8.3.2獨立性檢驗課件高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

上節(jié)課例1

為比較甲、乙兩所學校學生的數(shù)學水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學生.通過測驗得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學生中有10名數(shù)學成績優(yōu)秀；乙校45名學生中有7名數(shù)學成績優(yōu)秀.試分析兩校學生中數(shù)學成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.881771合計45738乙校(X=1)431033甲校(X=0)優(yōu)秀(Y=1)不優(yōu)秀(Y=0)合計數(shù)學成績學校

溫故知新

依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷甲校學生數(shù)學成績優(yōu)秀的概率大于乙校學生數(shù)學成績優(yōu)秀的概率，進而可以推斷兩校學生中數(shù)學成績優(yōu)秀率之間存在差異.【思考】你認為“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這一結論是否有可能是錯誤的？

這一結論有可能是錯誤的.對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能性會較大.

因此，需要找到一種更為合理的推斷方法判斷兩變量之間有無關系，同時也希望能對出現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.8.3.2 獨立性檢驗獨立性檢驗是假設檢驗中的一種方法，所謂假設檢驗，即建立某個假設，通過樣本數(shù)據(jù)分析，進而接受原假設或者拒絕原假設，從而得出結論。小概率事件原理：小概率事件是發(fā)生概率一般不超過5%的事件，即小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.【思考】在原假設H0成立基礎上小概率事件幾乎不可能發(fā)生，但若通過數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)小概率事件發(fā)生了，這說明什么問題？【探究】一個囚犯正在接受法官審判，你是法官.法官的任務是假定囚犯無罪，但是假如有足夠證據(jù)證明囚犯有罪，則需審判囚犯有罪.1.原假設是什么？2.備擇（對立）假設是什么？3.在什么情況下，法官會做出正確判決？4.在什么情況下，法官會做出錯誤判決？原假設是無罪，記為H0.備擇假設是有罪，記為H1.在無罪的情況下判決無罪，在有罪的情況下判決有罪.在無罪的情況下判決有罪，在有罪的情況下判決無罪.創(chuàng)設情境假設檢驗就好像一場審判過程，有兩類錯誤：陪審團審判裁決實際情況無罪有罪無罪正確錯誤有罪錯誤正確結論H0實際為真H0實際為假判斷接受H0正確判斷“取偽”錯誤判斷拒絕H0“棄真”錯誤正確判斷第一類錯誤，發(fā)生概率為α第二類錯誤，發(fā)生概率為βα與β呈反比關系假設檢驗可能犯錯，但犯錯概率可控，下面探究如何進行假設檢驗（獨立性檢驗）。探究新知

考慮以Ω為樣本空間的古典概型.設X和Y定義在Ω上，取值于{0,1}的成對分類變量.我們希望判斷變量X和Y之間是否有關聯(lián)，即X對Y是否有影響（或Y對X是否有影響）.我們需要判斷下面的假定關系是否成立，通常稱H0為零假設或原假設.什么叫做分類變量X和Y獨立？{X=0}與{Y=0}獨立{X=0}與{Y=1}獨立{X=1}與{Y=0}獨立{X=1}與{Y=1}獨立如果這些性質(zhì)成立，我們就稱分類變量X和Y獨立.假定我們通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表如下：n=a+b+c+db+da+c合計c+ddcX=1a+bbaX=0Y=1Y=0合計YX

P(X=0)和P(Y=0)對應的頻率的乘積為{X=0,Y=0}發(fā)生的頻數(shù)的期望值為原假設成立，下面四個量值不應該太大構造一個合理科學的統(tǒng)計量卡方統(tǒng)計量卡方統(tǒng)計量有什么用呢？思考：那么，究竟

χ2大到什么程度，可以推斷H0不成立呢？

統(tǒng)計學家建議，用隨機變量

χ2取值

的大小作為判斷零假設H0是否成立的依據(jù)，當它比較大時推斷H0不成立，否則認為H0成立.

根據(jù)小概率事件在一次試驗中不大可能發(fā)生的規(guī)律，上面的想法可以通過確定一個與H0相矛盾的小概率事件來實現(xiàn).α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828下表給出了χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值：例如，對于一個小概率值α=0.05，有如下的具體檢驗規(guī)則：(1)當時，我們推斷H0不成立，即認為X與Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05；

(2)當時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認為X與Y獨立．基于小概率值α的檢驗規(guī)則：

這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.典例分析:思考：依據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨立性檢驗,分析例1中的抽樣數(shù)據(jù),能否據(jù)此推斷兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率有差異？881771合計45738乙校(X=1)431033甲校(X=0)優(yōu)秀(Y=1)不優(yōu)秀(Y=0)合計數(shù)學成績學校

