蘇科版2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊專練習(xí)2.8有理數(shù)的加法與減法(知識梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題2.8有理數(shù)的加法與減法（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】有理數(shù)的加法1.定義：把兩個(gè)有理數(shù)合成一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算叫作有理數(shù)的加法．2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．3.運(yùn)算律：有理數(shù)加法運(yùn)算律加法交換律文字語言兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變符號語言a+b＝b+a加法結(jié)合律文字語言三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變符號語言(a+b)+c＝a+(b+c)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：交換加數(shù)的位置時(shí)，不要忘記符號．【知識點(diǎn)二】有理數(shù)的減法1.定義：已知兩個(gè)數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法，例如：(-5)+?＝7，求？，減法是加法的逆運(yùn)算．特別強(qiáng)調(diào)：（1）任意兩個(gè)數(shù)都可以進(jìn)行減法運(yùn)算；（2）幾個(gè)有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號；②數(shù)字即數(shù)的絕對值．2.法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即有：．特別強(qiáng)調(diào)：將減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，注意同時(shí)進(jìn)行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)”．【知識點(diǎn)三】有理數(shù)加減混合運(yùn)算將加減法統(tǒng)一成加法運(yùn)算，適當(dāng)應(yīng)用加法運(yùn)算律簡化計(jì)算.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有理數(shù)的加法運(yùn)算【例1】（23-24七年級上·新疆克孜勒蘇·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式1】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）下列各式計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【變式2】（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）若a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c的絕對值為3，則的值為．【題型2】有理數(shù)的加法運(yùn)算律【例2】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）折項(xiàng)法計(jì)算：．【變式1】（23-24七年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）下列變形，運(yùn)用加法運(yùn)算律錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24七年級上·全國·課堂例題）計(jì)算時(shí)，先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運(yùn)算律將算式轉(zhuǎn)化為．【題型3】有理數(shù)的減法運(yùn)算【例3】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：；(2)；；(4)．【變式1】已知，，且，則的值為（

）A．和 B．或 C．或7 D．或【變式2】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：（1）．（2）．【題型4】有理數(shù)的加減混合運(yùn)算【例4】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：；(2)．【變式1】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）下列算式的和為4的是（

）A． B．C． D．【變式2】若，且，則．【題型5】有理數(shù)加減中的簡便運(yùn)算【例5】（23-24七年級上·河南南陽·階段練習(xí)）計(jì)算(1)；(2)；(3)；(4)【變式1】（21-22七年級·全國·假期作業(yè)）嘉琪同學(xué)在計(jì)算時(shí)，運(yùn)算過程正確且比較簡便的是（）A． B．C． D．【變式2】（23-24七年級上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）計(jì)算：．【題型6】有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用【例6】（23-24六年級下·上海長寧·期中）某校六年級（1）班學(xué)生在勞動(dòng)課上采摘成熟的白蘿卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，相等的千克數(shù)記作0，不足的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，稱重后記錄如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）012回答下面問題：（1）這10筐白蘿卜，第8筐白蘿卜實(shí)際質(zhì)量為多少千克．（2）以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，這10筐白蘿卜總計(jì)超過或不足多少千克？（3）若白蘿卜每千克售價(jià)2元，則售出這10筐白蘿卜可得多少元？【變式1】（23-24七年級上·山西陽泉·期中）下面是小王存折存取記錄的一部分，根據(jù)其中提供的信息，截止2023年8月20日，此張存折的余額為（

）日期存入（）/支出（）余額20230630135002023071520230820A．19450元 B．8550元 C．7650元 D．7550元【變式2】（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）對于任意有理數(shù)，，定義新運(yùn)算：，則．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·陜西·中考真題）小華探究“幻方”時(shí)，提出了一個(gè)問題：如圖，將0，，，1，2這五個(gè)數(shù)分別填在五個(gè)小正方形內(nèi)，使橫向三個(gè)數(shù)之和與縱向三個(gè)數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是．（寫出一個(gè)符合題意的數(shù)即可）【例2】（2023·湖南常德·中考真題）下面算法正確的是(

