浙江省杭州市蕭山區(qū)北干初級中學(xué)2024-2025學(xué)年初三下學(xué)期第十二次重點考試數(shù)學(xué)試題含解析

浙江省杭州市蕭山區(qū)北干初級中學(xué)2024-2025學(xué)年初三下學(xué)期第十二次重點考試數(shù)學(xué)試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2=a6 B．a(chǎn)﹣2=﹣ C．3﹣2= D．（a+2）（a﹣2）=a2+42．下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣2a）3=﹣6a3 B．﹣3a2?4a3=﹣12a5C．﹣3a（2﹣a）=6a﹣3a2 D．2a3﹣a2=2a3．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a4=a8 B．2a2+a2=3a4 C．a(chǎn)6÷a2=a3 D．（ab2）3=a3b64．設(shè)x1，x2是方程x2-2x-1=0的兩個實數(shù)根，則的值是()A．-6 B．-5 C．-6或-5 D．6或55．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值為()A． B． C． D．6．“保護(hù)水資源，節(jié)約用水”應(yīng)成為每個公民的自覺行為．下表是某個小區(qū)隨機(jī)抽查到的10戶家庭的月用水情況，則下列關(guān)于這10戶家庭的月用水量說法錯誤的是（）月用水量（噸）4569戶數(shù)（戶）3421A．中位數(shù)是5噸 B．眾數(shù)是5噸 C．極差是3噸 D．平均數(shù)是5.3噸7．對于有理數(shù)x、y定義一種運(yùn)算“Δ”：xΔy=ax+by+c，其中a、b、c為常數(shù)，等式右邊是通常的加法與乘法運(yùn)算，已知3Δ5=15，4Δ7=28，則1Δ1的值為（）A．-1 B．-11 C．1 D．118．如圖，取一張長為、寬為的長方形紙片，將它對折兩次后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則原長方形紙片的邊應(yīng)滿足的條件是（）A． B． C． D．9．如圖，數(shù)軸上的三點所表示的數(shù)分別為，其中，如果|那么該數(shù)軸的原點的位置應(yīng)該在（）A．點的左邊 B．點與點之間 C．點與點之間 D．點的右邊10．在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點A、B、O都在格點上，則的正弦值是A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．二次函數(shù)y＝（x﹣2m）2+1，當(dāng)m＜x＜m+1時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是_____．12．計算（x4）2的結(jié)果等于_____．13．已知x+y＝8，xy＝2，則x2y+xy2＝_____．14．如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面積為1，則△BCD的面積為_____．15．如圖，在等腰中，，點在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點．當(dāng)點沿半圓從點運(yùn)動至點時，點運(yùn)動的路徑長是________．16．計算：（π﹣3）0+（﹣）﹣1=_____．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）與y軸的交點為A，與x軸的交點分別為B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直線AD∥x軸，在x軸上有一動點E（t，0）過點E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點分別為P、Q．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)0＜t≤8時，求△APC面積的最大值；（3）當(dāng)t＞2時，是否存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．18．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，點E是對角線BD上的一點，EA⊥AB，EC⊥BC，且EA=EC．求證：AD=CD．19．（8分）根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問題：放入一個小球水面升高，，放入一個大球水面升高；如果要使水面上升到50，應(yīng)放入大球、小球各多少個？20．（8分）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．求這個二次函數(shù)的解析式；設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與軸交于點，連接，，求的面積．21．（8分）某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計的學(xué)生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm．為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長？（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計）．22．（10分）已知甲、乙兩地相距90km，A，B兩人沿同一公路從甲地出發(fā)到乙地，A騎摩托車，B騎電動車，圖中DE，OC分別表示A，B離開甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數(shù)關(guān)系的圖象，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）請用t分別表示A、B的路程sA、sB；（2）在A出發(fā)后幾小時，兩人相距15km？23．（12分）已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖象上的點，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形．（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)（k>0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個點坐標(biāo)為（3，4）．寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標(biāo)_____，寫出符合題意的其中一條拋物線解析式_____，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？_____．（本小題只需直接寫出答案）24．已知動點P以每秒2

cm的速度沿圖(1)的邊框按從B?C?D?E?F?A的路徑移動,相應(yīng)的△ABP的面積S與時間t之間的關(guān)系如圖(2)中的圖象表示.若AB=6

cm,試回答下列問題:(1)圖(1)中的BC長是多少?(2)圖(2)中的a是多少?(3)圖(1)中的圖形面積是多少?(4)圖(2)中的b是多少?

