2023屆江西省新余市七校招生全國統(tǒng)一考試考試說明跟蹤卷（四）數(shù)學(xué)試題

2023屆江西省新余市七校招生全國統(tǒng)一考試考試說明跟蹤卷（四）數(shù)學(xué)試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.不等式的解集記為有下面四個命題：P}：V（x,y）GD,2y-x,,5；p2:3（x,y）eD,2y-x..2；

p3:\/(x,y)eD,2y-x^2；0T(x,y)wD,2y-x..4淇中的真命題是()

A.P1，〃2B.〃2，〃3c.Pi，〃3D.〃2，〃4

x+y<2

2.若變量蒼兒滿足2x-3），W9,則f+尸的最大值為（）

x>0

81

A.3B.2C.—D.10

13

3.已知不重合的平面a,6,7和直線/,貝代a//Q”的充分不必要條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行B.Ila且■/

C.aly且/D.a內(nèi)的任何直線都與￡平行

4.復(fù)數(shù)z（l—i）=i（i為虛數(shù)單位），則z的共挽復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.設(shè)/為拋物線x=的焦點，A,8,。為拋物線上三點，若耘+而+定=0,則|E4|+bB|+|/C|=（）.

A.9B.6

6.若函數(shù)f（x）=d一如2+2x（m￡R）在1二1處有極值，則.f（x）在區(qū)間［0,2］上的最大值為（）

14

A.—B.2C.1D.3

27

7.某空間幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長為1）,則這個幾何體的體積是（）

8.己知。，b,c分別是cA6c三個內(nèi)角A,B,。的對邊，〃cosC+石csinA=b+c，則人=<）

冗71n2/r

D.T

64y

9.函數(shù)/（x）=Asin（5+0）（A>0?0>o，H<|）的部分圖象如圖所示，則④夕的值分別為（）

71n

C.2,D.2,

6

10.已知全集〃=乙4={1,2,3,4},B={M（X+1）（X—3）>0,XWZ},則集合Ac（G/3）的子集個數(shù)為（）

A.2B.4D.16

11.已知集合4={2,3/},集合8={利,加+2}，若413-{2},則機=（）

A.0B.1C.2D.4

12.如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為

A.2B-2aC.273D.1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖所示，在A43C中，AB=AC=2tAD=DC?DE=2EB，4E的延長線交5C邊于點入若=

貝！JAEAC=一?

14.如圖，己知半圓。的直徑A8=8,點P是弦AC（包含端點A,C）上的動點，點Q在弧BC上.若AQAC是

等邊三角形，且滿足OQOP=0,則而ZQ的最小值為.

15.有編號分別為1,2,3,4,5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，則取出球的編號互不相同的概率為

16.函數(shù)/（冗）=由5皿（8+8）（。>0,￡<0<4）的圖像如圖所示，則該函數(shù)的最小正周期為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.（12分）已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,AA3C的面積為」C一

2cosC

(1)求證：tanC=sinAsin3；

(2)若C=至，求cos(A-B)的值.

6

[>2+g

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/的參數(shù)方程為:。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點。為極點，x軸

尸1一旦

r2

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓。的極坐標(biāo)方程為22-4pcos6=3.

(1)求直線，的普通方程和圓。的直角坐標(biāo)方程；

(2)直線，與圓。交于A,8兩點，點尸(2,1),求以卜|PB|的值.

22

19.(12分)已知橢圓C:]+方=1(〃>6>0),左、右焦點為耳、F?,點尸為。上任意一點，若|尸用的最大值為

3,最小值為1.

(1)求橢圓。的方程；

(2)動直線/過點K與。交于尸、Q兩點，在x軸上是否存在定點A,使NPAE=NQ4K成立，說明理由.

20.(12分)已知4ABe中，BC=2,笈=45。，。是A8上一點.

(1)若S.e=l,求C。的長;

(2)若A=30。，BD=3AD,求二乙斤的值.

sinZ.DCB

21.(12分)在以A8COM為頂點的五面體中，底面A8CO為菱形，ZABC=120°,AB=AE=ED=2EF,

EF//AB,二面角“一4)-4為直二面角.

(I)證明：BDVFCx

(II)求二面角A-C尸一8的余弦值.

22.(10分)已知函數(shù)/(司=,一1|.

(1)求不等式/(無)<無+,+1|的解集；

(2)若函數(shù)廉司=儂2"&+3)+/(力一冽的定義域為R,求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1>A

【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結(jié)果.

