理論力學(xué)-課件第11章

第十一章動(dòng)能定理本章內(nèi)容1力的功2質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理3質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理4功率與功率方程機(jī)械效率5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定理6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用01力的功在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中，功是度量力在一段路程上對(duì)物體作用的積累效應(yīng)，力做功的結(jié)果是物體的機(jī)械能（包括動(dòng)能和勢(shì)能）發(fā)生了變化。一、常力的功（11-1）圖11-1（11-2）即作用在質(zhì)點(diǎn)上的常力沿直線路程所做的功等于力與質(zhì)點(diǎn)位移矢量的數(shù)量積。式中，θ為力F與直線方向的夾角。若用s表示質(zhì)點(diǎn)的位移矢量，則二、變力的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在變力F的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，如圖11-2所示。由于質(zhì)點(diǎn)M從M1運(yùn)動(dòng)到M2的的過程中，力F的大小和方向都是變化的，為了計(jì)算變力F在路程中所做的功，必須將質(zhì)點(diǎn)走過的路程分成許多微小的弧段ds，每一微小弧段ds則可視為直線位移。而在這一微小弧段ds中，力F可視為常力，F(xiàn)在微小弧段ds中所做的功可寫為（11-3）式中，

稱為變力F的元功；是F與質(zhì)點(diǎn)的速度v之間的夾角，它可視為力F與ds直線之間的夾角。圖11-2（11-4）設(shè)dr為質(zhì)點(diǎn)M的微小位移，于是式（11-3）和（11-4）可表示為（11-5）（11-6）若以矢量式表示F和dr，則根據(jù)矢量運(yùn)算法則，則得力的元功解析表示式為（11-7）于是，力F在M1M2路程上的功的解析表示式為（11-8）功的量綱為力的量綱與長(zhǎng)度的量綱的乘積，即

。在國(guó)際單位制中，功的單位為J，即1N的力移動(dòng)1m所做的功。三、合力的功或

（11-9）式（11-9）表明，作用于質(zhì)點(diǎn)的所有力的合力在任一路程中所做的功，等于各分力在同一路程中所做功的代數(shù)和。利用式（11-9），可以方便地通過作用于質(zhì)點(diǎn)的分力的功來(lái)計(jì)算出合力的功。四、幾種常見力的功1．重力的功或（11-10）式中，z1和z2分別為質(zhì)點(diǎn)M在M1和M2位置上沿z軸的坐標(biāo)。圖11-3若令

表示質(zhì)點(diǎn)下降或上升的高度，則式（11-10）也可寫成（11-11）（11-10）式（11-11）中，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)下降時(shí)用正號(hào)，上升時(shí)用負(fù)號(hào)，即質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中重力的功等于其重量與下降或上升高度的乘積，下降時(shí)取正值，上升時(shí)取負(fù)值。（11-12）應(yīng)用質(zhì)心坐標(biāo)公式為式中，

和

分別表示質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心C在初始位置和末了位置沿軸z的坐標(biāo)；M為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量。將其代入式（11-12），得（11-13）現(xiàn)在再研究質(zhì)點(diǎn)系重力的功。質(zhì)點(diǎn)系重力的功等于各質(zhì)點(diǎn)重力功的代數(shù)和，因此有令

表示質(zhì)點(diǎn)系的總重量，

表示質(zhì)心下降或上升的高度，則式（11-13）可寫為式（11-14）表明，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中其重力所做的功，等于質(zhì)點(diǎn)系總重量與其質(zhì)心下降或上升高度的乘積，下降時(shí)取正值，上升時(shí)取負(fù)值。任何物體皆可看成是質(zhì)點(diǎn)系，因此，其重力所做的功均可按式（11-14）進(jìn)行計(jì)算。（11-14）2．彈性力的功根據(jù)式（11-5），彈性力F的元功為由于則圖11-4