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、C【解析】

直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的加減運(yùn)算法則、平方差公式分別計算即可得出答案．【詳解】A、a3?a2=a5，故A選項錯誤；B、a﹣2=，故B選項錯誤；C、3﹣2=，故C選項正確；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故D選項錯誤，故選C．本題考查了同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算以及負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的加減運(yùn)算、平方差公式，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2、B【解析】

先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算即可?！驹斀狻緼.;故本選項錯誤;B.﹣3a2?4a3=﹣12a5;故本選項正確;C.;故本選項錯誤;D.不是同類項不能合并;故本選項錯誤;故選B.先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則,冪的乘方,積的乘方,合并同類項分別求出每個式子的值,再判斷即可.3、D【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則逐一計算作出判斷：A、a2?a4=a6，故此選項錯誤；B、2a2+a2=3a2，故此選項錯誤；C、a6÷a2=a4，故此選項錯誤；D、（ab2）3=a3b6，故此選項正確．．故選D．考點：同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方．4、A【解析】試題解析：∵x1，x2是方程x2-2x-1=0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2=2，x1?x2=-1∴=.故選A.5、A【解析】

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可.【詳解】解：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴tanA=.故選A.本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟記銳角三角函數(shù)的定義內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.6、C【解析】

根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、極差和平均數(shù)的概念，對選項一一分析，即可選擇正確答案．【詳解】解：A、中位數(shù)＝（5+5）÷2＝5（噸），正確，故選項錯誤；B、數(shù)據(jù)5噸出現(xiàn)4次，次數(shù)最多，所以5噸是眾數(shù)，正確，故選項錯誤；C、極差為9﹣4=5（噸），錯誤，故選項正確；D、平均數(shù)=（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10=5.3，正確，故選項錯誤．故選：C．此題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和極差的概念．要掌握這些基本概念才能熟練解題．7、B【解析】

先由運(yùn)算的定義，寫出3△5=25，4△7=28，得到關(guān)于a、b、c的方程組，用含c的代數(shù)式表示出a、b．代入2△2求出值．【詳解】由規(guī)定的運(yùn)算，3△5=3a+5b+c=25，4a+7b+c=28所以3a+5b+c＝解這個方程組，得a所以2△2=a+b+c=-35-2c+24+c+c=-2．故選B．本題考查了新運(yùn)算、三元一次方程組的解法．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)新運(yùn)算的意義，正確的寫出3△5=25，4△7=28，2△2．8、B【解析】

由題圖可知：得對折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，然后根據(jù)相似多邊形的定義，列出比例式即可求出結(jié)論．【詳解】解：由題圖可知：得對折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，∵小長方形與原長方形相似，故選B．此題考查的是相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的定義列比例式是解決此題的關(guān)鍵．9、C【解析】

根據(jù)絕對值是數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離，分別判斷出點A、B、C到原點的距離的大小，從而得到原點的位置，即可得解．【詳解】∵|a|＞|c|＞|b|，

∴點A到原點的距離最大，點C其次，點B最小，

又∵AB=BC，

∴原點O的位置是在點B、C之間且靠近點B的地方．

故選：C．此題考查了實數(shù)與數(shù)軸，理解絕對值的定義是解題的關(guān)鍵．10、A【解析】

由題意根據(jù)勾股定理求出OA，進(jìn)而根據(jù)正弦的定義進(jìn)行分析解答即可．【詳解】解：由題意得，，，由勾股定理得，，．故選：A．本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、m>1【解析】由條件可知二次函數(shù)對稱軸為x=2m，且開口向上，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在對稱軸的左側(cè)時y隨x的增大而減小，可求得m+1＜2m，即m＞1．故答案為m＞1．點睛：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握當(dāng)拋物線開口向下時，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小是解題的關(guān)鍵．12、x1【解析】分析：直接利用冪的乘方運(yùn)算法則計算得出答案．詳解：（x4）2=x4×2=x1．故答案為x1．點睛：本題主要考查了冪的乘方運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．13、1【解析】

將所求式子提取xy分解因式后，把x+y與xy的值代入計算，即可得到所求式子的值．【詳解】∵x+y=8，xy=2，

∴x2y+xy2=xy（x+y）=2×8=1．

故答案為：1．本題考查的知識點是因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將所求式子分解因式．14、1【解析】

由∠ACD=∠B結(jié)合公共角∠A=∠A，即可證出△ACD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出＝（）2＝，結(jié)合△ADC的面積為1，即可求出△BCD的面積．【詳解】∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝4S△ACD＝4，∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ACD＝4﹣1＝1．故答案為1．本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì).15、π【解析】

取的中點，取的中點，連接，，，則，故的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓弧，根據(jù)弧長公式即可得軌跡長.【詳解】解：如圖，取的中點，取的中點，連接，，，∵在等腰中，，點在以斜邊為直徑的半圓上，∴，∵為的中位線，∴，∴當(dāng)點沿半圓從點運(yùn)動至點時，點的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓弧，∴弧長，故答案為：.本題考查了點的軌跡與等腰三角形的性質(zhì).解決動點問題的關(guān)鍵是在運(yùn)動中，把握不變的等量關(guān)系(或函數(shù)關(guān)系)，通過固定的等量關(guān)系(或函數(shù)關(guān)系)，解決動點的軌跡或坐標(biāo)問題.16、-1【解析】

