蘇科版2024-2025學年九年級數(shù)學上冊2.26幾何中的隱形圓問題幾種類型(全章方法梳理與題型分類講解)(學生版+解析)（含答案解析）

專題2.26幾何中的隱形圓問題幾種類型（全章模型梳理與題型分類講解）第一部分【模型梳理】隱形圓模型是初中數(shù)學中的重要知識點，常用于解決一些看似沒有直接使用圓的知識但實際上需要運用圓的性質(zhì)來解決的問題。以下是隱形圓的六大模型：【模型1】

?定點定長模型【模型分析】如圖一平面內(nèi)，點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓上.圖一應用：常用于解決動點在固定長度條件下運動的軌跡問題。推廣：如圖②，點E為定點，點F為線段BD上的動點(不含點B)，將△BEF沿EF折疊得到，則點的運動軌跡為以點E為圓心，以線段BE為半徑的一段圓?。灸Ｐ?】

?90°圓周角模型【模型分析】如圖2，在△ABC中，∠C＝90°，點C為動點，則點C的軌跡是以AB為直徑的⊙O(不包含A，B兩點)．注：作出輔助圓是關(guān)鍵，計算時結(jié)合求點圓、線圓最值等方法進行相關(guān)計算．圖二應用：常用于解決直角三角形中動點的軌跡問題?！灸Ｐ?】

?定弦定角模型【模型分析】固定的線段只要對應固定的角度，那么這個角的頂點軌跡為圓的一部分．如圖①，在⊙O中，若弦AB長度固定，則弦AB所對的圓周角都相等；(注意：弦AB所對的劣?。ˋB）上也有圓周角，需要根據(jù)題目靈活運用)如圖②，若有一固定線段AB及線段AB所對的大小固定，根據(jù)圓的知識可知點C不唯一．當°時，點C在優(yōu)弧上運動；當°時，點C在半圓上運動，且線段AB是⊙O的直徑；當°時，點C在劣弧上運動．【模型4】?四點共圓模型【模型分析】如圖①，圖②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊，可得到四點共圓．得到四點共圓后可以根據(jù)圓周角定理得到角度相等，完成角度等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，這是證明角度相等重要的途徑之一．應用：常用于解決四點共圓的問題，如角度相等、線段最短等問題。第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】

?定點定長模型【例1】．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）如圖所示，在中，，分別是，邊上的高，求證：，，，四點在同一個圓上．【變式1】（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在中，，E是直角邊的中點，F(xiàn)是直角邊上的一個動點，將沿所在直線折疊，得到，D是斜邊的中點，若，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（2017·貴州黔東南·中考真題）如圖，正方形ABCD中，E為AB中點，F(xiàn)E⊥AB，AF=2AE，F(xiàn)C交BD于O，則∠DOC的度數(shù)為（）A．60° B．67.5° C．75° D．54°【題型2】

?90°圓周角模型【例2】（2024·河南周口·一模）如圖，正方形中，點M，N分別為，上的動點，且，，交于點E，點F為的中點，點P為上一個動點，連接，．若，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．【變式1】（2024·四川成都·二模）如圖，在中，，．以為斜邊作等腰直角，連接，則的最大值為．

【變式2】（2024·陜西西安·三模）如圖，四邊形為矩形，，．點E是線段上一動點，連接，點F為線段上一點，連接，若，則的最小值為．【題型3】

?定弦定角模型【例3】（2024·山東濰坊·模擬預測）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在的正方形網(wǎng)格圖形中，M，N分別是上的格點．若點P是這個網(wǎng)格圖形中的格點，連結(jié)，則所有滿足的中，求邊的長的最大值．【變式1】（2022·廣東佛山·一模）在平面直角坐標系中，已知點．若在x軸正半軸上有一點C．使，則點C的橫坐標是．【變式2】（2020·江蘇無錫·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知、、都在上，則圓心的坐標為．【題型4】?四點共圓模型【例4】（23-24九年級上·陜西西安·期末）問題提出（1）如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點共圓．小穎同學認為：連接，取的中點，連接、來證明，請你按照小穎的思路完成證明；問題解決（2）如圖②，在正方形中，，點是的中點，點是邊上一點，連接、，過點作于點，當點在線段上時，求線段的長．

【變式1】（23-24九年級下·浙江寧波·階段練習）如圖，矩形中，，點E在AB上，且，，點F在邊上運動，以線段為斜邊在點B的異側(cè)作等腰，使B、E、G、F四點共圓．連接、．