【詳解】

作出可行域如圖所示，當(dāng)x=l,y=2時，（2丁-彳）皿=3,即2y-x的取值范圍為（YO,3],所以

V(x,y)c￡>,2丫一毛,5,p1為真命題;

3（x,y）w。,2），一x..2,p2為真命題；p3,0為假命題.

【點睛】

此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.

2、D

【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.

【詳解】

x+y<2

解：畫出滿足條件，2x—3yW9的平面區(qū)域，如圖示：

,v>0

如圖點坐標(biāo)分別為4（0,—3）,8（3,—l）,C（0,2）,

目標(biāo)函數(shù)f+J的幾何意義為，可行域內(nèi)點（兀y）與坐標(biāo)原點（0,0）的距離的平方，由圖可知8（3,-1）到原點的距離

最大，故（d+VL=32+（7）2=10.

故選：D

【點睛】

本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

3、B

【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

A.。內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行，則以方相交或a//〃，排除；

B.l-La且故當(dāng)。///，不能得到且/，尸，滿足；

C.aLy且y_L/7,a//fit則a,夕相交或a//〃，排除；

D.a內(nèi)的任何直線都與月平行，故a〃/，若a//6，則a內(nèi)的任何直線都與￡平行，充要條件，排除.

故選：B.

【點睛】

本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

4、C

【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出？，寫出共枕復(fù)數(shù)，寫出共枕復(fù)數(shù)對應(yīng)點坐標(biāo)即得

【詳解】

對應(yīng)點為(-g,—g),在第三象限.

故選：C.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，共扼復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵.

5、C

【解析】

3.一一.

設(shè)A(M，M),B(x,y),C(x,^),由E4+尸5+FC=0可得%+電+芻=77,利用定義將I在A|+FB|+|FC|用

223316

%,工2，七表示即可.

【詳解】

設(shè)A(x，y),B(x2,y2)tC(Xj,y3),由蘇+而+定=6及/(上,0)，

16

得(石一々,兇)+得一二，%)+(<-4，%)=(。'。)，故石+占+工3=77，

16161616

1113

所以|/<41+FB|+1/。1=$+77+/+77+G+77=[?

161616?

故選：C.

【點睛】

本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.

6、B

【解析】

根據(jù)極值點處的導(dǎo)數(shù)為零先求出〃?的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計算即可.

【詳解】

解：由已知得/'(%)=3/一2"a+2,，/'(1)=3-26+2=0,.,.機="|,經(jīng)檢驗滿足題意.

-e*fM=x3--X2+2x,/(x)=3/-5x+2.

29

由,(x)v0得；VXV1；由/(x)>0得XV?或X>1.

33

22

所以函數(shù)戶：x)在0,-上遞增，在-,1上遞減，在［1,2］上遞增.

則,八工)極大住=了(|)=3,/⑵=2，

由于/(2)>/(%)極大值，所以/(%)在區(qū)間02］上的最大值為2.

故選：B.

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題.

7、A

【解析】

1132

幾何體為一個三棱錐，高為4,底面為一個等腰直角三角形，直角邊長為4,所以體積是「x4x二x42=一，選A.

323

8、C

【解析】

原式由正弦定理化簡得JisinCsinA=cosAsinC+sinC,由于sinCxO,OvAv乃可求4的值.

【詳解】

解：由。cosC+JicsinA=b+c及正弦定理得sinAcosC+>/3sinCsinA=sinB+sinC.

因為8=乃一A-C,所以sin8=sinAcosC+cosAsinC代入上式化簡得《sinCsinA=cosAsinC+sinC.

由于sinCwO,所以sin(A_^)=g.

又0<Av萬，故A=;.

3

故選：C.

【點睛】

本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.

9、D

【解析】

，兀、

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期7,根據(jù)周期公式求出。，求出A,根據(jù)函數(shù)的圖象過點7，1,求出夕，即可求

得答案

【詳解】

3—r”3T1\7t713乃

由函數(shù)圖cm象可知：-——=-

41264

T=兀,

:.(f>=2,A=1

函數(shù)的圖象過點d

二.1=sin(2x]+°>

II7T廣t式

1?-m<-?則/

2o

故選。

【點睛】

本題主要考查的是y=Asin(妙+。)的圖像的運用，在解答此類題目時一定要挖掘圖像中的條件，計算三角函數(shù)的周

期、最值，代入已知點坐標(biāo)求出結(jié)果

10、C

【解析】

先求B.再求C^B,求得Ac(CuB)則子集個數(shù)可求

【詳解】

由題CuB={H(x+l)(x—3)0O,x￡Z}={HTKx?3/eZ}=={T,O,l,2,3},則集合Ac(Q3)={1,2,3},故

其子集個數(shù)為23=8

故選C

【點睛】

此題考查了交、并、補集的混合運算及子集個數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題

11、A

【解析】

根據(jù)加=2或m+2=2,驗證交集后求得機的值.

