2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)2019選擇性試題1.5平面上的距離（十二大題型）

1．5平面上的距離課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能用坐標(biāo)法、向量方法推導(dǎo)平面上兩點(diǎn)間距離公式，體會(huì)向量法和幾何法各自的特點(diǎn)，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．（2）能用兩點(diǎn)間距離公式解決問(wèn)題，能通過(guò)具體例子解釋用兩點(diǎn)間距離公式解決問(wèn)題的基本步驟，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．（1）掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、平行直線間的距離公式并會(huì)應(yīng)用.（2）會(huì)用坐標(biāo)法證明簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一：中點(diǎn)坐標(biāo)公式若兩點(diǎn)、，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，則此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．【即學(xué)即練1】已知點(diǎn)，，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】點(diǎn)，，所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：知識(shí)點(diǎn)二：兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式為．知識(shí)點(diǎn)詮釋：此公式可以用來(lái)求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問(wèn)題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來(lái)解決．另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握．【即學(xué)即練2】已知，點(diǎn)C在x軸上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)C在x軸上，設(shè)點(diǎn)，則，所以，化簡(jiǎn)可得：，所以.故選：D.知識(shí)點(diǎn)三：點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離為．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離；（2）使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等．【即學(xué)即練3】已知到直線的距離等于3，則a的值為（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【解析】由距離公式可得，，即解得或.故選：C知識(shí)點(diǎn)四：兩平行線間的距離本類問(wèn)題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；（2）利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式．【即學(xué)即練4】若兩條平行直線與之間的距離是，則．【答案】3【解析】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得且，所以直線為，直線化為，因?yàn)閮善叫芯€間的距離為，所以，得，因?yàn)樗?，得，所以，故答案為?題型一：中點(diǎn)公式例1．（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知直線與直線和的交點(diǎn)分別為，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線和的交點(diǎn)分別為，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得，解得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.故答案為：.例2．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校校考期末）直線過(guò)點(diǎn)且與軸?軸分別交于，兩點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)?，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：，，由直線過(guò)點(diǎn)?，直線的方程為：，即.故答案為：.例3．（2023·北京西城·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，則過(guò)線段的中點(diǎn)，且與垂直的直線方程為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)，且.所以與垂直的直線的斜率為，所以過(guò)線段的中點(diǎn)，與垂直的直線方程為，即.故答案為：變式1．（2023·江蘇連云港·高二期末）過(guò)點(diǎn)的直線被兩平行直線與所截線段的中點(diǎn)恰在直線上，則直線的方程是．【答案】【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為,因?yàn)辄c(diǎn)到與的距離相等,故，解得,則點(diǎn)．直線的方程為,即．故答案為：變式2．（2023·江蘇·高二海安高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）直線l被兩條直線l1：4x+y+3＝0和l2：3x﹣5y﹣5＝0截得的線段的中點(diǎn)為P（﹣1，2），則直線l的斜率為.【答案】【解析】設(shè)直線l與的交點(diǎn)為，直線l與的交點(diǎn)為.由已知條件，得直線l與的交點(diǎn)為，聯(lián)立，即，解得，所以，，，直線l的斜率，故答案為：.變式3．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長(zhǎng)度為.【答案】【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，，則為直角三角形，且為斜邊，故.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】?jī)牲c(diǎn)、，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，題型二：兩點(diǎn)距離公式例4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)，，則（

）A．3 B．5 C．9 D．25【答案】B【解析】因?yàn)?，，則.故選：B例5．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則邊上中線的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，所以．故選：A.例6．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為5，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．或 D．1或【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為5，可得，整理得，即，解得或．故選：C.變式4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，則A，B兩點(diǎn)的距離為（

）A．25 B．5C．4 D．【答案】B【解析】由兩點(diǎn)間的距離公式得．故選：B.變式5．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)與的圖像相交于，兩點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間的距離為（