（11-15）即彈性力的功等于彈簧剛度系數(shù)與始末位置彈簧變形量平方之差的乘積的一半。由此可知，剛度系數(shù)確定后，彈性力的功只與彈簧在始末位置的變形量有關(guān)，而與變形的形式（拉伸或壓縮）及彈性力作用點(diǎn)的軌跡無(wú)關(guān)。于是，質(zhì)點(diǎn)M由M1運(yùn)動(dòng)到M2時(shí)彈性力F的功為3．作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功由于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)角與某點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)的關(guān)系為因此，力F的元功又可表示為（11-16）圖11-5即作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的元功，等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩（簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)矩）和微轉(zhuǎn)角的乘積。

（11-17）

（11-18）顯然，當(dāng)力矩轉(zhuǎn)向與角位移的轉(zhuǎn)向一致時(shí)，則功為正，反之為負(fù)。若作用于剛體上的是力偶，其力偶矩為M，且力偶的作用面與軸Oz垂直，則力偶對(duì)Oz的矩即為力偶矩M，因此有（11-19）五、約束力的功與理想約束

1．光滑固定支承面和滾動(dòng)鉸鏈支座這兩類約束的約束力

總是和它作用點(diǎn)處的微小位移dr相垂直，如圖11-6所示。因此，這種約束力的功為零。（a）

（b）圖11-62．光滑固定鉸鏈支座和軸承這兩種約束力作用點(diǎn)的位移為零，如圖11-7所示。因此，約束力之功為零。（a）

（b）圖11-73．連接物體的光滑鉸鏈則這種約束力所做功的總和為零。圖11-84．無(wú)重剛桿因?yàn)閯倵U上A，B兩點(diǎn)之間的距離在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持不變，因此這兩點(diǎn)的微小位移在其連線上的投影應(yīng)相等，即則即無(wú)重剛桿的約束力做功之和為零。圖11-95．不可伸長(zhǎng)的柔索約束由于

，則由于柔索不可伸長(zhǎng)，因此有于是即不可伸長(zhǎng)的柔索的約束力做功之和為零。圖11-106．剛體在固定面上無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)剛體在固定面無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，P為瞬時(shí)速度中心

，因此由此得.

即剛體在固定面無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)，約束力所做功之和為零。圖11-1102質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量與其速度平方之積的一半。它是質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度的另一種度量。設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，速度大小為v，則質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能可表示為

（11-20）動(dòng)能是標(biāo)量，恒為正值或?yàn)榱?。?dòng)能的量綱為質(zhì)量的量綱與速度的量綱平方的乘積，即,與功的量綱相同。在國(guó)際單位制中，動(dòng)能的單位也是J。二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在力F（合力）的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，如圖11-12所示。由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程考慮到

，代入上式得等式兩邊均點(diǎn)乘dr，則有或?qū)憺閯t上式又可寫為這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元功。（11-21）圖11-12或質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理建立了質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能和力的功之間的關(guān)系，它把質(zhì)點(diǎn)的速度、作用力和質(zhì)點(diǎn)的路程聯(lián)系在一起，對(duì)于需要求解這三個(gè)物理量的動(dòng)力學(xué)問題，應(yīng)用動(dòng)能定理是方便的。此外，通過動(dòng)能定理對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，式中將出現(xiàn)加速度，因此動(dòng)能定理也常用來(lái)求解質(zhì)點(diǎn)的加速度。（11-22）這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式，即質(zhì)點(diǎn)在某運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能的改變，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在同一過程中所做的功。將式（11-21）沿曲線M1M2積分，得例11-1

如圖11-13所示，一物體M質(zhì)量為m，靜止地放在半徑為R的光滑圓柱表面的頂點(diǎn)。若給予物體小的干擾，它將沿圓柱表面的圓形軌道下滑，求物體開始離開圓柱表面時(shí)的角度θ。解本題所求的角θ，實(shí)質(zhì)上對(duì)應(yīng)M由靜止至離開圓柱表面這段過程所經(jīng)過的路程，因此，可以考慮應(yīng)用動(dòng)能定理求解。（1）取研究對(duì)象。取物體M為研究對(duì)象。（2）受力分析。物體M受有重力mg和圓柱表面的約束FN作用。（3）運(yùn)動(dòng)分析并應(yīng)用動(dòng)能定理求θ，考慮物體M由靜止至離