【詳解】

因為A18={2},所以6=2或根+2=2.當(dāng)加=2時，AQ8={2,4},不符合題意，當(dāng)相+2=2時，6=0.故選

A.

【點睛】

本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為，娘),算出長度.

【詳解】

幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為AD=2g

【點睛】

本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

_22

13、—

9

【解析】

過點。做。G|A/,可得所/，BF=>BC,A廠=3A8+]AC由A尸=可得COS/8AC=2,可

655553

Ul.lliiiioi541nli1uuuuuu

得AEAC=：(—A8+—AC)-AC,代入可得答案.

655

【詳解】

解：如圖，過點。做。G|1A/，

]_

易得:竺=毀」"DG,

DGBD33

型=烏=4,故OG=2Ab,可得：EF=-AFf

AFAC226

“BFBE\FGAD\一切”12

同理：==—,==-9可得BF=-BC

FGED2GCCDi59

1141

AF=AB-^BF=AB+-BC=AB^-(AC-AB)=-AB+-AC,

*AFBC=-|,PJ^(-A5+-AC)(AC-4B)=-AC2--XB24--ABMC=--,

5555555

14742

可得：-x4——x4+—x2x2cosZ.BAC=——，可得：cosZBAC=—

55553t

5-----------s4—?1—.一2—1—222122

AEAC=-AFAC=-(-AB+-AC)AC=-ABAC+-AC=-x2x2x-+-x4=—,

6655353369

22

故答案為：

【點睛】

本題主要考查平面向量的線性運算和平面向量的數(shù)量積，由題意作出。GAF是解題的關(guān)鍵.

14、1

【解析】

建系，設(shè)人產(chǎn)=，〃，表示山產(chǎn)點坐標(biāo)，則OP?BQ=OP?(OQ-OB)=-OP?OB=16-2m,根據(jù)根的范圍得山答案.

【詳解】

解：以。為原點建立平面坐標(biāo)系如圖所示：則4-4,0),8(4,0),C(-2,2收,

設(shè)A尸=皿夠加4),則p(：〃.4,且⑼，

OP=(^m-4t與m),OB=(4,0),

OQ?O尸=0,

OP?BQ=OP-{OQ-OB)=-OP-OB=16-2m,

顯然當(dāng)〃?取得最大值4時，OP-BQ取得最小值1.

故答案為：L

【解析】

試題分析：從編號分別為1,1,3,4,5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，有=210種不同的結(jié)果,

由于是隨機取出的，所以每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的；設(shè)事件A為“取出球的編號互不相同”，

則事件A包含了C?C；?&?C；?G=80個基本事件，所以P(A)二券=會

考點：1.計數(shù)原理；L古典概型.

16、8

【解析】

根據(jù)圖象利用/(0)=乎，先求出夕的值，結(jié)合/(1)=0求出①，然后利用周期公式進行求解即可.

【詳解】

解：由f(o)=得sine二顯,

22

n34

—<^?<rr,.?.9一7-,

貝!Jf(x)=\/3sin(tyx+—),

4

/.<y+—=.T,即<y=X,

44

空=生

則函數(shù)的最小正周期了一彳，

4

故答案為：8

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)周期的求解，結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析；(2)

6

【解析】

21

(1)利用‘c一=-absinC,利用正弦定理，化簡即可證明tanC=sinAsin8

2cosC2

(2)利用(1),得到當(dāng)C=f時，sinAsinB=—,

63

得出cos(A+B)=-cosC=-cos—=--,得出cosAcosB=>

626

然后可得cos(A-B)

【詳解】

r21

證明：(1)據(jù)題意，得二一=-absinCf

2cosC2

c2=absinCcosC?

sin2C=sinAsinBsinCcosC?

又???C￡(0,?),

:.sinC=sinAsinBcosC，

AtanC=sinAsinB.

解：(2)由(1)求解知，tanC=sinAsin3.

???當(dāng)C=5時，sinAsinB=—.

