(常考題)北師大版高中數(shù)學必修二第一章《立體幾何初步》測試(包含答案解析)

一、選擇題1．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的外接球的表面積（單位：）是（）A． B． C． D．2．在長方體中，，E是的中點，則直線與直線所成角的余弦值是（）A． B． C． D．3．如圖，圓錐的母線長為4，點M為母線AB的中點，從點M處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達到B點，這條繩子的長度最短值為，則此圓錐的表面積為（）A． B． C． D．4．在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點，若AP∥平面BDEF，則線段AP長度的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]5．如圖，在正方體中，點F是線段上的動點，則下列說法錯誤的是（）A．無論點F在上怎么移動，都有B．當點F移動至中點時，才有與相交于一點，記為點E，且C．當點F移動至中點時，直線與平面所成角最大且為60°D．無論點F在上怎么移動，異面直線與CD所成角都不可能是30°6．在正方體中，M是棱的中點．則下列說法正確的是（）A．異面直線與所成角的余弦值為B．為等腰直角三角形C．直線與平面所成角的正弦值等于D．直線與平面相交7．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．4 B．8 C．12 D．148．如圖，正方體中，為線段上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．B．異面直線與不可能垂直C．不可能是直角或者鈍角D．的取值范圍是9．已知長方體的頂點，，，，在球的表面上，頂點，，，，在過球心的一個平面上，若，，，則球的表面積為（）A． B． C． D．10．設(shè)、是兩條不同的直線，是平面，、不在內(nèi)，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．，，則 B．，，則C．，，則 D．，，則11．如圖（1），，，為的中點，沿將折起到，使得在平面上的射影落在上，如圖（2），則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．12．已知二面角為，，，為垂足，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題13．在邊長為的菱形中，對角線，將三角形沿折起，使得二面角的大小為，則三棱錐外接球的體積是_________________．14．已知是球的直徑上一點，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，則球的表面積為__________.15．在正三棱錐中，，分別為棱，上的點，，，且.若，則三棱錐的外接球的體積為_________.16．如圖，圓柱的體積為，正方形為該圓柱的軸截面，為的中點，為母線的中點，則異面直線，所成的角的余弦值為______．17．一個三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長棱的長度為_______.18．正四面體棱長為2，平面，垂足為O，設(shè)M為線段上一點，且則二面角的余弦值為________．19．如圖，矩形中，，E為邊的中點，將沿直線翻折成．若M為線段的中點，則在翻折過程中，下面四個選項中正確的是______（填寫所有的正確選項）（1）是定值（2）點M在某個球面上運動（3）存在某個位置，使（4）存在某個位置，使平面20．若三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為__________．三、解答題21．如圖，是邊長為2的正三角形，是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且.（1）求證：平面ABC平面ABD；（2）求二面角A-BC-D的余弦值.22．如圖，在正四棱柱中，，點E為中點，點F為中點．（1）求異面直線與的距離；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點F到平面的距離．23．如圖，該多面體由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的邊長為，是線段上（不含端點）的動點，．（1）證明：平面；（2）求到平面的距離．24．如圖，在直三棱柱中，底面ABC為正三角形，與交于點O，E，F(xiàn)是棱上的兩點，且滿足.（1）證明：平面；（2）當，且，求直線與平面所成角的余弦值.25．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，為的中點，，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．26．如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面平面，，，為上的點，.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．A解析：A【分析】由三視圖知該幾何體是底面為等腰直角三角形，且側(cè)面垂直于底面的三棱錐，由題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出外接球的半徑，再計算外接球的表面積．【詳解】解：由幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱錐，底面為等腰，且側(cè)面底面，如圖所示；設(shè)為的中點，又，且平面，三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)，則，，，解得，該幾何體外接球的表面積是．