蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.12將軍飲馬模型(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題2.12將軍飲馬模型（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【模型一：兩定交點(diǎn)型】如圖1，直線和的異側(cè)兩點(diǎn)A.B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最??；圖1【模型二：兩定一動(dòng)型】如圖2，直線和的同側(cè)兩點(diǎn)A.B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小（同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)）；圖2【模型三：一定兩動(dòng)型】如圖3，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使△PAB的周長(zhǎng)最小。圖3【模型四：兩定兩動(dòng)型】如圖4，點(diǎn)P，Q為∠MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小。圖4【模型五：一定兩動(dòng)（垂線段最短）型】如圖5，點(diǎn)A是∠MON外的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小。圖5【模型六：一定兩動(dòng)，找（作）對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化型】如圖6，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小。圖6【考點(diǎn)1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型；【考點(diǎn)2】一定兩動(dòng)（兩點(diǎn)之間線段最短）型；【考點(diǎn)3】一定兩動(dòng)（垂線段最短）型；【考點(diǎn)4】?jī)啥▋蓜?dòng)型；【考點(diǎn)5】一定兩動(dòng)（等線段）轉(zhuǎn)化型；.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【考點(diǎn)1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型；【例1】（23-24八年級(jí)上·湖北荊門·期末）如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是16，腰的垂直平分線分別交邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．16【變式】（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）如圖，等邊中，于，，點(diǎn)、分別為、上的兩個(gè)定點(diǎn)且，在上有一動(dòng)點(diǎn)使最短，則的最小值為．【考點(diǎn)2】一定兩動(dòng)（兩點(diǎn)之間線段最短）型；【例2】（23-24八年級(jí)上·重慶合川·期末）如圖，在五邊形中，，點(diǎn)P，Q分別在邊，DE上，連接，，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式】（23-24八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，已知，在的內(nèi)部有一點(diǎn)P，A為上一動(dòng)點(diǎn)，B為上一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，度，的周長(zhǎng)的最小值是．

【考點(diǎn)3】一定兩動(dòng)型（垂線段最短）；【例3】（22-23七年級(jí)下·遼寧丹東·期末）如圖，在中，，是的一條角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，若，，那么線段的最小值是（

）

A． B．5 C．4 D．6【變式】（21-22八年級(jí)下·重慶九龍坡·開(kāi)學(xué)考試）如圖，CD是△ABC的角平分線，△ABC的面積為12，BC長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值是．【考點(diǎn)4】?jī)啥▋蓜?dòng)型；【例4】（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，，，分別是邊，上的定點(diǎn)，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【變式】（20-21八年級(jí)上·天津·期末）如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的大小_______（度）．【考點(diǎn)5】一定兩動(dòng)（等線段）轉(zhuǎn)化型；【例5】（23-24九年級(jí)上·湖北黃岡·期中）如圖，等腰中，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的面積（

）

A． B． C． D．【變式】（2023·四川成都·一模）如圖，在三角形中，，，于D，M，N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)最小時(shí)，．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2015·貴州遵義·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）．A．50° B．60° C．70° D．80°【例2】（2020·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，則的最大值與最小值的差為．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，、在的同側(cè)，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，，，，若，則的最大值為（

）A．18 B．16 C．14 D．12【例2】（23-24七年級(jí)下·四川樂(lè)山·期末）如圖，已知，C是內(nèi)部的一點(diǎn)，且，點(diǎn)D、E分別是上的動(dòng)點(diǎn)，若周長(zhǎng)的最小值等于3，則（

）A． B． C． D．專題2.12將軍飲馬模型（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【模型一：兩定交點(diǎn)型】如圖1，直線和的異側(cè)兩點(diǎn)A.B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最??；圖1【模型二：兩定一動(dòng)型】如圖2，直線和的同側(cè)兩點(diǎn)A.B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最?。ㄍ瑐?cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)）；圖2【模型三：一定兩動(dòng)型】如圖3，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使△PAB的周長(zhǎng)最小。圖3【模型四：兩定兩動(dòng)型】如圖4，點(diǎn)P，Q為∠MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小。圖4【模型五：一定兩動(dòng)（垂線段最短）型】如圖5，點(diǎn)A是∠MON外的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小。圖5【模型六：一定兩動(dòng)，找（作）對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化型】如圖6，點(diǎn)A是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小。圖6【考點(diǎn)1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型；【考點(diǎn)2】一定兩動(dòng)（兩點(diǎn)之間線段最短）型；【考點(diǎn)3】一定兩動(dòng)（垂線段最短）型；【考點(diǎn)4】?jī)啥▋蓜?dòng)型；【考點(diǎn)5】一定兩動(dòng)（等線段）轉(zhuǎn)化型；.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【考點(diǎn)1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型；【例1】（23-24八年級(jí)上·湖北荊門·期末）如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是16，腰的垂直平分線分別交邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．16【答案】C【分析】本題考查的是軸對(duì)稱——最短路線問(wèn)題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．解：連接，，∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，解得，∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，則，，∴的長(zhǎng)為的最小值，∴周長(zhǎng)的最小值為．故選：C．【變式】（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）如圖，等邊中，于，，點(diǎn)、分別為、上的兩個(gè)定點(diǎn)且，在上有一動(dòng)點(diǎn)使最短，則的最小值為．【答案】5【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考常考題型．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，此時(shí)的值最?。钚≈担猓喝鐖D，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，此時(shí)的值最?。钚≈?，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，的最小值為5．故答案為：5．【考點(diǎn)2】一定兩動(dòng)（兩點(diǎn)之間線段最短）型；【例2】（23-24八年級(jí)上·重慶合川·期末）如圖，在五邊形中，，點(diǎn)P，Q分別在邊，DE上，連接，，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)．延長(zhǎng)AB到點(diǎn)G使得，延長(zhǎng)到點(diǎn)F使得，連接交、DE于點(diǎn)、，則這時(shí)的周長(zhǎng)最小，根據(jù)無(wú)變形的內(nèi)角和求出的度數(shù)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，，然后計(jì)算解題即可．解：延長(zhǎng)AB到點(diǎn)G使得，延長(zhǎng)到點(diǎn)F使得，

