高中數(shù)學(xué)綜合寫(xiě)試卷二

綜合測(cè)試卷二

一、單選題

1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(Y,3,5),3(2,-l,-7),則線段"的中點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-2,2,-2)B.(-1,1,-1)

C.(1,1,1)D.(2,2,2)

【答案】B

【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，

點(diǎn)4(-4,3,5),5(2,-1,-7),

(2-43-15-7、

則線段AS的中點(diǎn)坐標(biāo)是12，石-L2—J，即

故選：B.

2.已知直線小辰+(l-k)y-3=0與4：?-l)x-3y-2=0互相垂直，則實(shí)數(shù)后=()

A.1B.3C.1或-3D.-1或3

【答案】C

【分析】由兩直線垂直可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閮芍本€垂直，

所以左伏一1)一(1一QX3=^+2左一3=0解得左=1或一3,

故選：C

3.直線/：＞=x+2與圓/=4相交于兩點(diǎn)，則|AB|=()

A.72B.2aC.2D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的相關(guān)知識(shí)即可求得|回|弦長(zhǎng).

【詳解】由已知圓/+丁=4,圓心為(0,0),半徑廠=2

所以圓心到直線/：y=x+2距離〃="+j_])2=收

所以14理=2-Jr2-d2=272

故選：B

4.在正方體ABC。-中，P,。分別為8口4片的中點(diǎn)，則異面直線PQ與4G所成角的余弦

值為（）

A.逑B.-C.逅D.且

3333

【答案】D

【分析】根據(jù)線線平行可用幾何法找到兩異面直線所成的平面角，再利用銳角三角函數(shù)即可求解.

【詳解】取A3中點(diǎn)”,連接QM,MP,AC,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

由于V,尸分別為ABIC的中點(diǎn)，則MP//AC,

又在正方體ABCD-\BXCXDX中，易得AC//4G,

所以//MP,故異面直線PQ與&G所成角為ZQPM或其補(bǔ)角,

因?yàn)镼W//AA，A4,，平面ABCD,

所以a0_L平面ABCD,又MPu平面ABCD,故

/CP"_MP_V2_V3

所以在直角三角形QMP中，cos/QPM=9=,；網(wǎng)=,

易知異面直線PQ與AG所成角為銳角，所以其余弦值為且.

3

故選：D.

5已知橢圓工+?=］的左、右焦點(diǎn)分別為片，鳥(niǎo)，過(guò)月的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且

|A段+忸周=2|明，則|的的長(zhǎng)等于（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】先由橢圓方程求出“，然后根據(jù)已知條件結(jié)合橢圓的定義可求出|M|的長(zhǎng).

【詳解】由￡+$=1,得4=9,則。=3,

94

由題意可得（|A閭+|至|）+（|班|+|%|）=4。=12,

因?yàn)閨隹|+忸用=2|的，|四|+忸耳|=|明，

所以31ABl=12,得|AB|=4,

故選：A.

6.己知直線/過(guò)點(diǎn)尸(1,2,1),且方向向量為機(jī)=(1,0,—1),則點(diǎn)A(1,T,-1)至!H的距離為()

A.2忘B.VTTC.2A/3D.3

【答案】B

m

【分析】根據(jù)直線/一個(gè)方向向量為相，取直線/的一個(gè)單位方向向量為〃=鬲，計(jì)算PA，代入點(diǎn)

到直線的距離公式〃=標(biāo)開(kāi)二￡*R計(jì)算即可.

【詳解】直線/的一個(gè)方向向量為m=(1,0,-1),取直線/一個(gè)單位方向向量為

._m_0Ann_f^2A/2

//=j-I=—(i,o,-i)=—,0,一--,

2I22J

又A(l,T-l)為直線外一點(diǎn)，且直線/過(guò)點(diǎn)尸(1,2,1),=(0,-3,-2),

.?.PA-/z=(O,-3,-2).爭(zhēng),T=V2,|AP|=7I3

點(diǎn)A到直線I的距離為d=JpA2TAp=&3一2=JTT.

