法技巧解函數(shù)零點(diǎn)(或方程根)的和的問(wèn)題的方法(1)把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，通過(guò)解方程，求出方程的所有根，再求出這些

根的和.(2)作出函數(shù)的草圖，通過(guò)函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出函數(shù)零點(diǎn)的對(duì)稱性，從而求出

這些零點(diǎn)的和.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5訓(xùn)練3

(1)[2023湖北省沙市中學(xué)模擬]若函數(shù)

f

(

x

)＝lnx

＋

x

2＋

a

－1在區(qū)間(1，e)內(nèi)

有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是(

A

)A.(－e2，0)B.(－e2，1)C.(1，e)D.(1，e2)[解析]函數(shù)

f

(

x

)的定義域?yàn)?0，＋∞)，因?yàn)楹瘮?shù)

y

＝lnx

與

y

＝

x

2在(0，＋∞)上均

單調(diào)遞增，所以函數(shù)

f

(

x

)＝lnx

＋

x

2＋

a

－1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則由函數(shù)

f

(

x

)

在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)知

f

(1)

f

(e)＜0，即

a

(e2＋

a

)＜0，解得－e2＜

a

＜0，故選A.A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

A.2B.3C.0D.1[解析]令

t

＝

f

(

x

)，則

h

(

t

)＝

t

2－

f

(

t

)，令

h

(

t

)＝0，可得

t

2＝

f

(

t

)，當(dāng)

t

＞0時(shí)，由

t

2＝

f

(

t

)，可得

t

2＝(

t

－2)2，即－4

t

＋4＝0，解得

t

＝1；當(dāng)

t

＜0時(shí)，由

t

2＝

f

(

t

)，可得

t

2＝2

t

＋3，即

t

2－2

t

－3＝0，解得

t

＝－1或

t

＝3(舍去)，所以

t

＝±1，即

f

(

x

)＝±1.當(dāng)

x

＞0時(shí)，令(

x

－2)2＝1或(

x

－2)2＝－1(舍去)，解得

x

＝1或

x

＝3；當(dāng)

x

＜0時(shí)，令2

x

＋3＝1或2

x

＋3＝－1，解得

x

＝－1或

x

＝－2，所以函數(shù)

g

(

x

)＝[

f

(

x

)]2－

f

[

f

(

x

)]的零點(diǎn)之和為1＋3－1－2＝1.故選D.D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5(3)[多選/2023廊坊模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)＝｜

x

2＋3

x

＋1｜－

a

｜

x

｜，則下列結(jié)論正

確的是(

AC

)A.若f(x)沒(méi)有零點(diǎn)，則a∈(－∞，0)B.若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a∈(1，5)C.若f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a＝1或a＝5D.若f(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a∈(5，＋∞)AC例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

由圖可知，若

f

(

x

)沒(méi)有零點(diǎn)，則

a

∈(－∞，0)，故A正確；若

f

(

x

)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則

a

∈{0}∪(1，5)，故B不正確；若

f

(

x

)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則

a

＝1或

a

＝5，故C正確；若

f

(

x

)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則

a

∈(0，1)∪(5，＋∞)，故D不正確.故選AC.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

A.2B.3C.4D.5B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

當(dāng)

x

≥0時(shí)，

f

(

x

)＝6

x

3－9

x

2＋1，則

f

'(

x

)＝18

x

2－18

x

＝18

x

(

x

－1).當(dāng)

x

∈(0，1)時(shí)，

f

'(

x

)＜0；當(dāng)

x

∈(1，＋∞)時(shí)，

f

'(

x

)＞0.

所以

g

(

x

)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故選B.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5方法技巧復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的求解關(guān)鍵：一是注意觀察圖象特征；二是將外層函數(shù)的

定義域和內(nèi)層函數(shù)的值域準(zhǔn)確對(duì)接.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5訓(xùn)練4

[多選/2024云南省下關(guān)第一中學(xué)模擬]函數(shù)

y

＝

f

(

x

)和

y

＝

g

(

x

)在[－2，2]上的

圖象分別如圖1，2所示.則以下四個(gè)說(shuō)法正確的是(

ACD

)ACDA.方程f(g(x))＝0有且僅有6個(gè)根B.方程g(f(x))＝0有且僅有3個(gè)根C.方程f(f(x))＝0有且僅有5個(gè)根D.方程g(g(x))＝0有且僅有4個(gè)根例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5[解析]易得函數(shù)

f

(

x

)有3個(gè)零點(diǎn)，分別設(shè)為

m

1，

m

2，

m

3，令

m

1＜

m

2＜

m

3，則有

m

1∈(－2，－1)，

m

2＝0，

m

3∈(1，2).函數(shù)

