2023年福建省中考數(shù)學(xué)真題試卷及解析

福建省2023年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的。

1.下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.-1B.OC.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】有理數(shù)比較大小的法則：正數(shù)大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于0,兩個負(fù)數(shù)中絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即

可.

【詳解】解：正數(shù)大于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)，且2>1，所以一1、0、1、2中最大的實數(shù)是2.

故選：D

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，熟練掌握其方法是解題的關(guān)鍵.

2.下圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）

/I視方向

【解析】

【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖即可解答.

【詳解】解：從上面看下邊是一個矩形，矩形的上邊是一個圓，

故選：D.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，掌握從上面看得到的圖形是俯視圖是解答本題的關(guān)鍵.

3.若某三角形的三邊長分別為3,4,機(jī)，則機(jī)的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解即可.

【詳解】解：由題意，得4一3<根<4+3,Bpi<m<7,

故加的值可選5,

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

4.黨的二十大報告指出，我國建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及

水平實現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險參保應(yīng)穩(wěn)定在百分之九十五、將數(shù)

據(jù)104)000000用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.104xl07B.IO.4xlO8C.1.04xl09D.0.104x10'0

【答案】C

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO”的形式，其中141al<10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)

變成。時.，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：1040000000=1.04x1()9,

故選：C.

【點睛】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO〃的形式，其中

〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定〃的值以及，?的值.

5.下列計算正確的是()

A(叫=〃6B.a6-i-a2=a3C.a3-a4=a12D.a2-a=a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)箱的乘方法、同底數(shù)基的除法法則、同底數(shù)轅的乘法以及合并同類項逐項判斷即可.

【詳解】解：A.(^2)3=a2x3=a6,故A選項計算正確，符合題意；

B.d2=/-2=",故B選項計算錯誤，不合題意;

C.43./="+4=〃，故C選項計算錯誤，不合題意；

D./與一〃不是同類項，所以不能合并，故D選項計算錯誤，不合題意.

故選:A.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)幕的乘除運(yùn)算、基的乘方運(yùn)算以及整式的加減運(yùn)算等知識點，同底數(shù)基相乘，

底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)哥相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

6.根據(jù)福建省統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為

53109.85億元.設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為-根據(jù)題意可列方程()

A.43903.89(1+x)=53109.85B.43903.89(1+x)2=53109.85

C.43903.89/=53109.85D.43903.89(1+x2)=53109.85

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為斯根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解.

【詳解】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為■根據(jù)題意可列方程

43903.89(1+x)2=53109.85,

故選：B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

7.閱讀以下作圖步驟：

①在OA和OB上分別截取OC,。。，使OC=OD；

②分別以C,。為圓心，以大于gCD的長為半徑作孤，兩弧在N4OB內(nèi)交于點M；

③作射線連接如圖所示.

根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是()

B.N1=N3且=

C./1=/2且0。=。加D.N2=/3且=

【詳解】解：A.平均數(shù)為--------------------------=73（分鐘），故選項錯誤，不符合題意;

B.在7個數(shù)據(jù)中，67出現(xiàn)的次數(shù)最多，為2次，則眾數(shù)為67分鐘，故選項王確，符合題意;

C.7個數(shù)據(jù)按照從小到大排列為：65,67,67,70,75,79,88,中位數(shù)是70分鐘，故選項錯誤，不符合題

意;

65+67x2+70+75+79+88

D.平均數(shù)為=73,

7

222

方差為（65—73『4-（67-73『x2+（70-73）+（75-73『+（79-73）+（88-73）史5,故選項錯

77

誤，不符合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，熟練掌握各量的求解方法是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y=3和y=°的圖象的四個分支上，則實數(shù)〃的值為

XX

【答案】A

【解析】

3

【分析】如圖所示，點3在丁=—上，證明AAOCgaQBO,根據(jù)A的幾何意義即可求解.

x

【詳解】解：如圖所示，連接正方形的對角線，過點48分別作x軸的垂線，垂足分別為C。，點B在

YOB=OA,ZAOB=ZBDO=ZACO=90°t

???ZCAO=90°-ZAOC=NBOD.

入AOCOBD.

-s-s-2-H

,,D.AOC-D.OBD-2-2,

???A點笫二象限，

?'?w=—3.

