2024屆寧夏回族自治區(qū)銀川市高三下學(xué)期數(shù)學(xué)（理科）考試模擬試題（三模）含解析

2024屆寧夏回族自治區(qū)銀川市高三下學(xué)期數(shù)學(xué)（理科）考試模擬試題（三模）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，下列式子錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則的取值不可能為（

）A． B． C． D．3．如圖的程序框圖表示求的值，則判斷框內(nèi)可以填的條件為（

）A． B． C． D．4．已知梯形按斜二測(cè)畫法得到的直觀圖為如圖所示的梯形，且，，，現(xiàn)將梯形繞?轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．5．已知向量，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足約束條件，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．36．是兩個(gè)不同的點(diǎn)，為兩個(gè)不同的平面，下列推理錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．7．歌唱比賽共有11位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從11個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到9個(gè)有效評(píng)分.9個(gè)有效評(píng)分與11個(gè)原始評(píng)分相比，一定不變的數(shù)字特征是（

）A．平均數(shù) B．極差 C．方差 D．中位數(shù)8．折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年.在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形紙對(duì)折，每次對(duì)折后仍成等腰直角三角形，則對(duì)折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．現(xiàn)有5名來自清華、北大的選調(diào)生前往A，B，C三個(gè)城市任職工作，若每位選調(diào)生只能去其中的一個(gè)城市，且每個(gè)城市至少安排1名選調(diào)生，其中甲和乙兩人必須去同一個(gè)城市，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．18 B．24 C．36 D．4810．命題，命題函數(shù)且在上單調(diào)，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．雙曲線與拋物線有共同的焦點(diǎn)，雙曲線左焦點(diǎn)為，點(diǎn)P是雙曲線右支一點(diǎn)，過向的角平分線作垂線，垂足為，則雙曲線的離心率是（