開圓柱表面這段過程，動(dòng)能定理有如下形式：圖11-13代入動(dòng)能定理得（1）物體離開圓柱表面時(shí)的速度v2可用其他方程求出。（4）求速度v2。物體M在離開圓柱表面處的動(dòng)力學(xué)方程沿法線方向的投影形式為考慮到

，且離開時(shí)

，于是有由式（1）和（2）兩式聯(lián)立可解得

（2）例11-2解（1）取研究對(duì)象。取車廂（視為質(zhì)點(diǎn)）為研究對(duì)象。（2）受力分析并計(jì)算力的功。車廂受有重力G、法向約束力FN及阻力F的作用。在AB路程中，力所做的功為在BC過程中，力所做的功為圖11-14（4）應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，求未知量。為求速度v，在AB路程中應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理有解得

為求滑行距離s，在BC路程中應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理解得顯然，若測(cè)得水平滑行距離s，則可求得車廂運(yùn)動(dòng)的阻力因數(shù)為第三節(jié)

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能在某一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于同一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的總和，用T表示，即

（11-23）它是整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械運(yùn)動(dòng)量的一種度量，恒為正值。二、剛體的動(dòng)能剛體是最常見的質(zhì)點(diǎn)系，由式（11-23）可以確定剛體平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能表達(dá)式。1．剛體平動(dòng)時(shí)的動(dòng)能剛體平動(dòng)時(shí)，同一瞬時(shí)剛體上各點(diǎn)的速度都相同，都等于剛體質(zhì)心C的速度

。因此，剛體平動(dòng)時(shí)的動(dòng)能可寫為式中，M為剛體的質(zhì)量，即剛體平動(dòng)時(shí)的動(dòng)能等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心速度平方乘積的一半。（11-24）2．剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能（11-25）由于式中，r為質(zhì)點(diǎn)至軸Oz的距離，代入式（11-25），得（11-26）式中，

是剛體對(duì)于軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即有（11-27）即剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能等于剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角速度平方乘積的一半。圖11-153．剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能式中，

，是剛體對(duì)瞬時(shí)速度中心P的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，因此有

（11-28）圖11-16式中，

是剛體質(zhì)心C至瞬時(shí)速度中心P的距離。將上式代入式（11-28），有由于

，于是上式可寫為（11-29）即剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能等于剛體隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和。例11-3系統(tǒng)由重物A、定滑輪B和圓輪C及繩子所組成，繩子的質(zhì)量不計(jì)，重物做平動(dòng)，滑輪做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圓輪做平面運(yùn)動(dòng)，各物體的速度、角速度如圖11-17所示，故系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為由運(yùn)動(dòng)學(xué)知又知

，于是系統(tǒng)的動(dòng)能為解

圖11-17三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理或（11-30）式（11-30）就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分等于作用于系上所有主動(dòng)力和約束力元功的總和。若質(zhì)點(diǎn)系的約束屬于約束力的功為零的理想約束，則在式（11-30）中

，于是有（11-31）式（11-31）表明，在約束力的功為零的理想約束下，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有主動(dòng)力元功之和。式（11-31）及下面即將導(dǎo)出的與其相對(duì)應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理得積分形式，其中不包含未知的約束力，因此用于求解動(dòng)力學(xué)問題非常方便。將式（11-30）進(jìn)行積分，得（11-32）式（11-32）就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式，即質(zhì)點(diǎn)系在某運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能的改變，等于作用于系上所有主動(dòng)力和約束力在同一過程中所做的功之和。在質(zhì)點(diǎn)系約束力做功之和為零的理想約束下，式（11-32）可寫為（11-33）即在質(zhì)點(diǎn)系約束力的功為零的理想約束下，質(zhì)點(diǎn)系在某運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能的改變，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有主動(dòng)力在同一過程中所做功之和。作用于質(zhì)點(diǎn)系上的力也可分為外力和內(nèi)力兩大類，此時(shí)相應(yīng)的動(dòng)能定理中力的功也按此分外力和內(nèi)力的功。需要特別指明的是，兩種力的分類方法是交錯(cuò)的，即主動(dòng)力和約束力中既可包含外力，也可包含內(nèi)力。另一方面，外力和內(nèi)力中既可包含主動(dòng)力，也可包含約束力。此外，外力和內(nèi)力都可以做功，內(nèi)力所做功之和不一定為零。例如，汽車、火車等的內(nèi)燃機(jī)所做的功，就是內(nèi)力做功的實(shí)例。因此，在計(jì)算功時(shí)，無(wú)論按哪種方式對(duì)力進(jìn)行分類，每種力的功都應(yīng)加以考慮，絕不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為所有約束力不做功或內(nèi)力不做功。

