應(yīng)用經(jīng)濟數(shù)學全套課件

《應(yīng)用經(jīng)濟數(shù)學》

第一章矩陣與線性方程組

第二章導數(shù)與微分

§1.1

矩陣概念

§1.2

矩陣運算

§1.3

矩陣的初等行變換與矩陣的秩

§1.4

線性方程組的消元解法

§2.1

經(jīng)濟中常用的幾個函數(shù)

§2.2

極限概念

§2.3

復(fù)利與貼現(xiàn)

§2.4

導數(shù)與微分概念

§2.5

導數(shù)運算《應(yīng)用經(jīng)濟數(shù)學》

第三章導數(shù)的應(yīng)用

第四章積分及其應(yīng)用

§3.1

函數(shù)的單調(diào)性和極值

§3.2

極值的幾何應(yīng)用

§3.3

邊際與彈性

§3.4

極值的經(jīng)濟應(yīng)用

§4.1

定積分概念與性質(zhì)

§4.2

不定積分概念與性質(zhì)

§4.3

積分的基本公式

§4.4

換元積分法

§4.5

分部積分法

§3.5

曲線凹凸性與拐點《應(yīng)用經(jīng)濟數(shù)學》

第五章概率的基本知識及應(yīng)用

§4.6

無窮區(qū)間上的積分

§4.7

積分學的應(yīng)用

§5.1

事件及其概率

§5.2

概率的加法公式與事件的獨立性

§5.3

隨機變量及其分布

§5.4

正態(tài)分布

§5.5

隨機變量的數(shù)字特征

第四章積分及其應(yīng)用（續(xù)）

第六章數(shù)據(jù)處理

§6.1

點估計與直方圖

§6.2

一元線性回歸分析第一章矩陣與線性方程組

目標1.理解矩陣概念2.掌握矩陣運算3．會用矩陣的初等行變換求線性方程組的解4．掌握矩陣、線性方程組在經(jīng)濟活動中的實際應(yīng)用§1.1矩陣概念

1.1.1矩陣定義

1.1.2簡化階梯形矩陣1.1.1矩陣定義案例表1.1（單位：t）城市Ⅰ城市Ⅱ城市Ⅲ城市Ⅳ甲煤礦320540760290乙煤礦450100660370丙煤礦200280140570去掉表頭案例商品銷售矩陣矩陣案例1.1.1矩陣定義可用大寫字母，，…表示矩陣可用

…表示矩陣

矩陣可記作或例如

由個數(shù)（i=1，2，…，；j=1，2，…，）排成行列的矩形數(shù)表，稱為一個矩陣，記作定義1.1.1矩陣定義特殊矩陣其中，從左上角到右下角的個元，，…，稱為階方陣的主對角線元.若矩陣的行數(shù)=列數(shù)，則稱為階矩陣或階方陣，記作.即方陣

若主對角線的元都是數(shù)1，其余元都是數(shù)0，則稱為階單位陣，記作或.即單位陣1.1.1矩陣定義特殊矩陣

所有元全為數(shù)0的矩陣稱為零矩陣.記作或.如零矩陣為5.只有一列元的矩陣，稱為列矩陣.4.只有一行元的矩陣，稱為行矩陣.1.1.2階梯形矩陣

對于非零矩陣，若滿足：（1）矩陣若有零行（元全為數(shù)0的行），零行一定在矩陣的最下方；（2）矩陣各非零行第一個非零元所在列中，該元下方的元都為0，則稱該矩陣為階梯形矩陣.階梯形矩陣1.1.2簡化階梯形矩陣

對于階梯形矩陣，若它還滿足：（1）各非零行的第一個非零元都為1；（2）各非零行的第一個非零元所在列的其余元都為0，則稱該階梯形矩陣為簡化階階梯形矩陣.簡化階梯形矩陣§1.2矩陣的運算

1.2.1矩陣的加法

1.2.2數(shù)乘矩陣1.2.3矩陣的乘法1.2.1矩陣的加法案例某種物資（單位：t）從三個產(chǎn)地運往四個城市銷售，2004年第一、二兩個季度的供應(yīng)方案分別由矩陣和矩陣給定問:這兩個季度三個產(chǎn)地運往四個城市的各供應(yīng)量是多少？1.2.1矩陣的加法同型矩陣第一季度由第二個產(chǎn)地運往第3個城市的供應(yīng)量元元第二季度由第二個產(chǎn)地運往第3個城市的供應(yīng)量第一季度由第二個產(chǎn)地運往第3個城市的供應(yīng)量三個產(chǎn)地第一季度和第二季度運往四個城市的各供應(yīng)量1.2.1矩陣的加法若兩個矩陣都是行列的矩陣，稱為同型矩陣

將與的對應(yīng)元相加，所得到的矩陣為矩陣與的和，記作簡記作加法定義1.2.1矩陣的加法練習已知兩個矩陣和解1.2.1矩陣的加法交換律結(jié)合律矩陣中的各元變號，得到矩陣，稱為矩陣的負矩陣，記作．矩陣加法的性質(zhì)負矩陣1.2.1矩陣的加法若矩陣與矩陣的負矩陣相加記作矩陣減法則負矩陣矩陣減法的性質(zhì)1.2.1矩陣的加法解第四個季度的供應(yīng)情況應(yīng)是矩陣減去矩陣，即設(shè)甲、乙兩個蔬菜基地分別給Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個城市供應(yīng)蔬菜（單位：t），若全年的供應(yīng)情況用矩陣表示，前三個季度的供應(yīng)情況用矩陣表示，即1.2.2數(shù)乘矩陣