（1）；（2）當最小時，．【變式2】（22-23九年級上·湖北黃岡·期末）如圖，正方形的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在線段，上，且，，若點M，N分別在線段，上運動，P為線段上的點，在運動過程中，始終保持，則線段的最小值為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2【例2】（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點，點E是正方形內(nèi)一個動點，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為．2、拓展延伸【例1】（2022·遼寧撫順·中考真題）如圖，正方形的邊長為10，點G是邊的中點，點E是邊上一動點，連接，將沿翻折得到，連接．當最小時，的長是．【例2】（2024·內(nèi)蒙古興安盟·二模）如圖，在正方形中，點M，N分別為上的動點，且，交于點E，點F為的中點，點P為上一個動點，連接，若，則的最小值為．

專題2.26幾何中的隱形圓問題幾種類型（全章模型梳理與題型分類講解）第一部分【模型梳理】隱形圓模型是初中數(shù)學中的重要知識點，常用于解決一些看似沒有直接使用圓的知識但實際上需要運用圓的性質(zhì)來解決的問題。以下是隱形圓的六大模型：【模型1】

?定點定長模型【模型分析】如圖一平面內(nèi)，點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓上.圖一應用：常用于解決動點在固定長度條件下運動的軌跡問題。推廣：如圖②，點E為定點，點F為線段BD上的動點(不含點B)，將△BEF沿EF折疊得到，則點的運動軌跡為以點E為圓心，以線段BE為半徑的一段圓?。灸Ｐ?】

?90°圓周角模型【模型分析】如圖2，在△ABC中，∠C＝90°，點C為動點，則點C的軌跡是以AB為直徑的⊙O(不包含A，B兩點)．注：作出輔助圓是關(guān)鍵，計算時結(jié)合求點圓、線圓最值等方法進行相關(guān)計算．圖二應用：常用于解決直角三角形中動點的軌跡問題?！灸Ｐ?】

?定弦定角模型【模型分析】固定的線段只要對應固定的角度，那么這個角的頂點軌跡為圓的一部分．如圖①，在⊙O中，若弦AB長度固定，則弦AB所對的圓周角都相等；(注意：弦AB所對的劣?。ˋB）上也有圓周角，需要根據(jù)題目靈活運用)如圖②，若有一固定線段AB及線段AB所對的大小固定，根據(jù)圓的知識可知點C不唯一．當°時，點C在優(yōu)弧上運動；當°時，點C在半圓上運動，且線段AB是⊙O的直徑；當°時，點C在劣弧上運動．【模型4】?四點共圓模型【模型分析】如圖①，圖②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊，可得到四點共圓．得到四點共圓后可以根據(jù)圓周角定理得到角度相等，完成角度等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，這是證明角度相等重要的途徑之一．應用：常用于解決四點共圓的問題，如角度相等、線段最短等問題。第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】

?定點定長模型【例1】．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）如圖所示，在中，，分別是，邊上的高，求證：，，，四點在同一個圓上．【答案】見解析【分析】求證，，，四點在同一個圓上，是直角三角形，則三個頂點在斜邊中點為圓心的圓上，因而只要再證明到得中點的距離等于的一半就可以．此題主要考查了確定圓的條件，求證幾個點在同一個圓上就是證明這幾個點到一個點的距離相等．證明：如圖所示，取的中點，連接，．，是的高，和都是直角三角形．，分別為和斜邊上的中線，．，，，四點在以點為圓心，為半徑的圓上．【變式1】（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在中，，E是直角邊的中點，F(xiàn)是直角邊上的一個動點，將沿所在直線折疊，得到，D是斜邊的中點，若，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短、三角形的中位線定理、圓的定義，確定動點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，結(jié)合E是直角邊的中點，得到，由此可判斷點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當、、共線時，此時的值最小，根據(jù)三角形中位線定理求出，即可求出此時的最小值．解：將沿所在直線折疊，得到，，，E是直角邊的中點，，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，如圖所示，，當、、共線時，即與重合時，取得最小值，又，此時的值最小，D是斜邊的中點，是的中位線，，此時，，的最小值為4．故選：C．【變式2】（2017·貴州黔東南·中考真題）如圖，正方形ABCD中，E為AB中點，F(xiàn)E⊥AB，AF=2AE，F(xiàn)C交BD于O，則∠DOC的度數(shù)為（）A．60° B．67.5° C．75° D．54°【答案】A解：如圖，連接DF、BF．∵FE⊥AB，AE=EB，∴FA=FB，∵AF=2AE，∴AF=AB=FB，∴△AFB是等邊三角形，∵AF=AD=AB，∴點A是△DBF的外接圓的圓心，∴∠FDB=∠FAB=30°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，∴∠FAD=∠FBC，∴△FAD≌△FBC，∴∠ADF=∠FCB=15°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．故選A．【點撥】本題考查了等邊三角形的判定，全等三角形的判定，正方形的性質(zhì)，此題是一道綜合題目，解決此題的關(guān)鍵是合理的推理正確的計算．【題型2】