動(dòng)能定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與力所做的功之間的關(guān)系，它把速度、主動(dòng)力和位移聯(lián)系在一起，適用于求這三個(gè)物理量的動(dòng)力學(xué)問題。利用動(dòng)能定理的微分形式，也可求解加速度。特別是對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)求解運(yùn)動(dòng)參數(shù)時(shí)比較方便。由于應(yīng)用動(dòng)能定理僅能建立一個(gè)代數(shù)方程，因而它只能求解一個(gè)未知量，如果未知量較多，還需與動(dòng)力學(xué)的其他定理聯(lián)合求解。這類問題將在本章第六節(jié)中進(jìn)行討論。也應(yīng)注意，動(dòng)能定理一般不能求解約束力。本題是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，需求重物M經(jīng)過一段路程的速度、加速度、適合用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理求解。（1）選取研究對(duì)象。選齒輪Ⅰ，Ⅱ和軸Ⅲ，繩子及重物組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。（2）受力分析并計(jì)算力的功。理想約束系統(tǒng)，約束力不做功，只有重物的重力這個(gè)主動(dòng)力做功，且解例11-4

圖11-18（3）分析運(yùn)動(dòng)并計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能。系統(tǒng)開始靜止，

，重物M做平動(dòng)，齒輪Ⅰ，Ⅱ做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為（4）應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理，求速度。在下降s這一運(yùn)動(dòng)過程，動(dòng)能定理為將各值代入動(dòng)能定理，有考慮系統(tǒng)由靜止至A移動(dòng)了一段距離s這一動(dòng)過程，并應(yīng)用動(dòng)能定理求解。（1）選取研究對(duì)象。選B輪、C輪、膠帶、物體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。式中，解

例11-5

（2）受力分析并計(jì)算力的功。理想約束系統(tǒng)，約束力不做功，系統(tǒng)中轉(zhuǎn)矩M和重力G做的功為圖11-19（3）分析運(yùn)動(dòng)并計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能。系統(tǒng)開始靜止，

，重物做平動(dòng)，輪B，C做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為（4）應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理，求速度。將上述計(jì)算結(jié)果代入動(dòng)能定可得解得如圖11-20所示，不可伸長(zhǎng)的無(wú)重繩子繞過重為G的滑輪A，繩的一端連接在具有相同半徑和重量的輪B的軸上，另一端與重為P的重物C相連接。重物C由靜止開始運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)滑輪A轉(zhuǎn)動(dòng)，并使輪B做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)?；咥和輪B的質(zhì)量均勻分布在邊緣上，滑輪A和輪B的質(zhì)量均勻分布在邊緣上，略去軸上的摩擦，繩和滑輪A間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。試求重物C的速度與其經(jīng)過的路程h的關(guān)系，并求其加速度。（1）選取研究對(duì)象。取A，B輪，重物C及繩子組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。（2）受力分析并計(jì)算力的功。理想約束系統(tǒng)，約束力不做功，系統(tǒng)中只有重力P做功，因此解

圖11-20例11-6且，，代入上式得（b）解出

（4）應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理，求未知量。將上述計(jì)算結(jié)果代入動(dòng)能定理