案例

某產(chǎn)品從甲、乙兩個產(chǎn)地運往Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個銷地，如果每t產(chǎn)品每公里的運費為50元，運輸里程表為下表ⅠⅡⅢ甲500300450乙350280600銷里程（公里）產(chǎn)地地試用矩陣表示從兩個產(chǎn)地運往三個地區(qū)的運費為每t多少元?1.2.2數(shù)乘矩陣

案例ⅠⅡⅢ甲500300450乙350280600銷里程（公里）產(chǎn)地地解運輸里程（公里）用矩陣可表示為由于每t產(chǎn)品每公里運費為50元，所以，從甲地到第Ⅱ個銷地的運費（元/t）為即從而由兩個產(chǎn)地到三個銷地的運費，若用矩陣表示，可寫成為簡便，可記作

表示從甲地到第Ⅱ個銷地的里程簡記作數(shù)乘矩陣的定義用數(shù)乘矩陣中的每一個元所得到的矩陣為數(shù)乘矩陣1.2.2數(shù)乘矩陣

例已知矩陣，則數(shù)3與矩陣的乘積，記作1.2.2數(shù)乘矩陣

1.2.3矩陣的乘法

某公司采購員到三個裝修超市去買紅、黃兩種顏料，三個超市顏料的價格（百元/桶）可用矩陣表示，在每個超市購買兩種顏料的數(shù)量（桶）用矩陣表示，求在各個超市購買紅、黃兩種顏料所消費的金額。案例解依題設(shè)，所求金額為

超市一（百元），超市二（百元），超市三（百元）.1.2.3矩陣的乘法上述消費金額若用矩陣表示，并記作，有

某公司采購員到三個裝修超市去買紅、黃兩種顏料，三個超市顏料的價格（百元/桶）可用矩陣表示，在每個超市購買兩種顏料的數(shù)量（桶）用矩陣表示，求在各個超市購買紅、黃兩種顏料所消費的金額。案例1.2.3矩陣的乘法這種矩陣的運算稱為矩陣的乘法運算.下面來看這種運算的要點：1．矩陣的列數(shù)（2列）與矩陣的行數(shù)（2行）相等，這是矩陣與矩陣可以作乘法運算的條件；2．所求得的矩陣是矩陣，其行數(shù)恰是矩陣的行數(shù)，其列數(shù)恰是矩陣的列數(shù)，這是矩陣與矩陣相乘的結(jié)果.矩陣與矩陣相乘記作，即；3．矩陣中的元恰是矩陣的第行與矩陣的第列（此處只有一列）相對應(yīng)的元乘積之和.如，即.這是矩陣與矩陣如何進行乘法運算.矩陣乘法的定義1.2.3矩陣的乘法設(shè)是矩陣，是矩陣，即矩陣與矩陣的乘積，記作，若令，則是一個矩陣，即其中矩陣的第行第列的元是矩陣的第行與矩陣的第列的對應(yīng)元乘積之和.即1.2.3矩陣的乘法練習練習3已知解由于的列數(shù)2與的行數(shù)2相同，乘積有意義，又的行數(shù)是

3，的列數(shù)是2，所以，是矩陣，且

因矩陣是2列，而矩陣是3行，故乘積無意義.求乘積，并問乘積是否有意義？1.2.3矩陣的乘法練習解由于的列數(shù)2與的行數(shù)2相同，乘積有意義，又的行數(shù)是

3，的列數(shù)是3，所以，是矩陣，且

練習4已知求乘積，由于的列數(shù)3與的行數(shù)3相同，乘積有意義，又與的行數(shù)都是2，所以，是矩陣，且1.2.3矩陣的乘法練習練習5已知求乘積，解1.2.3矩陣的乘法練習說明1.由練習3知，對兩個矩陣、，乘積存在，而乘積不一定存在；由練習4和練習5又知，即使在乘積與都存在時，它們也不一定相等.在一般情況下，矩陣乘法不滿足交換律.即.由此，在進行矩陣乘法運算時一定要注意矩陣與的先后順序.2．由練習5也順便說明，兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣；從而當時，一般不能推出或.1.2.3矩陣的乘法練習解練習6已知求乘積，說明本練習中，，且，但.這表明矩陣乘法不滿足消去律：不能在矩陣等式兩邊都消去同一個矩陣，即由推不出.1.2.3矩陣的乘法練習練習7已知求乘積，解由于矩陣有3列，為了使乘積有意義，必須用三階單位矩陣右乘，即

由于矩陣有2行，為了使乘積有意義，必須用二階單位矩陣乘，即說明

本練習表明，對任意矩陣，當，都有意義時，一定有，即單位陣在乘法運算中所起的作用，類似于代數(shù)中數(shù)1在乘法運算中所起的作用.1.2.3矩陣的乘法練習解根據(jù)矩陣相等的概念，所給線性方程組可用矩陣等式表示為練習8用矩陣形式表示線性方程組由矩陣乘法，上式左端可寫作于是，所給線性方程組可用矩陣表示為1.2.3矩陣的乘法練習若記練習8用矩陣形式表示線性方程組

對所給線性方程組而言，稱為系數(shù)矩陣，稱為未知量矩陣，稱為常數(shù)項矩陣.則所給方程組可用矩陣表示為

1.2.3矩陣的乘法練習

一般地，對個未知量個方程的線性方程組增廣矩陣若記§1.3矩陣的初等行變換與矩陣的秩

1.3.1矩陣的初等行變換

1.3.2矩陣的秩1.3.1矩陣的初等行變換

（1）互換矩陣兩行的位置（交換第，兩行，記作）；（2）以不等于0的數(shù)乘矩陣某一行的所有元（乘第行，記作）；（3）把矩陣某一行所有元的倍加到另一行的對應(yīng)元上（第行的倍加到第行上，記作）.對矩陣的行施行下列三種變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換：1.3.1矩陣的初等行變換

.

