蘇教版小學數(shù)學六年級下冊單元教材分析全冊

【第一單元扇形統(tǒng)計圖】扇形統(tǒng)計圖不僅表示各個部分數(shù)量的多少，而且側(cè)重于用同一個圓里的大大小小的扇形，表示各個部分數(shù)量與總數(shù)量之間的關系，表示各個部分數(shù)量分別占總數(shù)量的教學扇形統(tǒng)計圖，要使學生認識它的特點。了解它的用處，能夠看懂統(tǒng)計圖所呈小學數(shù)學不要求制作扇形統(tǒng)計圖。因為制作扇形統(tǒng)計圖需要扇形的知識，要計算扇形的圓心角，而小學數(shù)學只簡單認識扇形，不教學畫扇形，所以小學生不具備制作扇形統(tǒng)計圖的知識與能力。況且，人們已經(jīng)很少手工制作扇形統(tǒng)計圖了，利用計算機畫出扇形統(tǒng)計圖，既方便又準確，而且十分美觀。全單元編排兩道例題，具體安排如例1初步認識扇形統(tǒng)計圖，了解扇形統(tǒng)計圖的特點，能看懂例2比較三種統(tǒng)計圖，了解條形圖、折線圖、扇形圖各自的特點；能根據(jù)要呈現(xiàn)（一）直接呈現(xiàn)扇形統(tǒng)計圖，鼓勵學生仔細看圖，了解圖中的數(shù)據(jù)信息，并利用統(tǒng)計圖里的百分數(shù)進行有關的計算，解決簡單的問題時，呈現(xiàn)一幅“我國陸地各種地形分布情況統(tǒng)計圖”。這是一幅扇形統(tǒng)計圖，里面有平原、丘陵、盆地、山地、高原等地形各占陸地總面積的百分比。教材采用直接呈現(xiàn)的方式，引出扇形統(tǒng)計圖，是由于兩點原因：一是不教學制作扇形圖，沒有必要呈現(xiàn)扇形圖的形成過程。二是學生能夠看懂扇形圖里的信息，不需要給予其他幫助。在呈第一步，學生獨立看圖，交流“從扇形統(tǒng)計圖中了解到什么”。大多數(shù)學生會一一說出圖中的五個百分數(shù)，并且根據(jù)五個百分數(shù)的大小關系以及扇形統(tǒng)計圖里五個扇形的大小，看出山地面積最大，丘陵面積最小。接著體會每一個百分數(shù)的意義，明白我國陸地總面積是單位“1”的數(shù)量，整個圓表示我國陸地的總面積。然后感到扇形統(tǒng)計圖不是呈現(xiàn)五種地形的面積各有多少，而是分別表示每種地形的面積占總面積的百第二步，根據(jù)已知的我國陸地總面積和每一種地形面積占總面積的百分比，用計算器算出每一種地形的面積，填在教科書的表格里。這是解決求一個數(shù)的百分之幾是多少的問題，把新舊知識很自然地融合起來了。學生通過這些計算，能體會到扇形統(tǒng)計圖不直接給出各個部分數(shù)量是多少，但可以通過計算求出各個部分的數(shù)量。這就進一步體驗了扇形統(tǒng)計圖的特點。于是，有意義接受教材所說的“扇形統(tǒng)計圖可以清楚19.6另一幅表示中國耕地面積占世界耕地面積的9.9％。教材問學生屬于知識范圍的問題。后一個問題要感受我國以世界耕地的9.9％，供世界19.6％的人口吃飯，這是非常了不起的事情，是對世界以及全人類的貢獻，屬于思想性的問題。如果有可能，還可以思考其他國家的總?cè)丝谡际澜缛丝诘陌俜种畮?，其他國家的界人口作為單位?”、世界耕地作為單位“1”，體會整個扇形圖所蘊含的各種信（二）用不同形式的統(tǒng)計圖表示不同的數(shù)據(jù)，體會各種統(tǒng)計圖的特點，初步學閱讀課外書的一組數(shù)據(jù)，包括閱讀科普類、漫畫類、童話類、小說類和其他類書各占閱讀課外書總數(shù)的百分比；7~12月各個月閱讀課外書的本數(shù)；每星期閱讀課外“三幅統(tǒng)計圖分別表示什么？”這個問題要回答每一幅統(tǒng)計圖的內(nèi)容，說出每一幅統(tǒng)計圖里的數(shù)據(jù)信息。通過這個問題，讓學生看到三組數(shù)據(jù)采用了三種不同的統(tǒng)計圖，扇形圖表示各個部分數(shù)量分別占總數(shù)量的百分比，折線圖和條形圖都表示一組數(shù)據(jù)的各個具體數(shù)量。這就了解到各種統(tǒng)計圖在表達數(shù)據(jù)時的特點，初步體會到三種統(tǒng)“從哪幅統(tǒng)計圖能看出六年級一班同學比較喜歡哪一種課外書？從哪幅統(tǒng)計圖能看出去年下半年各月借書本數(shù)的變化情況？從哪幅統(tǒng)計圖能看出閱讀課外書的時間多少？”這組問題分別指向三幅統(tǒng)計圖里的內(nèi)容，引導學生深入了解各幅統(tǒng)計圖里的數(shù)據(jù)信息，再次體驗扇形統(tǒng)計圖表達的是“各部分占整體的份額”，折線統(tǒng)計圖表達的是“一組數(shù)量的變化情況”，條形統(tǒng)計圖表達的是“一組數(shù)量各有多少”。這樣，學生就能再次感悟統(tǒng)計圖的使用是有選擇的，應根據(jù)數(shù)據(jù)的內(nèi)容特點，合理選用相應的“你還能從統(tǒng)計圖中獲得哪些信息？”這個問題比較開放，要鼓勵學生說出在三幅統(tǒng)計圖里看到的、想到的信息，培養(yǎng)利用已有數(shù)據(jù)進行深入思考的意識，即理解與“怎樣根據(jù)需要選擇統(tǒng)計圖？”這個問題在初步了解各種統(tǒng)計圖的特點的基礎上提出。學生在上述三個具體問題的討論中，已經(jīng)知道扇形圖利于表示各個部分數(shù)量占總數(shù)量的百分之幾，能很直觀地告訴人們，哪部分數(shù)量占總數(shù)量的百分比最高，哪部分數(shù)量占總數(shù)量的百分比最少。根據(jù)扇形圖里各個扇形的大小，能很方便地按大小順序排列各個部分數(shù)量。已經(jīng)知道折線圖利于表示一組數(shù)據(jù)的變化狀態(tài)，能很直觀地告訴人們，數(shù)據(jù)在增加還是減少。根據(jù)折線圖的折線，能對數(shù)據(jù)的變化作出描述、分析和判斷（預測）。已經(jīng)知道條形圖利于表示一組數(shù)量各是多少，能很直觀地告訴人們，哪一個數(shù)量最多、哪一個數(shù)量最少，根據(jù)條形圖的直條，能估計數(shù)量之間的相差關系或倍數(shù)關系。教材希望學生在這些認識的基礎上，體會使用統(tǒng)計圖是“有選擇”的，應根據(jù)數(shù)據(jù)的內(nèi)容特點，以及需要表達的數(shù)據(jù)信息，選擇適當?shù)慕y(tǒng)計圖。三個小卡通的交流，代表學生分別說出了什么情況適合使用扇形圖，什么情況適合使用折線“糧食”“養(yǎng)殖”“水果”“其他”四項收入各多少萬元；扇形圖表示“糧食”“養(yǎng)殖”“水果”“其他”等四項收入各占總收入的百分比；折線圖表示2002~2012年收入的變化情況。提出四個問題，要求在學生回答問題以后，反思“分別觀察了哪幅統(tǒng)計圖？”進一步體驗各種統(tǒng)計圖表達數(shù)據(jù)的特點。如果有可能，教學還可以作如下的延伸：一是比較條形圖和扇形圖，它們都表示“糧食”“養(yǎng)殖”“水果”“其他”四項收入的情況，但表示的方式不同，數(shù)據(jù)不同，從圖中獲取的信息既有一致的方面，也有顯著的區(qū)別。二是體驗條形圖里的數(shù)據(jù)，適合用折線圖表示嗎？從條形圖里的四個數(shù)據(jù)只表示“各多少”，不存在“變化”狀態(tài)和趨勢，得出不適合使用折線圖的結(jié)體會也能采用條形圖表示。但條形圖不能像折線圖這樣清楚地表示出年收入的增加態(tài)三、精心編排練習題，突出統(tǒng)計活動能力的培養(yǎng)統(tǒng)計教學的主要任務是培養(yǎng)數(shù)據(jù)意識和開展統(tǒng)計活動的能力，體會數(shù)據(jù)里面蘊含著信息，逐步養(yǎng)成用數(shù)據(jù)描述、刻畫客觀事物和現(xiàn)象的思想。統(tǒng)計活動則包括數(shù)據(jù)的采集、整理、呈現(xiàn)、分析和利用的全部過程。數(shù)據(jù)意識與活動能力的培養(yǎng)，應落實于統(tǒng)計教材的每一道例題和每一道習題之中。數(shù)據(jù)意識和活動能力的初步形成，遠遠高圖，分別表示小華家兩天的食物搭配情況。在消費魚肉蛋類食物、豆和奶類食物菜與水果類食物、油脂類食物、谷類食物的比例上，兩天有明顯的不同。要求學生評價這兩天的食物搭配“哪一天更合理些”。編排這道題的目的在于通過對兩幅圖里的數(shù)據(jù)的比較，獲取扇形圖傳遞的信息，并引發(fā)深入的思考?！澳囊惶旌侠怼睕]有標準答案，如果從有利于身體健康角度評價，也許第一天的搭配比較合理。因為現(xiàn)在提倡多吃些蔬菜、水果、谷物，少吃些動物蛋白和油脂。但是，從個體的需要考慮，也許第二天的搭配更能滿足。如參加高強度的體育活動或生產(chǎn)勞動的人，一些需要補充營養(yǎng)的人，應該適當多吃一些動物蛋白。第2題把“估計”引進扇形統(tǒng)計圖。呈現(xiàn)的干果拼盤可以看作扇形圖，根據(jù)“花生米大約占果盤的20％”干、紅棗各占果盤的百分之幾。不要求估計得十分準確，能說出“（各）大約占百分之幾”并對自己的估計作出解釋就可以了。