故選：B.

7.已知點(diǎn)尸為圓。尸x2+y2=i上任一點(diǎn)，點(diǎn)。為圓。2：/+>2-6尤-16=0上任一點(diǎn)，則|P9的

最小值為()

A.1B.72C.2D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，進(jìn)而得「。|的最小值為ur-|qq|=L

【詳解】解：由題知，圓。?半徑為《=1,圓心坐標(biāo)為(o,o),圓。2半徑為々=5,圓心坐標(biāo)為(3,0),

所以兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，

所以|qO』=3,r2-rt=4,

所以|PQ|的最小值為弓-4—1004=L

故選：A

22

8.設(shè)尸為橢圓0：5+方=1（。＞6＞。）上的動(dòng)點(diǎn)，耳，耳為橢圓C的焦點(diǎn)，/為△尸片名的內(nèi)心，則

直線陰和直線外的斜率之積（）

A.是定值B.非定值，但存在最大值

C.非定值，但存在最小值D.非定值，且不存在最值

【答案】A

_,GIEG+F.G/、

【分析】連接尸/并延長(zhǎng)交無(wú)軸于G,,再由內(nèi)角平分線定理可得而二女r僚二J設(shè)月伍,外,

1

lrrrx十Ft?

依加，G&,。），代入橢圓方程可求出“懸，結(jié)合狀=皆得%=e%進(jìn)一步求出

X/=e/,再表示出號(hào)平左的，化簡(jiǎn)即可得答案.

【詳解】連接P/并延長(zhǎng)交無(wú)軸于G,

GI_FXG+F2Gc

IP~PFX+PF2~a

設(shè)〃(X0，兀)，/(%/,為)，G(%,0),則名~+卷~=1,二.2')2=「2’

at)a--XQ

a-ex^

.乃二。

則”=必則%=.

y0a+ca+ca+exQ

則x=ex,k[R=

.%-%a+ctQ

-y：

222

二(a+c)1ay^b

則左陰.卜典

C2_￡^_X2(〃+C)2%-。2(〃+C/

a2

...直線省和直線%的斜率之積是定值.

故選：A.

二、多選題

9.已知空間中三點(diǎn)4（2,1,-1）,8（1,0,2）,C（0,3,-l）,則（）

A.網(wǎng)=而B(niǎo).ABJ.AC

C.cosZABC=—D.A,B,C三點(diǎn)共線

19

【答案】AB

【詳解】易得AB=（T,-L3）,AC=（-2,2,0）,圓=（1,-3,3）,，,耳=而，A正確;

因?yàn)锳"AC=0，所以AS1AC,B正確，D錯(cuò)誤;

ABCB_11_vn

而cosZABC=C錯(cuò)誤.

|AB|.|CB|-^X7I9-VW

故選:AB.

10.下列說(shuō)法正確的是（）

A.在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程了+，=。（4€1i）表示

B.方程痛+y-2=O（7wcR）表示的直線斜率一定存在

C.直線/過(guò)點(diǎn)（—2,3）,且原點(diǎn)到/的距離是2,貝IJ/的方程是5x+12y-26=0

D.坐標(biāo)平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)下（分,幾）的直線Ax+By+C=0還可以寫(xiě)成

22

A（x-xo）+B（y-yo）=O（A+BW0）

【答案】BD

【分析】A選項(xiàng)，考慮直線在坐標(biāo)軸上截距為0時(shí)，得到A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，得到如:+y-2=0（meR）表示的直線斜率為-/〃，B正確；

C選項(xiàng)，考慮直線斜率不存在時(shí)，方程為x=-2,滿足要求，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，根據(jù)點(diǎn)在直線上，得到Ax0+8%+C=0,^Ax+By+C=Ax0+By0+C,變形后得到答

案.

