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天水市重點(diǎn)中學(xué)2025屆初三下學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.下列運(yùn)算正確的()A.(b2)3=b5 B.x3÷x3=x C.5y3?3y2=15y5 D.a(chǎn)+a2=a32.如圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,N為AC的三等分點(diǎn),三角形邊上的動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C的方向運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程為x,MN2=y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為A.B.C.D.3.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90o,AB=6,BC=8,點(diǎn)D在BC上,以AC為對(duì)角線的所有□ADCE中,DE的最小值是(
)A.4 B.6 C.8 D.104.如圖,在正三角形ABC中,D,E,F分別是BC,AC,AB上的點(diǎn),DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于()A.1∶3 B.2∶3 C.∶2 D.∶35.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+cy1>y1.其中說法正確的是()A.①②B.②③C.①②④D.②③④6.如圖,A,B是半徑為1的⊙O上兩點(diǎn),且OA⊥OB,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),在⊙O上以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)結(jié)束,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(單位:s),弦BP的長(zhǎng)為y,那么下列圖象中可能表示y與x函數(shù)關(guān)系的是()A.① B.③ C.②或④ D.①或③7.函數(shù)y=和y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖,點(diǎn)P是y=的圖象上一動(dòng)點(diǎn),PC⊥x軸于點(diǎn)C,交y=的圖象于點(diǎn)B.給出如下結(jié)論:①△ODB與△OCA的面積相等;②PA與PB始終相等;③四邊形PAOB的面積大小不會(huì)發(fā)生變化;④CA=AP.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④8.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的正半軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=2,且OA=OC.有下列結(jié)論:①abc<0;②3b+4c<0;③c>﹣1;④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為﹣,其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.49.已知拋物線y=ax2﹣(2a+1)x+a﹣1與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn),若x1<1,x2>2,則a的取值范圍是()A.a(chǎn)<3 B.0<a<3 C.a(chǎn)>﹣3 D.﹣3<a<010.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD為⊙O的直徑,交BC于點(diǎn)E,若DE=2,OE=3,則tan∠ACB·tan∠ABC=()A.2 B.3 C.4 D.5二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.長(zhǎng)、寬分別為a、b的矩形,它的周長(zhǎng)為14,面積為10,則a2b+ab2的值為_____.12.如圖,△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上,DE∥AC,若DB=4,AB=6,BE=3,則EC的長(zhǎng)是_____.13.如圖,四邊形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形EBF的半徑為2,圓心角為60°,則圖中陰影部分的面積是_____.14.已知實(shí)數(shù)m,n滿足,,且,則=.15.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒lcm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),將△PQC沿BC翻折,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′,設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,若四邊形QP′CP為菱形,則t的值為_____.16.關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則的值等于_____.17.新定義[a,b]為一次函數(shù)(其中a≠0,且a,b為實(shí)數(shù))的“關(guān)聯(lián)數(shù)”,若“關(guān)聯(lián)數(shù)”[3,m+2]所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)是正比例函數(shù),則關(guān)于x的方程1x-1+1三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:(1)一個(gè)水瓶與一個(gè)水杯分別是多少元?(2)甲、乙兩家商場(chǎng)同時(shí)出售同樣的水瓶和水杯,為了迎接新年,兩家商場(chǎng)都在搞促銷活動(dòng),甲商場(chǎng)規(guī)定:這兩種商品都打八折;乙商場(chǎng)規(guī)定:買一個(gè)水瓶贈(zèng)送兩個(gè)水杯,另外購(gòu)買的水杯按原價(jià)賣.