g

(

x

)有2個(gè)零點(diǎn)，分別設(shè)為

n

1，

n

2，令

n

1＜

n

2，則有

n

1∈(－2，－1)，

n

2∈(0，1).對(duì)于A，方程

f

(

g

(

x

))＝0的根的個(gè)數(shù)即

g

(

x

)的圖象與直線

y

＝

m

1，

y

＝0，

y

＝

m

3的

交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和，如圖1，易得總共有6個(gè)交點(diǎn)，故A正確.圖1例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5圖1對(duì)于B，方程

g

(

f

(

x

))＝0的根的個(gè)數(shù)即

f

(

x

)的圖象與直線

y

＝

n

1，

y

＝

n

2的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)之和，如圖2，易得總共有4個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.圖2圖2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5圖3圖3對(duì)于C，方程

f

(

f

(

x

))＝0的根的個(gè)數(shù)即

f

(

x

)的圖象與直線

y

＝

m

1，

y

＝0，

y

＝

m

3的

交點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和，如圖3，易得總共有5個(gè)交點(diǎn)，故C正確.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5圖4圖4對(duì)于D，方程

g

(

g

(

x

))＝0的根的個(gè)數(shù)即

g

(

x

)的圖象與直線

y

＝

n

1，

y

＝

n

2的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)之和，如圖4，易得總共有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選ACD.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5方法技巧已知復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題的解題關(guān)鍵：一是會(huì)轉(zhuǎn)化，會(huì)把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化

為方程的根；二是會(huì)構(gòu)造，通過(guò)換元法，把復(fù)合方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的方

程根的問(wèn)題；三是會(huì)作圖，明晰“草圖不草”；四是會(huì)用圖，通過(guò)觀察圖象特征，

求得參數(shù)的取值范圍.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4例5訓(xùn)練3例6訓(xùn)練4例7訓(xùn)練5

1.[命題點(diǎn)2/2024四川省成都市零診]函數(shù)

f

(

x

)＝e

x

－2023｜

x

－2｜的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

(

D

)A.0B.1C.2D.3D1234

12342.[命題點(diǎn)3角度1/2023天津高考]若函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

2－2

x

－｜

x

2－

ax

＋1｜有且僅有

兩個(gè)零點(diǎn)，則

a

的取值范圍為

?.

(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)

1234

若

a

≠0且

a

≠±1，分以下兩種情況：1234

1234

D.(0，1)C1234

1234

A.6B.5C.4D.3B1234

當(dāng)

x

＞1時(shí)，

f

(

x

)＝｜log3(

x

－1)｜，先作出函數(shù)

y

＝log3

x

的圖象，再將其向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，最后將

x

軸下方的圖象關(guān)于

x

軸翻折，就得到函數(shù)

f

(

x

)＝｜log3(

x

－1)｜的圖象，如圖1所示.圖11234圖1

圖2圖21234

如圖3，因?yàn)?＜

t

1＜1，所以直線

y

＝

t

1和

y

＝

f

(

x

)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程

f

(

x

)

＝

t

1有兩個(gè)不等實(shí)根；因?yàn)?＜

t

2＜2，所以直線

y

＝

t

2和

y

＝

f

(

x

)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即方程

f

(

x

)＝

t

2有三

個(gè)不等實(shí)根.圖3

1234

1.[2024廣東省茂名市模擬]函數(shù)

f

(

x

)＝e

x

－

x

－2的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

B

)A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)[解析]因?yàn)?/p>

f

(1)＝e－1－2＜0，

f

(2)＝e2－4＞0，

根據(jù)零點(diǎn)存在定理得函數(shù)

f

(

x

)在

(1，2)內(nèi)有零點(diǎn)，所以選B.B123456789101112131415

A.3B.2C.7D.0

解得

x

＝－2或

x

＝e.因此函數(shù)

f

(

x

)共有2個(gè)零點(diǎn).故選B.B123456789101112131415解法二(圖象法)函數(shù)

f

(

x

)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)

f

(

x

)共有2個(gè)零點(diǎn).故選B.123456789101112131415

A.x1＜x2＜x3B.x2＜x1＜x3C.x1＜x3＜x2D.x2＜x3＜x1A123456789101112131415

1234567891011121314154.已知

x

1是lnx

＋

x

＝5的根，

x

2是ln(4－

x

)－

x

＝1的根，則(

A

)A.x1＋x2＝4B.x1＋x2∈(5，6)C.x1＋x2∈(4，5)D.x1＋x2＝5[解析]由lnx

＋

x

＝5，得lnx

＝5－

x

，因?yàn)楹瘮?shù)

y

＝lnx

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

函數(shù)

y

＝5－

x

在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由函數(shù)

y

＝lnx

與函數(shù)

