基本不等式 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

基本不等式會(huì)標(biāo)根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。情境導(dǎo)入國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（InternationalCongressof

Mathematicians，ICM）觀察：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？新課引入正方形和直角三角形探究1ab２、四個(gè)直角三角形的面積和S′=３、S與S′有什么

樣的不等關(guān)系？S>S′問：那么它們有相等的情況嗎？何時(shí)相等？新課引入1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿＿探究1ADBCEFGHba對(duì)于a、b都大于0,

我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。ABCDE(FGH)ab新課引入探究1E(FGH)ab重要不等式思考：當(dāng)a、b為實(shí)數(shù)，你能證明重要不等式

嗎？證明：（作差法）新課引入對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立

a、b∈R文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：新課引入重要不等式學(xué)習(xí)新知替換后得到：即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？探究2證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),③中的等號(hào)成立.分析法證明不等式：學(xué)習(xí)新知探究2若a>0，b>0，則通常我們把上式寫作：在數(shù)學(xué)中，我們把

叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，

叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)。文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：a>0,b>0學(xué)習(xí)新知基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。均值不等式學(xué)習(xí)新知

長(zhǎng)度為的線段是（

）長(zhǎng)度為的線段是（

）

半徑半弦將點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)，發(fā)現(xiàn)半徑OD和半弦CD大小關(guān)系如何？探究3射影定理圓的半弦不大于半徑，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a=b時(shí)取等號(hào)。適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式學(xué)習(xí)新知

學(xué)習(xí)新知基本不等式的推廣：

你能用今天學(xué)習(xí)的方法給出以下不等式的證明嗎？基本不等式鏈①②分析法基本不等式的運(yùn)用例１．已知x>0，求的最小值和此時(shí)x的值．典型例題變式1：已知x<0，求的最大值．

變式3：當(dāng)x>1時(shí)，求的最小值.典型例題基本不等式的運(yùn)用例2.已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù)，求證：(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).14鞏固練習(xí)

(1)設(shè)x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為A.80B.77C.81 D.82√(2)若m＞0，n＞0，mn＝81，則m＋n的最小值是A.4

B.

C.9

D.18√①各項(xiàng)皆為正數(shù)；②和或積為定值；③注意等號(hào)成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).14歸納總結(jié)提高練習(xí)

提高練習(xí)

作差法提高練習(xí)

提高練習(xí)

提高練習(xí)

提高練習(xí)

注意把握“一正，二定，三相等”3.利用基本不等式求最值1.重要不等式課堂小結(jié)2.基本不等式4.數(shù)學(xué)證明方法作差法、分析法當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。當(dāng)