根據(jù)圖示的各種干果的扇形面積，一般會班人數(shù)的百分比。另一張統(tǒng)計表給出了六年級一班學生本學期的視力情況，包括左眼分別表示兩張統(tǒng)計表里的數(shù)據(jù)。分析前一張統(tǒng)計表里的數(shù)據(jù)，有“逐年增加”的意思，如果用折線圖表示，效果會更加好些。后一張統(tǒng)計表里的數(shù)據(jù)，都是相對“獨立”的，相互之間可以比較大小，但不存在“總數(shù)量，根據(jù)各部分占總數(shù)量的百分比，求各個部分是多少。第5題根求出其他各部分是多少。前者是求一個數(shù)的百分之幾是多少的問題，后者是已知一個數(shù)的百分之幾是多少求這個數(shù)的問題，以及第6題有兩項任務，一項是利用已知的總數(shù)量以及扇形統(tǒng)計圖呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)，算出各個部分的數(shù)量，并用條形圖表示這些數(shù)量，從中體會扇形圖和條形圖既有不同，也有內(nèi)在聯(lián)系。另一項是把條形圖呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)，改為用折線圖表示，體會條形圖與折線圖在表示數(shù)據(jù)時的不同特點。要注意的是：條形圖上，表示50米跑所用時間的直條逐漸變間越來越少，跑的速度越來越快。第7題是一個簡單的實踐活動。要求以自己學課外閱讀習慣為內(nèi)容，進行一次統(tǒng)計活動。先確定課題和設計調(diào)查方案；接著開展調(diào)查，收集信息、整理數(shù)據(jù)，制作統(tǒng)計圖表；然后分析數(shù)據(jù)，評價自己班級同學的課外閱讀習慣；最后拓寬研究課題，重新設計調(diào)查方案，開展新的統(tǒng)計活動。這道題可本單元最后安排的“動手做”，是以“反應速度”為內(nèi)容的游戲活動，是用統(tǒng)計思想方法解決問題的數(shù)據(jù)活動。編排這次動手做的目的，是要讓學生積極、主動地參度在下，食指按在“0”刻度處；突然松開食指，讓直尺下落，然后迅速用食指按住下落的直尺；食指按住刻度幾，表示直尺下落了幾厘米，隨時記錄這個數(shù)據(jù)。教材一方數(shù)據(jù)，在方格紙上制作統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖。這樣，小組內(nèi)就可以比一比，看誰的反應速度最快，而且有較充分的數(shù)據(jù)來表明各人反應速度的快慢。把這些數(shù)據(jù)用統(tǒng)計圖表呈小組內(nèi)的人數(shù)與性別如何安排？數(shù)據(jù)記錄在怎樣的表格里？每人做6次，用哪個數(shù)據(jù)整個動手做的重點，討論越充分，方案越成熟，游戲越順利，對數(shù)據(jù)活動的體驗就越【第二單元圓柱和圓錐】本單元在學生認識了圓，掌握了長方體和正方體的形狀特征以及表面積與體積計與長方體、正方體一樣，圓柱和圓錐也是基本的幾何形體，在日常生活和生產(chǎn)勞動中經(jīng)常能夠看到這些形狀的物體。教學圓柱和圓錐，能夠擴大學生認識幾何形體的范圍，豐富對形體的認識，有利于解決更多的實際問題。教學圓柱和圓錐，也能夠豐富學生認識幾何形體的活動經(jīng)驗，深入理解體積的意義和常用的體積單位，有利于完善認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間觀念。教學圓柱和圓錐，還能夠給學生提供探索表面積和體積計算公式的機會，有利于轉(zhuǎn)化能力和推理能力的進一步提高。全單元編排五道例題，從表格里可以看到，全單元的教學內(nèi)容大致由三部分組成:認識圓柱和圓錐它們的形狀特點；理解圓柱的側(cè)面積與表面積的含義，計算圓柱側(cè)面積和表面積的方法；理解圓柱和圓錐體積的意義，計算圓柱和圓錐體積的公式。由于圓錐的表面展開圖是一個扇形和一個圓的組合，相對比較復雜，所以小學數(shù)學不教學扇形的面積，即從表格里還能看到，教學圓柱和圓錐的內(nèi)容編排，與教學長方體和正方體差不多。這就使本單元的教學，可以充分利用以前教學長方體和正方體的方法與經(jīng)驗，提（一）仔細觀察、動手操作、充分交流，了解圓柱和圓錐的形狀特點，建立相應一是學習圓柱和圓錐的起點不同，二是認識圓柱和圓錐的難度不同。學生在第一學段已經(jīng)直觀認識了圓柱，通過滾一滾、堆一堆、摸一摸等活動，對圓柱的形狀有了一些粗淺的感受。這是他們繼續(xù)認識圓柱的起點，而學習圓錐就沒有這樣的臺階。相對于認識圓柱來說，了解圓錐會稍難些。首先，圓一個頂點，感受圓柱側(cè)面是曲面比較容易，感受圓錐側(cè)面是曲面稍難些。其次，圓柱的高是它兩個底面之間的距離，比較容易表示和測量。圓錐的高是它頂點到底面的距離，表示或測量都要難些?？梢?，把認識圓柱和圓錐的教學適當分開，先圓柱、后圓錐，是比較好的編排。像這樣先“易”后“難”，先“熟”后“生”，有利于教學突出重點。把圓柱的認識與圓錐的認識編排在一道例題里教學，也體現(xiàn)了它們既是不同的幾何體，也有內(nèi)在聯(lián)系。它們的聯(lián)系，一是“都有圓形底面”，二是“圓錐體積是教學圓柱，從識別圓柱形物體開始。因為日常生活中有許多圓柱形狀的物體，學生已有識別的能力。通過識別，不僅引出了學習內(nèi)容，而且能體會學習圓柱的現(xiàn)實意有的橫放、有的豎擺；有的很高、有的很矮。這就為教學圓柱提供了豐富的感性材教學圓柱的形狀特點，要引導學生觀察、操作、交流，教師適時給出必要的講解。因為圓柱的形狀需要學生充分感知，有關圓柱特點的數(shù)學術語和規(guī)范表述不是他們發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造，而是意義接受的。三個小卡通的交流，代表學生通過觀察、操作，獲得的有關圓柱的感性認識，也是圓柱的最主要特點。學生通常對圓柱“上下兩個面是完全相同的兩個圓”“有一個曲面”這兩點比較關注，對圓柱“上下一樣粗”容易疏下兩個面叫作圓柱的“底面”，圍成圓柱的曲面叫作“側(cè)面”；及時呈現(xiàn)圓柱的幾何圖形，在圖形上標出底面和側(cè)面。這是幫助學生建立圓柱概念的重要步驟。教師還應該告訴學生，圓柱兩個底面之間的距離叫作高，并在圓柱的幾何圖形上標出高，直觀以往，有些課堂上強調(diào)圓柱有“無數(shù)”條高。這出于可以的內(nèi)部，可以任意選擇位置表示出圓柱的高。其實圓柱的“高”是一個數(shù)學概念，指的是圓柱兩個底面之間的距離。人們可以在適當?shù)奈恢蒙媳硎緢A柱的高，在方便的位置上測量圓柱的高。教學應該突出的是關于圓柱高的概念，關于圓柱圖形上表示高的方法，以及測量圓柱形物體的高的方法。沒有必要在“幾條”上糾纏不清，特別不能教學圓錐，從圓錐形狀的物體引入。由于學生首次接觸圓錐，教材指著沙堆、屋頂?shù)葓D片，告訴他們“這些物體的形狀都是圓錐體，簡稱圓錐”。認識圓錐的學習方式與認識圓柱相似，也是一邊觀察、操作、交流，一邊接受教師的講解。要引導學生把認識圓柱的學習活動經(jīng)驗遷移到認識圓錐上來，在觀察圓錐形物體的基礎上抽象出圓錐的幾何圖形；在交流圓錐特征的過程中認識圓錐的頂點、底面和側(cè)面。圓錐的高是教學難點。因為圓錐的高是圓錐內(nèi)部一條線段的長。教材圖文結(jié)合，指出從圓錐的頂點到底面的距離是圓錐的高，并在圓錐的幾何圖形上用虛線畫出從頂點到底面圓心的線段，幫助學生理解圓錐高的含義。教學圓錐的高，除了準確而精練的講解，還要給學生體會和內(nèi)化的機會。可以讓他們指著圓錐形實物或圓錐的幾何圖形，說說什么形狀的物體。教學這道題，不僅要讓學生辨別哪些物體是、哪些物體不是，還要引導他們說出理由。尤其對上口小、下底大的杯子，兩個底面雖然相同但兩底之間粗細不同的鼓等等，指出它們不是圓柱或者不是圓錐的原因，以加強對圓柱和圓錐形狀特點強的操作性。尤其是第2題，要求從前面、右面、上面觀察圓柱和圓錐，通過立體圖形與平面圖形、曲面與平面的相應轉(zhuǎn)化，加強對圓柱和圓錐特征的體驗。特別是從正面和側(cè)面觀察圓柱或觀察圓錐，看到的圖形相同；從上面觀察圓錐，看到一個圓以及它中心的一個點。能使頭腦里的圓柱、圓錐表象更加清晰。第3題要求利用教頁里的圖形做一個圓柱和一個圓錐，體會圓柱的側(cè)面是長方形卷成的，圓錐的側(cè)面是扇形卷成的，經(jīng)歷平面變成曲面的過程。同時，做出一個圓錐只要一個圓，做出一個圓柱需要兩個同樣大小的圓，再次體會了圓柱和圓錐的特征。測量做出的圓柱和圓錐的底面半徑與高，可以再次鞏固高的概念，也能為接下來教學表面積和體積作些準（二）展開圓柱的側(cè)面與表面，探索側(cè)面積與表面積的計算方法圓柱是兩個同樣大小的圓和一個曲面圍成的立體，它的表面積是側(cè)面積與兩個底面積的總和。圓柱的側(cè)面展開是什么形狀？側(cè)面積怎樣計算？這些都是新知識。為例2要求計算圓柱形罐頭側(cè)面的商標紙的面積。學生在這個問題情境里商標紙剪開后看看、算算的想法，這正是教材期望的學習活動。