專題03 完全平方的幾何背景（兩大類型）-2022-2023學年七年級數(shù)學下冊《高分突破-培優(yōu)新方法》（北師大版）

專題03完全平方的幾何背景（兩大類型）專題說明專題說明完全平方公式是初中數(shù)學中的重要公式，在整個中學數(shù)學中有著廣泛的用.一方面完全平方公式這一教學內(nèi)容是學生在已經(jīng)學習單項式乘法、多項式乘法及平方差公式基礎上的拓展，是對多項式乘法中出現(xiàn)的較為特殊的算式的一種歸納、總結；另一方面，又為學習《因式分解》《配方法》等知識奠定了基礎，是進一步研究《一元二次方程》《二次函數(shù)》的工具性內(nèi)容.【新方法解讀】知識點1：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：知識點2：拓展、補充公式；；；.【典例分析】【典例1】（2022秋?長壽區(qū)期末）如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）（1）觀察圖2請你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系是；（2）根據(jù)（1）中的結論，若x+y＝7，x?y＝，則x﹣y＝；（3）拓展應用：若（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，求（2022﹣m）（m﹣2023）的值．【變式1-1】（2022秋?襄州區(qū)期末）如圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊小長方形，然后按圖b形狀拼成一個正方形．（1）你認為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？（2）觀察圖b你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關系嗎？代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn（3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值．【變式1-2】（2022春?金水區(qū)期中）【知識生成】用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式，如圖1，是用長為a，寬為b的四個相同的長方形拼成的一個大正方形，用兩種不同的方法計算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者之間的等量關系式：；【知識遷移】類似地，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個等式，如圖2，觀察大正方體分割，可以得到等式：（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）．利用上面所得的結論解答下列問題：（1）已知x+y＝6，xy＝，求（x﹣y）2的值；（2）已知a+b＝6，ab＝7，求a3+b3的值．【變式1-3】（2022秋?二道區(qū)校級期末）對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學等式．（1）模擬練習：如圖，寫出一個我們熟悉的數(shù)學公式：；（2）解決問題：如果，求a2+b2的值；（3）類比探究：如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．【典例2】（2022秋?豐澤區(qū)校級期末）若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．（2）若x滿足（6﹣x）（3﹣x）＝1，求代數(shù)式（9﹣2x）2的值．（3）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE＝3，CF＝5，長方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF作正方形，求陰影部分的面積．【變式2-1】（2022秋?松原期末）一個圖形通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式，利用這種方法解答下列問題．（1）通過計算圖①中陰影部分的面積可以得到的數(shù)學等式是；（2）如圖②，點E、G分別是正方形ABCD的邊AD、AB上的點，且DE＝k，BG＝k+1（k為常數(shù)，且k＞0），分別以GF、AG為邊作正方形GFIH和正方形AGJK，設正方形ABCD的邊長為x．①求AE﹣AG的值；②若長方形AEFG的面積是，求陰影部分的面積．【變式2-2】（2022秋?豐滿區(qū)期末）問題背景如圖，圖1，圖2分別是邊長為（a+b），a的正方形，由圖1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2．類比探究類比由圖1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依據(jù)圖2中的已知條件推導出完全平方的另一個公式．解決問題（1）計算：（2m﹣n）2＝；（2）運用完全平方公式計算：1052；（3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值．【變式2-3】（2022秋?西崗區(qū)校級期末）【探究】若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．設9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；【應用】請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是8，分別以MF、DF為邊作正方形．①MF＝，DF＝；（用含x的式子表示）②求陰影部分的面積．【夯實基礎】1．