若某單位想要買5個(gè)水瓶和n(n>10,且n為整數(shù))個(gè)水杯,請(qǐng)問選擇哪家商場(chǎng)購(gòu)買更合算,并說明理由.(必須在同一家購(gòu)買)19.(5分)矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處.(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接AP、OP、OA.①求證:△OCP∽△PDA;②若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長(zhǎng).(2)如圖2,在(1)的條件下,擦去AO和OP,連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(不與點(diǎn)P、A重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上,且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過程中,線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若不變,求出線段EF的長(zhǎng)度;若變化,說明理由.20.(8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),△AOB是等腰直角三角形,∠AOB=90°,點(diǎn)A(2,1).(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(3)在(2)所求的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使四邊形ABOP的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.21.(10分)某商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共200件,其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表,商品名稱甲乙進(jìn)價(jià)(元/件)80100售價(jià)(元/件)160240設(shè)其中甲種商品購(gòu)進(jìn)x件,該商場(chǎng)售完這200件商品的總利潤(rùn)為y元.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)該商品計(jì)劃最多投入18000元用于購(gòu)買這兩種商品,則至少要購(gòu)進(jìn)多少件甲商品?若售完這些商品,則商場(chǎng)可獲得的最大利潤(rùn)是多少元?(3)在(2)的基礎(chǔ)上,實(shí)際進(jìn)貨時(shí),生產(chǎn)廠家對(duì)甲種商品的出廠價(jià)下調(diào)a元(50<a<70)出售,且限定商場(chǎng)最多購(gòu)進(jìn)120件,若商場(chǎng)保持同種商品的售價(jià)不變,請(qǐng)你根據(jù)以上信息及(2)中的條件,設(shè)計(jì)出使該商場(chǎng)獲得最大利潤(rùn)的進(jìn)貨方案.22.(10分)拋物線y=﹣x2+bx+c(b,c均是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)O(0,0),A(4,4),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B,且拋物線對(duì)稱軸與線段OA交于點(diǎn)P.(1)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)過點(diǎn)P作x軸的平行線l,若點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn),連接QB.①若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);②若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,當(dāng)線段AD的長(zhǎng)最短時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(直接寫出答案即可).23.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)A(8,0)、點(diǎn)B(0,4),點(diǎn)C、D分別是邊OA、AB的中點(diǎn).將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得△AC′D′,記旋轉(zhuǎn)角為α.(I)如圖①,連接BD′,當(dāng)BD′∥OA時(shí),求點(diǎn)D′的坐標(biāo);(II)如圖②,當(dāng)α=60°時(shí),求點(diǎn)C′的坐標(biāo);(III)當(dāng)點(diǎn)B,D′,C′共線時(shí),求點(diǎn)C′的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).24.(14分)某校在一次大課間活動(dòng)中,采用了四鐘活動(dòng)形式:A、跑步,B、跳繩,C、做操,D、游戲.全校學(xué)生都選擇了一種形式參與活動(dòng),小杰對(duì)同學(xué)們選用的活動(dòng)形式進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果,繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖,回答下列問題:(1)這次調(diào)查中,一共調(diào)查了多少名學(xué)生?(2)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“B:跳繩”所對(duì)扇形的圓心角的度數(shù),并補(bǔ)全條形圖;(3)若該校有2000名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)選擇“A:跑步”的學(xué)生約有多少人?