例題的教學分三步安排：第一步由“白菜”卡通指導學生“沿著接縫把商標紙剪開，展開后看看是什么形狀”，讓他們通過這些操作，發(fā)現(xiàn)商標紙展開后是長方形，從而理解圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形。教學這一步，要組織學生討論“為什么沿著接縫剪？”弄明白沿著其他地方剪也能把商標紙展開，但得到的不一定是長方形，計算長方形的面積比計算其他圖形的面積方便。還要組織學生討論“商標紙的接縫相當于圓柱的什么？”弄明白沿著接縫剪相當于沿著圓柱的一條高剪，而這樣做才能使側(cè)面第二步研究長方形的長與寬在圓柱上各是什么。因為計算長方形面積需要知道它的長與寬，而在圓柱上只知道底面直徑和高，必須溝通長方形的長、寬和圓柱的直徑、高之間的聯(lián)系，為計算側(cè)面積創(chuàng)造條件。教學這一步應該讓學生明白研究什么、為什么研究，帶著積極的心向去尋找聯(lián)系。還要讓學生面對長方形圍成圓柱的側(cè)面、圓柱側(cè)面展開成長方形的現(xiàn)象，理解長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高。由此得出圓柱的側(cè)面積等于底面周長乘高。第三步列式計算商標紙的面積，即計算圓柱的側(cè)面積。這一步要求學生獨立完成。教師要指導他們分步計算，先算出圓柱的底面比列綜合算式方便。還要支持學生使用計算器，沒有必要把大量的時間π”,省略165×3.14的筆算，用165π作為最后的得數(shù)。這與中學數(shù)學是接軌的，會例4教學圓柱的表面積，關鍵在于建立表面積的概念。只要理解“求表面積是求什么，算法自然就產(chǎn)生了。而且長方體與正方體表面積的概念和算法，對教學圓柱表面積有支持作用。例題按如下的思路編寫，大致分兩步教學。第一步要求在方格紙上畫出一個圓柱的表面展開圖。這個圓柱的幾何圖形上標出了底面直徑2厘米、高2得到的長方形長和寬各是多少厘米，兩個底面分別是多大的圓，并在方格紙上畫出一個長方形和兩個圓，即這個圓柱的表面展開圖。畫出的圖形能直觀展示表面積的含義：圓柱側(cè)面積與兩個底面積的和，是圓柱的表面積。這既是表面積的概念，也是計算表面積的方法。和長方體、正方體的表面積計算一樣，圓柱的表面積計算也不給出公式，讓學生在理解表面積意義的基礎上推理算法，以避免記憶公式的負擔。第二步計算例題呈現(xiàn)的圓柱的表面積。由于計算圓柱側(cè)面積的方法已在例2教學，計算兩個底面圓的面積是舊知識，學生應該能獨立計算圓柱的表面積。教師仍然要提醒他們列分步算式解答，通常先算出側(cè)面積，再算出一個底面的面積，然后算側(cè)面積與兩個底計算圓柱的側(cè)面積或表面積，一般都已知圓柱的高，還要已知底面的直徑（或者半徑、周長）。接著例3編排的“練一練”給出的底面條件有直徑、有長等各種情況，要幫助學生激活有關圓的知識和經(jīng)驗，并正確應用到計算圓柱的側(cè)面練習二第4~12題，應用圓柱側(cè)面積和表面積知識解決實際問題。習題編排分三個層次：第4、5兩題的練習重點是把實際問題抽象成數(shù)學問題，求制作隊鼓的鋁皮面積是計算圓柱的側(cè)面積，求制作隊鼓的羊皮面積是計算兩個底面積的和，求做一個油桶需要的鐵皮是計算圓柱的表面積。第6題有整理知識和思路的作用。通過填表幫助學生進一步區(qū)分圓柱的側(cè)面積、底面積、表面積三個不同的概念和不同的算法；整理側(cè)面積、底面積與表面積之間的聯(lián)系，使計算圓柱表面積的思路更加清楚。第6～12題要求靈活應用圓柱側(cè)面積與表面積的知識解決問題，有時只需要計算側(cè)面積，有時要計算側(cè)面積與一個底面積的和，有時是計算表面積。正確解答這些問題，需要仔細讀題，準確理解題意，還要有相應的生活常識和經(jīng)驗。如通風管是沒有底面的圓柱形筒，計算通風管所用的材料，是求圓柱側(cè)面積的問題。無蓋的水桶可以看成只有一個底面的圓柱形，計算制作這樣的水桶要用多少材料，是求圓柱側(cè)面積和一個底面積的（三）通過猜想——驗證，探索圓柱和圓錐的體積計算公式學生已經(jīng)掌握了長方體和正方體的體積公式，而且知道它們的體積都可以用“底面積×高”來計算。事實上，不僅是長方體與正方體，求各種直柱體的體積都可以用例4教學圓柱的體積。教材先呈現(xiàn)了長方體、正方體和圓柱這三個立體圖形色突出它們的底面，指出這三個幾何體的底面積相等，高也相等。要求先猜想圓柱體積與等底（面積）等高的長方體、正方體體積是不是相等，再通過把圓柱“等積變形”證實猜想，推導出圓柱的體積計算公式。猜想與驗證是人們解決問題經(jīng)常采用的策略。教材鼓勵學生猜想并驗證，調(diào)動他們的積極性，使圓柱體積的教學不是被動接例題通過兩個問題幫助學生形成猜想：第（1）個問題是圖示的長方積相等嗎？為什么？引導學生回憶長方體和正方體的體積都可以用“底面積×高”的方法計算，從長方體與正方體的底面積相等、高也相等，判斷它們的體積相等。充分體會長方體或正方體的體積與它們的底面積和高有關，把計算直柱體體積的心向調(diào)整到“底面積×高”上面。第（2）個問題是猜想圖示的圓柱體積會不會和長方體、正方體的體積相等。從等底（面積）等高的長方體與正方體體積相等，類比推理等底（面積）等高的圓柱與長方體體積也會相等，猜想圓柱的體積也可以用“底面積×高”來猜想必須驗證，這是科學精神、嚴謹態(tài)度的表現(xiàn)。類比推理的結(jié)論可能正確，也可能錯誤，要經(jīng)過驗證才能確認或者否認。為了證實圓柱體積可以用“底面積×高”計算，教材設計了三步活動：首先是形成驗證思路，把圓柱轉(zhuǎn)化成等底（面積）等高，體積不變的長方體，并展示轉(zhuǎn)化過程。轉(zhuǎn)化思路的形成，借鑒了把圓轉(zhuǎn)化成長方形計算面積的經(jīng)驗。轉(zhuǎn)化的要領是保持圓柱與長方體等底（面積）、等高、等（體）實踐圓柱的等（體）積變形，就更好了。然后是滲透極限思想。把圓柱的底面平均分成16份，切開后拼成的只是一個近似于長越多，切開后拼成的物體越接近長方體。圓柱底面被平均分的份數(shù)足夠多，就能轉(zhuǎn)化成等底（面積）、等高、等（體）積的長方體。最后是推導圓柱的體積計算公式。由于圓柱與轉(zhuǎn)化成的長方體體積相等，所以求圓柱的體積只要計算長方體的體積；由于長方體體積可以用底面積乘高計算，而長方體的底面積與圓柱底面積相等，長方體的高與圓柱的高相等，“底面積×高”計算的既是長方體的體積，也是圓柱的體積。由必須注意的是，在得出圓柱體積計算公式以后，教材安排“回顧圓柱體積公式的探索過程”，要求學生交流體會?！稗D(zhuǎn)化”是探索圓柱體積公式的策略，在尋求圓柱體積計算方法的過程中，“轉(zhuǎn)化成長方體”是關鍵。教學應通過回顧，突出轉(zhuǎn)化策略在這里的應用，聯(lián)系實際加強策略意識。另外，用“底面積×高”涵蓋長方體、正方體和圓柱的體積計算，有利于優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，這也應是回顧與反得出圓柱的體積公式以后，利用公式計算圓柱的體積就讓學生獨立進行了?！霸嚽髨A柱的體積。與前面計算圓柱的表面積相似，計算體積也可以分步列式，先算出圓柱的底面積，再計算體積。尤其是已知圓柱底面直徑或周長時，分步計算體積能夠減幫助學生消化基礎知識。計算圓柱體積的基本方法是底面積乘高，如果已知圓柱的底面積，可以直接與高相乘；如果沒有已知底面積，應該先算出底面積。第4～9題是一個層次，主要幫助學生應用體積知識解決實際問題。要注意的是，如果計算圓柱形物體的體積，應該在物體外面測量有關的長度；如果計算圓柱形物體的容積，應該從物繞其長或?qū)捫D(zhuǎn)，能形成兩個不同的圓柱。先估計這兩個圓柱的體積，指出哪一個大，再計算它們的體積，驗證前面的估計。教學這道題，要讓學生體驗“長方形繞其長（寬）旋轉(zhuǎn)，能形成長方體”的現(xiàn)象。如有必要，可以動手操作，實踐一下。要識別形成的圓柱的底面半徑和高，把已知的長方形的長、寬轉(zhuǎn)化成圓柱的有關數(shù)據(jù)。形成的兩個圓柱，一個的底面小一些、高一些，另一個的底面大一些、矮一些。估計哪一個的體積比較大，其實是猜一猜哪個的體積大。猜對和猜錯，都要通過計算體積來驗證。第10～16題是一個層次，主要幫助整理表面積和體積的概念與算法，在求異的時候也要關注求同。求同往往能形成比較上位的認識，求異有助于區(qū)分下位的知識。以往的教學比較重視比“異”，疏忽比“同”，這里說說求同。如長方體和圓柱的表面積都是它所有面的面積總和，計算表面積要把各個面的面積相加；長方體和圓柱的體積都是它所占空間的大小，計算體積都可用底面積乘高。再如計算長方體、圓柱的表面積或體積，都需要知道高和有關底面的條件。底面周長乘高得到側(cè)面積，底面積乘高得到體積……要辨別所解決的實際問題與物體的表面積有關還是與體積有關，應用相應的知識去解答。要靈活應用體積公式，在求物體的體積時，可以按公式列出算式；在已知物體的體積，求它的高（或練習三的后面是“動手做”，要求測量土豆的體積。