安徽省皖南八校2025屆高三數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考試題文含解析

PAGE21-安徽省皖南八校2025屆高三數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考試題文（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，依據(jù)交集運(yùn)算即可.【詳解】集合，∴.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題.2.已知復(fù)數(shù)滿意（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】分析】設(shè),依據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求出，即可求解.【詳解】設(shè)，則，，，即，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于簡(jiǎn)潔題.3.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由漸近線斜率可得的關(guān)系，進(jìn)而得到的關(guān)系.【詳解】由題知，又，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)潔題.4.已知直線，，平面，，則的充分條件是()A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】依據(jù)線面平行的判定，逐項(xiàng)分析即可.【詳解】∵，，有可能，A錯(cuò)誤；，有可能，B錯(cuò)誤；，有可能，C錯(cuò)誤；,,能推出，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定定理，考查了空間想象力，屬于中檔題.5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公差等于()A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由，可求出，進(jìn)而可知，結(jié)合，可求出公差.【詳解】解：，，，.又由，得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差、等比數(shù)列問題，一般都可用基本量法，列方程組求解，但是計(jì)算量略大.有時(shí)結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)，可簡(jiǎn)化運(yùn)算，削減運(yùn)算量.6.新高考方案規(guī)定，一般中學(xué)學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成果將計(jì)入高考總成果，即“選擇考”成果依據(jù)學(xué)生考試時(shí)的原始卷面分?jǐn)?shù)，由高到低進(jìn)行排序，評(píng)定為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí).某試點(diǎn)中學(xué)2024年參與“選擇考”總?cè)藬?shù)是2024年參與“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平狀況，統(tǒng)計(jì)了該校2024年和2024年“選擇考”成果等級(jí)結(jié)果，得到如圖表：針對(duì)該?！斑x擇考”狀況，2024年與2024年比較，下列說法正確的是()A.獲得A等級(jí)的人數(shù)不變 B.獲得B等級(jí)的人數(shù)增加了1倍C.獲得C等級(jí)的人數(shù)削減了 D.獲得E等級(jí)的人數(shù)不變【答案】D【解析】【分析】設(shè)2024年參與“選擇考”總?cè)藬?shù)為，分別求出2024,2024年獲得A，B，C，E等級(jí)的人數(shù)，進(jìn)而可選出正確選項(xiàng).【詳解】解：設(shè)2024年參與“選擇考”總?cè)藬?shù)為，則2024年參與“選擇考”總?cè)藬?shù)為；則2024年獲得A等級(jí)有人，2024年獲得A等級(jí)有，解除A；2024年獲得B等級(jí)有人，2024年獲得B等級(jí)有，解除B；2024年獲得C等級(jí)有人，2024年獲得C等級(jí)有，解除C；2024年獲得E等級(jí)有人，2024年獲得E等級(jí)有，人數(shù)不變，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，考查了由統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù).7.函數(shù)的部分圖象大致是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性可解除A,C.代入特別值，如，通過推斷函數(shù)值的符號(hào)，可選出正確答案.【詳解】解：由，可知函數(shù)為奇函數(shù)，由此解除A，C，又時(shí)，，因?yàn)?，則，即此時(shí)，解除D.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的選擇.選擇函數(shù)的圖像時(shí)，常結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、定義域解除選項(xiàng)，再代入特別值，推斷函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行選擇.8.在中，，是直線上一點(diǎn)，且，若則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過向量的線性運(yùn)算，以為基底，表示出，進(jìn)而求出的值.【詳解】解：，.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加法運(yùn)算，考查了向量的減法運(yùn)算.本題的難點(diǎn)是由題目條件求出的詳細(xì)值.9.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則()A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式列出方程組求解即可.【詳解】，,,又，，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)，等比數(shù)列求和公式，屬于中檔題.10.已知，則函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造方程解方程組可得，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，寫出切線方程即可.【詳解】∵，∴.∴.∴，.∴，∴過切線方程：.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，函數(shù)解析式的求法，屬于中檔題.11.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則函數(shù)在區(qū)間上()A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)C.可以取得最大值2 D.可以取得最小值【答案】C【解析】【分析】由協(xié)助角公式可求得，，由題意可知，不妨取，令，結(jié)合的圖像，可選出正確選項(xiàng).【詳解】解：，，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，且，，則，即，不妨取，設(shè)，則，則圖像為所以，在先增后減，可取到最大值為2.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了協(xié)助角公式，考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了三角函數(shù)的最值，考查了數(shù)形結(jié)合.本題的關(guān)鍵是由單調(diào)性和最值，確定的值.12.在三棱錐中，已知，，，，且平面平面，三棱錐的體積為，若點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，設(shè)球半徑為，由題意可知，，由，可列出關(guān)于的方程，進(jìn)而可求出球的半徑，則可求球的表面積.【詳解】解：取中點(diǎn)，連接，設(shè)球半徑為，因?yàn)椋?，，所以，，，，因?yàn)椋?，所以，則,因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，即，所以，，球的表面積為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了椎體的體積，考查了面面垂直的性質(zhì)，考查了球的表面積的求解.求球的體積或表面積時(shí)，關(guān)鍵是求出球的半徑，通常設(shè)半徑，結(jié)合勾股定理列方程求解.本題的關(guān)鍵是面面垂直這一條件的應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)滿意約束條件，則的最小值為___________.【答案】1【解析】【分析】作出可行域，依據(jù)直線截距的幾何意義求解即可.【詳解】由約束條件作出可行域如圖，由得：由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最小值，聯(lián)立，解得.∴的最小值為.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃，屬于中檔題.14.