參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、C【解析】分析:直接利用冪的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式和合并同類項(xiàng)法則.詳解:A、(b2)3=b6,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、x3÷x3=1,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、5y3?3y2=15y5,正確;D、a+a2,無法計(jì)算,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.點(diǎn)睛:此題主要考查了冪的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式和合并同類項(xiàng),正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.2、B【解析】分析:分析y隨x的變化而變化的趨勢(shì),應(yīng)用排它法求解,而不一定要通過求解析式來解決:∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,N為AC的三等分點(diǎn),∴AN=1?!喈?dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)A處時(shí),x=0,y=1。①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)到AM=的過程中,y隨x的增大而減小,故排除D;②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)C點(diǎn)時(shí),x=6,y=3﹣1=2,即此時(shí)y的值與點(diǎn)M在點(diǎn)A處時(shí)的值不相等,故排除A、C。故選B。3、B【解析】
平行四邊形ADCE的對(duì)角線的交點(diǎn)是AC的中點(diǎn)O,當(dāng)OD⊥BC時(shí),OD最小,即DE最小,根據(jù)三角形中位線定理即可求解.【詳解】平行四邊形ADCE的對(duì)角線的交點(diǎn)是AC的中點(diǎn)O,當(dāng)OD⊥BC時(shí),OD最小,即DE最小?!逴D⊥BC,BC⊥AB,∴OD∥AB,又∵OC=OA,∴OD是△ABC的中位線,∴OD=AB=3,∴DE=2OD=6.故選:B.本題考查了平行四邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是利用三角形中位線定理進(jìn)行求解.4、A【解析】∵DE⊥AC,EF⊥AB,F(xiàn)D⊥BC,∴∠C+∠EDC=90°,∠FDE+∠EDC=90°,∴∠C=∠FDE,同理可得:∠B=∠DFE,∠A=DEF,∴△DEF∽△CAB,∴△DEF與△ABC的面積之比=,又∵△ABC為正三角形,∴∠B=∠C=∠A=60°∴△EFD是等邊三角形,∴EF=DE=DF,又∵DE⊥AC,EF⊥AB,F(xiàn)D⊥BC,∴△AEF≌△CDE≌△BFD,∴BF=AE=CD,AF=BD=EC,在Rt△DEC中,DE=DC×sin∠C=DC,EC=cos∠C×DC=DC,又∵DC+BD=BC=AC=DC,∴,∴△DEF與△ABC的面積之比等于:故選A.點(diǎn)晴:本題主要通過證出兩個(gè)三角形是相似三角形,再利用相似三角形的性質(zhì):相似三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)邊之比的平方,進(jìn)而將求面積比的問題轉(zhuǎn)化為求邊之比的問題,并通過含30度角的直角三角形三邊間的關(guān)系(銳角三角形函數(shù))即可得出對(duì)應(yīng)邊之比,進(jìn)而得到面積比.5、C【解析】∵二次函數(shù)的圖象的開口向上,∴a>0?!叨魏瘮?shù)的圖象y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,∴c<0?!叨魏瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=﹣1,∴-b∴abc<0,因此說法①正確?!?a﹣b=1a﹣1a=0,因此說法②正確?!叨魏瘮?shù)y=∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0)?!喟褁=1代入y=ax1+bx+c得:y=4a+1b+c>0,因此說法③錯(cuò)誤?!叨魏瘮?shù)y=∴點(diǎn)(﹣5,y1)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,y1),∵當(dāng)x>﹣1時(shí),y隨x的增大而增大,而52∴y1<y1,因此說法④正確。綜上所述,說法正確的是①②④。故選C。6、D【解析】