【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上截距為。時(shí)，不能用方程x+y=a（aeR）來(lái)表示，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，方程皿+y-2=0（meR）表示的直線斜率為一加，故斜率一定存在，B正確；

C選項(xiàng)，直線/過(guò)點(diǎn)（-2,3）,當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，方程為尤=-2,此時(shí)原點(diǎn)到/的距離是2,滿

足要求，

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-3=Mx+2）,

由點(diǎn)到直線距離公式可得：萼』=2,解得：k=~,

vFTi12

止匕時(shí)直線方程為y—3=—±（尤+2）,即5元+12y-26=0,

綜上：直線/過(guò)點(diǎn)（-2,3）,且原點(diǎn)到/的距離是2,貝h的方程是5x+12y-26=0或了=一2,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因?yàn)橹本€—+By+C=O過(guò)點(diǎn)P（4,幾），故發(fā)+笈*。，

由題意得At。+3%+C=°,Ax+By+C=Ax0+By0+C,

22

整理得：A（x-xo）+B（3；-yo）=O（A+B^O）,D正確.

故選：BD

11.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)；平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的

距離之比為定值以2/1）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅

尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，A（-2,0）,3（4,0）.點(diǎn)P滿足篇=不，設(shè)

I右方I/

點(diǎn)尸所構(gòu)成的曲線為C,下列結(jié)論正確的是（）

A.C的方程為（x+4y+y2=16

B.在C上存在點(diǎn)D,使得。到點(diǎn)。,1）的距離為3

c.在c上存在點(diǎn)〃，使得MQ|=2|MA|

D.C上的點(diǎn)到直線力-分-13=0的最小距離為1

【答案】ABD

IPAI1

【分析】對(duì)于A,設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,由篇=不結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)即可判斷，對(duì)于B,由A可

知曲線C的方程表示圓心為（T,o）,半徑為4的圓，從而可求出圓上的點(diǎn)到點(diǎn)（1,1）的距離的范圍，

進(jìn)而進(jìn)行判斷，對(duì)于C,設(shè)〃仁,九），由陽(yáng)。|=2幽4|,由距離公式可得方程，再結(jié)點(diǎn)〃（知九）在

曲線C上，得到一個(gè)方程，兩方程聯(lián)立求解判斷，對(duì)于D,由于曲線C的方程表示圓心為（T,。），

半徑為4的圓，所以只要求出圓心到直線的距離減去圓的半徑可得答案

【詳解】由題意可設(shè)點(diǎn)P（%y）,由4（-2,0）,3（4,0）,黑=:，得中+2）；+鼻二,化簡(jiǎn)得

I"I2，（九一4）+y2

x~+y2+8x=0,即（x+4）~+=16,所以選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,曲線C的方程表示圓心為(T,0),半徑為4的圓，點(diǎn)(LI)與圓心的距離為

7(-4-l)2+l=^/26,與圓上的點(diǎn)的距離的最小值為0^-4,最大值為^/^+4,而

3e［后-4,而+4］,所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)〃(不，幾)，由=得+(尤。+2『+乂,又(%+4丫+尤=16,

聯(lián)立方程消去為得得=2,解得為無(wú)解，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,C的圓心(TO)到直線3x-4y-13=0的距離為dJ3X(：)T3|=5,且曲線C的半徑

為4,則C上的點(diǎn)到直線3元-4y-13=0的最小距離d—r=5-4=1故選項(xiàng)D正確；

故選：ABD.

12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-AB'C'D中，M為3C的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有()

A.A、M、C'、A四點(diǎn)共面

B.C到平面D4'C’的距離為且

3

Q

C.過(guò)點(diǎn)的平面截正方體ABCD-AB'C'D所得截面的面積為￡

JT

D.四面體AC3。內(nèi)切球的表面積為不

【答案】BD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算AM,CA的坐標(biāo)，從而判斷選項(xiàng)A；根據(jù)等體積法

求C到平面D4'C'的距離，從而判斷選項(xiàng)B；作輔助線得出截面為梯形4W)',求出梯形面積即可

判斷選項(xiàng)C；根據(jù)等體積法計(jì)算四面體的內(nèi)切球半徑，計(jì)算球的表面積判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于A,構(gòu)建如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,1),知［：,1,11,方(0,1,0),。，(1,0,0),

C(1,1,O),A(0,0,0)

CA(l,l,0),不存在一個(gè)實(shí)數(shù)幾，使得即W不共線，所以

A、M、C'、A四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤;

⑵

對(duì)于B,如圖⑵，連接AC,ACAC,設(shè)C至IJ平面DAC的距離為d,即點(diǎn)A至!J平面

ADC的距離，匕_//，=匕的，八即-xlxlxlxl=lx^xV2xV2tZ,求得d力,故B正確.

32343

對(duì)于C,取CC的中點(diǎn)N,連接MN,D'N,AD',則MN//AD',如圖(2)所示，

則梯形AMND'為過(guò)點(diǎn)A,M,D'的平面截正方體ABCD-AB'C'D'所得的截面，易知

MN=—,AD'=^2,AM=D'N=—,可得梯形AMND的高為J卜也］-f—=述，則梯

222JI4J4

形AMND'的面積s=也義也=2,故c錯(cuò)誤.

2248

對(duì)于D,易知四面體ACBD的體積V=l-4x|x|xl=1,因?yàn)樗拿骟wACBD的棱長(zhǎng)都為日

所以其表面積S=4x1xV2xV2xsin|=273,設(shè)四面體ACBD內(nèi)切球的半徑為工則

：x2瘋?=：,解得r=B,所以四面體AMND'內(nèi)切球的表面積為4萬(wàn)戶=g,故D正確.

3363

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題考查空間直線到平面的距離、四點(diǎn)共面、內(nèi)切球表面積和截面面積的計(jì)算，考查棱錐

與球的位置關(guān)系，屬于難題.

三、填空題

13.已知〃=(-1,3,1)乃=(2,0,—4),c=(3,—2,3),則〃，S+c)=.

【答案】-12

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】b+c=(5,—2,-1)，所以a?(/?+c)=—1x5+3x(―2)+1x(—1)=—12,

故答案為：-12

14.已知圓C:(x-l)2+(y-3)2=25,過(guò)點(diǎn)P(-2,7)作圓的切線，則該切線的一般式方程為.

【答案】3x-4y+34=0

4

【分析】由圓心、切點(diǎn)坐標(biāo)求得％%=-§，即可知切線的斜率，寫(xiě)出切線方程即可.

【詳解】：點(diǎn)P(-2,7)在圓C上，噎=」7$-3=_；4,

-2-13

33

???切線斜率上=3,故切線方程為y-7=：(x+2),即3x-4y+34=0.

故答案為：3x-4y+34=0

15.已知圓0:尤2+V=4與圓C:x?+;/-x+石＞-3=0相交于AB兩點(diǎn)，貝(AB卜.

【答案】岳

【分析】?jī)蓤A方程相減，即可求出直線AB的方程為=求出圓心0(0,0)到直線AB的距

離d,進(jìn)而根據(jù)幾何法得弦14卻=岳.

【詳解】解:因?yàn)閳A。:尤?+/=4與圓C:/+y2一升6'-3=0相交于A3兩點(diǎn)，

所以直線AB的方程為：(公+/-4)-任+9一%+若＞一3)=0,

即x-4y-l=0,

|0+0-1|_1

圓心0(0,0)到弦AB的距離d=

V1+3-2

所以|4例=2打-d?=s/15,

故答案為：715.

22

16.已知G，「2分別是橢圓c：二+2=1(。＞0,6＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓上，且在第一象限,

ab

過(guò)工作/耳尸工的外角平分線的垂線，垂足為A,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|。4|=揚(yáng)，則該橢圓的離心率

為.