（2022秋?河西區(qū)期末）分別觀察下列四組圖形，在每個圖形的下方，都有一個由這個圖形可以驗證出的代數(shù)公式，其中圖形與公式之間的對應關系表達相符的有（）A．一組 B．兩組 C．三組 D．四組2．（2022秋?廣宗縣期末）小張利用如圖①所示的長為a、寬為b的長方形卡片4張，拼成了如圖②所示的圖形，則根據(jù)圖②的面積關系能驗證的恒等式為（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2 C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b23．（2022秋?天山區(qū)校級期末）如圖，四個等腰直角三角形拼成一個正方形，則陰影部分的面積為（）A．a(chǎn)2+b2 B．a(chǎn)2﹣b2 C．2ab D．4ab4．（2021秋?安岳縣期末）將四個全等的直角三角形（直角邊分別為a、b）按圖1和圖2兩種方式放置，則能驗證的等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a(chǎn)2+b2＝（a﹣b）2+2ab C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）5．（2022秋?大連期末）如圖，在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的|小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的等式是．6．（2022春?榆林期末）如圖，在一個邊長為2a+b的大正方形紙片中，剪去一個長為2a+b、寬為a﹣b的長方形和一個邊長為a﹣b的小正方形．（1）用含a、b的式子表示陰影部分的面積；（結果化為最簡）（2）當a＝5，b＝2時，求陰影部分的面積．7．（202252．（2022春?普寧市期末）如圖，將邊長為（a+b）的正方形剪出兩個邊長分別為a，b的正方形（陰影部分）．觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)題意，用兩種不同的方法表示陰影部分的面積，即用兩個不同的代數(shù)式表示陰影部分的面積．方法1：，方法2：；（2）從（1）中你能得到怎樣的等式？；（3）運用你發(fā)現(xiàn)的結論，解決下列問題：①已知x+y＝6，xy＝2，求x2+y2的值；②已知（2022﹣x）2+（x﹣2021）2＝9，求（2022﹣x）（x﹣2021）的值．8．（2022春?郫都區(qū)期末）圖1是四個全等的小長方形拼成的正方形，大正方形的邊長為（a+b），小正方形（陰影部分）的邊長為（a﹣b）．（1）觀察圖1，直接寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者的數(shù)量關系式；（2）用（1）的結論解答：①如圖2，兩個正方形的邊長分別為p、q，且A、B、C三點在一條直線上，若p2+q2＝20，p+q＝6，求圖2中陰影部分的面積；②如圖3，四邊形ABCD、四邊形MEDO和四邊形NGDH都是正方形，四邊形PODH是長方形，若AE＝5，CG＝15，長方形EFGD的面積是300，求圖3中陰影部分的面積．9.（秋?西城區(qū)校級期中）我們在學習《從面積到乘法公式》時，曾用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，探索了單項式乘多項式的運算法則：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如圖1），多項式乘多項式的運算法則：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如圖2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如圖3）．把幾個圖形拼成一個新的圖形，通過圖形面積的計算，常?？梢缘玫揭恍┑仁剑@是研究數(shù)學問題的一種常用方法．（1）請設計一個圖形說明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（畫出示意圖，并標上字母）（2）如圖4，它是由四個形狀、大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD．如果每個直角三角形的較短的邊長為a，較長的邊長為b，最長的邊長為c，試用兩種不同的方法計算這個大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊長a、b、c的什么數(shù)量關系？（注：寫出解答過程）10．（2022秋?南關區(qū)校級期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，適當?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學問題．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因為a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因為ab＝1，所以a2+b2＝7．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝6，兩正方形的面積和S1+S2＝18，求圖中陰影部分面積．11．（2022?南京模擬）（1）如圖1是用4個全等的長方形紙板拼成一個“回形”正方形紙板．圖中陰影部分面積用不同的代數(shù)式表示可得一個恒等式，這個等式是；已知（b+a）2＝25，ab＝4，則（b﹣a）2＝；（2）利用圖1的結論，若（3x﹣y）2＝64，（3x+y）2＝100，求xy的值．（3）如圖2，將一張矩形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m，寬為n的全等小矩形，且m＞n．