練習1設(shè)矩陣解（1）（2）將矩陣進行下列初等行變換：（1）交換矩陣的第1行與第3行的位置；（2）用數(shù)3乘矩陣的第2行；（3）將矩陣第3行的(-4)倍加到第4行上.1.3.1矩陣的初等行變換

練習1設(shè)矩陣解（3）將矩陣進行下列初等行變換：（1）交換矩陣的第1行與第3行的位置；（2）用數(shù)3乘矩陣的第2行；（3）將矩陣第3行的(-4)倍加到第4行上.

.

1.3.1矩陣的初等行變換

練習2用矩陣的初等行變換將矩陣程序(1)(2)（1）將矩陣化為階梯形矩陣；（2））將階梯形矩陣化為簡化階梯形矩陣.化為簡化階梯形矩陣.梯形矩陣不惟一簡化梯形矩陣惟一

.

1.3.1矩陣的初等行變換

練習3用矩陣的初等行變換將矩陣解化為簡化階梯形矩陣.

.

1.3.2矩陣的秩

求矩陣的秩定義

將任意矩陣化為階梯形矩陣，階梯形矩陣中非零行的行數(shù)，稱為矩陣的秩，記作.關(guān)鍵:將矩陣化為階梯形矩陣

1.3.2矩陣的秩

解所以，練習4求矩陣的秩.§1.4線性方程組的消元解法

1.4.1非齊次線性方程組的消元解法

1.4.2線性方程組解的判定

1.4.1非齊次線性方程組的消元解法若常數(shù)項，，…，不全為零，則稱此方程組為非齊次線性方程組.對個未知量個方程的線性方程組1.4.1非齊次線性方程組的消元解法對個未知量個方程的線性方程組若常數(shù)項，，…，全為零，則稱此方程組為齊次線性方程組.1.4.1非齊次線性方程組的消元解法則非齊次線性方程組用矩陣表示為系數(shù)矩陣未知數(shù)矩陣常數(shù)項矩陣

齊次線性方程組用矩陣表示為1.4.1非齊次線性方程組的消元解法增廣矩陣1.4.1非齊次線性方程組的消元解法對非齊次線性方程組

及齊次線性方程組要解決如下三個問題方程組是否有解若有解，是否是惟一解如何求方程組的解有解1.4.2線性方程組解的判定個.對個未知量個方程的非齊次線性方程組（2）當時，有無窮多組解.這時自由未知量的個數(shù)為.（1）當時，有惟一解；或用矩陣表示為1.4.1非齊次線性方程組的消元解法

用消元法解下列非齊次線性方程組：案例1.4.1非齊次線性方程組的消元解法(解案例)方程組增廣矩陣

①②③①④⑤分別將的第1行乘上數(shù)（-2）、（-1）加到第2行和第3行上，得方程①乘上數(shù)（-2）、（-1）加到方程②和方程③上，得1.4.1非齊次線性方程組的消元解法(續(xù)解案例)方程組增廣矩陣①④⑥

把方程⑤乘上，得把上述矩陣的第3行乘上，得①④⑤1.4.1非齊次線性方程組的消元解法(續(xù)解案例)增廣矩陣

交換方程④和方程⑥的位置，得交換上述矩陣的第2行和第3行，得①⑥④方程組①④⑥1.4.1非齊次線性方程組的消元解法(續(xù)解案例)增廣矩陣為消去方程④未知量，將方程⑥乘上數(shù)3加到方程④上，得將上述矩陣的第2行乘上數(shù)3加到第3行上，得階梯形矩陣階梯形方程組①⑥⑦方程組①⑥④1.4.1非齊次線性方程組的消元解法(續(xù)解案例)增廣矩陣為求方程組的解，將方程⑦乘上，得①⑥⑧把上述矩陣的第3行乘上，得方程組①⑥⑦階梯形矩陣1.4.1非齊次線性方程組的消元解法(續(xù)解案例)增廣矩陣

將上述矩陣第3行分別乘上數(shù)2、(-1),加到第2行和第1行上，得方程組將代入前兩個方程，即將方程⑧分別乘上數(shù)2、（-1）加到方程⑥和方程①上，得⑨⑩⑧①⑥⑧1.4.1非齊次線性方程組的消元解法(續(xù)解案例)增廣矩陣簡化階梯形矩陣原方程組的解方程組將代入前一個方程，即將方程⑩乘上數(shù)（-3）加到方程⑨上，得將上述矩陣第2行乘上數(shù)（-3）加到第1行上，得惟一解⑨⑩⑧1.4.1非齊次線性方程組的消元解法解題過程