分兩種情形討論當(dāng)點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),圖象是③,當(dāng)點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),圖象是①,由此即可解決問題.【詳解】分兩種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),BP的長(zhǎng)從增加到2,再降到0,再增加到,圖象③符合;②當(dāng)點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),BP的長(zhǎng)從降到0,再增加到2,再降到,圖象①符合.故答案為①或③.故選D.本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)圖象、圓的有關(guān)知識(shí),解題的關(guān)鍵理解題意,學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題,屬于中考??碱}型.7、C【解析】解:∵A、B是反比函數(shù)上的點(diǎn),∴S△OBD=S△OAC=,故①正確;當(dāng)P的橫縱坐標(biāo)相等時(shí)PA=PB,故②錯(cuò)誤;∵P是的圖象上一動(dòng)點(diǎn),∴S矩形PDOC=4,∴S四邊形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3,故③正確;連接OP,=4,∴AC=PC,PA=PC,∴=3,∴AC=AP;故④正確;綜上所述,正確的結(jié)論有①③④.故選C.點(diǎn)睛:本題考查的是反比例函數(shù)綜合題,熟知反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義是解答此題的關(guān)鍵.8、B【解析】
由二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸及與y軸的交點(diǎn)可分別判斷出a、b、c的符號(hào),從而可判斷①;由對(duì)稱軸=2可知a=,由圖象可知當(dāng)x=1時(shí),y>0,可判斷②;由OA=OC,且OA<1,可判斷③;把-代入方程整理可得ac2-bc+c=0,結(jié)合③可判斷④;從而可得出答案.【詳解】解:∵圖象開口向下,∴a<0,∵對(duì)稱軸為直線x=2,∴>0,∴b>0,∵與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方,∴c<0,∴abc>0,故①錯(cuò)誤.∵對(duì)稱軸為直線x=2,∴=2,∴a=,∵由圖象可知當(dāng)x=1時(shí),y>0,∴a+b+c>0,∴4a+4b+4c>0,∴4()+4b+4c>0,∴3b+4c>0,故②錯(cuò)誤.∵由圖象可知OA<1,且OA=OC,∴OC<1,即-c<1,∴c>-1,故③正確.∵假設(shè)方程的一個(gè)根為x=-,把x=-代入方程可得+c=0,整理可得ac-b+1=0,兩邊同時(shí)乘c可得ac2-bc+c=0,∴方程有一個(gè)根為x=-c,由③可知-c=OA,而當(dāng)x=OA是方程的根,∴x=-c是方程的根,即假設(shè)成立,故④正確.綜上可知正確的結(jié)論有三個(gè):③④.故選B.本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).熟練掌握?qǐng)D象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.特別是利用好題目中的OA=OC,是解題的關(guān)鍵.9、B【解析】由已知拋物線求出對(duì)稱軸,解:拋物線:,對(duì)稱軸,由判別式得出a的取值范圍.,,∴,①,.②由①②得.故選B.10、C【解析】
如圖(見解析),連接BD、CD,根據(jù)圓周角定理可得,再根據(jù)相似三角形的判定定理可得,然后由相似三角形的性質(zhì)可得,同理可得;又根據(jù)圓周角定理可得,再根據(jù)正切的定義可得,然后求兩個(gè)正切值之積即可得出答案.【詳解】如圖,連接BD、CD在和中,同理可得:,即為⊙O的直徑故選:C.本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定定理與性質(zhì)、正切函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn),通過作輔助線,結(jié)合圓周角定理得出相似三角形是解題關(guān)鍵.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、1.【解析】
由周長(zhǎng)和面積可分別求得a+b和ab的值,再利用因式分解把所求代數(shù)式可化為ab(a+b),代入可求得答案【詳解】∵長(zhǎng)、寬分別為a、b的矩形,它的周長(zhǎng)為14,面積為10,
∴a+b==7,ab=10,
∴a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=1,
故答案為:1.本題主要考查因式分解的應(yīng)用,把所求代數(shù)式化為ab(a+b)是解題的關(guān)鍵.12、【解析】
由△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上,DE∥AC,根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得DB:AB=BE:BC,又由DB=4,AB=6,BE=3,即可求得答案.【詳解】解:∵DE∥AC,∴DB:AB=BE:BC,∵DB=4,AB=6,BE=3,∴4:6=3:BC,解得:BC=,∴EC=BC﹣BE=﹣3=.故答案為.考查了平行線分線段成比例定理,解題時(shí)注意:平行于三角形的一邊,并且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.13、【解析】