（以上長度單位：cm）圖中陰影部分面積用不同的代數(shù)式表示可得一個恒等式，這個等式是；用含m，n的代數(shù)式表示所有裁剪線（圖中虛線部分）的長度之和為；（4）如圖2，若每塊小矩形的面積為8cm2，陰影部分面積（四個正方形的面積和）為40cm2，試求（m+n）2的值．12．（2022春?明溪縣月考）閱讀理解：若x滿足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，試求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值，解：設（210﹣x）＝a，（x﹣200）＝b，則ab＝﹣204，且a+b＝（210﹣x）+（x﹣200）＝10，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508，即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值為508．解決問題（1）若x滿足（2022﹣x）（x﹣2010）＝22，則（2022﹣x）2+（x﹣2010）2＝；（2）若（2022﹣x）2+（x﹣2002）2＝2020，求（2022﹣x）（x﹣2002）的值；（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且BE＝DF＝x，分別以FC，CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為40平方單位，則圖中陰影部分的面積和為多少？13．（2022春?鹽湖區(qū)期末）如圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊小長方形．然后按圖2形狀拼成一個正方形．（1）圖2中的空白部分的正方形的邊長是多少？（用含a、b的式子表示）（2）已知a+b＝10，ab＝3，求圖2中空白部分的正方形的面積．（3）觀察圖2，用一個等式表示下列三個整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的數(shù)量關系．（4）拓展提升：當（x﹣10）（20﹣x）＝8時，求（2x﹣30）2．14．（2022春?漣源市校級期末）閱讀理解：若x滿足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．解：設（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，則（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解決問題：（1）若x滿足（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；（2）若x滿足（2017﹣x）2+（2015﹣x）2＝4038，求（2017﹣x）（2015﹣x）的值；（3）如圖，正方形ABCD的邊長為x，AE＝10，CG＝20，長方形EFGD的面積是500，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積（結果必須是一個具體的數(shù)值）．【能力提升】15．（2022秋?荊門期末）如圖，邊長為6的正方形ABCD中放置兩個長和寬分別為a，b（a＜6，b＜6）的長方形，若長方形的周長為16，面積為15.75，則圖中陰影部分面積S1+S2+S3＝．16．（2022秋?平橋區(qū)校級期末）有兩種正方形A、正方形B，其邊長分別為a，b．現(xiàn)將正方形B放在正方形A的內(nèi)部得圖1，將A，B并列放置后構造新的正方形得圖2，且圖1和圖2中陰影部分的面積分別為1和12．（1）正方形A、正方形B的面積之和為．（2）小明想要拼一個兩邊長分別為（2a+b）和（a+3b）的長方形（不重不漏），除用去若干個正方形A和正方形B外，還需要個長度分別a，b的長方形．（3）將3個正方形A和2個正方形B按圖3所示的方式擺放，求陰影部分的面積．17．（2022秋?晉江市期中）如圖，正方形ABCD中，點G是邊CD上一點（不與端點C，D重合），以CG為邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三點在同一直線上，設正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為a和b（a＞b）．（1）分別寫出圖1和圖2中陰影部分的面積S1、S2（用含a、b的代數(shù)式表示）；（2）如果a+b＝6，ab＝4，求S1的值；（3）當S1＜S2時，求的取值范圍．專題03完全平方的幾何背景（兩大類型）專題說明專題說明完全平方公式是初中數(shù)學中的重要公式，在整個中學數(shù)學中有著廣泛的用.一方面完全平方公式這一教學內(nèi)容是學生在已經(jīng)學習單項式乘法、多項式乘法及平方差公式基礎上的拓展，是對多項式乘法中出現(xiàn)的較為特殊的算式的一種歸納、總結；另一方面，又為學習《因式分解》《配方法》等知識奠定了基礎，是進一步研究《一元二次方程》《二次函數(shù)》的工具性內(nèi)容.【新方法解讀】知識點1：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：知識點2：拓展、補充公式；；；.【典例分析】【典例1】（2022秋?長壽區(qū)期末）如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）（1）觀察圖2請你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系是；（2）根據(jù)（1）中的結論，若x+y＝7，x?y＝，則x﹣y＝；（3）拓展應用：若（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，求（2022﹣m）（m﹣2023）的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）∵x+y＝7，x?y＝，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（7）2﹣4×＝49﹣13＝36，∴x﹣y＝±6．