，得例11-7（a）

（b）圖11-21（1）選取研究對(duì)象。取系統(tǒng)為研究對(duì)象。（2）受力分析并計(jì)算力的功。理想約束系統(tǒng)，約束力不做功，做功的主動(dòng)力只有重物A的重力P和BD桿的重力G，在研究所的過程中主動(dòng)力的功為由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，于是有解

（c）解得

將

代入并解得（a）

（b）（1）選取研究對(duì)象。選這條鐵鏈為研究對(duì)象。（2）受力分析并計(jì)算力的功。在桌面上的各點(diǎn)約束力都不做功，屬于理想約束。在運(yùn)動(dòng)過程中，下垂段的重力做功。但下垂段的重力是改變的，先求其元功，有圖11-22解

式中，

為單位長(zhǎng)度鐵鏈的質(zhì)量，則重力的功為（3）計(jì)算動(dòng)能。由于各點(diǎn)的速度大小相等，鐵鏈的動(dòng)能為式中，M是整個(gè)鐵鏈的質(zhì)量。因?yàn)?/p>

，得通過以上各例題的分析，可總結(jié)出應(yīng)用動(dòng)能定理解題的步驟如下。（1）選取研究對(duì)象。一般應(yīng)取整個(gè)系統(tǒng)為所研究的對(duì)象。在應(yīng)用動(dòng)能定理求速度、加速度時(shí)，應(yīng)將系統(tǒng)放在一般位置。（3）分析運(yùn)動(dòng)并計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能。在研究某一過程時(shí)，要分別計(jì)算系統(tǒng)在初瞬時(shí)和末瞬時(shí)的動(dòng)能。（2）受力分析并計(jì)算力的功。一般按主動(dòng)力和約束力來(lái)分析系統(tǒng)受力，理想約束系統(tǒng)的約束力不做功，只需計(jì)算主動(dòng)力的功。第四節(jié)

功率與功率方程

機(jī)械效率一、功率在工程實(shí)際中，我們不僅要計(jì)算作用力的功，而且還需要了解力做功的快慢。通常用單位時(shí)間內(nèi)力所做的功來(lái)表示力做功的快慢，稱為功率，用P表示。功率是衡量機(jī)器工作能力的重要指標(biāo)之一。作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的功率可按下述方法計(jì)算。設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)上的力為F，在dt時(shí)間內(nèi)，力F所做的元功為

，于是功率P可表示為（11-34）由于

，因此上式又可寫為（11-35）作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的元功（力矩的功）為

，則力矩的功率為若作用力是力偶，其轉(zhuǎn)矩為M，則其功率為（11-37）式中，

為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度。在國(guó)際單位制中，功率的單位是J/s，稱為瓦特，用W表示。一千瓦特稱為千瓦，用kW表示。在工程實(shí)際中，還常用工程單位制的功率單位及公制馬力（PS）和英制馬力（hp）。它們之間的換算關(guān)系為二、功率方程兩端同時(shí)除以dt并考慮式（11-34），可得（11-38）式（11-39）稱為機(jī)器的功率平衡方程。三、機(jī)械效率（11-40）對(duì)于有n級(jí)傳動(dòng)的系統(tǒng)，總的機(jī)械效率應(yīng)等于各級(jí)傳動(dòng)的機(jī)械效率的連乘積，即（1）求切削力矩，有（2）求切削力矩的功率（3）利用式（11-39）求電動(dòng)機(jī)功率，則例11-9解

圖11-23（1）計(jì)算有用功率（2）計(jì)算絞車的效率（3）計(jì)算電機(jī)功率為（4）求電機(jī)軸的角速度因此，電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩為例11-10解

第五節(jié)

勢(shì)力場(chǎng)