土豆的形狀不規(guī)則，求它的體積沒有現(xiàn)成的計算公式。教材設計了利用圓柱形容器測量土豆體積的方法：先準備豆浸沒在水中，測量并記錄相關的數(shù)據(jù)，算出土豆的體積。并且提供一張表格，提示應該記錄容器的底面積、放入土豆前的水面高度、放入土豆后的水面高度以及算出的土豆體積。然后是測量與計算，一邊操作一邊思考應注意什么。如，容器底面積不能直接量得，只能測量底面的半徑、直徑或周長。測量半徑需要確定圓心，測量周長還要計算直徑，一般測量直徑，既容易量，也便于算。又如，測量底面直徑、水面高度都要在容器里面進行，利用容器里面的數(shù)據(jù)，算出的才是水的體積、土豆的體積。教學應在適當時候組織學生反思這次測量活動，體會其中的“轉(zhuǎn)化”策略：把形狀不規(guī)則的土豆體積，轉(zhuǎn)化成形狀規(guī)則的圓柱體積，高也相等的圓柱和圓錐各一個，涂色表示它們的底面相等，用兩條平行的虛線表示高相等。要求學生估計這個圓錐的體積會是圓柱的幾分之幾，引導他們利用圓柱的體積求圓錐的體積。這里的估計是形成一個猜想，如果等底（面積）等高的圓柱和圓錐的體積之間存在確定的倍數(shù)關系，就可以利用圓柱的體積計算圓錐的體積。學生不一定估計圓錐的體積是圓柱的三分之一。不過，這并不要緊，后面的實驗會得出這個關系。只要形成圓錐體積與等底（面積）等高圓柱體積有關的心向，就能支持后面的操例題把驗證活動分成三步進行。第一步選擇實驗器具：等底等高的圓柱形和圓錐形容器各一個。圖示的方法里，把圓錐形容器放到圓柱形容器的上面，容易比出底面積是否相等。把圓柱形容器和圓錐形容器靠近著放在同一桌面上，容易比出高是否相滿”這個事實，證實圓柱形容器的容積是等底等高圓錐形容器的3倍，也就是慮容器壁的厚度，圓錐容器里裝滿的沙子的體積可以看作圓錐的體積，圓柱容器里裝滿的沙子的體積可以看作圓柱的體積。從實驗的結(jié)果先得出等底等高圓錐和圓柱的體教材很重視引導學生體驗數(shù)學思想和積累數(shù)學活動經(jīng)驗，在得出圓錐體積公式以后，要求他們回顧圓錐體積公式的探索過程。要讓學生說說自己的體會。整理學生的交流，應該突出兩點：一是“轉(zhuǎn)化”策略，圓錐體積可以轉(zhuǎn)化成圓柱體積來計算，新知識可以轉(zhuǎn)化成舊知識來認識。二是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化可以通過猜想、驗證來落實，猜想圓錐體積與圓柱體積有關，并驗證這種關系確實存在，就實現(xiàn)了圓錐體積到圓柱體積的轉(zhuǎn)“練一練”加強對等底等高圓錐與圓柱的體積關系的把握。第1題先是已知圓柱體積求等底等高的圓錐體積，再是已知圓錐體積求等底等高的圓柱體積，讓學生充分這種關系的理解和把握。在此基礎上完成第2題，學生求圓錐體積就不會忘記練習四第5題要求把等底等高的圓柱體積和圓錐體積相互轉(zhuǎn)化積得出相應的圓錐體積，從已知的圓錐體積得出相應的圓柱體積，繼續(xù)加強對等底等高圓柱和圓錐體積關系的理解。第6題根據(jù)圖示的各個立體圖形的底面直徑與高，尋找與圓錐體積相等的圓柱，其中的推理稍有難度。可以從圓錐體積是等底等高圓柱體過去的教學告訴我們，這一單元的計算比較繁瑣，學生經(jīng)常會算錯。對此提出三點建議：一是營造良好的計算環(huán)境。每次作業(yè)的題量不宜過多，給學生的時間要充分，心理壓力小些能減少計算錯誤。二是較復雜的計算可以使用計算器。通常情況是，三位數(shù)乘一位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)可以采用筆算，位數(shù)更多的乘法應該用計算器算。沒有必要讓學生進行繁瑣的四則運算，消耗時間和精力。三是指導簡便運算。在算簡便些。要善于發(fā)現(xiàn)、及時利用可以簡便計算的機會。四是鼓勵用含有π的式子作（四）單元整理與練習里，加強“探索與實踐”欄目的設計編排本單元的整理與練習仍然按“回顧與整理”“練習與應用”“探索與實踐”“評2，問它們的體積比是幾比幾。這道題有培養(yǎng)推理能力的作用。學生中可能有兩個水平抽象，由于兩個容器的高相等，所以它們的體積比決定于它們底面積的比。兩個容器教學正比例和反比例以后，還可以如下推理：圓柱體積/底面積=高（一定），圓），），理。對大多數(shù)學生而言，采用前一水平的推理比較適當，后一水平的推理，只會有少容器的容積，需要哪些長度？如何測量這些長度？都由學生拿主張。算出的容積應該比飲料罐商標紙上標出的“凈含量”稍大一些，否則飲料罐里裝的飲料不會達到凈含中一個圓柱的底面周長是長方形紙的長，高是長方形紙的寬；另一個圓柱的底面周長是長方形紙的寬，高是長方形紙的長。要回答的問題是“怎樣卷，圓柱的體積比較）；米），怎樣卷體積大就很清楚了。這道題能發(fā)展空間觀念。學生識別長方形的長、寬和圓柱的底面周長、高之間的對應關系，需要動手操作，用一張長方形紙卷一卷、看【第三單元解決問題的策略】從三年級上冊起，每一冊教科書里都教學一種策略，依次是分析量關系的“從條件向問題推理”和“從問題向條件推理”，幫助理解題意的“列表整理”和“畫圖整理”，還有“枚舉”“轉(zhuǎn)化”“假設與替換”等策略。本單元沒有安排新的策略，只是應用前面教學的策略，解決稍復雜的問題。目的是讓學生進一步體會策略在解決新穎問題、復雜問題時的作用，體會解決同一個問題的方法多樣、策略靈活，體會各種例2通過假設和調(diào)整解決問題，體會假設與調(diào)整可以多樣心理學研究人們是怎樣解決數(shù)學問題的，發(fā)現(xiàn)經(jīng)常是“模式識別——問題轉(zhuǎn)化——模型還原”的過程。解題者在感知數(shù)學問題、理解題意時，經(jīng)常會想“這是什么問題？”通過辨別問題的類型，力求與自己頭腦里儲存的范例、模型發(fā)生某種聯(lián)系，從而利用已有的知識經(jīng)驗，很快找到解決問題的途徑與方法。這就是所謂的“模式識別”。有很多時候，解題者遇到的問題與頭腦里儲存的范例、模型很不一致，難以檢索到可以直接用來解題的思路與方法。面對陌生的、新穎的問題，需要把它適當轉(zhuǎn)化，使轉(zhuǎn)化后的問題便于檢索、能夠解答。這就是所謂的“問題轉(zhuǎn)化”，是十分重要的解決問題策略。數(shù)學問題最終要利用檢索到的數(shù)學模型來解決，轉(zhuǎn)化后的問題的答案是不是適合原來的問題，需要將解題的結(jié)果放到原問題的情境中進行檢驗，作出確認或否定。像這樣把轉(zhuǎn)化獲得的數(shù)學模型還原到原來的問題情境中，就是所謂的“模回顧前面的解決問題教學，學生在學習基本思路“條件向問題推理”件推理”時，解答過許多兩步計算的實際問題；在學習列表整理、畫圖整理時，也解答過一些兩、三步計算的實際問題；在學習分數(shù)和百分數(shù)時，解答過大量的分數(shù)或百分數(shù)實際問題。應該說，在他們的認知結(jié)構(gòu)里儲存了較多的問題范例，以及這些問題的解法模型。他們在學習轉(zhuǎn)化策略、假設策略時，初步體會了轉(zhuǎn)化、假設的思想與方法，還進行過一些轉(zhuǎn)化或假設的活動?，F(xiàn)在，可以通過“模式識別”順利解決認識的問題，可以通過“問題轉(zhuǎn)化”解決不熟悉的問題，可以通過“模型還原”解題并檢驗結(jié)果，他們解決問題的資源已經(jīng)相當豐富。本單元讓學生利用已有資源繼續(xù)解決實際教學解決問題的策略，一般有兩大類內(nèi)容：一類是傳遞新知識、新思想、新方思想方法，加強對策略的體驗和方法的領悟，從深刻性、靈活性、綜合性上提高解決（一）分析某個分數(shù)的意義，聯(lián)系不同的知識，作出不同的推理，給出不同的解法，體會策略和方法的多樣性教材引導學生“根據(jù)題意分析數(shù)量關系，想一想可以怎樣解答”。題目里只有兩個已知數(shù)量，分析數(shù)量關系的切入口應該是分數(shù)的意義，可以畫線段圖，看出男生人數(shù)是美術組總?cè)藬?shù)的2/5。原來的問多少人？女生有多少人？這是簡單的求一個數(shù)的幾分之幾是多少的問題。根據(jù)分數(shù)2/3“選擇一種方法列式解答”是經(jīng)過“問題轉(zhuǎn)化”以后的“模式識別”。利用已有的模型解決轉(zhuǎn)化后的問題，也就是解答原來的問題。學生采用任何一種解法都可以，“檢驗”十分重要，應把得數(shù)放到原來的問題情境里檢驗是否正確。即看一看得教學解決問題的策略，目光不能局限在列式解答以及求出得數(shù)上面，要重視策略的選擇和使用。從大處講，多數(shù)學生使用轉(zhuǎn)化策略，把一個陌生的、較難的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的、會解答的問題，他們選擇了相同的解決問題策略。從細處講，根據(jù)“男生人數(shù)是女生的2/3”展開的推理不盡相同：喜歡形象思維的學生可以畫線段圖，善于抽象思維的學生可以多一些理性思考。