故答案為：±6．（3）∵[（2022﹣m）+（m﹣2023）]2＝（2022﹣m）2+（m﹣2023）2+2（2022﹣m）（m﹣2023），又∵（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，∴1＝5+2（2022﹣m）（m﹣2023），∴（2022﹣m）（m﹣2023）＝﹣2．【變式1-1】（2022秋?襄州區(qū)期末）如圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊小長方形，然后按圖b形狀拼成一個正方形．（1）你認為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？（2）觀察圖b你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關系嗎？代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn（3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值．【解答】解：（1）m﹣n．（2分）（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．（6分）（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣4×6＝25．（10分）【變式1-2】（2022春?金水區(qū)期中）【知識生成】用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式，如圖1，是用長為a，寬為b的四個相同的長方形拼成的一個大正方形，用兩種不同的方法計算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者之間的等量關系式：；【知識遷移】類似地，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個等式，如圖2，觀察大正方體分割，可以得到等式：（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）．利用上面所得的結論解答下列問題：（1）已知x+y＝6，xy＝，求（x﹣y）2的值；（2）已知a+b＝6，ab＝7，求a3+b3的值．【解答】解：【知識生成】（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2，故答案為：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；【知識遷移】（1）∵x+y＝6，xy＝，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣11＝25；（2）∵a+b＝6，ab＝7，∴a3+b3＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝216﹣3×7×6＝216﹣126＝90．【變式1-3】（2022秋?二道區(qū)校級期末）對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學等式．（1）模擬練習：如圖，寫出一個我們熟悉的數(shù)學公式：；（2）解決問題：如果，求a2+b2的值；（3）類比探究：如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．【解答】解：（1）圖中大正方形的面積可以表示為：（a+b）2，還可以表示為：a2+b2+2ab．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．故答案為：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣24＝63﹣24＝39．（3）設a＝8﹣x，b＝x﹣2，則a+b＝6，a2+b2＝20．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴36＝20+2ab．∴ab＝8．∴這個長方形的面積為：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．【典例2】（2022秋?豐澤區(qū)校級期末）若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．（2）若x滿足（6﹣x）（3﹣x）＝1，求代數(shù)式（9﹣2x）2的值．（3）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE＝3，CF＝5，長方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF作正方形，求陰影部分的面積．【解答】解：（1）設5﹣x＝a，x﹣2＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）設（6﹣x）＝a，（3﹣x）＝b，（6﹣x）（3﹣x）＝ab＝1，a﹣b＝（6﹣x）﹣（3﹣x）＝3，∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝13，∴（a+b）2＝13，∵（6﹣x）+（3﹣x）＝a+b，∴9﹣2x＝a+b，∴（9﹣2x）2＝（a+b）2＝13；（3）∵正方形ABCD的邊長為x，AE＝3，CF＝5，∴MF＝DE＝x﹣3，DF＝x﹣5，∴（x﹣3）?（x﹣5）＝48，∴（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，∴陰影部分的面積＝FM2﹣DF2＝（x﹣3）2﹣（x﹣5）2，設（x﹣3）＝a，（x﹣5）＝b，則（x﹣3）（x﹣5）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣3）2﹣（x﹣5）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即陰影部分的面積是28．