連接BD,易證△DAB是等邊三角形,即可求得△ABD的高為,再證明△ABG≌△DBH,即可得四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積,由圖中陰影部分的面積為S扇形EBF﹣S△ABD即可求解.【詳解】如圖,連接BD.∵四邊形ABCD是菱形,∠A=60°,∴∠ADC=120°,∴∠1=∠2=60°,∴△DAB是等邊三角形,∵AB=2,∴△ABD的高為,∵扇形BEF的半徑為2,圓心角為60°,∴∠4+∠5=60°,∠3+∠5=60°,∴∠3=∠4,設(shè)AD、BE相交于點(diǎn)G,設(shè)BF、DC相交于點(diǎn)H,在△ABG和△DBH中,,∴△ABG≌△DBH(ASA),∴四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積,∴圖中陰影部分的面積是:S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×2×=.故答案是:.本題考查了扇形的面積計(jì)算以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),根據(jù)已知得出四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積是解題關(guān)鍵.14、.【解析】試題分析:由時(shí),得到m,n是方程的兩個(gè)不等的根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.試題解析:∵時(shí),則m,n是方程3x2﹣6x﹣5=0的兩個(gè)不相等的根,∴,.∴原式===,故答案為.考點(diǎn):根與系數(shù)的關(guān)系.15、1【解析】作PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,如圖,AP=t,BQ=tcm,(0≤t<6)∵∠C=90°,AC=BC=6cm,∴△ABC為直角三角形,∴∠A=∠B=45°,∴△APE和△PBD為等腰直角三角形,∴PE=AE=AP=tcm,BD=PD,∴CE=AC﹣AE=(6﹣t)cm,∵四邊形PECD為矩形,∴PD=EC=(6﹣t)cm,∴BD=(6﹣t)cm,∴QD=BD﹣BQ=(6﹣1t)cm,在Rt△PCE中,PC1=PE1+CE1=t1+(6﹣t)1,在Rt△PDQ中,PQ1=PD1+DQ1=(6﹣t)1+(6﹣1t)1,∵四邊形QPCP′為菱形,∴PQ=PC,∴t1+(6﹣t)1=(6﹣t)1+(6﹣1t)1,∴t1=1,t1=6(舍去),∴t的值為1.故答案為1.【點(diǎn)睛】
此題主要考查了菱形的性質(zhì),勾股定理,關(guān)鍵是要熟記定理的內(nèi)容并會(huì)應(yīng)用.16、【解析】分析:先根據(jù)根的判別式得到a-1=,把原式變形為,然后代入即可得出結(jié)果.詳解:由題意得:△=,∴,∴,即a(a-1)=1,∴a-1=,故答案為-3.點(diǎn)睛:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2-4ac:當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個(gè),相等的實(shí)數(shù)根,也考查了一元二次方程的定義.17、53【解析】試題分析:根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)”[3,m+2]所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)是正比例函數(shù),得到y(tǒng)=3x+m+2為正比例函數(shù),即m+2=0,解得:m=-2,則分式方程為1x-1去分母得:2-(x-1)=2(x-1),去括號(hào)得:2-x+1=2x-2,解得:x=53經(jīng)檢驗(yàn)x=53考點(diǎn):1.一次函數(shù)的定義;2.解分式方程;3.正比例函數(shù)的定義.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1)一個(gè)水瓶40元,一個(gè)水杯是8元;(2)當(dāng)10<n<25時(shí),選擇乙商場(chǎng)購(gòu)買更合算.當(dāng)n>25時(shí),選擇甲商場(chǎng)購(gòu)買更合算.【解析】
(1)設(shè)一個(gè)水瓶x元,表示出一個(gè)水杯為(48﹣x)元,根據(jù)題意列出方程,求出方程的解即可得到結(jié)果;(2)計(jì)算出兩商場(chǎng)得費(fèi)用,比較即可得到結(jié)果.【詳解】解:(1)設(shè)一個(gè)水瓶x元,表示出一個(gè)水杯為(48﹣x)元,根據(jù)題意得:3x+4(48﹣x)=152,解得:x=40,則一個(gè)水瓶40元,一個(gè)水杯是8元;(2)甲商場(chǎng)所需費(fèi)用為(40×5+8n)×80%=160+6.4n乙商場(chǎng)所需費(fèi)用為5×40+(n﹣5×2)×8=120+8n則∵n>10,且n為整數(shù),∴160+6.4n﹣(120+8n)=40﹣1.6n討論:當(dāng)10<n<25時(shí),40﹣1.6n>0,160+0.64n>120+8n,∴選擇乙商場(chǎng)購(gòu)買更合算.當(dāng)n>25時(shí),40﹣1.6n<0,即160+0.64n<120+8n,∴選擇甲商場(chǎng)購(gòu)買更合算.此題主要考查不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系與不等關(guān)系進(jìn)行列式求解.19、(1)①證明見解析;②10;(2)線段EF的長(zhǎng)度不變,它的長(zhǎng)度為25..