用消元法解線性方程組，解題過程（1）消元過程：把方程組化為階梯形方程組；（2）回代過程：由階梯形方程組逐次求出各未知量.（1）用矩陣的初等行變換將化為階梯形矩陣：階梯形方程組對應(yīng)的矩陣是階梯形矩陣；（2）用矩陣的初等行變換將化為簡化階梯形矩陣：簡化階梯形矩陣給出了原方程組的解.相應(yīng)地1.4.1非齊次線性方程組的消元解法解題過程由此可知，用消元法解線性方程組，就是對線性方程組的增廣矩陣進行初等行變換1st經(jīng)初等行變換將為階梯形矩陣非齊次線性方程組的求解過程若2ed繼續(xù)化為簡化階梯形矩陣3th寫出簡化階梯形矩陣對應(yīng)的線性方程組非齊次線性方程組無解，解題結(jié)束1.4.1非齊次線性方程組的消元解法練習1

解線性方程組程序（1）將化為階梯形矩陣（2）將階梯形矩陣繼續(xù)化為簡化階梯形矩陣（3）寫出對應(yīng)的方程組

1.4.1非齊次線性方程組的消元解法練習1

解線性方程組1.4.1非齊次線性方程組的消元解法練習1

解線性方程組1.4.1非齊次線性方程組的消元解法練習1（續(xù)）

解線性方程組該方程組可寫成（3）寫出簡化階梯形矩陣對應(yīng)的方程組1.4.1非齊次線性方程組的消元解法練習1（續(xù)）

解線性方程組若取，，則原方程組的解是其中，為任意常數(shù).這是原方程組的無窮多組解.

無窮多解該方程組可寫成1.4.1非齊次線性方程組的消元解法練習1（續(xù)）

解線性方程組若取，，則原方程組的解是其中，為任意常數(shù).這是原方程組的無窮多組解.

無窮多解1.4.1非齊次線性方程組的消元解法練習2

解線性方程組解寫出方程組的增廣矩陣，并對其施行初等行變換，化為階梯形矩陣.階梯形矩陣1.4.1非齊次線性方程組的消元解法練習2

解線性方程組矛盾方程

該方程組無解，所以原方程組也無解.

是階梯形矩陣，與它對應(yīng)的方程組是無解1.4.2線性方程組解的判定練習3

解線性方程組解寫出方程組的增廣矩陣，并對其施行初等行變換階梯形矩陣由階梯形矩陣知，

（未知量的個數(shù)），所以方程組有解，且有無窮多組解，自由未知量的個數(shù)為5-2=3.1.4.2線性方程組解的判定練習3

若取，，，則方程組的一般解為其中，，是任意常數(shù).一定有零解1.4.2齊次線性方程組解的判定個.對個未知量個方程的齊次線性方程組（2）當時，有非零解.這時自由未知量的個數(shù)為.（1）當時，僅有零解；或用矩陣表示為1.4.1非齊次線性方程組的消元解法解題過程由此可知，用消元法解線性方程組，就是對線性方程組的增廣矩陣進行初等行變換1st經(jīng)初等行變換將為階梯形矩陣齊次線性方程組的求解過程2ed繼續(xù)化為簡化階梯形矩陣3th寫出簡化階梯形矩陣對應(yīng)的線性方程組，得無窮多解齊次線性方程組僅有零解，解題結(jié)束若1.4.2齊次線性方程組解的判定練習4

解線性方程組簡化階梯形矩陣方程個數(shù)3<未知量個數(shù)4，方程組定有非零解.1.4.2齊次線性方程組解的判定練習4

解線性方程組其中，，是任意常數(shù).若取,,則方程組的解是1.4.2齊次線性方程組解的判定練習5

解線性方程組簡化階梯形矩陣1.4.2齊次線性方程組解的判定練習5

若取,則方程組的解是其中是任意常數(shù).1.4.2齊次線性方程組解的判定練習5

解線性方程組其中，，是任意常數(shù).若取,,則方程組的解是第二章導數(shù)與微分

目標1.了解極限與連續(xù)的概念.

2．理解導數(shù)概念及其幾何意義.3．掌握導數(shù)的基本公式、求導法則，能熟練地求出函數(shù)的一、二階導數(shù).4．了解微分的概念.§2.1經(jīng)濟中常用的幾個函數(shù)2.1.1需求函數(shù)與供給函數(shù)

2.1.2收益函數(shù)

2.1.3成本函數(shù)

2.1.4利潤函數(shù)§2.1經(jīng)濟中常用的幾個函數(shù)利潤函數(shù)供給函數(shù)收益函數(shù)總成本函數(shù)需求函數(shù)經(jīng)濟函數(shù)2.1.1需求函數(shù)與供給函數(shù)

需求法則商品的需求量Qd是價格p的單調(diào)減函數(shù)：價格越高，需求量越少；價格越低，需求量越大

需求函數(shù)的圖像需求量Qd價格p需求函數(shù)Op0Q1p1Q0)(pQdj=2.1.1需求函數(shù)與供給函數(shù)（1）線性函數(shù)

（2）指數(shù)函數(shù)（3）冪函數(shù)需求函數(shù)的類型2.1.1需求函數(shù)與供給函數(shù)

供給法則商品的需求量Qs是價格p的單調(diào)增函數(shù)：價格越高，供給量越大；價格越低，供給量越小

供給函數(shù)的圖像供給量Qs價格p供給函數(shù)Op02.1.1需求函數(shù)與供給函數(shù)（1）線性函數(shù)