）A．2 B． C． D．12．己知定義在R上的奇函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知?jiǎng)t的展開式中含x的項(xiàng)為14．某同學(xué)為測(cè)量塔的高度，選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得在點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高m.15．將函數(shù)圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若對(duì)于任意，總存在唯一的.使得，則的取值范圍為.16．已知圓，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17．已知數(shù)列的首項(xiàng)且(1)證明:是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．如圖，在四棱錐中，平面，為中點(diǎn)，點(diǎn)在梭上（不包括端點(diǎn)）.(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線到平面的距離.19．比亞迪，這個(gè)中國品牌的乘用車，如今已經(jīng)在全球汽車品牌銷量前十中占據(jù)一席之地.這一成就是中國新能源汽車行業(yè)的里程碑，標(biāo)志著中國已經(jīng)在全球范圍內(nèi)成為了新能源汽車領(lǐng)域的強(qiáng)國.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了自上市以來截止到2023年8月的宋plus的月銷量數(shù)據(jù).(1)通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，其他新能源汽車的崛起、購置稅減免政策的頒布等，影響了該款汽車的月銷量，現(xiàn)將殘差過大的數(shù)據(jù)剔除掉，得到2022年8月至2023年8月部分月份月銷量y（單位：萬輛）和月份編號(hào)x的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì).月份2022年8月2022年9月2022年12月2023年1月2023年2月2023年3月2023年4月2023年6月2023年7月2023年8月月份編號(hào)12345678910月銷量（單位：萬輛）4.254.594.993.563.723.012.462.723.023.28請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可否用一元線性回歸模型擬合？若能，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；若不能，請(qǐng)說明理由.（運(yùn)算過程及結(jié)果均精確到0.01，若，則線性相關(guān)程度很高，可用一元線性回歸模型擬合）(2)為迎接2024新春佳節(jié)，某地4S店特推出盲盒抽獎(jiǎng)營銷活動(dòng)中，店家將從一批汽車模型中隨機(jī)抽取50個(gè)裝入盲盒用于抽獎(jiǎng)，已知抽出的50個(gè)汽車模型的外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示.紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾2010米色內(nèi)飾155①從這50個(gè)模型中隨機(jī)取1個(gè)，用A表示事件“取出的模型外觀為紅色”，用B表示事件“取出的模型內(nèi)飾為米色”，求和，并判斷事件A與B是否相互獨(dú)立；②活動(dòng)規(guī)定：在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性拿2個(gè)盲盒.對(duì)其中的模型給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的2個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)3種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色.假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高.假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為一等獎(jiǎng)3000元、二等獎(jiǎng)2000元、三等獎(jiǎng)1000元.請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎(jiǎng)金額，寫出X的分布列并求出X的期望（精確到元）.參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)，，.參考數(shù)據(jù)：，.20．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，判斷的形狀并給出證明．21．已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一道作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】(10分)22．在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)寫出圓與直線的極坐標(biāo)方程；(2)若，直線與圓在第一象限交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.【選修4-5:不等式選講】(10分)23．已知實(shí)數(shù)，滿足.(1)求證：；(2)求的最小值.1．C【分析】先求出集合A，再利用元素與集合之間的關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】，，故ABD正確；而與是兩個(gè)集合，不能用“”表示它們之間的關(guān)系，故C錯(cuò)誤.故選：C2．D【分析】根據(jù)題意，可知，結(jié)合倍角公式解方程即可.【詳解】由題意，可知，所以，解得或，因?yàn)?，所以或?故選：D3．B【分析】利用程序框圖，一步一步計(jì)算，根據(jù)判斷框成立，時(shí)，判斷框不成立可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知程序運(yùn)行如下：；判斷框成立，；判斷框成立，；判斷框成立，；判斷框成立，；判斷框成立，；判斷框成立，；判斷框不成立，輸出，所以選項(xiàng)滿足題意.故選.4．C【分析】將梯形復(fù)原為原圖即直角梯形，確定相關(guān)的邊長(zhǎng)，結(jié)合題意以及圓臺(tái)的側(cè)面積公式，即可求得答案.【詳解】由題意將梯形復(fù)原為原圖，即直角梯形，其中，則，故將梯形繞?轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體為圓臺(tái)，圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為4，高為4，母線長(zhǎng)為5，故該幾何體的側(cè)面積為，故選：C5．D【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出約束條件，畫出可行域并利用直線的截距的幾何意義求得結(jié)果.【詳解】易知，所以約束條件即為，畫出可行域如下圖陰影部分所示：將目標(biāo)函數(shù)變形可得，當(dāng)其在軸上的截距最小時(shí)，的取值最大；對(duì)直線，令，則，則，顯然當(dāng)直線平移到過點(diǎn)時(shí)，取最大值3.故選：D6．C【分析】A、B可由書上的公理可直接判斷；C可由與相交時(shí)，交點(diǎn)為A點(diǎn)的情況進(jìn)行判斷；D可直接根據(jù)線面位置關(guān)系來判斷點(diǎn)面位置關(guān)系.【詳解】A，直線上兩個(gè)不同點(diǎn)在某個(gè)平面內(nèi)，則直線在該平面內(nèi)，故正確；B，兩個(gè)不同點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)不同平面內(nèi)，則兩點(diǎn)所在直線為兩平面的交線，故正確；C，有兩種情況，與相交或，其中與相交，且交點(diǎn)為A點(diǎn)，則C錯(cuò)誤；D，直線在面內(nèi)，則直線上的點(diǎn)都在面內(nèi)，故結(jié)論正確；故選：C.7．D【分析】由極差、中位數(shù)、平均數(shù)和方差的概念和計(jì)算公式，即可得出答案.【詳解】設(shè)11位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，D正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)，平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，A不正確；③，由②易知，C不正確．④原極差，后來極差，可能相等可能變小，B不正確．故選：D.8．