故選：．【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.2．C解析：C【分析】連接、、，先證明四邊形為平行四邊形，得到，故異面直線與所成的角即為相交直線與所成的角，由余弦定理可得答案.【詳解】連接、、，因為棱，，所以四邊形為平行四邊形，所以，故異面直線與所成的角即為相交直線與所成的角，因為,，所以，，，所以，由余弦定理得，從而.故選：C【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，關(guān)鍵點是找到異面直線所成的角，考查空間中線線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．3．B解析：B【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，且線段計算底面圓半徑即可求解.【詳解】設(shè)底面圓半徑為，由母線長，可知側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，將圓錐側(cè)面展開成一個扇形，從點M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點B，最短距離為BM；如圖，在中，，所以,所以,故，解得，所以圓錐的表面積為,故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其圓心角為，其次從點M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點B，繩子的最短距離即為展開圖中線段的長，解三角即可求解底面圓半徑，利用圓錐表面積公式求解.4．A解析：A【分析】分別取棱A1B1、A1D1的中點M、N，連接MN，可證平面AMN∥平面BDEF，得P點在線段MN上．由此可判斷當P在MN的中點時，AP最小；當P與M或N重合時，AP最大．然后求解直角三角形得答案．【詳解】如圖所示，分別取棱A1B1、A1D1的中點M、N，連接MN，連接B1D1，∵M、N、E、F為所在棱的中點，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，∴MN∥EF，又MN?平面BDEF，EF?平面BDEF，∴MN∥平面BDEF；連接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，可得NF∥AB，NF＝AB，則四邊形ANFB為平行四邊形，則AN∥FB，而AN?平面BDEF，F(xiàn)B?平面BDEF，則AN∥平面BDEF．又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．又P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點，且AP∥平面BDEF，∴P點在線段MN上．在Rt△AA1M中，AM，同理，在Rt△AA1N中，求得AN，則△AMN為等腰三角形．當P在MN的中點時，AP最小為，當P與M或N重合時，AP最大為．∴線段AP長度的取值范圍是．故選：A．【點睛】本題主要考查了空間中點、線、面間的距離問題，其中解答中通過構(gòu)造平行平面尋找得到點的位置是解答的關(guān)鍵，意在考查空間想象能力與運算能力，屬于中檔試題.5．C解析：C【分析】A.通過證明線面垂直，證得線線垂直；B.利用相似三角形，求的值；C.首先構(gòu)造直線與平面所成角，再通過數(shù)形結(jié)合分析最大角，以及最大角的余弦值，判選項；D.將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，求解判斷.【詳解】A.，，平面，，，，同理，，平面，平面，，故A正確；B.連結(jié)，交于點，,且，四邊形是平行四邊形，所以，，得，故B正確；C.平面，，點是等邊三角形的中心，是等邊三角形，當點是的中點時，，此時是點和上的點連線的最短距離，設(shè)直線與平面所成角為，此時最大，所以此時最大，所以,最大角大于，故C不正確；D.，與所成的角，轉(zhuǎn)化為的大小，的最小角是與平面所成的角，即，此時，所以的最小角大于，故D正確.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用幾何的綜合應(yīng)用，包含線線，線面角，垂直關(guān)系，首先會作圖，關(guān)鍵選項是C和D，C選項的關(guān)鍵是平面，點是等邊三角形的中心，D選項的關(guān)鍵是知道先與平面中線所成角中，其中線面角是其中的最小角.6．C解析：C【分析】A通過平移，找出異面直線所成角，利用直角三角形求余弦即可.B.求出三角形的三邊，通過勾股定理說明是不是直角三角形.C.求出點到面的距離，再求直線與平面所成角的正弦.D.可通過線線平行證明線面平行.【詳解】設(shè)正方體棱長為2A.取的中點為，則，則與所成角為由面，故面，故，在中，，故B.中，，，，不滿足勾股定理，不是直角三角形C.，，故面，面，故到面的距離等于到面的距離，即為直線與平面所成角為直線與平面所成角的正弦值等于D.如圖為的中位線，有故直線與平面平行故選：C【點睛】本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.7．C解析：C【分析】根據(jù)三視圖還原得其幾何體為四棱錐，根據(jù)題意代入錐體體積公式計算即可.