）A．7 B． C．5 D．1【答案】C【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如下所示：聯(lián)立，解得，，即點(diǎn)，，聯(lián)立，解得，，即點(diǎn)，，所以．故選：．變式6．（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)，與直線，若在直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于直線，即，所以在直線上，設(shè)，其中，由兩邊平方得，即，整理得，由于，所以，其中，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，則，解得.故選：A【方法技巧與總結(jié)】計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法（1）對(duì)于任意兩點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離公式為．（2）對(duì)于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．題型三：由頂點(diǎn)判斷三角形的形狀例7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）以點(diǎn)A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點(diǎn)的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【答案】C【解析】，，，，所以三角形是直角三角形.故選：C例8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）以為頂點(diǎn)的的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰非等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得，，，所以，且|，故是等腰非等邊三角形.答案：C.例9．（多選題）（2023·高二單元測(cè)試）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若為直角三角形，則或 B．若為銳角三角形，則C．若為鈍角三角形，則或 D．若為等腰三角形，則【答案】AB【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與D、F重合時(shí)，為直角三角形，此時(shí)或，故A對(duì)，當(dāng)點(diǎn)介于D、F之間時(shí)，為銳角三角形，此時(shí)，故B對(duì)，當(dāng)點(diǎn)于位于D點(diǎn)左側(cè)且不與B點(diǎn)重合時(shí)，為鈍角三角形，此時(shí)且，故C錯(cuò)誤，當(dāng)點(diǎn)與E、F、G重合時(shí)，為等腰三角形，此時(shí)或，故D錯(cuò)誤，故選：AB.變式7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【解析】，，，，，，，是直角三角形．故選：A．【方法技巧與總結(jié)】利用兩點(diǎn)間距離公式求出三角形的各邊長(zhǎng)，然后再判斷．題型四：由兩點(diǎn)距離公式求最值例10．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）的最小值為．【答案】【解析】，，如圖，設(shè)點(diǎn)，，，要求的最小值，即求的最小值．由于，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，且，故的最小值為．故答案為：.例11．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二?？计谥校┖瘮?shù)的最小值是.【答案】5【解析】因?yàn)?，設(shè)，，，則表示點(diǎn)到點(diǎn)，兩點(diǎn)的距離之和，即，點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以，所以的最小值是.故答案為：例12．（2023·山西晉中·高二山西省平遙中學(xué)校校考期中），其中，，則二元函數(shù)的最小值為【答案】7【解析】，，在由直線、、、圍成的矩形區(qū)域內(nèi)（含邊界），如圖所示：因?yàn)樗远瘮?shù)表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)，，，距離的和，在矩形邊界及內(nèi)部任取點(diǎn)，連接，，，，，于是有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào)，于是，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段與的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，又，所以直線為，即，顯然直線與軸的交點(diǎn)為在線段上，即當(dāng)時(shí)，的最小值為7.故答案為：．變式8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式的幾何意義得，函數(shù)表示到點(diǎn)距離之和，如圖所示，作出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，連接，可得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，等號(hào)成立，所以，即函數(shù)的最小值為故答案為：變式9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為.【答案】【解析】，上式表示軸上一點(diǎn)分別到點(diǎn)距離的和，如圖所示，設(shè)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到兩點(diǎn)距離的和最小，最小值為兩點(diǎn)間的距離.，所以函數(shù)的最小值為.故答案為：變式10．（2023·黑龍江雞西·高二?？茧A段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難人微”，事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，結(jié)合．上述觀點(diǎn)，可得的最小值為．【答案】【解析】設(shè)，則，∴的幾何意義為點(diǎn)與兩定點(diǎn)，之間的距離之和．如圖所示：設(shè)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為（2，－4）．則，要求的最小值，即求的最小值，又，即的最小值為．故答案為：.變式11．（2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)分別在直線：與直線：上，且，點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】由平行線距離公式得：，設(shè)，則，所以，設(shè)點(diǎn)，如下圖：則有：即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立)，綜上，．故答案為：變式12．（2023·山東聊城·高二聊城二中?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為.【答案】5【解析】由題可知，表示的是直線上一點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和.如圖，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小所以的最小值為.故答案為：5.題型五：點(diǎn)線距離公式例13．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知平面上點(diǎn)和直線，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則.【答案】/4.5【解析】依題意，直線，而點(diǎn)，所以.故答案為：例14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知滿足，則的最小值為【答案】/0.8【解析】由滿足知，點(diǎn)是直線上的任意點(diǎn)，而表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，因此的最小值即為點(diǎn)到直線距離的平方，即有，所以的最小值為.故答案為：例15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，若點(diǎn)P是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【解析】由題意可知的最小值就是點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)榈街本€的距離，所以的最小值為.故答案為：變式13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離為．【答案】【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.變式14．（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，則的最小值為.【答案】2【解析】因?yàn)楸硎緞?dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)，所以的最小值為到線的距離.故答案為：2.變式15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離為.【答案】【解析】點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題（1）直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式．（2）點(diǎn)在直線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用．（3）直線方程中，或公式也成立，但由于直線是特殊直線（與坐標(biāo)軸垂直），故也可用數(shù)形結(jié)合求解．題型六：面積問(wèn)題例16．（2023·浙江臺(tái)州·高一溫嶺中學(xué)?？计谀┮阎谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1)求直線方程；(2)求的面積.【解析】（1）由已知得，直線斜率存在，為，所以直線方程為，整理得直線方程為（2）因?yàn)?，所以，直線方程為，到直線的距離，所以的面積為例17．（2023·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）期中）已知的頂點(diǎn)，AB邊上的高所在直線為，D為AC中點(diǎn)，且BD所在直線的方程為．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求的面積．【解析】（1）設(shè)所在直線方程為，代入可得所以所在直線方程為，又所在直線方程為由，得.（2）設(shè)，又，為中點(diǎn)，則，因?yàn)樵谥本€上，在上，所以，得，到直線的距離，又所以的面積為例18．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、.(1)求所在的直線方程；(2)求平行四邊形的面積.【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，則，所以，直線的方程為，即.（2）直線的方程為，即，且，點(diǎn)到直線的距離為，所以，平行四邊形的面積為.變式16．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）以，，為頂點(diǎn)的三角形的面積等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】由題意知：，直線的方程為，即，則到直線的距離為，故三角形的面積為.故選：A.變式17．（2023·高二單元測(cè)試）已知直線和點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)，使過(guò)、的直線與以及軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形的面積最小，則坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以直線與軸交點(diǎn)，（其中），因?yàn)椋忍?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以點(diǎn)，故選C.變式18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，則的面積等于()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得：設(shè)邊上的高為，則，其中，邊上的高就是點(diǎn)到直線的距離．AB邊所在的直線方程為，即.點(diǎn)到直線的距離為因此，.故選：C變式19．（2023·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，如果直線將分割成面積相等的兩部分，則實(shí)數(shù)的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】所在的直線方程為，設(shè)直線與交于，與交于，則，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又,由解得：或（舍）.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】利用兩點(diǎn)間距離公式求出三角形的一邊長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出這邊上的高，從而求出三角形的面積，這是在解析幾何中求三角形面積的常規(guī)方法，應(yīng)熟練掌握，但應(yīng)注意的是點(diǎn)到直線的距離公式中帶有絕對(duì)值符號(hào)，因此在去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)必須對(duì)它的正負(fù)性進(jìn)行討論．題型七：由點(diǎn)線距離求參數(shù)例19．（2023·高二單元測(cè)試）已知直線過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到這條直線的距離為1，則這條直線的方程是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，原點(diǎn)到這條直線的距離為1，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，∵原點(diǎn)到這條直線的距離為1，∴，解得，∴直線的方程是，即，綜上，直線的方程是和.故選：A.例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線：恒過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)，那么點(diǎn)到直線的距離為：，因?yàn)?，所以，且直線的斜率，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)?，所?故選：A.例21．（2023·廣東河源·高二龍川縣第一中學(xué)?？计谀┻^(guò)點(diǎn)引直線，使，，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則直線方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】若直線斜率不存在，即，此時(shí)，兩點(diǎn)到直線的距離分別為3和5，故距離不相等，舍去；若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由得：或，故直線方程為或，整理得或.故選：D變式20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線的方程為，當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線方程可化為，由可得，所以，直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，且，又因?yàn)橹本€的斜率為，解得.故選：B.變式21．（2023·河南焦作·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知直線，點(diǎn)和到直線l的距離分別為且，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】∵點(diǎn)到直線l的距離為，點(diǎn)到直線l的距離為，而，∴，可得，解得或，故直線l的方程為或．故選：C變式22．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)到直線的距離為1，則的值為（