解：零假設為H0：分類變量X與Y相互獨立，即兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率無差異根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算得到根據(jù)小概率值α=0.1的卡方獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立.因此可以認為H0成立，即認為兩校的數(shù)學成績優(yōu)秀率沒有差異．思考：為何基于同一組數(shù)據(jù)的分析，卻得出了不同的結論，你能說明其中的原因嗎？事實上，如前所述，法一只是根據(jù)一個樣本的兩個頻率的差異得出兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異的結論，并沒有考慮由樣本隨機性可能導致的錯誤，所以那里的推斷依據(jù)不太充分.探究新知在法二中，我們用χ2獨立性檢驗對零假設H0進行了檢驗.通過計算，發(fā)現(xiàn)χ2≈0.837小于α=0.1所對應的臨界值2.706，因此認為沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以接受H0，推斷出校的數(shù)學成績優(yōu)秀率沒有差異的結論.這個檢驗結果意味著，抽樣數(shù)據(jù)中兩個頻率的差異很有可能是由樣本隨機性導致的.因此，只根據(jù)頻率的差異得出兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異的結論是不可靠的.【例1】第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年在北京舉辦，為了解某城市居民對冰雪運動的關注情況，隨機抽取了該市100人進行調(diào)查統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表：

關注冰雪運動不關注冰雪運動合計男451055女252045合計7030100下列說法正確的是參考公式：χ2＝

，其中n＝a＋b＋c＋d.典例分析附表：α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828A.依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為“關注冰雪運動與性別有關”B.依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為“關注冰雪運動與性別無關”C.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“關注冰雪運動與性別無關”D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“關注冰雪運動與性別有關”√【練】(1)(多選)某機構通過抽樣調(diào)查，利用2×2列聯(lián)表和χ2統(tǒng)計量研究患肺病是否與吸煙有關，計算得χ2＝3.305，經(jīng)查對臨界值表知P(χ2≥2.706)≈0.10，P(χ2≥3.841)≈0.05，現(xiàn)給出四個結論，其中正確的是A.因為χ2>2.706，故依據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，我們認為“患肺

病與吸煙有關”B.因為χ2<3.841，故依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，認為“患肺病

與吸煙有關”C.因為χ2>2.706，故依據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，我們認為“患肺

病與吸煙無關”D.因為χ2<3.841，故依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，認為“患肺病

與吸煙無關”√√(2)(多選)某研究所為了檢驗新開發(fā)的疫苗的預防作用，對1000名注射了疫苗的人與另外1000名未注射疫苗的人的一年的健康記錄進行比較，并提出假設：這種疫苗不能起到預防該疾病的作用，并計算出P(χ2≥6.635)≈0.01，則下列說法不正確的是A.這種疫苗能起到預防該疾病的作用的有效率為1%B.若某人未使用該疫苗，則他在半年內(nèi)有99%的可能性得該疾病C.依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為這種疫苗能起到預防該疾病

的作用D.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為這種疫苗能起到預防該疾

病的作用√√【例2】某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.解:零假設為H0：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異.將所給數(shù)據(jù)進行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表.1361152169636675215治愈未治愈合計療效合計乙甲療法

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值α=0.005的χ2獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認為H0成立，即認為兩種療法效果沒有差異.

療法療效合計未治愈治愈乙66369甲155267合計21115136療法療效合計治愈未治愈甲521567乙63669合計11521136

典例分析吸煙肺癌合計非肺癌患者肺癌患者非吸煙者7775427817吸煙者2099492148合計9874919965【練】為研究吸煙是否與肺癌有關,某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法,調(diào)查了9965人,得到成對樣本觀測數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結果,如下表所示.依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,分析吸煙是否會增加患肺癌的風險.解：零假設H0：吸煙與患肺癌之間無關聯(lián)根據(jù)小概率值α=0.001的卡方獨立性檢驗，推斷H0不成立，因此可以吸煙與患肺癌之間有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到用頻率計算再次進行比較：典例分析不吸煙者中患肺癌的頻率為吸煙者中患肺癌的頻率為兩者的比值為可見，在被調(diào)查者中,吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌的頻率的4倍以上.于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認為吸煙者中患肺癌的概率明顯大于不吸煙者中患肺癌的概率，即吸煙更容易引發(fā)肺癌.(1)提出零假設H0：X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值比較.(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結論.(4)在X和Y不獨立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.歸納總結應用獨立性檢驗解決實際問題主要環(huán)節(jié):注意，上述幾個環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同的情況進行調(diào)整.例如，在有些時候，分類變量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問題中給定的.思考：獨立性檢驗的思想類似于我們常用的反證法，你能指出二者之間的相同和不同之處嗎？概率辨析反證法獨立性檢驗在某種假設H0下，如果推出一個矛盾，則證明H0不成立；若未能推出矛盾，不能對H0下任何結論，即反證法不成功在零假設H0下，如果出現(xiàn)一個