【解析】試題分析:(1)先證出∠C=∠D=90°,再根據(jù)∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即可證出△OCP∽△PDA;根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1:4,得出CP=12(2)作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)ME⊥PQ,得出EQ=12PQ,根據(jù)∠QMF=∠BNF,證出△MFQ≌△NFB,得出QF=12QB,再求出EF=12試題解析:(1)如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴∠1+∠3=90°,∵由折疊可得∠APO=∠B=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠3,又∵∠D=∠C,∴△OCP∽△PDA;∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,∴OPPA=CPDA=14(2)作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖2,∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP=∠MQP,∴MP=MQ,∵BN=PM,∴BN=QM.∵M(jìn)P=MQ,ME⊥PQ,∴EQ=12PQ.∵M(jìn)Q∥AN,∴∠QMF=∠BNF,在△MFQ和△NFB中,∵∠QFM=∠NFB,∠QMF=∠BNF,MQ=BN,∴△MFQ≌△NFB(AAS),∴QF=12QB,∴EF=EQ+QF=12PQ+12QB=12PB,由(1)中的結(jié)論可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,∴PB=82+42考點(diǎn):翻折變換(折疊問題);矩形的性質(zhì);相似形綜合題.20、(1)B(-1.2);(2)y=;(3)見解析.【解析】
(1)過A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,過B作BD⊥x軸于點(diǎn)D,則可證明△ACO≌△ODB,則可求得OD和BD的長(zhǎng),可求得B點(diǎn)坐標(biāo);(2)根據(jù)A、B、O三點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;(3)由四邊形ABOP可知點(diǎn)P在線段AO的下方,過P作PE∥y軸交線段OA于點(diǎn)E,可求得直線OA解析式,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo),可表示出PE的長(zhǎng),進(jìn)一步表示出△POA的面積,則可得到四邊形ABOP的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)如圖1,過A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,過B作BD⊥x軸于點(diǎn)D,∵△AOB為等腰三角形,∴AO=BO,∵∠AOB=90°,∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°,∴∠AOC=∠OBD,在△ACO和△ODB中∴△ACO≌△ODB(AAS),∵A(2,1),∴OD=AC=1,BD=OC=2,∴B(-1,2);(2)∵拋物線過O點(diǎn),∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得,解得,∴經(jīng)過A、B、O原點(diǎn)的拋物線解析式為y=x2-x;(3)∵四邊形ABOP,∴可知點(diǎn)P在線段OA的下方,過P作PE∥y軸交AO于點(diǎn)E,如圖2,設(shè)直線AO解析式為y=kx,∵A(2,1),∴k=,∴直線AO解析式為y=x,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t2-t),則E(t,t),∴PE=t-(t2-t)=-t2+t=-(t-1)2+,∴S△AOP=PE×2=PE═-(t-1)2+,由A(2,1)可求得OA=OB=,∴S△AOB=AO?BO=,∴S四邊形ABOP=S△AOB+S△AOP=-(t-1)2++=,∵-<0,∴當(dāng)t=1時(shí),四邊形ABOP的面積最大,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-),綜上可知存在使四邊形ABOP的面積最大的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為(1,-).本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,主要涉及待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積以及方程思想等知識(shí).在(1)中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵,在(2)中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用,在(3)中用t表示出四邊形ABOP的面積是解題的關(guān)鍵.