先計算0指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪，再相減.【詳解】（π﹣3）0+（﹣）﹣1，=1﹣3，=﹣1，故答案是：﹣1．考查了0指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪，解題關(guān)鍵是運(yùn)用任意數(shù)的0次冪為1，a-1=.三、解答題（共8題，共72分）17、（1）y=14x2-2x+3【解析】試題分析：（1）首先利用根與系數(shù)的關(guān)系得出：x1+x2=8試題解析：解：（1）由題意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的兩根，∴x1+x2=8，由．解得：．∴B（2，0）、C（6，0）則4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴該拋物線解析式為：y=；．（2）可求得A（0，3）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，∵∴∴直線AC的解析式為：y=﹣x+3，要構(gòu)成△APC，顯然t≠6，分兩種情況討論：當(dāng)0＜t＜6時，設(shè)直線l與AC交點為F，則：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF===，此時最大值為：，②當(dāng)6≤t≤8時，設(shè)直線l與AC交點為M，則：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===，當(dāng)t=8時，取最大值，最大值為：12，綜上可知，當(dāng)0＜t≤8時，△APC面積的最大值為12；（3）如圖，連接AB，則△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①當(dāng)2＜t≤6時，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，則：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，則：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②當(dāng)t＞6時，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，則：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，則：，即：，∴t=0（舍）或t=1，∴t=或t=或t=1．考點：二次函數(shù)綜合題．18、證明見解析【解析】

根據(jù)垂直的定義和直角三角形的全等判定，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵EA⊥AB，EC⊥BC，∴∠EAB=∠ECB=90°，在Rt△EAB與Rt△ECB中，∴Rt△EAB≌Rt△ECB，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE，∵BD=BD，在△ABD與△CBD中，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)垂直的定義和直角三角形的全等判定是解題的關(guān)鍵．19、詳見解析【解析】

（1）設(shè)一個小球使水面升高x厘米，一個大球使水面升高y厘米，根據(jù)圖象提供的數(shù)據(jù)建立方程求解即可．（1）設(shè)應(yīng)放入大球m個，小球n個，根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)一個小球使水面升高x厘米，由圖意，得2x=21﹣16，解得x=1．設(shè)一個大球使水面升高y厘米，由圖意，得1y=21﹣16，解得：y=2．所以，放入一個小球水面升高1cm，放入一個大球水面升高2cm．（1）設(shè)應(yīng)放入大球m個，小球n個，由題意，得，解得：．答：如果要使水面上升到50cm，應(yīng)放入大球4個，小球6個．20、見解析【解析】

（1）二次函數(shù)圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，-6）兩點，兩點代入y=-x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式；（2）先求出對稱軸方程，寫出C點的坐標(biāo)，計算出AC，然后由面積公式計算值．【詳解】（1）把，代入得，解得.∴這個二次函數(shù)解析式為.（2）∵拋物線對稱軸為直線，∴的坐標(biāo)為，∴，∴.本題是二次函數(shù)的綜合題，要會求二次函數(shù)的對稱軸，會運(yùn)用面積公式．21、44cm【解析】解：如圖，設(shè)BM與AD相交于點H，CN與AD相交于點G，由題意得，MH=8cm，BH=40cm，則BM=32cm，∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，∴．∵EF∥CD，∴△BEM∽△BAH．∴，即，解得：EM=1．∴EF=EM＋NF＋BC=2EM＋BC=44（cm）．答：橫梁EF應(yīng)為44cm．根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的長度，再由△BEM∽△BAH，可得出EM，繼而得出EF的長度．22、（1）sA＝45t﹣45，sB＝20t；（2）在A出發(fā)后小時或小時，兩人相距15km．【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以分別求得s與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可以解答本題．【詳解】解：（1）設(shè)sA與t的函數(shù)關(guān)系式為sA＝kt+b，，得，即sA與t的函數(shù)關(guān)系式為sA＝45t﹣45，設(shè)sB與t的函數(shù)關(guān)系式為sB＝at，60＝3a，得a＝20，即sB與t的函數(shù)關(guān)系式為sB＝20t；（2）|45t﹣45﹣20t|＝15，解得，t1＝，t2＝，，，即在A出發(fā)后小時或小時，兩人相距15km．本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及到直線上點的坐標(biāo)與方程，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．23、（1）；（2）；（3）（﹣1，3）；（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1）,對應(yīng)的拋物線分別為；；,偶數(shù).【解析】

（1）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，當(dāng)點A在x軸負(fù)半軸、點B在y軸正半軸上時，可知3a=，求出a，

（2）作DE、CF分別垂直于x、y軸，可知ADE≌△BAO≌△CBF，列出m的等式解出m，

（3）本問的拋物線解析式不止一個，求出其中一個．【詳解】解：（1）∵正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形．當(dāng)點A在x軸正半軸、點B在y軸負(fù)半軸上時，∴AO=1，BO=1，∴正方形ABCD的邊長為,當(dāng)點A在x軸負(fù)半軸、點B在y軸正半軸上時，設(shè)正方形的邊長為a，得3a=,∴，所以伴侶正方形的邊長