【變式2-1】（2022秋?松原期末）一個圖形通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式，利用這種方法解答下列問題．（1）通過計算圖①中陰影部分的面積可以得到的數(shù)學等式是；（2）如圖②，點E、G分別是正方形ABCD的邊AD、AB上的點，且DE＝k，BG＝k+1（k為常數(shù)，且k＞0），分別以GF、AG為邊作正方形GFIH和正方形AGJK，設正方形ABCD的邊長為x．①求AE﹣AG的值；②若長方形AEFG的面積是，求陰影部分的面積．【解答】解：（1）陰影部分的面積＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）①由題意得：AE＝x﹣k，AG＝x﹣（k+1）＝x﹣k﹣1，∴AE﹣AG＝（x﹣k）﹣（x﹣k﹣1）＝x﹣k﹣x+k+1＝1，即AE﹣AG的值是1；②∵長方形AEFG的面積是，∴AE?AG＝，∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE?AG+AG2，∴AE2+AG2＝（AE﹣AG）2+2AE?AG＝1+＝，∵（AE+AG）2＝AE2+2AE?AG+AG2，∴（AE+AG）2＝+＝，∴AE+AG＝，∴陰影部分的面積＝正方形GFIH的面積﹣正方形AGJK的面積＝AE2﹣AG2＝（AE+AG）（AE﹣AG）＝×1＝．【變式2-2】（2022秋?豐滿區(qū)期末）問題背景如圖，圖1，圖2分別是邊長為（a+b），a的正方形，由圖1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2．類比探究類比由圖1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依據(jù)圖2中的已知條件推導出完全平方的另一個公式．解決問題（1）計算：（2m﹣n）2＝；（2）運用完全平方公式計算：1052；（3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值．【解答】解：類比探究：由圖2中的已知條件可以得出完全平方的另一個公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；解決問題：（1）（2m﹣n）2＝（2m）2﹣2×2m×n+n2＝4m2﹣4mn+n2；故答案為：4m2﹣4mn+n2；（2）1052＝（100+5）2＝1002+2×100×5+52＝10000+1000+25＝11025；（3）因為（x+y）2＝12，xy＝2，所以（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝122﹣4×2＝144﹣8＝136．【變式2-3】（2022秋?西崗區(qū)校級期末）【探究】若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．設9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；【應用】請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是8，分別以MF、DF為邊作正方形．①MF＝，DF＝；（用含x的式子表示）②求陰影部分的面積．【解答】解：（1）設5﹣x＝a，x﹣2＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣4＝5；（2）①∵四邊形EMFD是長方形，AE＝1，四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝x，DE＝MF，∴MF＝DE＝AD﹣AE＝x﹣1，DF＝CD﹣CF＝x﹣3，故答案為：x﹣1，x﹣3；②∵長方形EMFD的面積是8，∴MF?DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝8，陰影部分的面積＝MF2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．設x﹣1＝a，x﹣3＝b，則（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝8，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×8＝36，∴a+b＝±6，又∵a+b＞0，∴a+b＝6，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×2＝12．即陰影部分的面積12．【夯實基礎】1．（2022秋?河西區(qū)期末）分別觀察下列四組圖形，在每個圖形的下方，都有一個由這個圖形可以驗證出的代數(shù)公式，其中圖形與公式之間的對應關系表達相符的有（）A．一組 B．兩組 C．三組 D．四組【答案】D【解答】解：圖1，整體長方形的長為a+b+c，寬為d，因此面積為（a+b+c）d，整體長方形由三個長方形構成的，這三個長方形的面積和為ad、bd、cd，所以有：（a+b+c）d＝ad+bd+cd，因此圖1符合題意；圖2，整體長方形的長為a+b，寬為c+d，因此面積為（a+b）（c+d），整體長方形由四個長方形構成的，這四個長方形的面積和為ac+ad+bc+bd，所以有：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，因此圖2符合題意；圖3，整體正方形的邊長為a+b，因此面積為（a+b）2，整體正方形由四個部分構成的，這四個部分的面積和為a2+2ab+b2，所以有：（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此圖3符合題意；圖4，整體正方形的邊長為a，因此面積為a2，整體正方形由四個部分構成的，其中較大的正方形的邊長為a﹣b，因此面積為（a﹣b）2，較小正方形的邊長為b，因此面積為b2，另外兩個長方形的長為（a﹣b），寬為b，則面積為（a﹣b）×b×2＝2ab﹣2b2，所以有a2＝（a﹣b）2+b2+2ab﹣2b2，即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此圖4符合題意；綜上所述，四組均符合題意；故選：D．