∵，∴、DE垂直平分、，連接交、DE于點(diǎn)、，則，，∴，這時(shí)的周長(zhǎng)最小，∵∴，又∵，∴，∴，又∵，，∴，，∴，故選：B．【變式】（23-24八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，已知，在的內(nèi)部有一點(diǎn)P，A為上一動(dòng)點(diǎn)，B為上一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，度，的周長(zhǎng)的最小值是．

【答案】【分析】分別作出點(diǎn)關(guān)于，兩條射線的對(duì)稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段與，的交點(diǎn)即為所確定的點(diǎn)；連接，，，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，，，證得是等邊三角形，即可得到結(jié)論．解：①分別作點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，；連接，，分別交，于點(diǎn)、點(diǎn)，則此時(shí)的周長(zhǎng)最小．連接，，，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，，，，，是等邊三角形，，，，∴，的周長(zhǎng)，故答案為：，．【點(diǎn)撥】此題主要考查了軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是理解要求周長(zhǎng)最小問(wèn)題可歸結(jié)為求線段最短問(wèn)題，通常是作已知點(diǎn)關(guān)于所求點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)．【考點(diǎn)3】一定兩動(dòng)型（垂線段最短）；【例3】（22-23七年級(jí)下·遼寧丹東·期末）如圖，在中，，是的一條角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，若，，那么線段的最小值是（

）

A． B．5 C．4 D．6【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于，此時(shí)，即的最小值，利用面積法可求出的值，即的最小值．解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于，

，是的一條角平分線，點(diǎn)為底邊的中點(diǎn)，，，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，，，此時(shí)的最小值，，，，，，的最小值為．故選A．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最值問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式】（21-22八年級(jí)下·重慶九龍坡·開(kāi)學(xué)考試）如圖，CD是△ABC的角平分線，△ABC的面積為12，BC長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值是．【答案】4【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由是的角平分線，得到點(diǎn)一定在上，過(guò)作于，交于，則此時(shí)，的值最小，的最小值，過(guò)作于，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形的面積即可得到結(jié)論．解：作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，是的角平分線，點(diǎn)一定在上，過(guò)作于，交于，則此時(shí)，的值最小，的最小值，過(guò)作于，的面積為12，長(zhǎng)為6，，垂直平分，，，，的最小值是4，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確的作出對(duì)稱點(diǎn)和利用垂直平分線的性質(zhì)證明的最小值為三角形某一邊上的高線．【考點(diǎn)4】?jī)啥▋蓜?dòng)型；【例4】（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，，，分別是邊，上的定點(diǎn)，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則最小，易知，，，，，由此即可解決問(wèn)題．解：如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則最小，解:由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，，，，，∴．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式】（20-21八年級(jí)上·天津·期末）如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的大小_______（度）．【答案】50【分析】本題主要考查最短路徑問(wèn)題、軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，連接，，可知此時(shí)最小，此時(shí)，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平角的定義即可得出結(jié)論．解：作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，連接，，如圖所示．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知此時(shí)最小，即，∴，，∵，，∴，，∵，,∴，∴，故答案為：50．【考點(diǎn)5】一定兩動(dòng)（等線段）轉(zhuǎn)化型；【例5】（23-24九年級(jí)上·湖北黃岡·期中）如圖，等腰中，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的面積（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，使，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，則，連接交于，在中，由三角形三邊關(guān)系可得，則、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即的值最小，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，利用三角形的面積公式即可求解．解：過(guò)點(diǎn)作，使，連接，

∵，，，，，，在和中，，，，，連接交于，在中，由三角形三邊關(guān)系可得，則、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即的值最小，∵，，在和中，，，，過(guò)點(diǎn)作于，，，的面積為．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、最短距離問(wèn)題、三角形的面積、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．【變式】（2023·四川成都·一模）如圖，在三角形中，，，于D，M，N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)最小時(shí)，．【答案】【分析】在下方作，使，連接，則最小值為，此時(shí)A、N、三點(diǎn)在同一直線上，推出，所以，即可得到．解：在下方作，使，連接．則，．∴，即最小值為，此時(shí)A、N、三點(diǎn)在同一直線上．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了最短路線問(wèn)題以及等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2015·貴州遵義·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）．A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【分析】要使的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)G和點(diǎn)H，即可得出，，根據(jù)的內(nèi)角和為，可得出；再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為可知，，即，建立方程組，可得到的度數(shù)，即可得出答案．解：作點(diǎn)A關(guān)于直線BC和直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G和H，連接GH，交BC、CD于點(diǎn)E、F，連接AE、AF，則此時(shí)△AEF的周長(zhǎng)最小，∵四邊形的內(nèi)角和為，∴，即①，由作圖可知：，，∵的內(nèi)角和為，∴②，方程①和②聯(lián)立方程組，解得．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱變換、最短路線問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和及垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E、F的位置是解題關(guān)鍵．【例2】（2020·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，則的最大值與最小值的差為．【答案】12【分析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS