6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性2

6.3.1二項式系數(shù)的性質(zhì)6.3二項式定理回顧舊知1、二項式定理：2、通項：3、二項式系數(shù)：特別注意：項的系數(shù)與二項式系數(shù)是兩個不同的概念.4、特殊地：第(k+1)項探究新知1、計算(a+b)n展開式的二項式系數(shù)并填入下表:通過計算填表，你發(fā)現(xiàn)了什么?n

(a+b)n展開式的二項式系數(shù)123456每一行的系數(shù)具有對稱性除此以外還有什么規(guī)律呢?11121133114641151010511615201561探究新知上表寫成如下形式：11

121133114641151010511615201561172135352171能借助上面的表示形式發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律嗎?(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(a+b)7(a+b)n…………探究新知上表寫成如下形式：11

121133114641151010511615201561(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6①在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等.即：②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.即：

這樣的二項式系數(shù)表，早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了。我們稱這個表為楊輝三角。

由于楊輝在書中引用了賈憲著的《開方作法本源》和“增乘開方法”，因此這個三角形也稱“賈憲三角”

楊輝在《詳解九章算法》二項式系數(shù)表中說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和；并指出這個方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲(約公元11世紀)已經(jīng)用過它.

這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀.在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡(1623-1662)首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角.

這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右.楊輝是我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》.探究新知下面再從函數(shù)角度分析二項式系數(shù)：對于(a+b)n展開式的二項式系數(shù):rf(r)O1235101520456

可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r)，其定義域是：對于確定的n，我們還可以畫出它的圖像．例如，當n=6時，

(r∈{0，1，2，3，4，5，6})的圖象是右圖中的7個離散點．{0，1，2，…，n}

探究新知2、探究：(1)觀察右圖，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?(2)請你分別畫出n=7，8，9時

的圖象，比較它們的異同，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?rf(r)O1235101520456n=7n=8n=9二項式系數(shù)的性質(zhì)1、對稱性：

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．這一性質(zhì)可直接由公式

得到．f(r)rnO51520110圖象的對稱軸：二項式系數(shù)的性質(zhì)2、增減性與最大值：(增減性的實質(zhì)是比較

的大小)所以

相對于

的增減情況由

決定．可知，當

時，由：由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值二項式系數(shù)是逐漸增大的，二項式系數(shù)的性質(zhì)2、增減性與最大值：∵二項展開式共有n+1項，∴(1)當n為偶數(shù)時，正中間一項的二項式系數(shù)

最大；(2)當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)

相等，且同時取得最大值.f(k)kn3O515201101245n為偶數(shù)f(r)rnO51520110n為奇數(shù)二項式系數(shù)的性質(zhì)3、各二項式系數(shù)的和在二項式定理中，令a＝b＝1，則：這就是說，(a+b)n的展開式的各二項式系數(shù)的和等于2n.同時由于上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式.

總結(jié)提升一般地，(a+b)n展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì)：隨堂練習1、(P34T4)若一個集合含有n個元素，則這個集合共有多少個子集？解：若子集元素個數(shù)為0時，子集有

個；若子集元素個數(shù)為1時，子集有

個；若子集元素個數(shù)為2時，子集有

個；……若子集元素個數(shù)為n時，子集有

個；所以這個集合共有

個子集.例題解析1、證明：在(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.證明：在展開式賦值法=2n-1結(jié)合二項式系數(shù)和為2n令a＝1，b＝－1得總結(jié)提升一般地，(a+b)n展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì)：(5)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：隨堂練習2、已知

，那么＝

；a+b3、若(a+b)n的展開式中的第十項和第十一項的二項式系數(shù)最大，則n=

；194、在(a＋b)20展開式中，與第五項的系數(shù)相同的項是()A、第15項B、第16項C、第17項D、第18項C隨堂練習5、在(a＋b)10展開式中，系數(shù)最大的項是().A、第6項B、第7項C、第6項和第7項D、第5項和第7項A6、在(a－b)10展開式中，系數(shù)最大的項是().A、第6項B、第7項

C、第6項和第7項D、第5項和第7項D2、在(2x－3y)10展開式中(1)求二項式系數(shù)的和；(2)各項系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和.例題解析10241512隨堂練習7、已知：(2x+1)10=a0x10+a1x9+a2x8+…+a9x+a10，(1)求a0+a1+a2+……+a9+a10的值；(2)求a0+a2+a4+……+a10的值.310=59049結(jié)論：設(shè)f(x)=(a＋bx)n其奇次項系數(shù)的和是其偶次項系數(shù)的和是隨堂練習8、已知：(2x－1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10，則a2+a3+……+a9+a10的值為()A、－20B、0C、1D、20D例題解析證明：3n＝(2+1)n又∵n≥2，上式至少有三項，且3、求證：3n＞2n－1·(n＋2)(n∈N，且n≥2)∴3n＞2n－1·(n＋2)(n∈N，且n≥2)隨堂練習所以原不等式成立.9、證明：，(n∈N*，且n≥3)例題解析4、

(1＋2x)3(1－x)4的展開式中，含x項的系數(shù)為()A、10 B、－10C、2 D、－2C解析：(1＋2x)3(1－x)4的展開式中含x項的系數(shù)是由兩個因式相乘而得到的，即第一個因式的常數(shù)項和一次項分別乘第二個因式的一次項與常數(shù)項，雙通法：求多項式積的特定項的方法，(a＋bx)n(s＋tx)m的展開式中一般項為