2．（2022秋?廣宗縣期末）小張利用如圖①所示的長為a、寬為b的長方形卡片4張，拼成了如圖②所示的圖形，則根據(jù)圖②的面積關系能驗證的恒等式為（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2 C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】C【解答】解：∵用整體和各部分求和兩種方法表示出圖②的面積的面積各為：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故選：C．3．（2022秋?天山區(qū)校級期末）如圖，四個等腰直角三角形拼成一個正方形，則陰影部分的面積為（）A．a(chǎn)2+b2 B．a(chǎn)2﹣b2 C．2ab D．4ab【答案】C【解答】解：整體是邊長為a+b的正方形，因此面積為（a+b）2，四個等腰直角三角形的面積和為a2+b2，所以陰影部分的面積為（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab，故選：C．4．（2021秋?安岳縣期末）將四個全等的直角三角形（直角邊分別為a、b）按圖1和圖2兩種方式放置，則能驗證的等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a(chǎn)2+b2＝（a﹣b）2+2ab C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）【答案】D【解答】解：圖1陰影部分的面積為×2a×2b＝2ab；圖2陰影部分的面積利用看作邊長為（a+b）的面積減去中間空白正方形的面積，即（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，因此有2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），故選：D．5．（2022秋?大連期末）如圖，在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的|小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的等式是．【答案】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【解答】解：陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；因而可以驗證的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．6．（2022春?榆林期末）如圖，在一個邊長為2a+b的大正方形紙片中，剪去一個長為2a+b、寬為a﹣b的長方形和一個邊長為a﹣b的小正方形．（1）用含a、b的式子表示陰影部分的面積；（結果化為最簡）（2）當a＝5，b＝2時，求陰影部分的面積．【解答】解：（1）陰影部分的面積為：（2a+b）2﹣（2a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2＝4a2+4ab+b2﹣（2a2﹣2ab+ab﹣b2）﹣（a2﹣2ab+b2）＝4a2+4ab+b2﹣2a2+2ab﹣ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝a2+7ab+b2；（2）當a＝5，b＝2時，原式＝25+7×5×2+4＝99，即陰影部分的面積為99．7．（202252．（2022春?普寧市期末）如圖，將邊長為（a+b）的正方形剪出兩個邊長分別為a，b的正方形（陰影部分）．觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)題意，用兩種不同的方法表示陰影部分的面積，即用兩個不同的代數(shù)式表示陰影部分的面積．方法1：，方法2：；（2）從（1）中你能得到怎樣的等式？；（3）運用你發(fā)現(xiàn)的結論，解決下列問題：①已知x+y＝6，xy＝2，求x2+y2的值；②已知（2022﹣x）2+（x﹣2021）2＝9，求（2022﹣x）（x﹣2021）的值．【解答】解：（1）方法1，陰影部分的面積等于兩個正方形的面積和，即a2+b2，方法2，從邊長為（a+b）的大正方形面積減去兩個長為a，寬為b的長方形面積，即（a+b）2﹣2ab，故答案為：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）∵（1）中的兩種方法都表示陰影部分面積，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，故答案為：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①∵0.5xy＝2，∴xy＝4，又∵x+y＝6，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×4＝36﹣8＝28；②設a＝2022﹣x，b＝x﹣2021，則a2+b2＝9，a+b＝1，∴2（2022﹣x）（x﹣2021）＝2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝1﹣9＝﹣8，∴（2022﹣x）（x﹣2021）＝﹣4，答：（2022﹣x）（x﹣2021）的值為﹣4．8．（2022春?郫都區(qū)期末）圖1是四個全等的小長方形拼成的正方形，大正方形的邊長為（a+b），小正方形（陰影部分）的邊長為（a﹣b）．