專題08 解題技巧專題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線壓軸題三種模型全攻略（原卷版）

專題08解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】 1【類型二等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高線】 11【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 17【典型例題】【類型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】例題：已知，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作，使得射線與射線分別交射線，于點(diǎn)，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【變式訓(xùn)練】1．在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)．(1)如圖，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，求證：，并說(shuō)明理由；(2)在（1）的條件下，，求的值．2．如圖1，在中，，，點(diǎn)P是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊上，連接，若．(1)求證：；(2)若點(diǎn)D，E分別在邊的延長(zhǎng)線上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明；(3)在（1）或（2）的條件下，是否能成為等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)（不用說(shuō)理）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．在中，，點(diǎn)是所在直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作、，垂足分別為、(1)如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求證：(2)如圖2，為腰上的高，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，試探究、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，，求的長(zhǎng)度．4．在中，，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上時(shí)，求證：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在和的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長(zhǎng)線于F，連接，若，試求的長(zhǎng)．【類型二等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高線】例題：如圖，已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，與△BCA均為等腰三角形，，且，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，，求的面積（用含，，的式子表示）．2．已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補(bǔ)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論數(shù)．【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：如圖，在中，平分，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交于，交的延長(zhǎng)線于．求證：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)?？计谥校?1)【問(wèn)題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，可根據(jù)證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過(guò)上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長(zhǎng)線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實(shí)際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過(guò)點(diǎn)A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請(qǐng)直接寫出答案．2．【問(wèn)題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分，點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，易證≌，則．其分析過(guò)程如下：在和中，平分≌（___________）在括號(hào)內(nèi)填寫全等判定方法字母簡(jiǎn)稱（___________）在括號(hào)