（2）指數(shù)函數(shù)（3）二次函數(shù)供給函數(shù)的類型2.1.2收益函數(shù)收益函數(shù)用表示總收益，則有總收益=銷售價格銷售數(shù)量，即其中平均收益函數(shù)用表示平均收益，則有即總收益R銷量QO總收益函數(shù)的圖像2.1.2收益函數(shù)2.1.3成本函數(shù)總成本函數(shù)平均成本函數(shù)

在一定的產(chǎn)量范圍內(nèi)，生產(chǎn)件產(chǎn)品的總成本

是由固定成本

和可變成本兩部分組成，它是產(chǎn)量

的函數(shù)。即：

平均成本是指生產(chǎn)件產(chǎn)品，平均每件產(chǎn)品所消耗的成本。即：2.1.3成本函數(shù)三次總成本函數(shù)的圖像總成本C產(chǎn)量QOC0平均成本AC產(chǎn)量QO平均成本函數(shù)的圖像2.1.4利潤函數(shù)利潤函數(shù)用表示產(chǎn)品的總利潤，則有總利潤=總收益-總成本即由收益曲線和成本曲線得到利潤函數(shù)的圖像§2.2極限概念2.2.1數(shù)列的極限2.2.2函數(shù)的極限2.2.3函數(shù)連續(xù)的定義這一列數(shù)就是一個數(shù)列.

隨著時間的推移，剩下的棒的長度越來越短，顯然，當天數(shù)無限增大時，剩下的棒的長度將無限縮短，即剩下的棒的長度接近于數(shù)0.這時我們就稱由剩下的棒的長度構(gòu)成的數(shù)列以常數(shù)0為極限.并記作2.2.1數(shù)列的極限案例1意為“一根長為一尺的棒頭，每天截去一半，這樣的過程可以無限地進行下去.”案例你理解“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的意義嗎？實際上，每天截后剩下的棒的長度是（單位為尺）：第1天剩下；第2天剩下；第3天剩下；……；第21天剩下；第22天剩下；……；第天剩下；……，這樣，我們就得到一列數(shù)2.2.1數(shù)列的極限數(shù)列極限定義設(shè)數(shù)列：

,,,…，，…，若當無限增大時，趨向于常數(shù)，則稱數(shù)列以為極限，記作收斂數(shù)列有極限的數(shù)列稱為收斂數(shù)列.例如，數(shù)列：2，，，……，，……，當無限增大時，由于無限接近于0，所以無限接近于數(shù)1，因此，數(shù)列以1為極限。即

或2.2.1數(shù)列的極限發(fā)散數(shù)列沒有極限的數(shù)列稱為數(shù)列.當無限增大時，也無限增大，它不趨于任何常數(shù)，該數(shù)列就沒有極限.

例1數(shù)列：，，，……，，……，例2數(shù)列的通項，其數(shù)值在-1和+1上跳來跳去，總也不能接近某一常數(shù).這樣的數(shù)列也沒有極限.2.2.1數(shù)列的極限練習1練習1考察數(shù)列的極限將數(shù)列取值計算，列表如下12.000000102.5937421022.7048141032.7169241042.7181461052.7182681062.718280當無限增大時數(shù)列增加得越來越慢2.2.1數(shù)列的極限練習1公式練習求解由冪的運算性質(zhì)

于是

2.2.2函數(shù)的極限案例2案例

生產(chǎn)第一架新式商用飛機所需的工時數(shù)，一般大大高于第一百一架飛機所需的工時數(shù).如果用表示生產(chǎn)一架新式商用飛機所需的工時數(shù)，可視為時間的函數(shù)，最終生產(chǎn)一架新式商用飛機所需的工時數(shù)會接近于一個均衡時間（單位：小時）.這個問題，就可理解為當時間趨于正無窮大時，生產(chǎn)一架飛機所需的工時數(shù)以為極限.工時數(shù)函數(shù)極限定義設(shè)函數(shù)在時有定義，若當時，函數(shù)趨于常數(shù)，則稱函數(shù)當趨于無窮大時以為極限，記作或上述定義的幾何意義：曲線沿著軸的正向和負向無限遠伸時，以直線為水平漸近線2.2.2函數(shù)的極限例如，由下圖可知2.2.2函數(shù)的極限若當時，函數(shù)趨于常數(shù)，則稱函數(shù)當趨于負無窮大時以為極限，記作或若當時，函數(shù)趨于常數(shù)，則稱函數(shù)當趨于正無窮大時以為極限，記作或函數(shù)極限函數(shù)極限極限存在且等于的充分必要條件是極限與

都存在且等于.即2.2.2函數(shù)的極限練習3求

解

由圖易看出由極限存在且等于的充分必要條件知不存在2.2.2函數(shù)的極限相應(yīng)的函數(shù)值的變化情況見表

案例設(shè)函數(shù),試討論當時，函數(shù)的變化情況.

當，時，函數(shù)00.50.80.90.990.9990.99990.999990.999999...11.51.81.91.991.9991.99991.999991.999999...21.51.21.11.011.0011.00011.000011.000001...32.52.22.12.012.0012.00012.000012.000001...2.2.2函數(shù)的極限當時，函數(shù)當時，函數(shù)案例設(shè)函數(shù)，試討論當時，函數(shù)的變化情況.