（1）觀察圖1，直接寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者的數(shù)量關系式；（2）用（1）的結論解答：①如圖2，兩個正方形的邊長分別為p、q，且A、B、C三點在一條直線上，若p2+q2＝20，p+q＝6，求圖2中陰影部分的面積；②如圖3，四邊形ABCD、四邊形MEDO和四邊形NGDH都是正方形，四邊形PODH是長方形，若AE＝5，CG＝15，長方形EFGD的面積是300，求圖3中陰影部分的面積．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）由（1）可得ab＝，∴pq＝，把p2+q2＝20，p+q＝6代入上式，pq＝＝8．∴圖2中陰影部分的面積為2×pq＝2×＝8．（3）根據(jù)題意可得，設AB＝x，DG＝CD﹣CG＝x﹣15，DE＝AD﹣AE＝x﹣5，設x﹣5＝a，x﹣15＝b，則ab＝300，a﹣b＝（x﹣5）﹣（x﹣15）＝10，圖中陰影部分的面積等于a2+2ab+b2＝（a+b）2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×300＝1300．圖3中陰影部分的面積1300．9.（秋?西城區(qū)校級期中）我們在學習《從面積到乘法公式》時，曾用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，探索了單項式乘多項式的運算法則：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如圖1），多項式乘多項式的運算法則：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如圖2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如圖3）．把幾個圖形拼成一個新的圖形，通過圖形面積的計算，常?？梢缘玫揭恍┑仁?，這是研究數(shù)學問題的一種常用方法．（1）請設計一個圖形說明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（畫出示意圖，并標上字母）（2）如圖4，它是由四個形狀、大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD．如果每個直角三角形的較短的邊長為a，較長的邊長為b，最長的邊長為c，試用兩種不同的方法計算這個大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊長a、b、c的什么數(shù)量關系？（注：寫出解答過程）【解答】解：（1）（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，（2）a2+b2＝c2．理由如下：∵S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，S正方形ABCD＝ab×4+c2，∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．10．（2022秋?南關區(qū)校級期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，適當?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學問題．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因為a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因為ab＝1，所以a2+b2＝7．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝6，兩正方形的面積和S1+S2＝18，求圖中陰影部分面積．【解答】解：（1）∵x+y＝8，∴（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64，又∵x2+y2＝40，∴2xy＝64﹣40，∴xy＝12，答：xy的值為12；（2）設m＝4﹣x，n＝x﹣5，則m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，∴（4﹣x）2+（x﹣5）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）＝1+16＝17；（3）設AE＝a，F(xiàn)G＝b，則AB＝6＝a+b，由題意可知S1+S2＝a2+b2＝18，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴36＝18+2ab，∴ab＝9，∴陰影部分的面積為ab＝，答：陰影部分的面積為．11．（2022?南京模擬）（1）如圖1是用4個全等的長方形紙板拼成一個“回形”正方形紙板．圖中陰影部分面積用不同的代數(shù)式表示可得一個恒等式，這個等式是；已知（b+a）2＝25，ab＝4，則（b﹣a）2＝；（2）利用圖1的結論，若（3x﹣y）2＝64，（3x+y）2＝100，求xy的值．（3）如圖2，將一張矩形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m，寬為n的全等小矩形，且m＞n．（以上長度單位：cm）圖中陰影部分面積用不同的代數(shù)式表示可得一個恒等式，這個等式是；用含m，n的代數(shù)式表示所有裁剪線（圖中虛線部分）的長度之和為；（4）如圖2，若每塊小矩形的面積為8cm2，陰影部分面積（四個正方形的面積和）為40cm2，試求（m+n）2的值．【解答】解：（1）由圖可知，大正方形的邊長為（a+b），小正方形的邊長為（b﹣a），圖中陰影部分面積：（a+b）2﹣（b﹣a）2＝4ab，∵（b+a）2＝25，ab＝4，∴（b+a）2＝25b2+2ab+a2＝25b2+a2+2×4＝25b2+a2＝17，∴（b﹣a）2＝b2+a2﹣2ab＝17﹣2×4＝9．