【答案】亞

3

【分析】延長(zhǎng)EA，交小于點(diǎn)。，根據(jù)出是/4P&的外角平分線，得至！114。1=M可，\PQ\=\PF2\,

再利用橢圓的定義求解.

【詳解】解：如圖所示：

延長(zhǎng)&A,交尸々于點(diǎn)。，

?.?孫是"P耳的外角平分線，

：］AQ\=\AF\,

2\PQ\=\PF2\,

又。是片區(qū)的中點(diǎn)，，QG〃A。，且|?！陓=2|。4|=2限.

又依周=|「周+|尸0=|「制+|尸閶=%,

2a=2-J^b，

4=3b2=3(/—c2),

.?.離心率為￡=遠(yuǎn).

a3

故答案為：逅

3

四、解答題

17.已知的頂點(diǎn)。(4,2),AC邊上的高跖所在直線方程為x-2y+l=0,角A的平分線所在直

線方程為x-y+i=o.

（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求直線AB的方程.

【答案】⑴43,4）

⑵尤+2＞一11=0

【分析】（1）設(shè)4%,%）,根據(jù)垂直關(guān)系和點(diǎn)在直線上得到方程組，解得答案.

（2）計(jì)算點(diǎn)（7關(guān)于了-，+1=0的對(duì)稱點(diǎn)6（1,5）,計(jì)算斜率得到直線方程.

【詳解】（1）設(shè)則有%-%+1=0,kAC=----=-2,即％=無(wú)（）+1,解得（,

%-41%=4

即A（3,4）；

（2）點(diǎn)C關(guān)于無(wú)-y+l=o的對(duì)稱點(diǎn)G（a,b）,則占|=一1,等一彳+1=0,

解得a=l,6=5,即￡。,5）,kAB=kAC=^=-\,

直線AB的方程：y-5=-1（x-l）,整理：x+2y-n=0.

18.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=BC=A^=2,E,P分別為AC和CG的中點(diǎn),

BF±4耳.

小樂(lè)------------71Bi

(1)求證：BE1AjC；

（2）求直線AC與平面ABB.A所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵當(dāng)

【分析】（1）首先通過(guò)線面垂直的判定定理得證BE，平面AACG，從而得證BE，A。；

（2）首先通過(guò)線面垂直的判定定理得證BC人平面4880,從而得到NCAB即為所求角，求出該角

的正弦值即可得到答案.

【詳解】（1）證明：因?yàn)锳BC-A4G是直三棱柱，所以平面筋C,

3Eu平面ABC,所以AA_LBE,

又因?yàn)锳B=3C,E為AC中點(diǎn)，

所以8E_LAC,AC=A,

所以BE_L平面A/CG，

ACu平面A&CG，所以BEJ.AC.

（2）依題意得ABLgB,

又因?yàn)?尸，4百，AB//A.B,,

所以AB_LBF,BB、cBF=B,所以Afi)平面與BCC；.

AB.LBC,BB、cAB=B,所以BC工平面446百，

連結(jié)AtB,ZCAtB即為直線AC與平面ABB.A所成角.

因?yàn)锳3=30=714,=2,所以AC=2亞，\C=2-j3,

sin*於生=2=回

AC2A/33

所以年與平面A網(wǎng)A所成角的正弦值為岑

19.己知點(diǎn)A（-2,0）,3（2,0）,動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)3的距離的0倍.

（1）求點(diǎn)〃的軌跡C的方程;

⑵若直線/：（1+3〃以+（1+〃23-2-4〃?=0（加為任意實(shí)數(shù)）與C交于尸，。兩點(diǎn)，求|尸。|取得最小

值時(shí)直線/方程.

【答案】（1）。-6）2+丁=32；

(2)5x-y-4=0.