63

又cos(A+B)=-cosC=_cos?=~~~，

百

工cosAcosB-sinAsinB=——->

2

.人RV3

??cosAcosB=------，

6

/.cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

--------1-----

63

=2

【點睛】

本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

18、(1)直線/的普通方程.K+y-3=。，圓。的直角坐標(biāo)方程：x2+y2-4x-3=0.(2)6

【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進行轉(zhuǎn)換.

（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.

【詳解】

>2+旦

2

（1）直線，的參數(shù)方程為:Q為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y?3=0.

I2

圓C的極坐標(biāo)方程為p2*4-4pcos0=3,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為^+y2-4x-3=0.

『2+與

2

（2）把直線/的參數(shù)方程為；。為參數(shù)），代入圓的直角坐標(biāo)方程好+爐?4工?3=0,

[2

得到產(chǎn)一萬—6=0，

所以|AM||PA|=|f同=6.

【點睛】

本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運

算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

22

19、（1）-4-21=1（2）存在；詳見解析

43

【解析】

（1）由橢圓的性質(zhì)得4+c=3,a-c=l,解得a,c后可得〃，從而得橢圓方程；

（2）設(shè)尸（x，y）,Q（w，%），4（〃,0）,當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)為y=Z（x—l）,代入橢圓方程，整理后應(yīng)用韋達定

理得*+A2MM2,代入左期+砥Q=0由恒成立問題可求得〃.驗證/斜率不存在時也適合即得.

【詳解】

\PF.\=a+c=3fa=2

解：（1）由題易知｛[[ma、]解得「

PFac=[

\]Ln=-L=i

22

所以橢圓。方程為工十二二1

43

（2）設(shè)P（x，x）,Q（w，y2），A（〃，0）

當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)為y=與橢圓方程聯(lián)立得

（4k2+3）幺-8/x+4公一12-0,顯然/>0

Sk4/72

所以』+42=4公+3'*?/-4二+3

因為Z.PAF2=Z.QAF2,:.kAP+kAQ=0

t=M--1)伍一〃)+M/T)(x「〃)=0

x1-nx2-n(X1-n)(x2-n)

力新c/iw\n八8公—248(〃-1)226〃+8成2n

化簡2尤［X,-(H+l)(x+x)+2/?=0,.\——；--------..——+---；-----=0

12v八?2074公+34/+34r+3

解得6〃-24=()即〃=4

所以此時存在定點4(4,0)滿足題意

當(dāng)直線/斜率不存在時，A(4,0)顯然也滿足

綜上所述，存在定點4(4,0),使NR4E=NQ4鳥成立

【點睛】

本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點問題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法.設(shè)而不求思

想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法，只要涉及交點坐標(biāo)，一般就用此法.

20、(1)CD=O(2)—

6

【解析】

(1)運用三角形面積公式求出8。的長度，然后再運用余弦定理求出CO的長.

(2)運用正弦定理分別表示出sin/ACD和sin/OCB,結(jié)合已知條件計算出結(jié)果.

【詳解】

(1)由S^cD=；BC?BDsm45°=去BD=lnBD=&

在_皮>。中，由余弦定理可得

CD2=BC2+5D2-2BCBD-cos450=4+2-4=2=>CD=72

(2)由已知得8。=3Ao

*mfCDAD?sinA-ADAD

在AOC中，由正弦定理可知=工=--sinzZACD=——--=—；

sinAsinZACDCD2CD

“r+,r—CDBD-八八sinB?BD丘B(yǎng)D

在中，由正弦定理可知----=---------nsm/5C￡>=------------=-------

sin8sin/BCDCD2CD

AD

sinZ.ACD_2CD_AO_1_

故sinN8co-也也一瓶8￡)-3立—6

2CD

【點睛】

本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理，結(jié)合三角形熟練運用各公式是解題關(guān)鍵，此類題目是?？碱}型,

能夠運用公式進行邊角互化，需要掌握解題方法.

21、(I)見解析(U)巫

5

【解析】

(I)連接AC,8。交于點。，取AO中點用，連結(jié)EMQMQF,證明平面OFC得到答案.

(II)分別以/為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面BC尸的法向量為〃=(-1,百」)，平面

ACV的法向量為機=(0,1,0),計算夾角得到答案.

【詳解】

(I)連接AC3。交于點。，取A0中點M,連結(jié)EMQMQF.

因為A8C7)為菱形，所以AC_LBQ.

因為AE=EO,所以EM_LAD.

因為二面角E-AD-8為直二面角，所以平面E4DJ_平面ABCZ),

且平面EW平面ABCO=4),所以有“一平面ABC。,所以石M_L區(qū)。

因為!1AB,OM=-