2.2.2函數(shù)的極限由圖也可看出，當，時，函數(shù)以2為極限，記作函數(shù)極限定義設(shè)函數(shù)在點的左右鄰近有定義（在點可用有定義，也可用沒有定義），若當（但始終不等于）時，函數(shù)趨于常數(shù)，則稱函數(shù)當趨于無窮大時以為極限，記作或2.2.2函數(shù)的極限例如，由圖可知函數(shù)極限極限存在且等于的充分必要條件是極限與

都存在且等于.即2.2.2函數(shù)的極限函數(shù)極限若當時，函數(shù)趨于常數(shù)，則稱函數(shù)當趨于時以為左極限，記作或若當時，函數(shù)趨于常數(shù)，則稱函數(shù)當趨于時以為右極限，記作或改變量2.2.3函數(shù)連續(xù)的定義對函數(shù)

，假設(shè)自變量由

改變到

，自變量實際改變了

，這時，函數(shù)值相應(yīng)地由

改變到

，若記

為函數(shù)相應(yīng)地改變量，則

.按這種記法，在處，當很微小時，也很微小.特別當時，也有.這就是函數(shù)在點處連續(xù)的實質(zhì).函數(shù)在一點連續(xù)的定義設(shè)函數(shù)在點及其左右鄰近有定義，若則稱函數(shù)在點處連續(xù)，稱為該函數(shù)的連續(xù)點.函數(shù)在一點連續(xù)的三個條件（1）函數(shù)在點及其左右鄰近有定義；（2）極限存在；（3）極限的值等于該點的函數(shù)值.間斷點上述三個條件之一不滿足,函數(shù)在點處就不連續(xù),稱是函數(shù)的不連續(xù)點,即間斷點.左連續(xù)右連續(xù)若，則稱函數(shù)在點處左連續(xù).若，則稱函數(shù)在點處右連續(xù).函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件是：函數(shù)在點處既左連續(xù)又右連續(xù)。即2.2.3函數(shù)連續(xù)的定義§2.3復(fù)利與貼現(xiàn)2.3.1復(fù)利公式2.3.2貼現(xiàn)公式案例你持有10000元錢想進行投資，現(xiàn)有兩種投資方案（1）一年支付一次紅利，年利率是12%；（2）一年支分12個月支付紅利，月利率是1%。問：哪一種投資方案合算？答案是：第二種投資方案合算。因為在這一年中，投資者不僅可用本金獲取利息，而且可用利息賺取利息。

2.3.1復(fù)利公式按離散情況計算利息的復(fù)利公式現(xiàn)有本金，以年利率貸出，若以復(fù)利記息，年末將增值到，使計算。若以一年為1期計算利息2年末的本利和為1年末的本利和為

年末的本利和為若一年計息期

年末的本利和為

2.3.1復(fù)利公式以連續(xù)復(fù)利計算利息的復(fù)利公式現(xiàn)有本金，以年利率貸出，若以復(fù)利記息，年末將增值到，使計算。由于所以，若以連續(xù)復(fù)利計算利息若記息的“期”的時間間隔無限縮短，從而記息次數(shù)，這種情況稱為連續(xù)復(fù)利

年末的本利和的復(fù)利公式為案例你持有10000元錢想進行投資，現(xiàn)有兩種投資方案（1）一年支付一次紅利，年利率是12%；（2）一年分12個月支付紅利，月利率是1%。問：哪一種投資方案合算？答案是：第二種投資方案合算。因為在這一年中，投資者不僅可用本金獲取利息，而且可用利息賺取利息。

2.3.1復(fù)利公式解案例1所以，一年分12個月按復(fù)利支付紅利的投資方案更合算，能多得68.25元

年利率若以一年為1期計算利息:若一年計息12期，，，且以1%為每期的利息來計算:（2）（1）練習1人民醫(yī)院1998年5月20日從美國進口一臺彩色超聲診斷儀，貸款20萬美元，以復(fù)利計息，年利率4%，2007年5月20日到期一次還本付息，試確定貸款到期時還款總額.（1）如果一年計息2期；（2）如果按連續(xù)復(fù)利計息.

2.3.1復(fù)利公式解，，若一年計息2期:（1）（2）若按連續(xù)復(fù)利計息:案例設(shè)年利率為6%，現(xiàn)投資多少元，10年之末可得120000元?

（1）按離散情況計息,每年計息4期；（2）按連續(xù)復(fù)利計算.

2.3.2貼現(xiàn)公式案例2若按連續(xù)復(fù)利，連續(xù)貼現(xiàn)公式（2）確定現(xiàn)在值（1）已知未來值貼現(xiàn)率若每年分期貼現(xiàn)，由前述復(fù)利公式可得貼現(xiàn)公式已知未來值，確定現(xiàn)在值，是貼現(xiàn)問題。此時年利率為貼現(xiàn)率案例設(shè)年利率為6%，現(xiàn)投資多少元，10年之末可得120000元?

（1）按離散情況計息,每年計息4期；（2）按連續(xù)復(fù)利計算.