?90°圓周角模型【例2】（2024·河南周口·一模）如圖，正方形中，點M，N分別為，上的動點，且，，交于點E，點F為的中點，點P為上一個動點，連接，．若，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】先根據(jù)得，進而可得，由此可得E點的運動軌跡在是以為直徑的圓上．延長至使，得與F關(guān)于直線對稱．連接OF'交于P點，交圓O于E點，則，此時的值最小，根據(jù)勾股定理求出OF'的長，即可得的最小值．解：∵是正方形，，，又，，，又，，，∴E點在以為直徑的圓上運動．設(shè)的中點為O，則，延長至使，則與F關(guān)于直線對稱，連接OF'交則，，此時P、E、F三點共線，因此的值最小．在中，，，，，∴的最小值為，故選：B．【點撥】本題是一道動點問題和最值問題的綜合性題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直徑所對圓周角等于90度、軸對稱的性質(zhì)．找出E點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2024·四川成都·二模）如圖，在中，，．以為斜邊作等腰直角，連接，則的最大值為．

【答案】【分析】本題考查了圓與幾何的綜合問題，直徑所對的圓周角是，見詳解圖利用兩邊之和大于第三邊可以得出的最大值即為圖中的．解：點A在以BC為直徑的圓上；找的中點為點E，連結(jié)、；以為直徑作半圓．

當點從點運動到點的時候，點是從點運動到點，且始終為，點在以為直徑作圓上，在變化過程中和的大小始終不變，的最大值為：即為圖上，在等腰直角中，，,即，在中，,的最大值為：．【變式2】（2024·陜西西安·三模）如圖，四邊形為矩形，，．點E是線段上一動點，連接，點F為線段上一點，連接，若，則的最小值為．【答案】4【分析】本題考查了圓外一點到圓上各點的最小距離，勾股定理，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造圓．由可得，，點在以為直徑的圓弧上，點在圓外，可求的最小值．解：作的中點，連接．矩形中，，，，，，當點移動時，點在以為直徑的圓弧上移動，當點在上時，有最小值．，，，，，有最小值為4．故答案為：4．【題型3】

?定弦定角模型【例3】（2024·山東濰坊·模擬預測）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在的正方形網(wǎng)格圖形中，M，N分別是上的格點．若點P是這個網(wǎng)格圖形中的格點，連結(jié)，則所有滿足的中，求邊的長的最大值．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，得出邊的長的最大值等于圓的直徑是解題的關(guān)鍵．作線段中點，作的垂直平分線，并使，以為圓心，為半徑作圓，通過圖形可知，當點在位置時，恰好過格點且經(jīng)過圓心，此時最大，等于圓的直徑，得出，則，即可求解．解：作線段中點，作的垂直平分線，并使，以為圓心，為半徑作圓，如圖，∵為垂直平分線且，∴，，，∴弦所對的圓的圓周角為，∴點在圓上，為圓的弦，通過圖形可知，當點在位置時，恰好過格點且經(jīng)過圓心，∴此時最大，等于圓的直徑，＝，＝，，，，．即邊的長的最大值為．【變式1】（2022·廣東佛山·一模）在平面直角坐標系中，已知點．若在x軸正半軸上有一點C．使，則點C的橫坐標是．【答案】【分析】如圖，以AB為邊向右作等邊△ABD，以D為圓心，DA為半徑作⊙D交x軸正半軸為C，連接CA、CB，此時滿足條件．過點D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，則四邊形OJDK是矩形，求出OK、KC，即可求解．解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABD，以D為圓心，DA為半徑作⊙D交x軸正半軸為C，連接CA、CB，此時滿足條件．