學生之間，由于聯(lián)系了不同的知識，對分數(shù)2/3就有不同的理解與解釋，解題的思路和方法也隨之不同。他們在應用轉(zhuǎn)化策略時各有自己的主張。這就體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化策略在應用中既是廣泛的，又是靈活的。教材要求學生組織學生交流，不能停留在怎樣解答、算式怎樣、結(jié)果對不對的上面，而要挖掘深層次的思考，說出為什么轉(zhuǎn)化、怎樣轉(zhuǎn)化、聯(lián)系了什么知識、應用了什么方法……通過確，概念系統(tǒng)完善，從分數(shù)意義出發(fā)的推理就嚴密、流暢，轉(zhuǎn)化也就順利、有效。反之，如果分數(shù)概念模糊，分數(shù)和其他數(shù)學概念沒有建立實質(zhì)性聯(lián)系，要想通過推理實生根據(jù)示意圖里的數(shù)量關系，寫出分數(shù)，并轉(zhuǎn)化這道題可以看作溝通數(shù)學概念之間聯(lián)系，組建概教材提倡學生利用圖形直觀幫助聯(lián)想，第2題根據(jù)已知的比或百分數(shù)，把線段圖補充完整，要求借助線段圖，把稍復雜的問題轉(zhuǎn)化成（二）解決同一個問題，提出幾個不同的假設，采用幾種不同的形式，體會策題意并不復雜，學生能夠理解。但是，解法不容易想到，一般的分析數(shù)量關系的方法派不上用場。教材問學生“解決這個問題，你準備用什么策略”，不要求說出解題思路和算法，而是鼓勵他們從已經(jīng)學過的列表、畫圖、枚舉、假設和轉(zhuǎn)化策略里自主選擇解題方法。正像“辣椒”卡通的畫圖、“蘿卜”卡通的列舉、“番茄”卡通的假設有次序地列舉在一張表格里，分別計算每一種方案坐的人數(shù)，與42人比對，逐漸找到整大、小船的只數(shù)。教材把替換留給學生進行，一方面培養(yǎng)檢驗假設的意識，另一方果假設的大、小船上乘坐的人數(shù)接近42人，可以一只一只地調(diào)整；如果假設的船上人解答例2采用的策略具有多樣性、靈活性和綜合性。多樣性表現(xiàn)為解決同一個問題，有人畫圖、有人列表，有人枚舉、有人猜想……都能形成思路；靈活性表現(xiàn)為可性表現(xiàn)為解題以假設策略為主，還需要其他策略的配合。把假設策略用畫圖形式表例2沒有列式計算，主要是兩個原因：一是解決問題未必都要列表也是解題的方法和形式。教學應該鼓勵解題形式多樣，發(fā)展學生的個性和創(chuàng)造性。二是解答這道題的算式比較難列，算式蘊含的算理比較復雜。如果列式計算，不【探索規(guī)律面積的變化】學生在《比例》這個單元里，初步知道圖形放大或縮小時，形狀沒有改變，所有邊的長度都按相同的比變化。事實上，圖形放大，它的面積變大了；圖形縮小，它的面積變小了。本次探索規(guī)律，專題研究圖形放大后，它的面積是怎樣變化的。通過圖形放大，它面積變化的倍數(shù)和邊長變化的倍數(shù)不同，進一步加強圖形放大的概念。也（一）提出問題這一段，重點引導學生弄清要研究什么教材先呈現(xiàn)一個小長方形和按比例放大后的大長方形，通過測量得到小長方形的長方形面積的比是幾比幾，并分別算出兩個長方形的面積，驗證估計是否正確。學生觀察大、小兩個長方形，能夠看出大長方形有9個小長方形那么大，估計它們的面積放大，邊長變化的比和面積變化的比不同。由此聯(lián)想“其他平面圖形放大，面積的比又會怎樣呢？”這就形成了新的研究課題。這一段教材組織學生聯(lián)系熟悉的知識，開展熟悉的活動，從中發(fā)現(xiàn)和提出新的數(shù)學問題，接受和理解新的學習任務，以積極的（二）探索實踐這一段，研究不同的平面圖形按不同的比放大，放大后的面積像這樣的舉例研究是小學生能夠進行的。如果研究的實例有較大的覆蓋面，得出性。讓學生測量各個圖形放大后與放大前有關對應邊的長度，說出圖形是按幾比幾放大的；算出各個圖形放大后的面積和放大前的面積，得出放大后與放大前圖形面積的比；把量出的長度，算出的面積、得出的比都填入教材的表格里，發(fā)現(xiàn)每個圖形放大量長度、算面積、寫出比，給了他們很大的活動空間，有利于他們用豐富的現(xiàn)實材料（三）在總結(jié)規(guī)律這一段，要做三件事情：說說自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用含有字母表達圖形面積的變化規(guī)律，需要對各種圖形按不同的比放大，面積也隨著變化的這就是圖形放大，面積隨之變化規(guī)律。表達規(guī)律有多種形式，可以像“蘿卜”卡通那律“（長度比和面積比）兩個比的后項都是1，面積比的前項是長度比前項的平方?！闭f說規(guī)律，加深對規(guī)律的認識，再用含有字母的比表示規(guī)律，提升數(shù)學化程度，發(fā)展從正方形、三角形、圓放大的實際例子中發(fā)現(xiàn)面積的變化規(guī)律，進行的是歸納推理。教材要求學生用平行四邊形驗證面積變化的規(guī)律，豐富對規(guī)律的感知，充實對規(guī)律的信心。可以引導他們在方格紙上任意畫一個平行四邊形，并把它按比例放大；分別測量放大后與放大前平行四邊形的底和高，算出放大后與放大前平行四邊形的面積；分別組成放大后與放大前的長度比和面積比，觀察面積比與長度比之間是不是存在上面概括的規(guī)律。這些活動在前面已多次進行，學生有能力獨立完成。想辦法驗證發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，是探索規(guī)律過程中的重要一步，是科學精神、嚴謹態(tài)度的具體表現(xiàn)，應（四）回顧探索規(guī)律的過程與方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗可以組織學生說說發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，是怎樣發(fā)現(xiàn)的；列舉了哪些例子，想想還能舉出其他例子嗎；長方體、正方體是否能按比例放大，體積比和長度比之間是否也有【第四單元比例】本單元的教學內(nèi)容是：圖形的放大與縮小，比例的意義與性質(zhì)。兩個內(nèi)容分別屬于兩個知識領域，前者是圖形與幾何的內(nèi)容，后者是數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容。在一個單元里同時教學兩個領域的知識，這樣的教材很少遇到。本單元把圖形的放大與縮小、比例的意義與性質(zhì)結(jié)合起來教學，是因為這兩個內(nèi)容能夠互相利用、互相支持。圖形放大或縮小的過程中，大小變了，但形狀與結(jié)構(gòu)都保持不變，比例能夠準確地揭示圖形放大或縮小的本質(zhì)特征，幫助學生建立圖形放大與縮小的正確概念。比例是表示兩個比相等的式子，這個相當抽象的數(shù)學概念和圖形的放大或縮小聯(lián)系起來，就有了具體的含義，圖形的放大、縮小有助于學生形成比例的概念。全單元編排七道例題，具體安從表格里可以看到，圖形放大與縮小、比例的意義，這兩個知識的教學靠得很近，能充分發(fā)揮它們互相利用、互相支持的作用。把比例的性質(zhì)和解比例結(jié)合起來教學，能及時應用比例的基本性質(zhì)，并且解決有關的實際問題。把比例尺及其應用編排在本單元教學，是因為它和圖形的放大與縮小有聯(lián)系，和比例也有聯(lián)系。如果把一片地面看作一個圖形，那么從地面到它的平面圖相當于圖形的縮小，從平面圖到它對應比例的意義和性質(zhì)一直是小學數(shù)學的重要內(nèi)容，已經(jīng)積累了的放大與縮小是本世紀進入小學數(shù)學的內(nèi)容，它的教學方法需要教材和教師共同創(chuàng)（一）選擇有利于形成正確概念的實例，教學圖形放大與縮小數(shù)學里圖形放大與縮小的含義，和生活中的放大、縮小不是完全相同的。生活中往往把圖形由小變大視作放大，由大變小視作縮小。數(shù)學里的圖形放大與縮小，它的每一條邊都按相同的比變化，即所有邊的長度都放大到原來的幾倍或者縮小到原來的幾分之一。所以，教學圖形的放大與縮小，必須選擇數(shù)學含義鮮明的素材，使學生形），長的關系、寬的關系，從“倍”的角度和“比”的角度，描述圖形的變化。然后聯(lián)系長方形放大的事實，揭示圖形放大的含義。教材依次講了三句話：第一句是“長方形形放大時邊的長度變化。這里把放大前、后兩個長方形的長稱為對應邊，寬也稱為對應邊，必須把放大后圖形的邊的長度作為比的前項，原來圖形的邊的長度作為比的后圖形放大的語言。從教材講述長方形放大的數(shù)學含義，可以看到概念的關鍵是圖形變化后與變化前對應邊的長度比。所以，安排學生研究兩張照片的“長有什么關系”“寬有什么關系”時，要提示他們說出第二張照片的長和寬分別是第一張照片的幾倍，寫出第二張照片和第一張照片長的比、寬的比。不要鼓勵學生把第一張照片的長關于圖形縮小的概念，在初步認識圖形放大的基礎上，引導學生進行遷移，主動例題先教學圖形放大的含義，再教學圖形縮小的含義。