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的2的幾何意義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

10.我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼

近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所

失矣“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率乃的近似值為3.1416.如圖，。。的

半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計。。的面積，可得乃的估計值為?,若用

2

圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得加的估計值為（）

A.73B.2五C.3D.2百

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得NAO3=30°,根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得

BC=g,根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解.

2

【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為

30。，設(shè)圓的半徑為1,如圖為其中一個等腰三角形OA3,過點6作3C_L0A交OA于點于點C,

則SqB=gxlxg=；,

故正十二邊形的面積為12S°A8=12XL=3,

?VZrlOj

圓的面積為4xlxl=3,

用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計。0的面積可得兀=3,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓

的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.某倉庫記賬員為方便記賬，將進(jìn)貨10件記作+10,那么出貨5件應(yīng)記作.

【答案】-5

【解析】

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示.

【詳解】解：???“正”和“負(fù)”相對，

???進(jìn)貨10件記作+10,那么出貨5件應(yīng)記作-5.

故答案為：—5.

【點睛】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，理解"正''和"負(fù)''的相對性，確定一對具有相反意義的量是解題關(guān)

鍵.

12.如圖，在YABCD中，。為的中點，放過點。且分別交人仇8于點￡尸.若4E=10,則

C尸的長為___________

【答案】10

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得。C〃A8,OC=A8即/。尸。=/0￡瓦/。。尸=/七8。，再結(jié)合

OD=OB可得△Z）OF空△3QE（AAS）可得DF=EB，最進(jìn)一步說明/。=AE=10即可解答.

【詳解】解：???A8c。中，

...DC//Af3,DC=AB.

??.NOFD=NOEB,Z.ODF=NEBO,

VOD=OB,

???ADOF^ABOE(AAS),

:?DF=EB,

???DC-DF=AB-BE,即/C=AE=10.

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，證明三角形全等是解答

本題的關(guān)鍵.

13.如圖，在菱形A8CO中，AB=10,ZB=60°,則AC的長為.

【答案】10

【解析】

【分析】由菱形A3CO中，/3=60。，易證得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】解：???四邊形A3CQ是菱形，

：.AB=BC=\O,

,:/8=60。，

:.“BC是等邊三角形，

???AC=10.

故答案為：10.

【點睛】本題考杳了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記菱形的性質(zhì)并推出等邊三角形是解題的

關(guān)鍵.

14.某公司欲招聘一名職員.對甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進(jìn)行了綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達(dá)等三方面的

測試，他們的各項成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

%目

綜合知識工作經(jīng)驗語言表達(dá)

應(yīng)聘個

甲758080

乙858070

丙707870

如果將每位應(yīng)聘者的綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達(dá)的成績按5:2:3的比例計算其總成績，并錄用總成績

最高的應(yīng)聘者，則被錄用的是.

【答案】乙

【解析】

【分析】分別計算甲、乙、丙三名應(yīng)聘者的成績的加權(quán)平均數(shù)，比較大小即可求解.

-523

【詳解】解：x^=75x—+80x—+80x—=77.5,

101010

-523

x乙=85x—+80x—+70x—=79.5，

101010

-523

砌=70x—+78x—+70x—=71.6,

101010

V71.6<77.5<79.5

???被錄用的是乙，

故答案為：乙.

【點睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵.

15.已知!+?=1,且。工一人，則比;的值為___________.

ab。+力

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)一+7=1可得力+〃=。人，即出?一4=人+〃，然后將"一。二人+。整體代入絲二;計算即

aba+b

可.

12

【詳解】解：???一+7二1

ab

?

ab

:?b+2a=ab,即a/?-a=b+a.

.ab-aa+b,

**a+ba+b

【點睛】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算，根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則得到"-是解答本題的關(guān)

鍵.

16.已知拋物線y=ax2-2ax+b（a>0）經(jīng)過A（2〃+3,yj,8（〃-1,%）兩點，若A8分別位于拋物線對

稱軸的兩側(cè)，且y<%，則〃的取值范圍是.

【答案】一lv〃v0

【解析】

【分析】根據(jù)題意，可得拋物線對稱軸為直線尤=1,開口向上，根據(jù)己知條件得出點A在對稱軸的右側(cè),

且,<必，進(jìn)而得出不等式，解不等式即可求解.