）A．5或15 B．5或15C．5或15 D．5或15【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為1，所以,解得或5.故選:D.變式23．（2023·山西運(yùn)城·高二山西省運(yùn)城中學(xué)校校聯(lián)考期中）若點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】由題意得：，即，解得：或.故選：D.題型八：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱例22．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（a+2，b+2）和B（ba，b）關(guān)于直線4x+3y=11對(duì)稱，則a，b的值為（）.A．a(chǎn)=1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=2C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2【答案】D【解析】點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，①且AB中點(diǎn)在已知直線上，代入得，②聯(lián)立①②組成的方程組，解得，故選：D.例23．（2023·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線上且直線AB與直線垂直，則，即點(diǎn)A坐標(biāo)為.故選：C例24．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)AC反射后，再經(jīng)BC上點(diǎn)D反射，落到點(diǎn)上．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)入射光線與反射光線關(guān)系可知，分別作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),連接，交于，則D點(diǎn)即為所求，如圖，因?yàn)樗谥本€方程為，，設(shè)，則，解得，即，由所在直線方程為，，同理可得，所以直線方程為，由解得，故選：C變式24．（2023·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，又點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由光的反射規(guī)律以及幾何關(guān)系可知，光線所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)．故選：B.變式25．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得．所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：A變式26．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，被直線反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線的斜率為（

）A． B． C．4 D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，故，反射線經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以，即反射光線所在直線的斜率為4，故選：C變式27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，解得.故選：A.變式28．（2023·四川達(dá)州·高二達(dá)州中學(xué)校考階段練習(xí)）一條光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立解得，所以反射光線過(guò)點(diǎn)，取直線上一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，則有解得，所以反射光線過(guò)點(diǎn)和，則反射光線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得，即，故選:B.【方法技巧與總結(jié)】求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)方法一：（一中一垂），即線段的中點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對(duì)稱軸的斜率之積為，兩個(gè)條件建立方程組解得點(diǎn)方法二：先求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點(diǎn)，從而得題型九：直線關(guān)于直線對(duì)稱例25．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，且直線過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知，直線過(guò)點(diǎn)，則，解得.故選：A.例26．（2023·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程為．【答案】【解析】設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，由得：，則點(diǎn)在直線上；在直線上取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得：，即；直線的方程為：，即.故答案為：.例27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是.【答案】【解析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則,得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在直線上，所以，即.所以所求直線方程為.故答案為：.變式29．（2023·廣東梅州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，它關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為.【答案】【解析】設(shè)對(duì)稱的直線方程的點(diǎn)為，對(duì)稱點(diǎn)為，直線斜率為1，則有，消去得，故答案為：變式30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如果直線l與直線關(guān)于y軸對(duì)稱，那么直線l的方程是．【答案】【解析】∵直線的斜率為1，且與y軸交于（0，1）點(diǎn)，又∵直線l與直線關(guān)于y軸對(duì)稱，∴直線l的斜率為1，且過(guò)（0，1）點(diǎn)，則直線l的方程為，故答案為：變式31．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a=.【答案】【解析】直線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，依題意可知點(diǎn)在直線上，所以.故答案為：變式32．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市回民中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，則.【答案】【解析】直線的斜率，與軸交于點(diǎn).直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，且與軸相較于同一點(diǎn)，解得，則.故答案為：.變式33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是.【答案】【解析】設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為,如圖所示：則有，得∵點(diǎn)P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】求一條直線關(guān)于另一條直線的對(duì)稱直線的基本途徑是把它轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問(wèn)題，即在其上取一點(diǎn)（或兩點(diǎn)），求出它們關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式即可求得所求的直線方程．題型十：平行線間距離公式例28．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）兩平行直線，之間的距離為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以由兩平行直線間的距離公式得．故答案為：.例29．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）若直線與平行，則與間的距離是．【答案】2【解析】因?yàn)?，所以，得，所以與間的距離.故答案為：2例30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線與，之間的距離相等，則直線的方程是．【答案】【解析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與，之間的距離相等，所以，解得，所以直線方程為，故答案為：變式34．