【詳解】解：根據(jù)三視圖還原得其幾何體為四棱錐，圖像如下：根據(jù)圖形可得是直角梯形，平面，所以故選：C【點睛】識別三視圖的步驟（1）弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；（2）根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；（3）被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對于簡單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置.8．D解析：D【分析】在正方體中根據(jù)線面垂直可判斷A，根據(jù)異面直線所成角可判斷B，由余弦定理可判斷CD.【詳解】如圖，設(shè)正方體棱長為2，在正方體中易知平面，為線段上的動點，則平面,所以，故A正確；因為異面直線與所成的角即為與所成的角，在中不可能與垂直，所以異面直線與不可能垂直，故B正確；由正方體棱長為2，則，所以由余弦定理知，即不可能是直角或者鈍角，故C正確；設(shè)，則，，由余弦定理，，當時，，所以為鈍角，故D錯誤.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷正方體中的角的范圍時，可選擇合適三角形，利用正方體中數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系，使用余弦定理，即可判斷三角形形狀或角的范圍，屬于中檔題.9．C解析：C【分析】把兩個這樣的長方體疊放在一起，構(gòu)成一個長寬高分別為，8，8的長方體，則球就是該長方體的外接球，根據(jù)長方體外接球的直徑等于體對角線的長，求出直徑，即可得出球的表面積.【詳解】如下圖所示：把兩個這樣的長方體疊放在一起，構(gòu)成一個長寬高分別為，8，8的長方體，則球就是該長方體的外接球，根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征可得，其外接球直徑等于體對角線的長，所以球的半徑滿足，所以球的表面積.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查幾何體外接球的表面積，熟記長方體結(jié)構(gòu)特征，其外接球的球心和半徑與長方體的關(guān)系，以及球的表面積公式，是解決此類問題的關(guān)鍵.10．D解析：D【分析】利用線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義可判斷A選項的正誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷B選項的正誤；根據(jù)已知條件判斷直線與平面的位置關(guān)系，可判斷C選項的正誤；根據(jù)已知條件判斷直線與平面的位置關(guān)系，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A，，由線面平行的性質(zhì)定理可知，過直線的平面與平面的交線平行于，，，，，故A正確；對于B，若，，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得，故B正確；對于C，若，，則或，又，，故C正確；對于D，若，，則或與相交或，而，則或與相交，故D錯誤．故選：D．【點睛】方法點睛：對于空間線面位置關(guān)系的組合判斷題，解決的方法是“推理論證加反例推斷”，即正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進行證明，錯誤的結(jié)論需要通過舉出反例說明其錯誤，在解題中可以以常見的空間幾何體（如正方體、正四面體等）為模型進行推理或者反駁．11．C解析：C【分析】設(shè)，則，由線面垂直的性質(zhì)和勾股定理可求得，由等腰三角形的性質(zhì)可證得，再根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)可得選項.【詳解】設(shè)，則，因為面，面，面，所以，，，又，，為的中點，所以，所以在中，，所以在中，，所以，所以，又，所以，所以，又，所以面，又面，所以，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：在解決折疊問題時，關(guān)鍵在于得出折疊的前后中，線線、線面、面面之間的位置關(guān)系的不變和變化，以及其中的邊的長度、角度中的不變量和變化的量.12．B解析：B【分析】作出圖形，設(shè)，，，然后以、為鄰邊作平行四邊形，可知為二面角的平面角，異面直線與所成角為或其補角，計算出三邊邊長，利用余弦定理計算出，即可得解.【詳解】如下圖所示：設(shè)，，，以、為鄰邊作平行四邊形，在平面內(nèi)，，，，則，，，，，，所以，為二面角的平面角，即，，為等邊三角形，則，四邊形為平行四邊形，，即，，，，，，平面，平面，，則，在平行四邊形中，且，所以，異面直線與所成角為或其補角，在中，，，由余弦定理可得.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．二、填空題13．；【分析】分析菱形的特點結(jié)合其翻折的程度判斷其外接球球心的位置放到相應(yīng)三角形中利用勾股定理求得半徑利用球的體積公式求得外接球的體積【詳解】根據(jù)題意畫出圖形根據(jù)長為的菱形中對角線所以和都是正三角形又因解析：；【分析】分析菱形的特點，結(jié)合其翻折的程度，判斷其外接球球心的位置，放到相應(yīng)三角形中，利用勾股定理求得半徑，利用球的體積公式求得外接球的體積.【詳解】根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)長為的菱形中，對角線，所以和都是正三角形，又因為二面角的大小為，所以分別從兩個正三角形的中心做面的垂線，交于，則是棱錐外接球的球心，且，所以球的半徑，所以其體積為，故答案為：.