) B． C． D．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級上·天津靜海·階段練習(xí)）觀察下列各式的特征：；；；，根據(jù)規(guī)律，解決相關(guān)問題：（1）根據(jù)上面的規(guī)律，將下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不能寫出計(jì)算結(jié)果）：①_________；②_________；（2）當(dāng)時(shí)，_________；當(dāng)時(shí)，_________．（3）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．（4）合理的方法計(jì)算：．【例2】（23-24七年級上·河南商丘·期末）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿著井壁向上往井口跳躍，由于井壁較滑，每次跳躍之后青蛙會(huì)下滑一段距離才能穩(wěn)?。旅媸乔嗤艿膸状翁S和下滑情況（上跳為正，下滑為負(fù)，單位為厘米）．第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次0（1）除起跳點(diǎn)外，青蛙距離井底的最近距離是______厘米；青蛙距離井口的最近距離是______厘米；（2）在這7次跳躍并下滑穩(wěn)定后，此時(shí)青蛙距離井口還有多遠(yuǎn)？（3）把每7次跳躍下滑記為一周，若青蛙之后的每周跳躍下滑情況都和第一周相同，那么青蛙在第幾次跳出了井口？專題2.8有理數(shù)的加法與減法（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】有理數(shù)的加法1.定義：把兩個(gè)有理數(shù)合成一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算叫作有理數(shù)的加法．2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．3.運(yùn)算律：有理數(shù)加法運(yùn)算律加法交換律文字語言兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變符號語言a+b＝b+a加法結(jié)合律文字語言三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變符號語言(a+b)+c＝a+(b+c)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：交換加數(shù)的位置時(shí)，不要忘記符號．【知識點(diǎn)二】有理數(shù)的減法1.定義：已知兩個(gè)數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法，例如：(-5)+?＝7，求？，減法是加法的逆運(yùn)算．特別強(qiáng)調(diào)：（1）任意兩個(gè)數(shù)都可以進(jìn)行減法運(yùn)算；（2）幾個(gè)有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號；②數(shù)字即數(shù)的絕對值．2.法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即有：．特別強(qiáng)調(diào)：將減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，注意同時(shí)進(jìn)行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)”．【知識點(diǎn)三】有理數(shù)加減混合運(yùn)算將加減法統(tǒng)一成加法運(yùn)算，適當(dāng)應(yīng)用加法運(yùn)算律簡化計(jì)算.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有理數(shù)的加法運(yùn)算【例1】（23-24七年級上·新疆克孜勒蘇·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算；（1）——（4）根據(jù)有理數(shù)的加法進(jìn)行計(jì)算即可求解；（1）解：；（2）解：；（3）解：（4）解：【變式1】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）下列各式計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)加法法則：1．同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；2．絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；3．一個(gè)數(shù)同零相加，仍得這個(gè)數(shù)．掌握理數(shù)加法法則是解題的關(guān)鍵．解：A．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B．，原計(jì)算正確，符合題意；C．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【變式2】（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）若a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c的絕對值為3，則的值為．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，先確定字母的值，再運(yùn)算即可．解因?yàn)閍是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c的絕對值為3，所以，，，故答案為：．【題型2】有理數(shù)的加法運(yùn)算律【例2】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）折項(xiàng)法計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，首先將帶分?jǐn)?shù)拆分，再按照有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便計(jì)算即可．解：原式．【變式1】（23-24七年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）下列變形，運(yùn)用加法運(yùn)算律錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算律，熟練掌握交換律，結(jié)合律是解題的關(guān)鍵．解A.，符合交換律，不符合題意；

B.，符合交換律，不符合題意；C.，不符合結(jié)合律，符合題意；

D.，符合結(jié)合律，不符合題意；故選C．【變式2】（23-24七年級上·全國·課堂例題）計(jì)算時(shí)，先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運(yùn)算律將算式轉(zhuǎn)化為．【答案】7【分析】先把有理數(shù)加減混合運(yùn)算統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算，再利用有理數(shù)加法運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算．解：計(jì)算時(shí)，先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運(yùn)算律將算式轉(zhuǎn)化為．故答案為：①，②，③，④7，⑤．【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)加法運(yùn)算以及加法運(yùn)算律的知識，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題關(guān)鍵．【題型3】有理數(shù)的減法運(yùn)算【例3】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：；(2)；；(4)．【答案】(1)(2)10(3)8(4)0【分析】根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算法則求解即可得到答案．解（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點(diǎn)撥】本題考查有理數(shù)加減運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式1】已知，，且，則的值為（