【詳解】解：:y二"？一2奴+人，?！?

-2cl

???拋物線的對稱軸為直線X=-----=1,開口向上，

2a

???4（2〃+3,乂）,8（〃—1,%）分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，

假設(shè)點5在對稱軸的右側(cè)，則〃一1>1,解得〃>2,

；?2〃+3-（九-1）=〃+4>0

???A點在5點的右側(cè)，與假設(shè)矛盾，則點A在對稱軸的右側(cè)，

.2〃+3>1

w-1<1

解得：Tv"2

又〈X<%，

.-.|(2?+3)-l|<|l-(n-l)|

2〃+2V2—九

解得：M<0

*,?-1<M<0>

故答案為：-1<幾<0.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算：x/9-2°+|-l|.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，絕對值，零指數(shù)幕，有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計算即可.

【詳解】解：原式=3-1+1

=3.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，絕對值，零指數(shù)累，有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題

的關(guān)鍵.

2x+lv3,①

18.解不等式組：\x1-3%-

士+^^WL②

24

【答案】-3<x<1

【解析】

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不

到確定不等式組的解集.

"2x+l<3,?

【詳解】解：,x1—3%.尸x

-+----<1.?

24

解不等式①，得x<l.

解不等式②，得工之―3.

所以原不等式組的解集為一3Kx<1.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，OA=OC,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求證：AB=CD.

AO

8Vv。

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件得出NAQB=NC。。，進(jìn)而證明△力況且△皈，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得

證.

【詳解】證明：，ZAOD=NCOB,

ZAOD-ZBOD=NCOB-NBOD,

即ZAOB=NCOD.

在"408和△C。。中，

0A=0C,

<NA0B=NC0。，

0B=0D,

.,二AOB^dCOD

:.AB=CD.

【點睛】本小題考查等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查幾何直觀、推理能力

等，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

20.先化簡，再求值：fl--1-4^，其中工=近一1.

VX)x--x

【答案】一一二，--

X4-12

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡，然后再將工=a-1代入計算即可解答.

2

/rI1\r_1

【詳解】解：1-------------------

Vx)x-x

X+11/一4

x)x2—\

JC-(X+1)x(x-l)

—(x+l)(x-l)

x+1

當(dāng)x=>/2—1時,

]

原式二一

V2-1+12

【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)及其運(yùn)算、分母有理化，正確的化簡分式是解答本題的關(guān)鍵.

21.如圖，已知a45C內(nèi)接于OO,CO的延長線交A5于點。，交O。于點E，交O。的切線A/于點

F,且A/〃3c.

（1）求證：AO//BE；

（2）求證：A0平分NB4C.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得ZOAF=90。，由圓周角定理可得NCBE=90°,即ZOAF=ZCBE=90°,

再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N&LF=NABC,則根據(jù)角的和差可得=最后根據(jù)平行線的判

定定理即可解答；

（2）由圓周角定理可得NA3E=NACE,再由等腰三角形的性質(zhì)可得NACE=NOAC,進(jìn)而得到

ZABE=ZOAC,再結(jié)合=得到N0A3=N0AC即可證明結(jié)論.

【小問1詳解】

證明A廠是OO的切線，

AF.LOA,即NQ4F=90。.

??CE是OO的直徑,

...ZCBE=90°.

:.NOAF=NCBE=90"

-AF/^BC,

:.ZBAF=ZABC,

「./OAF—NBAF=NCBE-ZABC,5PZOAB=ZABE,

/.AO//BE.

【小問2詳解】

解：NA5E與/ACE都是舛石所對圓周角，

:.ZABE=ZACE.

?：OA=OC,

ZACE=ZOAC,

.\ZABE=ZOAC.

由（1）知NQ4B=NABE,

.?.NOM-NCMC,

..AO平分NB4C.

【點睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識點，靈活運(yùn)用相

關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵.

22.為促進(jìn)消費(fèi)，助力經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動.活動

規(guī)定：凡在商場消費(fèi)一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機(jī)會.抽獎方案如二：從裝有大小質(zhì)地完全相同

的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機(jī)摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品：若

摸得黃球，則不中獎.同時，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃

球（它們的大小質(zhì)地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機(jī)摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨

機(jī)摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可■獲得精美禮品?份.現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機(jī)會.