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng),難度適中.21、(1)y=﹣60x+28000;(2)若售完這些商品,則商場(chǎng)可獲得的最大利潤(rùn)是22000元;(3)商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲商品120件,乙商品80件,獲利最大【解析】分析:(1)根據(jù)總利潤(rùn)=(甲的售價(jià)-甲的進(jìn)價(jià))×購(gòu)進(jìn)甲的數(shù)量+(乙的售價(jià)-乙的進(jìn)價(jià))×購(gòu)進(jìn)乙的數(shù)量代入列關(guān)系式,并化簡(jiǎn)即可;(2)根據(jù)總成本≤18000列不等式即可求出x的取值,再根據(jù)函數(shù)的增減性確定其最值問題;(3)把50<a<70分三種情況討論:一次項(xiàng)x的系數(shù)大于0、等于0、小于0,根據(jù)函數(shù)的增減性得出結(jié)論.詳解:(1)根據(jù)題意得:y=(160﹣80)x+(240﹣100)(200﹣x),=﹣60x+28000,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣60x+28000;(2)80x+100(200﹣x)≤18000,解得:x≥100,∴至少要購(gòu)進(jìn)100件甲商品,y=﹣60x+28000,∵﹣60<0,∴y隨x的增大而減小,∴當(dāng)x=100時(shí),y有最大值,y大=﹣60×100+28000=22000,∴若售完這些商品,則商場(chǎng)可獲得的最大利潤(rùn)是22000元;(3)y=(160﹣80+a)x+(240﹣100)(200﹣x)(100≤x≤120),y=(a﹣60)x+28000,①當(dāng)50<a<60時(shí),a﹣60<0,y隨x的增大而減小,∴當(dāng)x=100時(shí),y有最大利潤(rùn),即商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲商品100件,乙商品100件,獲利最大,②當(dāng)a=60時(shí),a﹣60=0,y=28000,即商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲商品的數(shù)量滿足100≤x≤120的整數(shù)件時(shí),獲利最大,③當(dāng)60<a<70時(shí),a﹣60>0,y隨x的增大而增大,∴當(dāng)x=120時(shí),y有最大利潤(rùn),即商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲商品120件,乙商品80件,獲利最大.點(diǎn)睛:本題是一次函數(shù)和一元一次不等式的綜合應(yīng)用,屬于銷售利潤(rùn)問題,在此類題中,要明確售價(jià)、進(jìn)價(jià)、利潤(rùn)的關(guān)系式:?jiǎn)渭麧?rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià),總利潤(rùn)=單個(gè)利潤(rùn)×數(shù)量;認(rèn)真讀題,弄清題中的每一個(gè)條件;對(duì)于最值問題,可利用一次函數(shù)的增減性來解決:形如y=kx+b中,當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減?。?2、(1)y=﹣(x﹣)2+;(,);(2)①(﹣,)或(,);②(0,);【解析】
1)把0(0,0),A(4,4v3)的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c,轉(zhuǎn)化為解方程組即可.(2)先求出直線OA的解析式,點(diǎn)B坐標(biāo),拋物線的對(duì)稱軸即可解決問題.(3)①如圖1中,點(diǎn)O關(guān)于直線BQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí),首先證明四邊形BOQC是菱形,設(shè)Q(m,),根據(jù)OQ=OB=5,可得方程,解方程即可解決問題.②如圖2中,由題意點(diǎn)D在以B為圓心5為半徑的OB上運(yùn)動(dòng),當(dāng)A,D、B共線時(shí),線段AD最小,設(shè)OD與BQ交于點(diǎn)H.先求出D、H兩點(diǎn)坐標(biāo),再求出直線BH的解析式即可解決問題.【詳解】(1)把O(0,0),A(4,4)的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c,得,解得,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+5x=﹣(x﹣)2+.所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,);(2)①由題意B(5,0),A(4,4),∴直線OA的解析式為y=x,AB==7,∵拋物線的對(duì)稱軸x=,∴P(,).如圖1中,點(diǎn)O關(guān)于直線BQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí),∵QC∥OB,∴∠CQB=∠QBO=∠QBC,∴CQ=BC=OB=5,∴四邊形BOQC是平行四邊形,∵BO=BC,∴四邊形BOQC是菱形,設(shè)Q(m,),∴OQ=OB=5,∴m2+()2=52,∴m=±,∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(﹣,)或(,);②如圖2中,由題意點(diǎn)D在以B為圓心5為半徑的⊙B上運(yùn)動(dòng),當(dāng)A、D、B共線時(shí),線段AD最小,設(shè)OD與BQ交于點(diǎn)H.∵AB=7,BD=5,∴AD=2,D(,),∵OH=HD,∴H(,),∴直線B
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