A【分析】根據(jù)題意分析，從第2次開始，每次對(duì)折后得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列基本量運(yùn)算即得.【詳解】對(duì)折一次得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為1，對(duì)折2次得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為，對(duì)折3次得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為，，故對(duì)折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為.故選：A.9．C【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先法，先考慮甲和乙，再考慮另外3人到3個(gè)城市的分配方式，分類考慮，計(jì)算即得.【詳解】依題意，可以分成兩步完成：第一步，安排甲和乙去一個(gè)城市，有種方法；第二步分成兩類情況：第一類，安排另外3人，每個(gè)城市一人，有種方法；第二類，將另外3人按照1：2分組，再安排他們?nèi)チ硗獾膬蓚€(gè)城市，有種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的安排方法有：種.故選：C.10．B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性，由命題求出的取值范圍，再判斷充分性和必要性即可.【詳解】設(shè)，則可化為．充分性：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)沒有意義，故充分性不成立．必要性：若在上單調(diào)遞減，則，所以在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以，得，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；若在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以，得，不符合題意，舍去.綜上可知，當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)時(shí)，，因此必要性成立．所以是的必要不充分條件．故選：B．11．A【分析】由拋物線的方程求得焦點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，由角平分線的性質(zhì)得且，繼而由中位線的性質(zhì)得，根據(jù)雙曲線的定義求得，由雙曲線的離心率公式可求得答案．【詳解】由拋物線得焦點(diǎn)，所以，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，因?yàn)镻N是的角平分線，于點(diǎn)N，所以且，又點(diǎn)O是的中點(diǎn)，所以且，又，所以，由雙曲線的定義得，所以，所以，所以雙曲線的離心率為.故選：A12．D【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)利用已知條件可知恒為正數(shù)，所以可知在時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，再結(jié)合已知條件又可知是偶函數(shù)，利用單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.【詳解】令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又為奇函數(shù)，且圖象連續(xù)不斷，所以為偶函數(shù)，由，得，解得或故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.13．【分析】根據(jù)定積分求出a，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，所以即展開式中含的項(xiàng)為.故14．【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函數(shù)的定義即可求得，由此解答即可.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，，所以，由正弦定理得，即，解得，在中，，所以，故塔?故答案為.15．【分析】由三角函數(shù)圖象變換以及三角函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，令，則，因?yàn)闀r(shí)，所以，因?yàn)閷?duì)于的任意取值，在上有唯一解，即在上有唯一解，如圖所示：由圖可知，，所以.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到在上有唯一解，畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合即可順利得解.16．【分析】由題意利用等面積法，結(jié)合勾股定理得出，故只需通過數(shù)學(xué)結(jié)合求出的最小值即可.【詳解】根據(jù)題意，可知，且.由幾何性質(zhì)可得四邊形的面積為面積的2倍，由對(duì)稱性和切線長(zhǎng)性質(zhì)可知，所以，即.設(shè)，，易知，當(dāng)為原點(diǎn)時(shí)，取得最小值2，故的最小值為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題的關(guān)鍵是利用等面積法，并通過數(shù)形結(jié)合的思想即可順利得解.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論求得的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法及分組求和法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，顯然，則，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，則，令，故，上兩式相減得，，所以，所以.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)與勾股定理，結(jié)合三線合一證得，，再線面垂直與面面垂直的判定定理即得證.（2）由線面平行判定定理可證得平面，則點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離.方法一：以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可.方法二：運(yùn)用等體積法計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，平面，，，即，又為中點(diǎn)，則，且，四邊形為正方形，，平面平面，又，、平面，平面，又平面平面平面.（2）在中，分別為中點(diǎn)，，又平面平面，平面，點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，（方法一），以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)是平面的法向量，，取，則是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)到平面的距離為，即直線到平面的距離為.（方法二）連接、，如圖所示，為等腰直角三角形，，又平面是三棱錐的高，，，，，設(shè)到平面距離為，則，，即到平面的距離為.19．(1)可以使用一元線性回歸模型擬合，(2)①，，不獨(dú)立；②分布列見解析，期望為1694【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)和相關(guān)系數(shù)的公式求出相關(guān)系數(shù)，結(jié)合數(shù)值進(jìn)行判斷，利用公式可得回歸直線方程；（2）①利用古典概率和條件概率求解即可，結(jié)合獨(dú)立事件的判斷方法可知不獨(dú)立.②確定的所有取值，求出分布列，結(jié)合期望公式可得期望.【詳解】（1），，，因?yàn)椋钥梢允褂靡辉€性回歸模型擬合.，，所以回歸方程為.（2）①模型內(nèi)飾為米色的共有20個(gè)，所以，紅色外觀的模型有35個(gè)，其中內(nèi)飾為米色的共有15個(gè)，所以，紅色外觀模型且內(nèi)飾為米色的共有15個(gè)，所以，，因?yàn)?，所以不?dú)立.②設(shè)事件“取出的模型外觀和內(nèi)飾均為同色”，事件“取出的模型外觀和內(nèi)飾都異色”，事件“僅外觀或僅內(nèi)飾同色”，，，，因?yàn)?，所以獲得一等獎(jiǎng)的概率為，二等獎(jiǎng)的概率為，三等獎(jiǎng)的概率為.其分布列為300020001000期望為.20．(1)(2)為直角三角形，證明見解析【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)的定義，可得的值，代入點(diǎn)建立方程，可得的值，可得答案；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示坐標(biāo)，結(jié)合向量的運(yùn)算，可得答案.【詳解】（1）由題意知，所以橢圓方程為，代人點(diǎn)，解得所以橢