（1）求該顧客首次摸球中獎的概率；

（2）假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機(jī)會獲得精美禮品，他應(yīng)往袋中加入哪種顏色球？說明

你的理由

【答案】（1）-

4

（2）應(yīng)往袋中加入黃球，見解析

【解析】

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）根據(jù)列表法求分別求得加入黃球和紅球的概率即可求解.

【小問1詳解】

解：顧客首次摸球的所有可能結(jié)果為紅，黃①，黃②，黃③，共4種等可能的結(jié)果.

記“首次摸得紅球”為事件A,則事件A發(fā)生的結(jié)果只有1種，

所以P（A）=：,所以顧客首次摸球中獎的概率為5.

【小問2詳解】

他應(yīng)往袋中加入黃球.

理由如下：

記往袋中加入的球為“新”，摸得的兩球所有可能的結(jié)果列表如下：

X二球

第W紅黃①黃②黃③新

紅紅，黃①紅，黃②紅，黃③紅，新

黃①黃①，紅黃①，黃②黃①，黃③黃①，新

黃②黃②，紅黃②，黃①黃②，黃③黃②，新

黃③黃③，紅黃③，黃①黃③，黃②黃③，新

新新，紅新，黃①新，黃②新，黃③

共有20種等可能結(jié)果.

（i）若往袋中加入的是紅球，兩球顏色相同的結(jié)果共有8種，此時該顧客獲得精美禮品的概率

P_8_2

（ii）若往袋中加入的是黃球，兩球顏色相同的結(jié)果共有12利。此時該顧客獲得精美禮品的概率

。3

因為所以4<￡,所作他應(yīng)往袋中加入黃球.

【點睛】本小題考查簡單隨機(jī)事件的概率等基礎(chǔ)知識，考查抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識、

創(chuàng)新意識等，考查統(tǒng)計與概率思想、模型觀念，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

23.閱讀下列材料，回答問題

任務(wù)：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬

度,如圖1.

工具：一把皮尺（測量長度略小于AB）和一臺測角儀，如圖2.皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的

兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；

測角儀的功能是測量角的人小，即在任一點。處，對其視線可及的尸，Q兩點，可測得ZPOQ的人

小，如圖3.

圖1圖2圖3圖4

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度A8,其測量及求解過程如下：測量過程：

（i）在小水池外選點C,如圖4,測得AC=am,BC=hm；

（ii）分別在AC,BC,上測得CM=!,CN=gm；測得MN=cm.求解過程:

33

由測量知，AC=a,BC=b,CM=-,CN=-

33t

/.△CMV，/.----=

AB3

又?：MN=c,：.AB—(m).

故小水池的最大寬度為m.

（1）補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；

（2）小明求得A3用到的幾何知識是;

（3）小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得A8.請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾

何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度A8,寫出你的測量及求解過程.要求：測量得到

的長度用字母b,CL表示，角度用a,0,/L表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求

出A5,且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）.

【答案】（1）①NC=NC；②3c

（2）相似三角形的判定與性質(zhì)

（3）最大寬度為（〃cosa十竺華m,見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行回答即可；

（3）測量過程：在小水池外選點C,用測角儀在點5處測得NA3C=a,在點A處測得NB4c=4；

用皮尺測得3C=4111；

求解過程：過點C作CD_LA8,垂足為。，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推得BD=比osa,

,、eisina

CD=asina,AD=-根據(jù)=3。+A￡>,即可求得.

tan/7

【小問1詳解】

VAC=a,BC=b,CM=-fCN=-，

33

CMCN1

:.——=—=一，

CACB3

又???NC=NC,

:.AGW7V^ACAB,

MN1

:.——=-.

AB3

又?:MN=c,

:.AB=3c（m）.

故小水池的最大寬度為3cm.

【小問2詳解】

根據(jù)相似三角形判定和性質(zhì)求得A3=3MV=3c,

故答案為：相似三角形的判定與性質(zhì).

【小問3詳解】

測量過程：

(i)在小水池外選點C,如圖，用測角儀在點8處測得NA5C=a,在點A處測得NB4C=6；

求解過程:

由測量知，在中，ZABC=a,/BAC=0,BC=a.