課堂上還要把圖形的放大與縮小綜合起來，幫助學生形成完整的圖形變化的認識。可以讓他們比一比，圖形按變化后圖形的長度，后項都是變化前圖形的長度。比的前項大于后項，表示圖形放（二）畫出一個圖形放大或縮小后的圖形，進一步體會圖形放大與縮小的含義化，這就加強了圖形放大、縮小的概念?！袄梅礁窦埖刃问桨匆欢ū壤龑⒑唵螆D形放大和縮小”是課程標準的要求，因為方格紙上能直觀顯示每條邊的變化情況，操作比較方便。例題問“放大后的圖形長和寬各是幾格？縮小后的圖形呢？”引導學生先理解表示圖形放大和縮小的比的含義，確定放大（縮?。┖髨D形的長與寬，再畫出放大（縮?。┑膱D形。教學這道例題，要把力量放在放大、縮小后圖形長多少、寬多少上，讓學生說說自己的思考，實現(xiàn)例題的編寫意圖。觀察原來的長方形、放大后的長方形、縮小后的長方形三個圖形，發(fā)現(xiàn)它們的大小不同，形狀相同。要再次體會圖形量放大后與放大前三角形斜邊的長度，引導他們發(fā)現(xiàn)放大后的斜邊長度也是放大前斜比畫出給定長方形縮小后的圖形。這道題除了畫圖以外，還有兩點可以利用：一點是一點是分別比較正方形與它放大后的圖形、長方形與它縮小后的圖形，從正方形放大后仍然是正方形，長方形縮小后仍然是長方形，體驗圖形放大、縮小，只改變其大（三）以圖形放大與縮小為素材，教學比例的意義表示兩個比相等的式子叫作比例。教學比例的意義，要找到比值相等的比，而且把兩個比值相等的比寫成等式。教材聯(lián)系圖形放大與縮小教學比例的概念，寫出的比以及比值有現(xiàn)實的含義，兩個比組成的等式有具體意思可以解釋。在現(xiàn)實背景下，學例3呈現(xiàn)把一張長方形照片放大的情景，分別給出了放大前長6.4厘米、寬4厘米，放大后長9.6厘米、寬6厘米這兩組條件。根據(jù)圖形放大的含義，學生能寫出長方形照片放大后與放大前長的比、寬的比，知道這兩個比的比值相等。例題沒有要求他們寫已經(jīng)熟悉的比，而是寫出每張照片長和寬的比。由于學生對每張照片長和寬的比不太了解，所以有研究這兩個比，理解含義和發(fā)現(xiàn)比值相等的活動空間。他們會像比例”，突出比例是兩個比值相等的比組成的等式。這一段教學是例題的重點，學生接著，教材要求分別寫出照片放大后與放大前長的比和寬的比，這是學生很熟悉的比，還知道這兩個比相等。聯(lián)系剛學習的比例意義，作出這兩個比能夠組成比例的判斷，并且寫出組成的比例，這就消化了比例的意義，內(nèi)化了比例的概念。“練一個比的比值不相等，就不能組成比例。讓學生進行這些判斷，也是為了鞏固比例的概有商品一律八折出售，任意一件商品現(xiàn)價與原價的比的比值都是0.8，利用給商品的原價與現(xiàn)價，能夠組成比例。題目要求“從中選擇兩組數(shù)據(jù)，組成一個比例”，應該理解“兩組數(shù)據(jù)”在這里指的是什么，體會每一件商品的原價與現(xiàn)價就是“一組數(shù)據(jù)”，兩件商品的原價與其對應的現(xiàn)價就是“兩組數(shù)據(jù)”。練習六第3題，因為上午與下午行駛的速度相等。上午和下午行駛的路程比與上午和下午行駛的時間比，也能組成比例。因為上午行駛路程是下午行駛路程的倍數(shù)，與上午行駛時間是下午行駛時間的倍數(shù)相等。第6題，行駛的路程與時間的比，在速度相等的前提下，能夠組成比例；鉛筆總價和數(shù)量的比，在單價相等時能組成比例。正方形周長和邊長的比一定能組成比例，因為比值總是4（四條同樣長的邊）。正方形面積和邊長的比一定不能組成比例，因為兩個邊長不同的正方形，面積與邊長的比不相等。教材聯(lián)系常見的數(shù)量關系認識比例，以豐富的素材，加強對比例的理解，也為以后教學正比例作些練習六的后面編排一次“動手做”。先觀察兩幅圖，左圖中的兩個長方形之間有這次“動手做”讓學生在畫圖實踐中，深入體驗圖形放大、縮小的含義，深入體驗圖形放大、縮小是因其邊的長度變化而發(fā)生的。學生能否畫出放大后的三角形和四邊形，關鍵在于能否從長方形、平行四邊形的放大中習得延長圖形邊的操作方法。所以，觀察兩個長方形，應重點關注小長方形放大成大長方形，大長方形的邊是怎樣畫的，觀察兩個平行四邊形，要關注把小平行四邊形放大成大平行四邊形，邊是怎樣畫（四）在圖形縮小或放大的情境中，發(fā)現(xiàn)并應用比例的性質(zhì)教學比例的性質(zhì)，能夠更好地理解比例的意義，還能解決有關的實際問題。例4教學比例的性質(zhì)，大致分五步進行：第一步，在按比例縮小三角形的情境里寫出一些比例，為研究比例的基本性質(zhì)準備充分的素材；第二步，教學比例的內(nèi)是認識比例性質(zhì)必須具備的概念；第三步，觀察已經(jīng)寫出的幾個比例，初步發(fā)現(xiàn)這些比例的兩個外項的乘積等于兩個內(nèi)項的乘積；第四步，再寫出一些比例，看看是否具有同樣的規(guī)律，并在字母表示的比例上概括這樣的規(guī)律；第五步，指出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是可以想到縮小后與縮小前兩個三角形底的比和高的比相等，或者高的比和底的比相等；還可以想到縮小前、后每個三角形底與高的比相等，或者高與底的比相等。于是，交流中出現(xiàn)四個不同的比例。教材指出“組成比例的四個數(shù)，叫作比例的項。兩端的兩項叫作比例的外項，中間的兩項叫作比例的內(nèi)項?！辈⑶疫x擇一個比例，指出項。從而體會這四個比例中，兩個外項的乘積等于兩個內(nèi)項的乘積。除了這四個比例，其他比例也是“兩個內(nèi)項的乘積等于兩個外項的乘積嗎”？可以再寫出一些比例來驗證，檢驗前面四個比例里的規(guī)律是不是具有普遍意義。盡管，小學數(shù)學只能選擇一部分比例來驗證，但也體現(xiàn)了嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。通過比較豐富的實例，可以確認“兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積”是所有比例的共以寫成a×d＝b×c。教材用字母式子表示這個規(guī)律，出于兩點考慮：一是符號化能夠提升對比例性質(zhì)的概括程度。這里四個字母組成的比例代表所有的比例，字母表示的兩個積相等，是所有比例的共同性質(zhì)。二是有利于應用。以后解比例，都要根據(jù)比例性質(zhì)寫出兩個外項相乘等于兩個內(nèi)項相乘，才能繼續(xù)求解，應該讓學生學會這個寫看它們的比值是不是相等。而這里應用比例性質(zhì)進行判斷，思考線索應該是：如果這“練一練”是“試一試”的延伸。第1題中一列火車從甲城開往乙城，在行駛速并改寫出一個比例。這道題與“試一試”是“接軌”的。第2題要求在()∶6=4∶ ()和5∶()=()∶8的括號里填數(shù)，可以有多種思考。這里應突出“根據(jù)比例的基本性質(zhì)”，想“幾與幾相乘的積是24”，找到前一個比例的兩個外項；想“幾和幾練習七第2題給出四組數(shù)，每組四個數(shù)。要求先判斷哪幾組中的四個不同的比例。對于每一個學生來說，只要求正確寫出一個比例，并在交流時知道還能（五）應用比例的基本性質(zhì)解比例，解決有關圖形放大或縮小的實際問題例5創(chuàng)設照片放大的情境，給出原來照片的長和寬，以及放大后照片放大后照片的寬。解決這個實際問題涉及兩個內(nèi)容：一是根據(jù)圖形放大的含義列出含有未知數(shù)的比例，二是利用比例基本性質(zhì)解比例。教材通過“玉米”卡通的問題“你是怎樣理解按比例放大的？兩張照片長與寬的比能組成比例嗎？為什么”給學生以思路的引導。從圖形放大的意義，引出長與寬的比組成的比例；從比例里有一個未知根據(jù)“兩張照片的長與寬能組成比例”，得出模型“放大前的長長∶寬”。這個比例中，三個項是已知數(shù)，一個項未知，因此設放大后的照片寬x厘6x＝4×13.5，讓學生思考“這一步計算的依據(jù)是什么”，理解這里應用了比例的性質(zhì)，體會比例性質(zhì)可以用來求比例中的未知項。接著的解方程沒有新知識，交給學生“試一試”和“練一練”都是解比例的專項練習。因為用比例解決實際問題離不開解比例，解比例應該成為學生的計算能力?！霸囈辉嚒苯鈱懗煞謹?shù)形式的比例，幫助學生進一步熟悉比例的外項和內(nèi)項。要留心學生是怎樣應用比例性質(zhì)，并寫出兩個外項相乘等于兩個內(nèi)項相乘式子的。“練一練”解的三個比例分別由整數(shù)組成、分數(shù)組成和小數(shù)組成，分別需要應用整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的乘、除法計算。教材沒有出現(xiàn)由練習七第5題要求“根據(jù)比例的基本性質(zhì)”寫出比例中的某個未知項，第6題要礎的。加強對比例基本性質(zhì)的理解，有助于解比例的順利進行。完成第6題后再回顧平面圖是把現(xiàn)實的物體形狀按一定的比例縮小繪制而成的。從平面圖想象物體的實際形狀相當于把圖形放大，比例尺刻畫了平面圖和實際的物體形狀之間的縮小和放大關系。