勢(shì)能

機(jī)械能守恒定理

質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，作用于質(zhì)點(diǎn)上的場(chǎng)力要做功，若場(chǎng)力所做的功只與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始和終了位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路徑無(wú)關(guān)，則這種力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)或保守力場(chǎng)，質(zhì)點(diǎn)所受的場(chǎng)力稱為有勢(shì)力或保守力。例如，重力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)和萬(wàn)有引力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)或保守力場(chǎng)，重力、彈性力和萬(wàn)有引力都是有勢(shì)力或保守力。一、勢(shì)力場(chǎng)若質(zhì)點(diǎn)在空間所受的力，其大小和方向完全由質(zhì)點(diǎn)所在空間的位置決定，則具有這樣的特性的空間就稱為力場(chǎng)。二、勢(shì)能在勢(shì)力場(chǎng)中，作用于質(zhì)點(diǎn)的有勢(shì)力都具有做功的能力，并且質(zhì)點(diǎn)所處的位置不同，質(zhì)點(diǎn)上的有勢(shì)力的能力也不同。例如，提高了的重錘有做功的能力，可用來(lái)打樁；變形的彈簧也具有做功的能力。為了便于度量質(zhì)點(diǎn)在不同位置上有勢(shì)力做功的能力，可選擇一基準(zhǔn)點(diǎn)M0。按此定義，基準(zhǔn)點(diǎn)M0的勢(shì)能為零。因此，基準(zhǔn)點(diǎn)又稱為勢(shì)能零點(diǎn)。勢(shì)能零點(diǎn)可根據(jù)研究問題的需要任意選定。質(zhì)點(diǎn)從某位置

運(yùn)動(dòng)到基準(zhǔn)點(diǎn)

有勢(shì)力所做的功稱為質(zhì)點(diǎn)M位置的勢(shì)能。它與功具有相同的單位。用V表示勢(shì)能，則這里

，

，因此再如圖11-25所示的彈性立場(chǎng)中，若把勢(shì)能零點(diǎn)選在

，即彈簧的原長(zhǎng)處，則質(zhì)點(diǎn)在任一位置M的勢(shì)能為這里

，因此有式中，

為點(diǎn)M到彈簧固定端的距離

圖11-24圖11-25應(yīng)注意的是，在說明質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能時(shí)，一定要指明是相對(duì)于哪一個(gè)勢(shì)能零點(diǎn)的。因?yàn)閷?duì)同一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，若選不同的勢(shì)能零點(diǎn)，將得到不同的勢(shì)能值。但不論勢(shì)能零點(diǎn)位置如何選擇，質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)位置的勢(shì)能之差是不變的。三、有勢(shì)力與勢(shì)能函數(shù)的關(guān)系計(jì)算在質(zhì)點(diǎn)的微小位移

上，有勢(shì)力F的元功。由前述可得由高等數(shù)學(xué)知，勢(shì)能函數(shù)

的全微分可寫成如下形式于是將上式與元功的解析表達(dá)式

相比較，可得到

（11-41）式（11-41）表明，有勢(shì)力在直角坐標(biāo)軸上的投影，等于勢(shì)能函數(shù)對(duì)于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)冠以負(fù)號(hào)。例如，在重力場(chǎng)中，同一水平面上各點(diǎn)的勢(shì)能都相等，因此重力場(chǎng)中等勢(shì)面為水平面，如圖11-26（a）所示。彈性力場(chǎng)的等勢(shì)面是以彈簧的固定端為中心的球面，如圖11-26（b）所示。

（a）

（b）圖11-26四、機(jī)械能守恒定理下面推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)能定理所具有的新形式——機(jī)械能守恒定理。選M0為勢(shì)能零點(diǎn)。由于有勢(shì)力所做的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡形狀無(wú)關(guān)，因此式中，W12是質(zhì)點(diǎn)由M1位置運(yùn)動(dòng)到M2位置時(shí)有勢(shì)力所做的功。按勢(shì)能定義圖11-27因此得由動(dòng)能定理，可知因此，有或（11-42）質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能和勢(shì)能的總和稱為機(jī)械能。式（11-42）表明，質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其機(jī)械能保持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒定理，是質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)必須遵守的規(guī)律。由此定理可知，質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其機(jī)械能不能增加或減少，但其動(dòng)能和勢(shì)能可相互轉(zhuǎn)化。以上討論都是對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言的。很明顯，對(duì)質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能守恒定理仍然成立。例11-11