2.3.2貼現(xiàn)公式案例2解案例2若按連續(xù)復(fù)利計算（2）確定現(xiàn)在值已知未來值貼現(xiàn)率（1）若每年計息4期:

年利率§2.4導數(shù)與微分概念2.4.1導數(shù)定義2.4.2導數(shù)的幾何意義2.4.3微分定義

設(shè)函數(shù)，為曲線上一定點，在其鄰近再取曲線上另一點，作割線，與軸正向夾角為

曲線的切線斜率

2.4.1導數(shù)定義曲線的切線斜率

2.4.1導數(shù)定義

當時，沿曲線趨向于，割線的位置也隨這變動而趨向于極限位置---切線。此切線的斜率為：即曲線的切線斜率y=?(x)oxyT切線曲線的切線斜率y=?(x)oxyT切線T’‘割線曲線的切線斜率y=?(x)oxyT切線T’‘割線曲線的切線斜率y=?(x)oxyT切線T’‘割線曲線的切線斜率y=?(x)oxyT切線T’‘割線曲線的切線斜率y=?(x)oxyT切線T’‘割線曲線的切線斜率y=?(x)oxyT切線問題的總結(jié)

上例可歸納為以下三個步驟：

第一步，求對應(yīng)于自變量改變量的函數(shù)改變量；第二步，計算函數(shù)改變量與自變量改變量的比；

第三步，求當自變量改變量趨于零時這個比的極限，此極限稱為函數(shù)的變化率。函數(shù)的變化率在數(shù)學上稱為導數(shù)，下面給出導數(shù)的定義。

2.4.1導數(shù)定義函數(shù)在點處的導數(shù)定義

設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點處取得改變量時，函數(shù)取得相應(yīng)改變量

若當時，的極限存在，即存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱此極限為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為：或或或xxfxxfxyxoxD-D+=DD?D?D)()(limlim000

2.4.1導數(shù)定義練習1求函數(shù)在點處的導數(shù)。解：當由變到時，相應(yīng)函數(shù)的改變量為：

對于內(nèi)任一點，都有唯一確定的與之相對應(yīng)。

2.4.1導數(shù)定義函數(shù)在區(qū)間的導函數(shù)定義

2.4.1導數(shù)定義若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點都可導，則對于每一個都有的一個導數(shù)值與之對應(yīng)，這樣就得到一個定義在上的函數(shù)，稱為函數(shù)的導函數(shù)，記作

或或或即顯然

2.4.1導數(shù)定義練習2求函數(shù)的導數(shù)，并求解：對任意點，當自變量的改變量為時，因變量相應(yīng)的改變量由導函數(shù)再求指定點的導數(shù)值

2.4.1導數(shù)定義練習3求常量函數(shù)的導數(shù)解：對任意點，當自變量的改變量為時，則總有于是即常數(shù)的導數(shù)等于零導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義2.4.2導數(shù)的幾何意義

在幾何上表示曲線在點處的切線斜率，即2.4.2導數(shù)的幾何意義

在幾何上表示曲線在點處的切線斜率，即曲線在點處的切線方程為

2.4.2導數(shù)的幾何意義解：由于練習4求曲線在點處的切線方程所以，曲線在點處的切線方程為或

2.4.3微分定義微分定義設(shè)函數(shù)在點可導，自變量在點的改變量為，乘積稱為函數(shù)在點的微分，這時，也稱函數(shù)在點可微.

函數(shù)的微分記作，即

.通常把自變量的改變量稱為自變量的微分，記作，即.于是函數(shù)的微分，一般記作

.即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導數(shù)與自變量的微分的乘積.

2.4.2導數(shù)的幾何意義練習5求函數(shù)的微分解：先求導數(shù).由冪函數(shù)的導數(shù)公式

于是，函數(shù)的微分為§2.5導數(shù)運算2.5.1導數(shù)的基本公式2.5.2導數(shù)的運算法則2.5.3高階導數(shù)

2.5.1導數(shù)的基本公式

2.5.2導數(shù)的四則運算法則

2.5.2導數(shù)的四則運算法則練習1，求解：由代數(shù)和的導數(shù)法則

2.5.2導數(shù)的四則運算法則練習2，求解：由代數(shù)和及乘積的導數(shù)法則

2.5.2導數(shù)的四則運算法則練習3，求解：由商的導數(shù)法則

2.5.2導數(shù)的四則運算法則練習4，求解：由商的導數(shù)法則

2.5.2復(fù)合函數(shù)的導數(shù)法則設(shè)函數(shù)在點可導，而函數(shù)在對應(yīng)的點可導，則復(fù)合函數(shù)在點可導，且或記作

復(fù)合函數(shù)的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).說明符號表示復(fù)合函數(shù)對自變量求導數(shù)，而符號表示復(fù)合函數(shù)對中間變量求導數(shù).

2.5.2復(fù)合函數(shù)的導數(shù)法則練習5，求解：將已知函數(shù)看成是由下列函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)：于是注意在求復(fù)合函數(shù)的導數(shù)時，若設(shè)出中間變量，已知函數(shù)要對中間變量求導數(shù)，所以計算式中出現(xiàn)中間變量，最后必須將中間變量以自變量的函數(shù)代換.