故答案為：（a+b）2﹣（b﹣a）2＝4ab；9；（2）∵（3x+y）2﹣（3x﹣y）2＝12xy＝100﹣64＝36，∴xy＝3；（3）由圖可知，矩形的長為（2m+n）m，寬為（m+2n）m，∴陰影的面積為：（2m+n）（m+2n）﹣5mn＝2m2+2n2，由圖可知，所有裁剪線（圖中虛線部分）的長度之和為：6m+6n；（4）由題意得：2m2+2n2＝40，mn＝8，∴m2+n2＝20，∵（m+n）2＝m2+2mn+n2＝20+2×8＝36，∴（m+n）2的值為36．12．（2022春?明溪縣月考）閱讀理解：若x滿足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，試求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值，解：設（210﹣x）＝a，（x﹣200）＝b，則ab＝﹣204，且a+b＝（210﹣x）+（x﹣200）＝10，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508，即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值為508．解決問題（1）若x滿足（2022﹣x）（x﹣2010）＝22，則（2022﹣x）2+（x﹣2010）2＝；（2）若（2022﹣x）2+（x﹣2002）2＝2020，求（2022﹣x）（x﹣2002）的值；（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且BE＝DF＝x，分別以FC，CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為40平方單位，則圖中陰影部分的面積和為多少？【解答】解：（1）設（2022﹣x）＝a，（x﹣2010）＝b，則ab＝22，且a+b＝（2022﹣x）+（x﹣2010）＝12，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝122﹣2×22＝100，即（2022﹣x）2+（x﹣2010）2的值為100，故答案為：100；（2）設（2022﹣x）＝a，（x﹣2002）＝b，則a+b＝（2022﹣x）+（x﹣2002）＝20，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2ab＝2020，解得ab＝﹣810，即（2022﹣x）（x﹣2002）的值為﹣810；（3）由圖及題中條件可知正方形CFGH的邊長為10﹣x，正方形CEMN的邊長為6﹣x，則由長方形CEPF的面積為40平方單位得到（10﹣x）（x﹣6）＝﹣40，∴陰影部分面積為（10﹣x）2+（6﹣x）2＝（10﹣x）2+（x﹣6）2，設（10﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，則ab＝﹣40，且a+b＝（10﹣x）+（x﹣6）＝4，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴（10﹣x）2+（6﹣x）2＝（10﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×（﹣40）＝96，∴陰影部分面積為96．13．（2022春?鹽湖區(qū)期末）如圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊小長方形．然后按圖2形狀拼成一個正方形．（1）圖2中的空白部分的正方形的邊長是多少？（用含a、b的式子表示）（2）已知a+b＝10，ab＝3，求圖2中空白部分的正方形的面積．（3）觀察圖2，用一個等式表示下列三個整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的數(shù)量關系．（4）拓展提升：當（x﹣10）（20﹣x）＝8時，求（2x﹣30）2．【解答】解：（1）圖2中的空白部分的正方形的邊長＝a﹣b．（2）圖2中空白部分的正方形的面積＝大正方形的面積﹣4個小長方形的面積＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×3＝100﹣12＝88．（3）圖2中大正方形的面積＝（a+b）2，空白部分的正方形面積＝（a﹣b）2，陰影的面積＝4ab，∵圖2中大正方形的面積＝空白部分的正方形面積+陰影的面積，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（4）∵（x﹣10）+（20﹣x）＝x﹣10+20﹣x＝10，∴[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，由（3）的結論可知，[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4（x﹣10）（20﹣x），把[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，（x﹣10）（20﹣x）＝8代入，得100＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4×8，100＝（x﹣10﹣20+x）2+32，68＝（2x﹣30）2，即（2x﹣30）2＝68．14．（2022春?漣源市校級期末）閱讀理解：若x滿足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．解：設（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，則（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解決問題：（1）若x滿足（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10