）A．和 B．或 C．或7 D．或【答案】D【分析】本題考查絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的減法．根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出x，y的值，再判斷出x，y的對應(yīng)情況，然后根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：∵，，∴，，∵，∴，∴，或，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，∴的值為或．故選：D【變式2】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：（1）．（2）．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)減法運(yùn)算法則和絕對值的意義進(jìn)行計(jì)算即可．解：（1）；故答案為：；（2）．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)減法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)減法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．【題型4】有理數(shù)的加減混合運(yùn)算【例4】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式1】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）下列算式的和為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可進(jìn)行求解．解：A、，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故符合題意；D、，故不符合題意；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的加減運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式2】若，且，則．【答案】0或2/2或0【分析】此題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，絕對值的性質(zhì)，能夠正確的判斷出a、b、c的值是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值的性質(zhì)和求出a、b、c的值，然后代入求解即可．解：∵，∴；∵，∴；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故的值為0或2．故答案為：0或2．【題型5】有理數(shù)加減中的簡便運(yùn)算【例5】（23-24七年級上·河南南陽·階段練習(xí)）計(jì)算(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合計(jì)算：（1）根據(jù)有理數(shù)的加法計(jì)算法則求解即可；（2）-（4）根據(jù)有理數(shù)的加減混合計(jì)算法則求解即可；（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【變式1】（21-22七年級·全國·假期作業(yè)）嘉琪同學(xué)在計(jì)算時(shí)，運(yùn)算過程正確且比較簡便的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】原式利用加法交換律和結(jié)合律將分母相同的結(jié)合即可．解：嘉琪同學(xué)在計(jì)算時(shí)，運(yùn)算過程正確且比較簡便的是．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握加法交換律與加法結(jié)合律是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24七年級上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】/【分析】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握裂項(xiàng)相加是解題的關(guān)鍵．解：，故答案為：．【題型6】有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用【例6】（23-24六年級下·上海長寧·期中）某校六年級（1）班學(xué)生在勞動(dòng)課上采摘成熟的白蘿卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，相等的千克數(shù)記作0，不足的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，稱重后記錄如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）012回答下面問題：（1）這10筐白蘿卜，第8筐白蘿卜實(shí)際質(zhì)量為多少千克．（2）以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，這10筐白蘿卜總計(jì)超過或不足多少千克？（3）若白蘿卜每千克售價(jià)2元，則售出這10筐白蘿卜可得多少元？【答案】(1)千克(2)不足千克(3)元【分析】本題考查了有理數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握負(fù)數(shù)的含義并正確的運(yùn)算．（1）根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)，計(jì)算求解，然后作答即可；（3）根據(jù)，計(jì)算求解即可．（1）解：千克，答：第8筐白蘿卜實(shí)際質(zhì)量為千克．（2）解：千克，答：10筐白蘿卜總計(jì)不足千克．（3）元，答：售出這筐白蘿卜可得元．【變式1】（23-24七年級上·山西陽泉·期中）下面是小王存折存取記錄的一部分，根據(jù)其中提供的信息，截止2023年8月20日，此張存折的余額為（

）日期存入（）/支出（）余額20230630135002023071520230820A．19450元 B．8550元 C．7650元 D．7550元【答案】D【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，以及有理數(shù)的加減運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)題意列式計(jì)算，即可求解．解：，（元）．答：此張存折的余額為7550元．故選：D．【變式2】（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）對于任意有理數(shù)，，定義新運(yùn)算：，則．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，理解的運(yùn)算方法，列出算式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)的運(yùn)算方法列出算式，再根據(jù)加減運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．解：根據(jù)定義新運(yùn)算：，可得．故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·陜西·中考真題）小華探究“幻方”時(shí)，提出了一個(gè)問題：如圖，將0，，，1，2這五個(gè)數(shù)分別填在五個(gè)小正方形內(nèi)，使橫向三個(gè)數(shù)之和與縱向三個(gè)數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是．（寫出一個(gè)符合題意的數(shù)即可）【答案】0【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)橫向三個(gè)數(shù)之和與縱向三個(gè)數(shù)之和相等，進(jìn)行填寫即可得出結(jié)果．解：由題意，填寫如下：，滿足題意；故答案為：0．【例2】（2023·湖南常德·中考真題）下面算法正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法則計(jì)算即可．解A、，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C符合題意；D、，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查有理數(shù)的加減法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級上·天津靜?！るA段練習(xí)）觀察下列各式的特征：；；；，根據(jù)規(guī)律，解決相關(guān)問題：（1）根據(jù)上面的規(guī)律，將下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不能寫出計(jì)算結(jié)果）：①_________；②_________；（2）當(dāng)時(shí)，_________；當(dāng)時(shí)，_________．（3）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．（4）合理的方法計(jì)算：．【答案】(1)①；②(2)；(3)C(4)【分析】絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值等于它本身；負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；0的絕對值是0，然后根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則判斷式子的符號，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)正確化簡．（1）先比較有理數(shù)的大小，然后結(jié)合絕對值的性質(zhì)即可化簡；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解；（3）由數(shù)軸可知，，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解；（4）根據(jù)絕對值的性質(zhì)和有理數(shù)運(yùn)算，化簡絕對值并進(jìn)行加減運(yùn)算，即可獲得答案．