過點D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，則四邊形OJDK是矩形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在Rt△DCK中，，∴，∴點C的橫坐標為故答案為：．【點撥】本題考查三角形外接圓與外心，坐標與圖形的性質(zhì)，涉及到勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理等知識點，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造圖形解決問題，綜合性較強．【變式2】（2020·江蘇無錫·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知、、都在上，則圓心的坐標為．【答案】【分析】根據(jù)題意，先求出AC、AB、BC的長度，得出E，D的坐標，則點M是AC與BC的垂直平分線的交點，分別求出直線DM和EM的解析式，再求出點M的坐標即可．解：如圖：∵、、，∴點E的坐標為（1，1），點D坐標為（，），∵，，又∵DM垂直平分BC，EM垂直平分AC，∴，，∴，，∴直線EM的解析式為：；直線DM的解析式為：，∴，解得：，∴點M的坐標為：（，）．故答案為：（，）．【點撥】本題考查了求三角形外接圓的圓心，一次函數(shù)的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確求出直線的解析式，從而求出點M的坐標．【題型4】?四點共圓模型【例4】（23-24九年級上·陜西西安·期末）問題提出（1）如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點共圓．小穎同學認為：連接，取的中點，連接、來證明，請你按照小穎的思路完成證明；問題解決（2）如圖②，在正方形中，，點是的中點，點是邊上一點，連接、，過點作于點，當點在線段上時，求線段的長．

【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）連接，取的中點，連接、．證明，可得結(jié)論；（2）利用正方形的性質(zhì)和勾股定理求得，由，證明四點共圓，求得，推出是等腰直角三角形，據(jù)此計算可得結(jié)論．（1）證明：如圖①中，連接，取的中點，連接、．，，，，，，，，四點共圓；（2）解：∵在正方形中，，點是的中點，∴，，，∴，∵，∴，由（1）知，四點共圓，∴，∴是等腰直角三角形，∴．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，四點共圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【變式1】（23-24九年級下·浙江寧波·階段練習）如圖，矩形中，，點E在AB上，且，，點F在邊上運動，以線段為斜邊在點B的異側(cè)作等腰，使B、E、G、F四點共圓．連接、．

（1）；（2）當最小時，．【答案】/45度/【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，四點共圓，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，含30度角的直角三角形．如圖1，取的中點O，連接，作射線，證明B，E，G，F(xiàn)在以O(shè)為圓心的圓上，得點G在的平分線上，當時，最小，此時，畫出圖2，根據(jù)是以為斜邊的等腰直角三角形，證明，可得，根據(jù)含30度角的直角三角形可得，進而可得結(jié)論．解：（1）如圖1，

∵B、E、G、F四點共圓，，∵等腰，∴，∴，∴；故答案為：；（2）由（1）得平分，∴點G在的平分線上，∴當時，最小，此時，如圖2，

，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，∵四邊形是矩形，，∵，，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【變式2】（22-23九年級上·湖北黃岡·期末）如圖，正方形的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在線段，上，且，，若點M，N分別在線段，上運動，P為線段上的點，在運動過程中，始終保持，則線段的最小值為．【答案】/【分析】先證C、E、P、F四點共圓，取的中點為O，以為直徑作，連接，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：，因為為定值，根據(jù)垂線段最短，得出當O、P、N三點共線，且時，最小，則最小，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出長，最后根據(jù)線段間的和差關(guān)系求長，即可得出結(jié)論．解：如圖，連接，∵，，∴，∵四邊形為正方形，∴，∵和為直角三角形，取的中點為O，∴，∴C、E、P、F四點共圓，∵，∵為定值，∴當最小，且O、P、N三點共線時，最小，過O作于H，延長交于P’，交于，而，∴，∵，而，∴，∴，∵，

∴，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、勾股定理，圓的確定及基本性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助圓，利用垂線段最短找出最小值時的位置．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2【答案】A【分析】如圖所示，延長到E，使得，連接，根據(jù)點A的坐標為得到，再證明是的中位線，得到；解得到，進一步求出點C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運動，則當點M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，據(jù)此求出的最小值，即可得到答案．解：如圖所示，延長到E，使得，連接，∵的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為，∴，∴，∴，∵點M為中點，點A為中點，∴是的中位線，∴；在中，，∴，∵將以點O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，∴點C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運動，∴當點M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，∵，∴的最小值為，∴的最小值為3，故選A．

【點撥】本題主要考查了一點到圓上一點的最值問題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【例2】（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點，點E是正方形內(nèi)一個動點，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為．【答案】【分析】如圖，由EG＝2，確定在以G為圓心，半徑為2的圓上運動，連接AE，再證明（SAS），可得可得當三點共線時，最短，則最短，再利用勾股定理可得答案．解：如圖，由EG＝2，可得在以G為圓心，半徑為2的圓上運動，連接AE，∵正方形ABCD，∴∴∵DE=DF，∴（SAS），∴∴當三點共線時，最短，則最短，∵位BC中點，∴此時此時所以CF的最小值為