【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)直線所過(guò)的定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)設(shè)”(x,y),

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)8的距離的0倍，所以有

^x+2)2+y2=后xy/(x-2)2+y2x2-12x+/+4=(x-6)2+y2=32;

(2)(l+3M7)x+(l+〃z)y-2-47〃=0=>(x+y-2)+m(3x+y-4)=0,

因?yàn)閙eR,

尤+y-2=0x=l

所以有

3x+y—4=0y=l

因此直線/過(guò)定點(diǎn)。(1,1),

因?yàn)?1一6)2+『=26<32,

所以點(diǎn)。(1,1)在圓C:(x-6>+必=32內(nèi)，圓心為C(6,0),

因此當(dāng)直線8與直線/互相垂直時(shí)，「0有最小值,

0-1

勺%=-1=>令於=-1"=5

所以直線I的方程為y-l=5(x-l)=>5x-y-4=0.

20.如圖，已知上4,平面A8CD,底面ABCD為矩形，PA=A。=AB=2,M,N分別為AB,PC的中

點(diǎn).

⑴求證：MN，平面PAD；

(2)求平面PMC與平面PAD的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵逅

3

【分析】⑴若E為尸。中點(diǎn)，連接NE,AE,易證AW出為平行四邊形，則MN/ME,根據(jù)線面平

行的判定即可證明;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，易知〃=(1,0,0)是面上4。的一個(gè)法向量，求出平面PNC的法向量量，利用

向量的夾角公式即可求解.

【詳解】(1)若E為尸￡＞中點(diǎn)，連接NE,AE,又M、N為AB、PC的中點(diǎn)，底面ABCD為矩形，所

111

以NEUCD旦NE=—CD,IfnAM=-AB=-CDS.AM//CD,所以NE/MM且NE=AM,故

222

AMNE為平行四邊形，

故MN//AE,又MNU面A￡u面上4Z),則MN〃面PAD.

(2)由題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，PA^AD=AB=2,所以尸(0,0,2),D(0,2,0),

M(1,0,0),C(2,2,0),

ULIU

則尸。=(0,2,—2),PM=(1,0,-2),尸。=(2,2,-2),

mPM=x-2z=0

若根=(x,y,z)是面PA1C的一個(gè)法向量，貝!!<,

m-PC=2x+2y-2z=0

令x=2,故根=(2,—1,1),

又幾=(1,0,0)是面PAD的一個(gè)法向量,

m-n_2

所以cos<m,n>=

|m||n|A/6

故平面尸MC與平面PAD的夾角的余弦值—.

3

21.已知圓C：x2+y2+2x—3=0.

(1)求過(guò)點(diǎn)(1,3)且與圓C相切的直線/的方程；

(2)已知點(diǎn)A(4,0),5(0,4),尸是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求一ABP面積的最大值.

【答案】(1)x=l或5元-12y+31=0；⑵10+40.

【分析】(1)將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心與半徑，討論直線的斜率存在或不存在，當(dāng)不存在時(shí)，設(shè)

出點(diǎn)斜式，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑即可求解.

(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線AB距離的最大值即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)：x=l,此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，滿足題意，

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：y-3=k(x-I),圓C：(x+l)?+y2=4,

因?yàn)橹本€與圓相切,所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，

|一2%+3|.

即d=一/"1=2,

所以直線/方程為:5x-12y+31=0.

(2)；4(4,0),5(0,4),

AB=J42+[=4衣，直線AB的方程為：x+y-4=0,

圓心到直線A8的距離為：=—,

V22

所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為41ax=平+2,

所以(S由L=gx40x[乎+2]=10+40.

22

22.已知橢圓C:一+與=l(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2右，左頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)廠的距離為3.

a~b

(1)求橢圓C的方程

(2)設(shè)直線/與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A7,N(不同于A),且直線AA1和4N的斜率之積與橢圓的離心

率互為相反數(shù)，求證：/經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

22

【答案】⑴土+匕=1

43

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)依題意可得。=