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關(guān)幾何體外接球的問題，解題思路如下：（1）根據(jù)題中所給的條件，判斷菱形的特征，得到兩個三角形的形狀；（2）根據(jù)直二面角，得到兩面垂直，近一倍可以確定其外接球的球心所在的位置；（3）利用勾股定理求得半徑；（4）利用球的體積公式求得結(jié)果；（5）要熟知常見幾何體的外接球的半徑的求解方法.14．【分析】求出截面圓的半徑設(shè)可得出從而可知球的半徑為根據(jù)勾股定理求出的值可得出球的半徑進而可求得球的表面積【詳解】如下圖所示設(shè)可得出則球的直徑為球的半徑為設(shè)截面圓的半徑為可得由勾股定理可得即即所以球的解析：【分析】求出截面圓的半徑，設(shè)，可得出，從而可知，球的半徑為，根據(jù)勾股定理求出的值，可得出球的半徑，進而可求得球的表面積.【詳解】如下圖所示，設(shè)，可得出，則球的直徑為，球的半徑為，設(shè)截面圓的半徑為，可得，，由勾股定理可得，即，即，，所以，球的半徑為，則球的表面積為.故答案為：.【點睛】方法點睛：在求解有關(guān)球的截面圓的問題時，一般利用球的半徑、截面圓的半徑以及球心到截面圓的距離三者之間滿足勾股定理來求解.15．【分析】證明與垂直得線面垂直從而得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直結(jié)合正方體的性質(zhì)得三條側(cè)棱的平方和為外接球直徑的平方求得球半徑后可得球體積【詳解】∵∴∴又∴取中點連接如圖由于是正三棱錐∴而平面∴平面又平解析：【分析】證明與垂直得線面垂直，從而得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，結(jié)合正方體的性質(zhì)得三條側(cè)棱的平方和為外接球直徑的平方，求得球半徑后可得球體積．【詳解】∵，，∴，∴，又，∴，取中點，連接，如圖，由于是正三棱錐，∴，而，平面，∴平面，又平面，∴，∵，平面，∴平面，而平面，∴，同理正三棱錐中，．設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，，球的體積為．故答案為：．【點睛】結(jié)論點睛：三棱錐的外接球問題，解題關(guān)鍵是找到外接球的球心，三棱錐的外接球球心在過各面外心且與該面垂直的直線上．當從同一頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直時，可以把三棱錐補成一個長方體，而長方體的對角線就是三棱錐外接球的直徑．16．【分析】由圓柱體積求得底面半徑母線長設(shè)底面圓心為可得為異面直線與所成的角（或其補角）在對應(yīng)三角形中求解可得【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為則母線長為由得設(shè)底面圓心為連接則所以為異面直線所成的角在中所以故答案解析：【分析】由圓柱體積求得底面半徑，母線長，設(shè)底面圓心為，可得為異面直線與所成的角（或其補角）．在對應(yīng)三角形中求解可得．【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為，則母線長為，由得．設(shè)底面圓心為，連接，．則，所以為異面直線，所成的角．在中，，，．所以．故答案為：．【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．17．【分析】由三視圖還原幾何體得到三棱錐P-ABC分別計算其棱長可得答案【詳解】由三視圖還原幾何體得到三棱錐P-ABC可將此三棱錐放入棱長為2的正方體內(nèi)如下圖所示所以：BC=所以該三棱錐最長棱的長度為故解析：【分析】由三視圖還原幾何體得到三棱錐P-ABC，分別計算其棱長，可得答案．【詳解】由三視圖還原幾何體得到三棱錐P-ABC，可將此三棱錐放入棱長為2的正方體內(nèi)，如下圖所示，所以：，BC=.所以該三棱錐最長棱的長度為.故答案為：．【點睛】方法點睛：三視圖問題的常見類型及解題策略：(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實線表示，不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖．18．【分析】連接延長交于則是中點可得是二面角的平面角求出可得結(jié)論【詳解】由已知是中心連接延長交于則是中點連接則而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由對稱性又由平面平面得∴故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考解析：【分析】連接延長交于，則是中點，可得是二面角的平面角．求出可得結(jié)論．【詳解】由已知是中心，連接延長交于，則是中點，連接，則，，而，∴平面，平面，∴，∴是二面角的平面角．，，由對稱性，，又，由平面，平面，得，∴．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求二面角，解題關(guān)鍵是作出二面角的平面角．這可根據(jù)平面角的定義作出（并證明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二證三計算三個步驟．19．（1）（2）（4）【分析】首先取中點連結(jié)先判斷（4）是否正確再根據(jù)平行關(guān)系以及等角定理和余弦定理判斷（1）再判斷（2）假設(shè)成立根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)及判定可得矛盾來判斷（3）【詳解】取中點連結(jié)則平解析：（1）（2）（4）【分析】首先取中點，連結(jié)，，先判斷（4）是否正確，再根據(jù)平行關(guān)系，以及等角定理和余弦定理判斷（1），再判斷（2），假設(shè)成立,根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)及判定,可得矛盾來判斷（3）.