本單元教材在圖形放大與縮小的基礎上教學比例尺，學生有比較好的認知背縮小的知識經(jīng)驗。例題要求分別寫出草坪長、寬的圖上距離和實際距離的比。首先要識別圖上距離和實際距離，懂得平面圖上邊的長度是圖上距離，草坪上邊的長度是實際距離。其次應理解要寫出哪兩個比，一個是平面圖的長和草坪實際長的比，另一個是平面圖的寬和草坪實際寬的比。然后要統(tǒng)一圖上距離和實際距離的長度單位，使用都能寫出比。但是，寫出的都不是最簡單的整數(shù)比，都要化簡。通過交流，體會把實際距離改寫成厘米作單位的數(shù)量，寫出的是整數(shù)比，化簡較方便；把圖上距離改寫成米作單位的數(shù)量，寫出的是小數(shù)比，化簡較麻煩。由此得到經(jīng)驗，通常應使用圖上距尺。由于學生已經(jīng)兩次寫出這樣的比，所以建立比例尺的概念是感性認識的抽象提升。教學應該強調(diào)兩點：首先，比例尺是一個“比”，比的前項是圖上距離，后項是算方法，同時出現(xiàn)“圖上距離∶實際距離＝比例尺”和“圖上距離尺”兩種形式的式子。學生可以根據(jù)這兩個數(shù)量關系式理解和記憶比例尺的意義，并比例尺除了寫成比的形式，還經(jīng)常用線段的形式表示，就是尺”。一般來說，寫成比的比例尺（下面稱為數(shù)值比例尺）容易表達圖上距離和實際距離的倍數(shù)關系，即圖上距離是實際距離的幾分上都有兩種形式的比例尺，讓學生分別解釋數(shù)值比例尺和線段比例尺的具體含義，能），），（七）應用比例尺的意義，靈活解決求圖上距離和求實際距離的問題根據(jù)平面圖的比例尺，可以把圖上距離換算成實際距離，也可以把實際距離換算距離，求實際距離，教學換算的原理；“試一試”已知實際距離，求圖上距離，引導學生創(chuàng)造性地應用換算的方法。教材的編排，既體現(xiàn)了教對學的主導作用，也體現(xiàn)了例7呈現(xiàn)一幅表示明華小學、少年宮、體育館相互位置關系8000，學生中會有不同的思考。有人像“蘿卜”卡通那樣想到實際距離是圖上距離的），5×80求實際距離。出現(xiàn)多種思考和解法，表明學生正確理解了比例尺的意義，能靈活例題的重點是幫助學生列出比例式，用解比例的方法解決問題。列比例式的依據(jù)是比例尺的意義，在數(shù)量關系式“圖上距離/實際距離＝比例尺”的上面，圖上距離是例，通過解比例也能得到實際距離。教材編排這種解法，給學生多一次理解和應用比例尺意義的機會，多一種求實際距離的方法。教學這種解法，要注意設句里實際距離“玉米”卡通提出“明華小學到體育館的實際距離是多少？量一量、算一算”，讓學生獨立解決根據(jù)圖上距離求實際距離的問題。教學要幫助學生明白，利用平面圖及其比例尺，求實際距離，圖上距離可以量得，實際距離需要算出，比例尺是解決問“試一試”仍舊利用例題的平面圖呈現(xiàn)問題，要求學生根據(jù)“醫(yī)院在明華小學的正北方向，它們之間的實際距離是240米”，算出明華小學到醫(yī)院的圖上距離，并在平面圖中表示出醫(yī)院的位置。完成這項任務，首先要算出醫(yī)院和明華小學的圖上距離的問題。在平面圖上表示醫(yī)院所在的位置，還要聯(lián)系方向知識，先找到明華小學的正北方向。教學要指導學生，根據(jù)得到的圖上距離，在學校正北方向3記號表示醫(yī)院，并且在學校與醫(yī)院之間連一條線段。學生在這次“試一試”里，能初步感受畫平面圖的主要工作：找到合適的比例尺、計算有關的圖上距離、確定方向平面圖的比例尺，有的要求表示成數(shù)值比例尺，有的要求表示成線段比例尺，都能鞏固比例尺的概念。第二塊是第4、5兩題，分別是求實際距離和求圖上距離的問題，幫助學生進一步掌握比例尺的知識，提高解決簡單問題的能力。第三塊是第6～9題，整理并應用比例尺的知識。其中第6題的表格里要求分別填寫比例尺、實際距離和圖上距離，綜合了有關比例尺的全部知識內(nèi)容，有利于學生形成比較完整的認知結(jié)構(gòu)；第7題在平面圖的問題里，添加了常用數(shù)量關系和時間的知識，綜合性較強。第8、9兩題是簡單的實踐活動，要求在地圖上量量、算算，或制作簡單的平面圖，都在實際應用【第五單元確定位置】確定位置的教學很早就開始了。一年級用上下、左右、前后等方位詞，表示物體之間的位置關系。如×在×的上面、×的右邊是×。二年級用東、南、西、北，東南、東北、西南、西北等方向詞描述物體所在的位置。如×的正北方有×,×在×的東北方向。這些表示和描述只是指出了物體的大致位置，不夠準確。本單元繼續(xù)教學確定位置，把方向和距離結(jié)合起來，準確地描述物體所在的位置。全單元編排三道例從方向與距離兩個方面確定物體所在的位置，要聯(lián)系已有的認識方向的經(jīng)驗，教學一些新的方向詞語；還要應用量角和畫角、量線段和畫線段的方法，以及比例尺的知識。由于涉及的知識技能比較多，教學可能會有一定難度。但學生能進一步了解方向、體會距離，有利于發(fā)展空間觀念。他們綜合應用數(shù)學知識、技能解決問題，相應（一）在已有方向知識的基礎上，教學新的確定位置方法相對于輪船的方向，“30千米”是燈塔離輪船的距離。顯然，“北偏東”是新的方向“北偏東30°”是新的方向概念，它是什么意思？它怎么度量、怎么表示？也是例題應用比例尺的知識，雖然實際距離轉(zhuǎn)化成圖上距離是舊知識，卻要和新方向知識結(jié)合認識的東、南、西、北以及東南、東北、西南、西北等方向，逐步構(gòu)建確定位置的新分別在輪船的什么方向。學生聯(lián)系二年級學東北方向”“燈塔2在輪船的西北方向”。東北和西北，既是舊知識，也是新知識的生長點。所以說，這一步教學是回憶并激活有關的知識經(jīng)驗，把學生帶進新知識的最第二步，教學“北偏東”“北偏西”兩個表示方向的詞語。教材指出：東北方向也叫作北偏東，西北方向也叫作北偏西。引出了描述方向的兩個新詞語。還有兩個新詞語“南偏東”“南偏西”在后面教學中陸續(xù)帶出來。教學新方向詞語要讓學生仔細體會詞語的含義：以前的東北、西南等方向以“東”和“西”為主，東面和北面之間稱為東北，東面和南面之間是東南，西面和北面之間稱為西北，西面和南面之間是西南。現(xiàn)在教學的方向詞語以“北”和“南”為主，北面和東面之間稱為北偏東，北面和西面之間是北偏西，南面和東面之間稱為第三步，在輪船航行的示意圖上，教學用方向和距離確定位置的方法。教材利用多少千米處？在圖中看一看、算一算，并在在的方向仍然不夠精確。其次是理解30千米的意思。平面圖上使用的線段比例尺，圖第四步，調(diào)整認知結(jié)構(gòu)?！坝衩住笨ㄍㄌ岢鰡栴}“以前學過哪些確定位置的方法？現(xiàn)在又有了哪些新的認識？”引導學生回憶以前的方向知識、體會現(xiàn)在學習的確定位置的方法與以前的方法有聯(lián)系，是以前方法的發(fā)展和綜合，比以前的方法更準確。既把新知識建立在過去知識的基礎上，又體驗新知識“新在何處”，從而加強對“練一練”仍然聯(lián)系輪船航行的示意圖，要求在教科書上填寫“燈塔2在輪船的北偏西55°方向40千米處”，重溫用方向和距離確定物體所在位置的方法，起鞏固例（二）根據(jù)給定的方向和距離，在平面圖上確定物體所在的位置例2呈現(xiàn)的平面圖上，給出了黎明島的東、南、西、北四個方向，以在圖上畫出清涼島的位置，首先要理解“北偏東其中的方向內(nèi)容和距離內(nèi)容。其次要用量角器畫40°的角，根據(jù)比例尺把實際距離換這次畫圖涉及許多數(shù)學內(nèi)容，關鍵是要安排好畫圖的步驟。為此，教材要求學生思考畫法并在小組里交流。這是很重要的一步教學環(huán)節(jié)，直接關系到能不能順利畫出畫圖分兩段進行：先確定清涼島所在的方向——找到黎明島的北偏東方向，畫出北偏東40°的角，黎明島就在角的一條邊上。再確定清涼島所在的距離——平面圖的距離確定物體的位置既合理又嚴密。課堂上要關注學生用量角器畫40°角的方法，量另外，還應給學生三點畫圖指導：一是北偏東的射線要畫得輕些、細些，只要自己能看到就行；二是射線上找到清涼島的位置，可以用一個圓點表示，圓點要畫得清楚，并在旁邊標注“清涼島”；三是把黎明島和清涼島之間的線段適當描粗些，并且“練一練”里的“南偏西”是第一次出現(xiàn)，要讓學生解釋這個方向詞語，正確理解其意思。另外在動手畫圖前，還可以組織學生說說“在平面圖上用方向和距離確定位（三）應用確定位置的知識，描述行走的例3呈現(xiàn)了李偉家附近部分街道的平面圖，要求學生說說李偉李偉上學的路線是三條或多條線段連成的折線。首先要明白怎樣說——依次說出從家出發(fā)向什么方向走到哪里，再朝什么方向走到哪里……最后朝什么方向走到學校。然后放手學生說說李偉上學行走的路線，并在小組里交流。由于李偉是沿著街道行走的，平面圖沒有給出各街道與正北方向的夾角，也沒有給出各街道的長度，只能用以前學習的或者剛剛學習的方向詞語描述行走的方向與路線。四個小卡通的交流雖放學回家的行走路線與上學的路線剛好相反，不僅行走的方向相反，而且途經(jīng)的標志性建筑的出現(xiàn)次序也相反。說說回家路線有利于對知識、技能的理解和掌握。