過點C作CDJ_AB,垂足為O.

BD

在RtZXCB。中，cosZCBD=——，

BC

即cos。=,所以BD=acosa.

a

同理，CD=asina.

CD

在RtAACD中，tanZCAD=——,

AD

casinaasina

即tanq=-----所以AO二

tan/7

“ifasina、

所以A8=BD+AD=acosa+-----(zm).

tan^

故小水池的最大寬度為(acosa十竺“fm.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實際應(yīng)用，杈據(jù)題意畫出幾何圖形，建立

數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵.

24.已知拋物線5=依2+陵+3交工軸于41,0),8(3,0)兩點，M為拋物線的頂點，C。為拋物線上不

與A8重合的相異兩點，記A8中點為E，直線AR8C的交點為p.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

/、(3、

(2)若C(4,3),。w,--,且相＜2,求證：三點共線；

\4/

(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無論C。在拋物線上如何運(yùn)動，只要CZXE三點共線，AAMP,/\MEP^BP

中必存在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由.

【答案】(1)y=x2-4x+3

(2)見解析(3)-AB。的面積為定值，其面積為2

【解析】

【分析】⑴將A(l,0),8(3,0)代入)，=改2+法+3,即可解得；

(2)A(1,O),5(3,0),AB中點為E,且。(4,3),可求出過C,E兩點所在直線的一次函數(shù)表達(dá)式

3/33、3

y=-x-3,。為拋物線上的一點，所以。-,-7,此點在>=一不一3,可證得CD,E三點共線；

2124)2

(3)設(shè)C,。與。,C'分別關(guān)于直線對稱，則尸,尸'關(guān)于直線EM對稱，且-AM尸與八41小的面積

不相等，所以4AMp的面積不為定值；如圖，當(dāng)C,。分別運(yùn)動到點G，。的位置，且保持C，R,E三點

共線.此時與8G的交點4到直線E"的距離小于f到直線EM的距離，所以的面積小于

(7、

△MEP的面積，故AWEP的面積不為定值；故4ABp的面積為定值，由(2)求出P-,-2,此時

13/

二A8P的面積為2.

【小問1詳解】

解：因為拋物線y="2+6x+3經(jīng)過點4(1,0),8(3,0),

。+8+3=0,

所以4

\9a+3b+3=0.

解得匕)

。二一4.

所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3；

【小問2詳解】

解：

設(shè)直線CE對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=依+〃（女工o）,

因為E為AB中點,所以E（2,。）.

3

44+〃=3k=—

又因為C（4,3）,所以＜_,解得｛~2,

ZKTW—Vc

[〃=一3

3

所以直線CE對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-x-3.

因為點D，一在拋物線上，所以加2一4根+3=-1.

35

解得，6二一或加=一.

22

3

又因為相＜2,所以相=一.

2

所以嗚W

333,33、

因為一x——3=一一，即。二,一二滿足直線CE對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，所以點O在直線CE上，即

224\24J

C2E三點共線；

【小問3詳解】

解：二的面積為定值，其面積為2.

理由如下：（考生不必寫出下列理由）

如圖1,當(dāng)C。分別運(yùn)動到點C',。的位置時，與Q,C’分別關(guān)于直線對稱，此時仍有

C,O',E三點共線.設(shè)A0與BC的交點為P，則RP關(guān)于直線對稱，即PP'〃x軸.此時,

PP與AM不平行，且AM不平分線段PP，故P，P到直線A"的距離不相等，即在此情形下

AMP與..AMP的面積不相等，所以AMP的面積不為定值.

如圖2,當(dāng)C。分別運(yùn)動到點G，"的位置，且保持三點共線.此時A4與8G的交點<到直

線EM的距離小于尸到直線EW的距離，所以3的面積小于4^砂的面積，故△MEP的面積不

為定值.

又因為中存在面積為定值的三角形，故-ABP的面積為定值.

在（2）的條件下，直線8c對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=3x-9,直線AO對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為

y=-1x+|,求得尸（：,一2）,此時AABP的面積為2.

【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基

礎(chǔ)知識，如何利用數(shù)形結(jié)合求得點的坐標(biāo)、函數(shù)的表達(dá)式等是解題的關(guān)鍵.

25.如圖1,在“3C中，/%