（1）選取研究對(duì)象。取滾子為研究對(duì)象，作用于滾子上做功的力只有滾子的重力和彈簧力，它們都是有勢(shì)力，因此本題可應(yīng)用機(jī)械能守恒定理求解。圖11-28得解

（3）取滾子靜止時(shí)的位置為彈簧和重力勢(shì)能的零勢(shì)能位置，于是（4）應(yīng)用的機(jī)械能守恒定理，求未知量。研究滾子從靜止至C經(jīng)過路程s這段過程，則有將各值代入機(jī)械能守恒定理，得解得第六節(jié)

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理在求解具體問題時(shí)，同一個(gè)問題，有時(shí)可以分別用幾個(gè)定理求解，有時(shí)需要幾個(gè)定理聯(lián)合求解。在應(yīng)用時(shí)主要有兩個(gè)問題應(yīng)當(dāng)深入討論：（1）如何根據(jù)問題的條件恰當(dāng)?shù)剡x用定理；（2）如何應(yīng)用若干個(gè)定理聯(lián)合求解。每個(gè)動(dòng)力學(xué)普遍定理都只建立了某種運(yùn)動(dòng)特征量和某種力的作用量之間的關(guān)系。例如，動(dòng)量定理（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）建立了動(dòng)量和外力之間的關(guān)系，動(dòng)量矩定理建立了動(dòng)量矩和外力矩之間的關(guān)系，動(dòng)能定理建立了動(dòng)能與力的功之間的關(guān)系等。在解題時(shí)，應(yīng)首先根據(jù)問題的已知量和待求量來(lái)選用適用的定理。例如，1、已知量和待求量是速度、加速度、外力，而系統(tǒng)的內(nèi)力又比較復(fù)雜時(shí)，適合選用動(dòng)能定理求解；如果是轉(zhuǎn)動(dòng)問題，則適合選用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程或動(dòng)量矩定理求解。其次，在選用定理時(shí)還應(yīng)考慮系統(tǒng)受力的特征。例如，外力在某軸上的投影恒為零時(shí)，可選用動(dòng)量守恒定理求解；外力對(duì)某點(diǎn)或某軸之矩恒等于零時(shí)，適合應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求解；系統(tǒng)上做功的力皆為有勢(shì)力時(shí)，適合用機(jī)械能守恒定理求解。下面舉例說明。對(duì)于復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題，或要求未知量個(gè)數(shù)較多時(shí)，只用一個(gè)定理不能求得全部結(jié)果，這時(shí)必需適當(dāng)?shù)剡x用若干個(gè)定理，聯(lián)合求解。2、已知量和待求量是速度、加速度、作用力和路程時(shí)，適合選用動(dòng)能定理求解。由于動(dòng)能定理是個(gè)代數(shù)式，應(yīng)用時(shí)比較方便，特別是對(duì)于理想約束系統(tǒng)，只有主動(dòng)力做功，計(jì)算簡(jiǎn)便。例11-12

（1）選鼓輪、繩子、兩個(gè)重物組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。（2）畫出外力的受力圖，如圖11-29（b）所示。（3）由圖可知，系統(tǒng)對(duì)軸O的外力矩是已知的，而且這是個(gè)

有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)的問題，因此可以選用對(duì)軸O的動(dòng)量矩定理求解，有（a）

（b）圖11-29代入動(dòng)量矩定理，注意到

，得

解考慮到系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中主動(dòng)力的功容易求出，而又屬于約束力不做功的理想約束，因此也可選用動(dòng)能定理求解，角加速度可通過動(dòng)能定理對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到。下面進(jìn)行求解。式中，φ為鼓輪轉(zhuǎn)過的角度，將各值代入動(dòng)能定理，得結(jié)果與前面所得相同。由上可知，一個(gè)問題不一定只能用一種定理求解，有時(shí)可有多種解法，所應(yīng)用的定理也不相同。例11-13

（a）

（b）圖11-30（1）選滑塊A、桿BC和小球B組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。（2）分析力。由于作用于系統(tǒng)上做功的力只有小球B的重力P2，它是有勢(shì)力，因此本題可參考應(yīng)用