八年級數(shù)學(xué)下冊-第17章 勾股定理（學(xué)生版）

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級下冊章節(jié)知識講練1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實際問題.知識點01：勾股定理【高頻考點精講】1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）2.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）求作長度為的線段.知識點02：勾股定理的逆定理【高頻考點精講】1.原命題與逆命題如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；（2）驗證與是否具有相等關(guān)系，若，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形.3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）知識點03：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系【高頻考點精講】區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).檢測時間：120分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.49一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023秋?惠安縣期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分線，交BC于點D，若CD＝5，BD＝13，則AC的長為（）A．7.5 B．8 C．10 D．122．（2分）（2023秋?簡陽市期末）如圖，表格中是直角三角形的是（）A．① B．② C．③ D．①②3．（2分）（2023秋?青山區(qū)期末）△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝104．（2分）（2023秋?嘉定區(qū)期末）滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三邊長之比為3：4：5 B．三內(nèi)角之比為3：4：5 C．三內(nèi)角之比為1：2：3 D．三邊長的平方之比為1：2：35．（2分）（2023秋?大東區(qū)期末）下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．a(chǎn)：b：c＝5：12：13 C．a(chǎn)2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：56．（2分）（2023秋?如皋市期末）如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝2，BC＝1，將四個直角三角形中邊長為2的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A． B． C． D．7．（2分）（2023秋?臨渭區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（6，4），以點O為圓心，OA的長為半徑畫弧，交x軸的正半軸于點B，則點B的橫坐標(biāo)介于（）A．5和6之間 B．7和8之間 C．10和11之間 D．8和9之間8．（2分）（2023春?莊浪縣期中）如圖，字母A所代表的正方形的面積為（）A．4 B．16 C．36 D．649．（2分）（2023秋?衡陽期末）如圖，高速公路上有A、B兩點相距10km，C、D為兩村莊，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務(wù)站E，使得C、D兩村莊到E站的距離相等，則EA的長是（）km．A．4 B．5 C．6 D．10．（2分）（2023秋?鳳城市期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推6m至C處時（即水平距離CD＝6m），踏板離地的垂直高度CF＝4m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）m．A． B． C．6 D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023秋?南安市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC，AB為邊向外作正方形，面積分別為S1，S2，若S1＝3，S2＝7，則BC＝．12．（2分）（2023秋?萊州市期末）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交最上方的網(wǎng)格線于點N，則MN的長是．13．（2分）（2023秋?武昌區(qū)期末）四個全等的直角三角形可以拼成兩個正方形，有兩種拼法，如圖所示，兩直角邊長分別為a，b，圖中空白部分的面積分別為S1，S2，若S1＝2S2，則＝．14．（2分）（2023秋?衡陽期末）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一個關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面規(guī)律，第5個勾股數(shù)組為．15．（2分）（2023秋?惠安縣期末）如圖是2×4正方形網(wǎng)格圖，點A、B、C、D、E都是格點，則∠BAC﹣∠BDE＝°．16．（2分）（2023秋?龍崗區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，動點D從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒2個單位的速度向B運動，過點D作DF⊥AB交BC所在的直線于點F，連接AF，CD．設(shè)點D運動時間為t秒．當(dāng)△ABF是等腰三角形時，則t＝秒．17．（2分）（2023秋?巴中期末）在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾．”此問題可理解為：如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地距離AB長度為1尺．將它往前水平推送10尺，即A'C＝10尺，則此時秋千的踏板離地距離A'D就和身高5尺的人一樣高．若運動過程中秋千的繩索始終拉得很直，則繩索OA長為尺．18．（2分）（2023秋?惠安縣期末）2002年國際數(shù)學(xué)家大會在北京召開，大會的會標(biāo)是由我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”演變而來，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．如圖是用八個全等的直角三角形拼接而成的“弦圖”．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為，則S1+S2+S3＝．19．（2分）（2022?錫山區(qū)校級三模）“勾股圖”有著悠久的歷史，歐幾里得在《幾何原本》中曾對它做了深入研究．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以△ABC的三條邊為邊向外作正方形．連接EB，CM，DG，CM分別與AB，BE相交于點P，Q．若∠AMP＝30°，則∠ABE＝°，的值為．20．（2分）（2022春?莘縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為10，則（a+b）2的值為．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023秋?常州期末）防火安全無小事，時時處處需留心．一天晚上，某居民樓的點A處著火，消防大隊派出云梯消防車展開緊急救援．已知點A離地面28米，消防車的云梯底部（點B）與地面的垂直距離是4米，與居民樓的水平距離是10米．云梯需要伸長多少米才能到達(dá)著火處？22．（6分）（2023秋?臨渭區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）求四邊形ABCD的面積．23．（8分）（2023秋?衡山縣期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．（1）應(yīng)用場景1——在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點．如圖1，在數(shù)軸上找出表示3的點A，過點A作直線l垂直于OA，在l上取點B，使AB＝2，以原點O為圓心，OB為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點C表示的數(shù)是．（2）應(yīng)用場景2——解決實際問題．如圖2，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推6m至C處時，水平距離CD＝6m，踏板離地的垂直高度CF＝4m，它的繩索始終拉直，求繩索AC的長．24．（8分）（2023秋?岳陽樓區(qū)校級期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止在AD的位置時，踏板離地的垂直高度為0.6m，將秋于AD往前推送3m，到達(dá)AB的位置，此時，秋千的踏板離地的垂直高度為1.6m，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．（1）求秋千的長度．（2）如果想要踏板離地的垂直高度為2.6m時，需要將秋千AD往前推送m．25．（8分）（2022秋?薛城區(qū)期末）洋洋與林林進(jìn)行遙控賽車游戲，終點為點A，洋洋的賽車從點C出發(fā)，以4米/秒的速度由西向東行駛，同時林林的賽車從點B出發(fā)，以3米/秒的速度由南向北行駛（如圖）．已知賽車之間的距離小于或等于25米時，遙控信號會產(chǎn)生相互干擾，AC＝40米，AB＝30米．出發(fā)3秒鐘時，遙控信號是否會產(chǎn)生相互干擾？26．（8分）（2023秋?岱岳區(qū)期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝3m，若秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．27．（8分）（2023秋?蒲城縣期末）定義：如圖，點M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割點．（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，則點M、N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由．（2）已知點M、N是線段AB的勾股分