y

＝5－

x

的圖象

(圖略)可知lnx

＝5－

x

有唯一解

x

1.由ln(4－

x

)－

x

＝1，得ln(4－

x

)＝1＋

x

，令

t

＝4

－

x

(

t

＞0)，得lnt

＝5－

t

，由題意可知4－

x

2是lnt

＝5－

t

的根，所以

x

1＝4－

x

2，

所以

x

1＋

x

2＝4，故選A.A123456789101112131415

A.4B.5C.6D.7C123456789101112131415[解析]令

t

＝

f

(

x

)－1，則由

f

(

t

)－1＝0即

f

(

t

)＝1，解得

t

＝－2或0或e，即

f

(

x

)－

1＝－2或0或e，所以

f

(

x

)＝－1或1或e＋1.在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出

y

＝

f

(

x

)，

y

＝－1，

y

＝1，

y

＝e＋1的圖象，如

圖所示，123456789101112131415由圖象可知

y

＝

f

(

x

)的圖象與

y

＝－1有1個(gè)交點(diǎn)，即

f

(

x

)＝－1有1個(gè)根；

y

＝

f

(

x

)的

圖象與

y

＝1有3個(gè)交點(diǎn)，即

f

(

x

)＝1有3個(gè)根；

y

＝

f

(

x

)的圖象與

y

＝e＋1有2個(gè)交

點(diǎn)，即

f

(

x

)＝e＋1有2個(gè)根.所以函數(shù)

y

＝

f

(

f

(

x

)－1)－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1＋3＋2＝6，

故選C.1234567891011121314156.[2024遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3－

x

2＋5，

x

∈[－2，－1]有零點(diǎn)，用二

分法求零點(diǎn)的近似值(精確度為0.2)時(shí)，至少需要進(jìn)行(

B

)次中點(diǎn)函數(shù)值的計(jì)算.A.2B.3C.4D.5B123456789101112131415

123456789101112131415

5

1234567891011121314158.[2024湖南省株洲市第二中學(xué)模擬]設(shè)[

x

]表示不超過(guò)

x

的最大整數(shù)，則方程

x

2－

4[

x

]＋3＝0的所有根的和為

?.

123456789101112131415

9.[2023全國(guó)卷乙]函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3＋

ax

＋2存在3個(gè)零點(diǎn)，則

a

的取值范圍是(

B

)A.(－∞，－2)B.(－∞，－3)C.(－4，－1)D.(－3，0)B123456789101112131415

123456789101112131415

D123456789101112131415

12345678910111213141511.[多選/2023南京市二模]已知函數(shù)

f

(

x

)＝｜e

x

－

a

｜，

a

＞0.下列說(shuō)法正確的為

(

BCD

)A.若a＝1，則函數(shù)y＝f(x)與y＝1的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)B.若函數(shù)y＝f(x)與y＝a2的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則0＜a＜1C.若a＞1，則函數(shù)y＝f(f(x))有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D.若y＝f(x)的圖象在x＝x1和x＝x2處的切線相互垂直，則x1＋x2＝0BCD123456789101112131415[解析]

解法一(解方程)對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)

a

＝1時(shí)，令

f

(

x

)＝｜e

x

－1｜＝1，解

得e

x

＝0(舍去)或e

x

＝2，則

x

＝ln2，故函數(shù)

y

＝

f

(

x

)與

y

＝1的圖象只有一個(gè)

公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，由｜e

x

－

a

｜＝

a

2有e

x

＝

a

＋

a

2或e

x

＝

a

－

a

2，由

a

＞0得

a

＋

a

2

＞0，則e

x

＝

a

＋

a

2必有唯一解，故當(dāng)函數(shù)

y

＝

f

(

x

)與

y

＝

a

2的圖象有兩個(gè)公

共點(diǎn)時(shí)，e

x

＝

a

－

a

2必有解，故

a

－

a

2＞0，解得0＜

a

＜1，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)

f

(

f

(

x

))＝0，

t

＝

f

(

x

)，則

f

(

t

)＝0，即｜e

t

－

a

｜＝0，

t

＝lna

，所以

f

(

x

)＝lna

，即｜e

x

－

a

｜＝lna

，解得e

x

＝

a

＋lna

或e

x

＝

a

－lna

，當(dāng)

a

＞1時(shí)，

a

＋lna

＞0，e

x

＝

a

＋lna

必有唯一解，當(dāng)

a

＞1時(shí)，0＜lna

＜

a

，故e

x

＝

a

－lna

也有唯一解，故

f

(

f

(

x

))＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，故C正確.123456789101112131415

123456789101112131415解法二(數(shù)形結(jié)合)對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)

a

＝1時(shí)，

f

(

x

)＝｜e

x

－1｜，作出

y

＝

f

(

x

)的圖象

和直線

y

＝1，如圖(1)，注意到直線

y

＝1是

y

＝

f

(

x

)在

x

＜0時(shí)的圖象的一條漸近

線，故函數(shù)

y

＝

f

(

x

)的圖象與直線

y

＝1只有一個(gè)公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤.123456789101112131415對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)

a

＝1時(shí)，由選項(xiàng)A的判斷過(guò)程知，不合題意，舍去；當(dāng)

a

＞1時(shí)，

f

(0)

＝