在平面直角坐標(biāo)系中，若角的始邊是軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則________.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)出的坐標(biāo)，從而可求出，依據(jù)誘導(dǎo)公式可求出的值.【詳解】解：由題意知，，則到原點(diǎn)的距離為1，，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，考查了三角函數(shù)值的求解.由點(diǎn)坐標(biāo)求出角的余弦值是本題的關(guān)鍵.15.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，，都有，當(dāng)時(shí)，，則________.【答案】5【解析】【分析】由題意可知周期為2，從而可求出，，進(jìn)而可求出的值.【詳解】解：由可知，關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)榕己瘮?shù)，所以周期為2，則，.故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性的應(yīng)用.由奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)的周期是求解本題的關(guān)鍵.16.已知拋物線，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、（其中在軸上方），，兩點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的投影分別為，，若，，則____________.【答案】3【解析】【分析】依據(jù)拋物線的的定義可得，利用直角三角形可求出，由面積等積法求出，求出直線的傾斜角，利用公式，計(jì)算.【詳解】由拋物線的定義得：，，易證，∴，∴∵，∴，.∴，∵，∴為等邊三角形.∴直線的傾斜角.∴，.∴.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義、簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，過焦點(diǎn)直線與拋物線相交的性質(zhì)，屬于難題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答，第22.23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿意.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理對(duì)已知式子進(jìn)行邊角互化，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，化簡(jiǎn)后可得，進(jìn)而可求出；（2）由，可知，結(jié)合余弦定理可求出，從而可求周長(zhǎng).【詳解】解：（1）由知，，.，，則.（2），.由余弦定理知，，即，，解得，的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式.一般地，若題目已知式子中既有邊又有角，常結(jié)合正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化；若式子中三個(gè)角都存在，則常結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行消角化簡(jiǎn).18.如圖，在四棱錐中，底面為長(zhǎng)方形，底面，，，為的中點(diǎn)，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明，，即可證明平面；（2）由，利用等體積法求出點(diǎn)到平而的距離.【詳解】（1）證明：∵，為線段中點(diǎn)，∴.∵平面，平面，∴.又∵底面是長(zhǎng)方形，∴.又，∴平面.∵平面，∴.又，∴平面.（2）由（1）知，平面，又平面，∴，∴.由題知平面，為中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)點(diǎn)平面的距離為，則，即，解得，∴點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，等體積法求距離，屬于中檔題.19.2024新型冠狀病譯（2024-nCoV）于2024年1月12日被世界衛(wèi)生組織命名.冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)峻急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)峻疾病.某醫(yī)院對(duì)病患及家屬是否帶口罩進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)人數(shù)得到如下列聯(lián)表：戴口罩未戴口罩總計(jì)未感染301040感染4610總計(jì)341650（1）依據(jù)上表，推斷是否有95%的把握認(rèn)為未感染與戴口罩有關(guān)；（2）在上述感染者中，用分層抽樣的方法抽取5人，再在這5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人都未戴口罩的概率.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有把握；（2）.【解析】【分析】（1）計(jì)算，與臨界值比較得出結(jié)論；（2）列出抽取2人的全部可能，依據(jù)古典概型計(jì)算概率即可.【詳解】（1）.所以有95%的把握認(rèn)為未感染與戴口罩有關(guān).（2）由（1）知，感染者中有4人戴口罩，6人未戴口罩，用分層抽樣的方法抽取5人，則2人戴口罩記為，3人未戴口罩記為1，2，3，從中隨機(jī)抽取2人，共有，，，，，，，12，13，23共10種可能，其中2人都未戴口罩的有12，13，23共3種，∴這2人都未戴口罩的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，古典概型，分層抽樣，屬于中檔題.20.已知點(diǎn)，是橢圓左，右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿意軸，，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓面積最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由軸，結(jié)合勾股定理可得，從而可求出，，則可知，結(jié)合，可求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，，從而可用表示出，用內(nèi)切圓半徑表示出，即可知，結(jié)合基本不等式，可求出當(dāng)半徑取最大時(shí)，的值，從而可求出直線的方程.【詳解】解：（1）因?yàn)檩S，所以，則，由，，解得，，，由橢圓的定義知，，即，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）要使的內(nèi)切圓的面積最大，需且僅需其的內(nèi)切圓的半徑最大.因?yàn)?，，設(shè)，，易知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，故，；所以，又，故，即，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)內(nèi)切圓半徑取最大值為，直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓內(nèi)三角形周長(zhǎng)的求解，考查了三角形的面積公式，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系.本題的關(guān)鍵是用內(nèi)切圓半徑表示出三角形的面積.本題的難點(diǎn)是計(jì)算化簡(jiǎn).21.已知函數(shù).（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若且，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，有2個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩解，利用導(dǎo)數(shù)分析，得函數(shù)大致形態(tài)，即可求解；（2）不妨令，利用單調(diào)性知，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可得證.【詳解】（1）∵，∴.令，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等根，明顯時(shí)，方程不成立，即不是方程的根，所以原方程有兩個(gè)不相等根轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不相等的根，不妨令.，∴在，遞減，在遞增，，且時(shí)，.∵方程有兩個(gè)不等根，圖象與圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，∴只需滿意即.（2）不妨令，∴在遞減.，不妨令：，∴.令，則，由得，由得，∴在遞減，在遞增.∴，∴，∴在遞增.∴，當(dāng)且時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值，證明不等式，屬于難題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）