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則與之間的距離為．【答案】【解析】由題意知兩直線平行，所以與之間的距離.故答案為：變式35．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的距離為，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】或【解析】依題意，解得或.故答案為：或變式36．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為．【答案】【解析】依題意設(shè)直線的方程為，，則，即，解得，所以直線的方程為．故答案為：【方法技巧與總結(jié)】求兩平行線間的距離，一般是直接利用兩平行線間的距離公式，當(dāng)直線，且時(shí)，；當(dāng)直線且時(shí)，．但必須注意兩直線方程中的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．題型十一：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為．【答案】【解析】設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€l上，所以，即直線的方程為．故答案為：例32．（2023·高二單元測(cè)試）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程是．【答案】【解析】設(shè)對(duì)稱直線為，則有，即解這個(gè)方程得（舍）或.所以對(duì)稱直線的方程中.故答案為：.例33．（2023·河北廊坊·高三?？茧A段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為.【答案】【解析】直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程可設(shè)為，其中又點(diǎn)到直線與到直線的距離相等所以，即，所以或（舍）.故所求直線方程為：.故答案為：.變式37．（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中校考期中）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且點(diǎn)到兩直線的距離相等，設(shè)直線為，則，解得或（舍去），所以所求直線方程為.故答案為：.變式38．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程是．【答案】【解析】記直線l關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的直線為，則由題意可知，所以設(shè)的方程為，即又點(diǎn)點(diǎn)P到兩直線的距離相等，所以整理可得，解得或當(dāng)時(shí)，即為直線l，故所以所求方程為：.故答案為：變式39．（2023·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）直線恒過(guò)定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【答案】【解析】由得：，當(dāng)時(shí)，，；設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為，，解得：或（舍），直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為.故答案為：.變式40．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【答案】【解析】在對(duì)稱直線上任取一點(diǎn),設(shè)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，由于在直線上，所以，即，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】求直線l關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的直線求解方法是：在已知直線l上取一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱得，再利用，由點(diǎn)斜式方程求得直線的方程（或者由，且點(diǎn)到直線l及的距離相等來(lái)求解）．題型十二：將軍飲馬問(wèn)題例34．（2023·河北石家莊·高二河北新樂(lè)市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路最短？試求最?。?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，設(shè)，，，則為點(diǎn)分別到點(diǎn)，的距離之和，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故選：B.例35．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)路程和最小，由題知，點(diǎn)滿足：，解得：，，即點(diǎn)，因?yàn)?，所以“將軍飲馬”的最短總路程為，故選：D例36．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，如下圖所示：在直線上任取一點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：B.變式41．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）．A．5 B． C．45 D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以即為“將軍飲馬”的最短總路程，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：B．變式42．（2023·重慶長(zhǎng)壽·高二重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校?？计谥校┮阎c(diǎn)在直線上，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，∴，又，∴.故選：C.變式43．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線l的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，可得，可得，依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為，此時(shí)，故選：D.變式44．（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接，取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線.(1)求直線的方程；(2)已知兩點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)使得最小，求點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）因?yàn)榕c直線平行，直線的方程為，故可設(shè)直線的方程為，由已知，過(guò)點(diǎn)作直線，交直線與點(diǎn)，交直線與點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，所?又，所以,所以，則或，結(jié)合圖形檢驗(yàn)可得與條件矛盾，所以，故直線的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，連接與直線交與，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，由已知，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，聯(lián)立可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)最小.變式45．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面上兩點(diǎn)和，在直線上求一點(diǎn)M．(1)使最大值；(2)使最?。窘馕觥浚?）若為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在直線上，所以，得，則，由，則，要使最大，只需共線，.（2）如上圖，要使最小，只需共線，所以.變式46．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，直線．