另外，從上學路線到回家路線也滲透了“倒推”的思想方法，是解決和距離表示飛機所在位置就很方便了。題目通過“飛機A在北偏東30°方向30千米處”，幫助學生讀懂雷達屏幕的示意圖，通過在示意圖上分別表示飛機B、C、D、E的位置，練習用方向和距離確定位置的方法。第3題在地圖上看看“（學生自己）住的地區(qū)在北京的什么方向”。題目以“南京在北京的南偏東方向”示范了該怎樣說：一是確定自己居住地所處位置，以通過北京的“南北”縱線為標準，可以在地圖上畫出這條縱線，或者把這條縱線想在頭腦里。二是只要說出自己居住地與北京的相只是方向在頻繁變化，學生會感到繁瑣，也會失去練習的興趣。這兩題只用方向詞語【綜合與實踐大樹有多高】人們經(jīng)常需要知道一棵大樹、一根旗桿、一個高大建筑物有多高，但又無法直接測量。其原因或是不能登上物體的最高點，或是尺太短。如果利用比例的知識，可以通過間接測量，計算出所要知道的物體高度。這次實踐活動，就是間接測量大樹有多“提出問題”欄目，圖畫中的一個小朋友想知道校園里的一棵大樹有多高。所有學生都知道，大樹的高度除了目測估計，很難直接測量?！澳懿荒苡靡呀?jīng)學過的知識來解決問題呢？”這是本次實踐活動要研究的內(nèi)容。圖畫情境讓學生明白這次實踐活動的任務，對活動產(chǎn)生興趣，他們能以積極的態(tài)度參與活動。在這一段里，只是創(chuàng)設情境、提出問題，至于應用什么知識、怎樣解決問題，都沒有點明，而是留在后面的“實驗操作”欄目，重點引導學生發(fā)現(xiàn)同一時間、相近地點，直立在地面上的竹教材組織學生在陽光下，選擇平坦的地面進行兩次實驗。第一次實驗把幾根同樣長的竹竿直立在地面上，同時量出每根竹竿的影長，發(fā)現(xiàn)同樣長的竹竿影長相等。第二次實驗把幾根長度不同的竹竿直立在地面上，它們的影長不同。同時量出每根竹竿的影長，寫出各根竹竿長度與影長的比，計算各個比的比值，發(fā)現(xiàn)各次求得的比值都不同樣長的竹竿的竿長與影長成正比例并不容易，對實驗的要求很高。如要在陽光下進行實驗，才能看到竹竿的影子、測量影長。還要在平坦的地面上實驗，才能量到真實的影長。更重要的是在同一時間實驗，即同時測量各根竹竿的影長。因為相對于地面來說，太陽在“動”。同一個人站在操場上，上午、中午、下午的影長不同，就是太陽“位置變化”造成的。相同長度竹竿的影長相等、不同長度竹竿的竿長與影長成正比例，都是“同一時間”為前提的規(guī)律。不在同一時間，這些結(jié)論都不存在。為了長、1人記錄數(shù)據(jù)。直立竹竿和測量影長的動作要準確、迅速；竹竿的長度可以提前測量，竿長和影長的比值可以在所有影長測量以后計算……得出竿長與影長成正比例，應該先算出每根竹竿的長度與其影長的比的比值，發(fā)現(xiàn)比值相等，并且寫出數(shù)量關系式“竿長/影長=比值（一定）”。學生根據(jù)數(shù)量關系應用發(fā)現(xiàn)的竿長與影長的規(guī)律，可以“通過測量和計算求出大樹的高度”。同時，要求他們同時測量一根竹竿和一棵大樹的影長，學生沒有學過有關正比例問題的解法，教材也不要求學生按解答正比例問題的方表格里，竹竿影長、大樹影長、竹竿實際高度三個數(shù)量通過測量已經(jīng)得到，大樹進一步體會這次實踐活動中的各種知識。上面的“實驗操作”，測量幾根同樣長的竹竿的影長，或者測量幾根不同長度竹竿的影長，都是“同時”進行的。雖然利用“同一時間，竿長與影長成正比例”解決了求大樹有多高的問題，但學生對竿長與影長關系的認識還不夠全面，對“同一時間”的體驗還不夠深刻。為此，本欄目前一個問題“同一棵大樹，在不同時間測量它的影長，結(jié)果相同嗎？”引導學生通過猜想與實驗，了解“不同時間測量同一棵大樹，影長不同”。由此推理：同一棵大樹，在不同時間測得的影長與樹實際長度的比的比值不同；同一棵大樹，不同時間測得的影長與樹的實際高度不成正比例關系。由此，他們對竿長與影長關系的理解就全面而正確本欄目的后一個問題“通過上面的活動，還能想到什么？”話題比較開闊。就竿長與影長的關系，還可以有“蘿卜”“蘑菇”“番茄”等小卡通的想法；至于“操作、實驗能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律”“利用數(shù)學知識解決實際問題”等體會，都是積極情感態(tài)度【第六單元正比例和反比例】本單元在比和比例，以及常見數(shù)量關系的基礎上編排。通過兩個數(shù)量保持商一定或者積一定的變化，教學正比例和反比例關系。讓學生在建立正比例和反比例概念的正比例和反比例歷來是小學數(shù)學的重要內(nèi)容之一。與過去教材相比，本單元進一步加強正、反比例的概念教學，突出正比例關系的圖像以及簡單應用，淡化脫離現(xiàn)實背景的判斷，加強正、反比例知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，不要求應用正比例、反比例解（一）抽象常見事例中的數(shù)量變化規(guī)律，形成正比例概念例關系。就學生而言，日常生活中接觸具有正比例關系事例的機會是比較多的，有學習正比例知識的現(xiàn)實背景。如速度保持不變的物體，運動的時間與路程；單價不變的物品，購買的數(shù)量與總價；每小時工作量不變，工作的時間與工作的總量……但是，正比例是相當抽象的數(shù)學概念，理解正比例關系的內(nèi)涵，用符號概括表示正比例的本質(zhì)特征，都有一些難度。隨著正比例概念的逐步形成，數(shù)學思維能夠得到很好的發(fā)展，把握具體事例中的數(shù)學內(nèi)容，概括數(shù)學規(guī)律的能力會有提高。正比例關系是較簡單的函數(shù)關系，學習正比例的概念，能受到函數(shù)思想的熏陶，對以后的中學數(shù)學學習者是例題的內(nèi)容重點，因為成正比例關系的兩個量必定是相關聯(lián)的。認識正比例關系教材選擇汽車在公路上行駛的事例，用表格呈現(xiàn)一輛汽車行駛時間和路程的數(shù)據(jù)，要求寫出幾組相對應的路程和時間的比，發(fā)現(xiàn)各個比的比值都是80，理解這個80是這輛汽車每小時行駛的千米數(shù)，由此得出描述這輛汽車行駛過程的數(shù)量關系：路程數(shù)量＝速度（一定）。在這個數(shù)量關系式中，路程比時間等于速度是舊知識，速度“一定”是這個情境的特點，是正比例概念的生長點。這一段教材組織學生感知正比例現(xiàn)象，教學不宜過快。在觀察汽車行駛的時間與路程的表格時，要看到行駛的時間越多，路程越長，不僅為體會“相關聯(lián)的量”作準備，還有利于感受汽車行駛速度保行駛240千米……理解路程和時間的“相對應”。還要說說表格里兩個省略號的意教材指出路程和時間是兩種相關聯(lián)的量，用“時間變化，路程也隨著變化”具體解釋兩種量“相關聯(lián)”的含義。認識“相關聯(lián)的量”是建立正比例或反比例概念的前提，兩種量成正比例或反比例關系，它們必定按某種確定的關系相隨著變化。學生只要知道一種量變化，會引起另一種量的變化，就初步體會了兩種量“相關聯(lián)”的意教材接著指出“當路程和對應時間的比的比值總是一定時，行駛的路程和時間是成正比例的量，它們之間的關系是正比例關系”。這是對正比例意義的初步描述，學生在這些描述中首次感知正比例關系。要讓他們注意其中的兩點：一是理解“比的比值總是一定”的意思，并適應這樣的表述。這里可以用“也就是速度一定”具體解釋比的比值總是一定?！氨鹊谋戎悼偸且欢ā笔钦壤P系的固有屬性，能夠描述所有正比例關系的本質(zhì)特征，學生應該學會這樣的表述。二是理解正比例關系是兩個量之“試一試”在另一組數(shù)量中繼續(xù)感知正比例關系。教材用表格給出購買同一種鉛說總價隨著哪個量的變化而變化，尋找兩種相關聯(lián)的量，確認總價和數(shù)量這兩種量相關聯(lián)。第（2）問是寫出幾組相對應的總價和數(shù)量的比，并比較各個比的比值，發(fā)現(xiàn)它們的比值都相等。第（3）問要解釋比值的意思，理解它就是鉛筆的單價，等，同時用式子“總價/數(shù)量＝單價（一定）”表示總價和數(shù)量之間的變化關系。學生寫出數(shù)量關系式不會有多大的困難，而單價“一定”往往會忘了標注，要提醒他們寫出單價一定。第（4）問是作出鉛筆的總價和數(shù)量成正比例的判斷，學生已經(jīng)價和數(shù)量的關系式，看到了總價和數(shù)量的比的比值保持不變，作出總價和數(shù)量成正比例的判斷會水到渠成。教材編排這個“試一試”的意圖主要有兩點：一是豐富對正比數(shù)量成正比例，能體會日常生活中經(jīng)常有成正比例關系的量。正比例關系的共同特點是對應數(shù)量的比的比值一定，這就為抽象出正比例概念積累了資源。二是再次經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)兩種量成正比例關系的過程，如果再遇到兩種相關聯(lián)的量，就能像這樣寫出一些相實例的數(shù)量關系的共同本質(zhì)特征，就能形成正比例的概念。教材緊接著“試一試”，定）”表示它們的關系，抽