初中數(shù)學(xué)浙教課標版八年級上冊(2013)-第二講最短路程(平面)-公開課

第二講

最短路程（平面）B··A小水溝C兩點之間線段最短C●探究新知探究1：每年的3月12日是植樹節(jié)。801班和802班要求分別在A，B兩地植樹。801班完成任務(wù)后，去幫助802班，他們之間有一條可以跨過去的小水溝。請問801班的同學(xué)要怎樣走才能使所走的路程最短？ABB··AlC探究2

若A，B兩地如圖所示，801班種好樹后，先去水溝打水，再去B地幫助802班澆水，如何在水溝l上找到點C，使得AC+BC最短？

探索新知AB思考：能把A、B兩點轉(zhuǎn)化到直線l的兩側(cè)嗎？B·lA·CB··AlC探索新知方法揭曉作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．

ABlB′C此時路徑AC+BC是最短路程。A′B·lA·C作點A或點B關(guān)于直線l的對稱點，所得到的C點位置不變方法提示B·lA·CB′你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？

由軸對稱的性質(zhì)可知，BC=B′C，BC′=B′C′．在△AB′C′中，∵AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C

不重合），連接AC′，BC′，B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′∴AC′+BC′=AC′+B′C′理論證明2.最短路程問題的解決方法：1.基本模型：lABA′C兩定點在直線同側(cè)CAlB兩定點在直線異側(cè)利用“軸對稱”化折為直化同為異階段小結(jié)模型特點：一動點，二定點，一條對稱軸1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）DPQlAMPQlBMPQlCMPQlDM學(xué)以致用一動點M,兩定點P、Q,一對稱軸l作對稱，做點P或點Q的對稱點2.已知兩點A(2，3),B(4,-3),在x軸上找一點P，使PA+PB最小，并求出點P的坐標。yxABA′P-4-3-2-101234

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-1-2-3-4若換成y軸呢？P學(xué)以致用探究3若將軍要先讓馬到草地OM吃草，再到河邊ON喝水，最后回到出發(fā)點A，你能畫出最短路徑嗎？M將軍飲馬問題NO草地河流A一題多變分析：1、建模：點在兩直線的內(nèi)部BAC將軍飲馬問題OMN2、在OM上找點B，在ON上找點C，使AB+BC+CA的和最小?？紤]對稱點的作用1.將直線同側(cè)兩點問題轉(zhuǎn)化為直線異側(cè)兩點問題；2.利用軸對稱的性質(zhì)可以將相等線段轉(zhuǎn)化。探究新知作法：1、作點A關(guān)于直線OM的對稱點A1，點A關(guān)于直線ON的對稱點A2

，2、連接A1，A2，交OM于B，交ON于C,則路徑A-B-C-A是最短路徑。B·AA1C將軍飲馬問題OMNA2AB+BC+CA的和為什么是最小呢？兩點之間線段最短方法揭曉探究4將軍從A地出發(fā),先到草地讓馬吃草，再到河邊讓馬喝水，然后回到B處，請畫出最短路徑。OABNM能力提升將軍飲馬問題草地河流ABNMO分析：1、建模：兩點在兩直線的內(nèi)部2、作對稱點，連線A′B′PG路徑A-P-G-B是最短路徑。探究4將軍從A地出發(fā),先到草地讓馬吃草，再到河邊讓馬喝水，然后回到B處，請畫出最短路徑。能力提升將軍飲馬問題2、一種解決方法：作對稱點，利用軸對稱的性質(zhì)化折為直，化同為異。B··AlC1、四種基本模型(1)兩點在直線異側(cè)(2)兩點在直線同側(cè)(3)點在兩直線內(nèi)部

(4)兩點在兩相交直線內(nèi)部

4、一種數(shù)學(xué)思想：利用“轉(zhuǎn)化”思想，把相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為基本類型。3、一個理論依據(jù)：兩點之間，線段最短。小結(jié)提升如圖，在