(1)在上求一點(diǎn)，使的值最?。?2)在上求一點(diǎn)，使的值最大．【解析】（1）由題意知，點(diǎn)、在直線的同一側(cè)．由平面幾何的知識(shí)可知，先作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接，則直線與的交點(diǎn)為所求．設(shè)，則且，解得，，，直線的方程為．由，解得，即為所求；（2）連接，則與直線的交點(diǎn)即為所求，易得直線的方程為，聯(lián)立，解得，即為所求．變式47．（2023·山東淄博·高二山東省淄博第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，直線.(1)在直線上找一點(diǎn)使得最小，并求這個(gè)最小值和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在直線上找一點(diǎn)使得最大，并求這個(gè)最大值和點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以直線的方程為，即.當(dāng)為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，最小.由，解得，所以，從而的最小值為.（2）由題意知直線的方程為，即.當(dāng)為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，最大.由，解得，所以，從而的最大值為.【方法技巧與總結(jié)】由平面幾何知識(shí)（三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊）可知，要在直線上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之差最大的問(wèn)題，若這兩點(diǎn)、位于直線的同側(cè)，則只需求出直線的方程，再求它與已知直線的交點(diǎn)，即得所求的點(diǎn)的坐標(biāo)；若、兩點(diǎn)位于直線的異側(cè)，則先求、兩點(diǎn)中某一點(diǎn)（如A）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再求直線的方程，再求它們與直線的交點(diǎn)即可．對(duì)于在直線上求一點(diǎn)，使到平面上兩點(diǎn)、的距離之和最小的問(wèn)題可用類似方法求解．1．（江西省景德鎮(zhèn)市20222023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一周南中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線和軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，所以，此時(shí)周長(zhǎng)最小，即，由，直線方程為，所以，解得，所以，可得直線方程為，即，由，解得，所以，令可，所以.故選：C.3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：與關(guān)于直線對(duì)稱，與平行，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線，即是交換位置所得，即，相互平行，的斜率為，故.故選：C.4．（2023·廣東汕頭·高二?？计谥校┤糁本€與平行，則間的距離是（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【解析】由題設(shè)，則，可得或，時(shí)，，，滿足題設(shè)；時(shí)，，，顯然重合，不滿足；所以，此時(shí)，，它們距離為.故選：C5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)分別在直線和上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【解析】由題意，知點(diǎn)M在直線與之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為，則，即，∴點(diǎn)M在直線上，∴點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值就是原點(diǎn)到直線的距離，即.故選：A.6．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中?？计谀┮阎本€的傾斜角為，在軸上的截距與另一條直線在軸上的截距相同，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】由直線方程，令，解得，則直線過(guò)，由直線的傾斜角為，則該直線的斜率，故直線方程為：，化簡(jiǎn)可得：，則點(diǎn)到直線的距離.故選：C.7．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)，則.設(shè)，則有，解得，所以.設(shè)，則，所以，又，所以點(diǎn)到軸的距離為，所以，可視為線段上的點(diǎn)到軸的距離和到的距離之和.過(guò)作軸，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，和有最小值.過(guò)點(diǎn)作軸，則即為最小值，與線段的交點(diǎn)，即為最小值時(shí)的位置.因?yàn)椋缘淖钚≈禐?故選：B．8．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)間的折線距離，該距離也稱曼哈頓距離．已知點(diǎn)，若，則的最小值與最大值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，．令，作出所表示的平面區(qū)域如圖中實(shí)線所示，則，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，結(jié)合圖形可知的最小值為2，最大值為4，故的最小值與最大值之和為，故選：B．9．（多選題）（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）若兩直線與互相平行，則（

）A．B．C．與之間的距離為D．與、距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為【答案】ACD【解析】因?yàn)閮芍本€與互相平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩直線與互相平行滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩直線與重合，不合題意.綜上有兩直線與互相平行時(shí)，.故A正確，B錯(cuò)誤；與的距離為，故C正確；設(shè)與、距離相等的點(diǎn)為，則，整理得，所以與、距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為，故D正確.故選：ACD10．（多選題）（2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)，到直線距離相等時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在C．當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距為2 D．當(dāng)時(shí)，直線與直線平行【答案】CD【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，解得或，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：時(shí)，，直線斜率為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：時(shí)，，取，則，正確；對(duì)選項(xiàng)D：時(shí)，，，不過(guò)A點(diǎn)，，，正確；故選：CD11．（多選題）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若A、B、C三點(diǎn)共線，則

B．存在實(shí)數(shù)m，使得C．若三角形是直角三角形，則或D．設(shè)，當(dāng)時(shí)，三角形與三角形的面積相等【答案】AD【解析】由題意在直線上，如圖，選項(xiàng)A，則已知，解得，A正確；選項(xiàng)B，由已知，，，若存在實(shí)數(shù)，使得，則，此方程無(wú)解，因此不存在，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，若三角形是直角三角形，由圖可知若，則，解得，若，則，解得，若，則，解得，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，與不共線，而到直線（即直線）的距離相等，因此角形與三角形的面積相等，D正