2.5.2復(fù)合函數(shù)的導數(shù)法則練習6，求解：將已知函數(shù)看成是由下列函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)：于是

2.5.2復(fù)合函數(shù)的導數(shù)法則練習7，求解：將已知函數(shù)看成是由下列函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)：于是

2.5.2復(fù)合函數(shù)的導數(shù)法則練習8，求解：將已知函數(shù)看成是由下列函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)：于是

2.5.2復(fù)合函數(shù)的導數(shù)法則練習9，求解：

2.5.2復(fù)合函數(shù)的導數(shù)法則練習10，求解：

2.5.3高階導數(shù)稱的導數(shù)為函數(shù)的二階導數(shù)，記作

二階導數(shù)函數(shù)在某點的二階導數(shù)，記作稱的導數(shù)為函數(shù)的三階導數(shù)，記作

三階導數(shù)

2.5.3高階導數(shù)二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).相對于高階導數(shù)而言，自然，函數(shù)的導數(shù)就相應(yīng)地稱為一階導數(shù).高階導數(shù)

階導數(shù)稱階導數(shù)的導數(shù)為函數(shù)的階導數(shù)，記作

2.5.3高階導數(shù)練習11，求解：先求一階導數(shù)再求二階導數(shù)

2.5.3高階導數(shù)練習12，求解：有由本例知，對次多項式：

2.5.3高階導數(shù)練習13，求解：由指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式

注意到是常數(shù)，則有………………第三章導數(shù)的應(yīng)用

目標1.理解函數(shù)單調(diào)性、極值、凹向與拐點的概念及其判別法

.2.掌握邊際與彈性的經(jīng)濟意義3．熟練掌握解幾何與經(jīng)濟方面最大值與最小值的應(yīng)用問題§3.1函數(shù)的單調(diào)性極值3.1.1函數(shù)的單調(diào)性3.1.2函數(shù)的極值3.1.1函數(shù)的單調(diào)性

yxOyxO單調(diào)增加定義圖像設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若對

內(nèi)的任意兩點和，當

時，恒有

，則稱此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加。

區(qū)間

稱為該函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間。單調(diào)減少定義圖像設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若對

內(nèi)的任意兩點和，當

時，恒有

，則稱此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加。

區(qū)間

稱為該函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間。3.1.1函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定法則

設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，則有

(1)若在內(nèi)處處有，則在內(nèi)單調(diào)增加；

(2)若在內(nèi)處處有，則在內(nèi)單調(diào)減少3.1.1函數(shù)的單調(diào)性解(1)函數(shù)的定義域是．

可知在內(nèi)，故函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增加的.練習1判別函數(shù)的單調(diào)性.3.1.1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定法則說明

只是函數(shù)在區(qū)間

內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）的充分條件，不是必要條件。)(xf

例：在上單調(diào)增加，但在故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）時，有可能在區(qū)間內(nèi)導數(shù)在個別點處為零。3.1.1函數(shù)的單調(diào)性練習2討論函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間.

(2)求導數(shù)并確定函數(shù)的駐點由得駐點，．（3）判定函數(shù)的增減區(qū)間：駐點，，將函數(shù)的定義域分成三個部分區(qū)間：考察導數(shù)在各個部分區(qū)間內(nèi)的符號.由的表示式知：在區(qū)間內(nèi)，，函數(shù)單調(diào)增加；在區(qū)間內(nèi)，，函數(shù)單調(diào)減少；在區(qū)間內(nèi)，，函數(shù)單調(diào)增加．解(1)函數(shù)的定義域是

．3.1.2函數(shù)的極值極值的定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值；函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點3.1.2函數(shù)的極值

極值定義的說明§3.1.2函數(shù)的極值

綜上所述

極值點

駐點

如果在處取到極值，且在點處可導，則必有，即必是駐點。如何判別是否是極值點？極值的必要條件§3.1.2函數(shù)的極值

極值存在的充分條件若在及其鄰域內(nèi)有定義，且在的去心鄰域內(nèi)可導。)(xfy=0x0x§3.1.2函數(shù)的極值

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點、極值的

方法與步驟

確定

的定義域

求一階導數(shù)令

求出全部駐點列表根據(jù)駐點及不存在的點的左右兩側(cè)的符號.確定的單調(diào)區(qū)間、極值點§3.1.2函數(shù)的極值

練習3求函數(shù)的極值.

故是的極大值點，極大值,是的極小值點,極小值§3.1.2函數(shù)的極值

練習4

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點、極值故是的極小值點，極小值,不是的極值點§3.2極值的幾何應(yīng)用據(jù)定義，圖中定義函數(shù)在所考察的區(qū)間上，所有的函數(shù)值中的最大者與最小者，分別被稱為最大值與最小值，分別被記作與或M與m。最大值、最小值的定義§3.2極值的幾何應(yīng)用最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系

最值可以在區(qū)間的內(nèi)部取到，此時，該最值也必定是極值；最值也可以在區(qū)間的端點處取到。最值點構(gòu)成極值點區(qū)間的端點

極值是局部的概念，故允許一個函數(shù)在一個區(qū)間上可以有幾個極大值或極小值。

最值是整體的概念，必有；只能有一個最大值與最小值。

駐點不存在的點區(qū)別聯(lián)系§3.2極值的幾何應(yīng)用

確定(a,b)內(nèi)最值的方法與步驟對于上的連續(xù)函數(shù)：),(ba當在內(nèi)只有一個極大值而沒有極小值時，這個極大值就是該區(qū)間上的最大值。),(ba當在內(nèi)只有一個極小值而沒有極小值時，這個極小值就是該區(qū)間上的最小值),(ba§3.2極值的幾何應(yīng)用將邊長為24cm的正方形鐵皮于四個角處截去四個相等的小正方形，然后折起，作成無蓋鐵盒。見圖。問：截去的小正方形的邊長為多少時，鐵盒的容積最大？