【詳解】取中點，連結(jié)，，則，，平面平面，又平面，平面，故（4）正確；由，定值，定值，由余弦定理可得所以是定值，故（1）正確；是定點，是在以為球心，為半徑的球面上，故（2）正確；，，且設(shè)，，則，若存在某個位置,使,則因為,即,因為,則平面,所以,與矛盾，故（3）不正確.故答案為：（1）（2）（4）【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查線線，線面位置關(guān)系時，首先判斷（4）是否正確，其他選項就迎刃而解，而判斷線面平行時，可根據(jù)面面平行證明線面平行.20．【詳解】取的中點由題意可得：所以面ABC所以球心在直線上所以得所以解析：【詳解】取的中點，由題意可得：，所以，面ABC.所以球心在直線上，所以，得，所以．三、解答題21．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取AB中點O，連OC?OD，即可得到是二面角的平面角，再由勾股定理逆定理得到，即可得到二面角是直二面角，即可得證；（2）過O作OMBC交BC于M，連DM，即可證明BC平面DOM，從而得到為二面角A-BC-D的平面角，再利用銳角三角函數(shù)計算可得；【詳解】（1）證明：取AB中點O，連OC?OD，因為是邊長為2的正三角形，是以AB為斜邊的等腰直角三角形，所以，，所以是二面角的平面角.在中，因為，，，所以所以.所以平面ABC平面ABD.（2）過O作OMBC交BC于M，連DM，由（1）可知面，又面，所以，由，面所以BC平面DOM因為面，所以BCDM，則為二面角A-BC-D的平面角.在中，，，由勾股定理：，∴二面角A-BC-D的余弦值為.【點睛】本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.22．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）取中點G，連接，，根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)，先證明為與的公垂線，再由題中數(shù)據(jù)，計算出的長，即可得出結(jié)果；（2）連接，由（1）得到平面，設(shè)到平面的距離為d，根據(jù)等體積法，由求出，記直線與平面所成角為，由即可得出結(jié)果；（3）由（2）得到到平面的距離，根據(jù)題中條件，得到F到平面的距離為，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）在正四棱柱中，取中點G，連接，，∵F，G分別為的中點，∴且，又，，所以且，則四邊形為平行四邊形，又平面，平面，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴，又，，平面，平面，，∴平面，又平面，∴，∴為與的公垂線，且，，∴異面直線與的距離為．（2）在正四棱柱中，連接，則，由（1）知平面，設(shè)到平面的距離為d，∵，，∴，，，∴，，從而，∴，記直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為．（3）由（2）知，到平面的距離，∵F是的中點，且平面，∴F到平面的距離為．【點睛】方法點睛：立體幾何體中空間角的求法：（1）定義法：根據(jù)空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的定義，通過作輔助線，在幾何體中作出空間角，再解對應(yīng)三角形，即可得出結(jié)果；（2）空間向量的方法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出直線的方向向量，平面的法向量，通過計算向量夾角（兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾角、兩平面的法向量夾角）的余弦值，來求空間角即可.23．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）取的中點，連接，．證明四邊形是平行四邊形，可得線面平行；（2）由到平面的距離為到平面的距離的一半，先求出到平面的距離，用體積法可求得到平面的距離．【詳解】（1）證明：取的中點，連接，．因為該多面體由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，所以截面是平行四邊形，則．因為，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以．因為平面，平面，所以平面．（2）解：連接，，，記到平面的距離為，則到平面的距離為．在中，，高為，所以的面積為．因為三棱錐的高為，所以的體積為．在中，，，所以的面積為．因為的體積與的體積相等，所以，所以．故到平面的距離為．【點睛】方法點睛：本題考查證明線面平行，考查求點到平面的距離．求點到平面的距離的常用方法：（1）定義法：作出點到平面的垂線段，求出垂線段的長；（2）用體積法計算；（3）空間向量法：求出平面外的點到平面內(nèi)任一點連線的向量在平面的法向量方向上投影的絕對值．24．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取AB中點G，連結(jié)OG?EG，可證明四邊形OGEF為平行四邊形，則，由線面平行的判定定理即可求證；（2）由（1）可知，，則直線與平面所成角即為直線與平面所成角，平面，則即為直線與平面所成的角，在中即可求的余弦值.【詳解】（1）取AB中點G，連結(jié)OG?EG，在直三棱柱中，，則，又，則，所以四邊形