第五章一元函數積分學

第五章一元函數積分學

第五章一元函數積分學

本章前半部分介紹不定積分的概念及其計算方法，然后簡單介紹微分方程的基本概念以

及利用不定積分方法求解兩類簡單微分方程；后半部分介紹定積分的概念、計算方法，以

及定積分在幾何和物理的應用。本章內容占全出考試內容25%。重點是不定積分和定積分

計算，難點是換元法，分部積分。

5.1原函數與不定積分的概念

—?、原函數與不定積分

定義5.1設f(x)是定義在區(qū)間I上的一個函數。如果F(x)是區(qū)間I上的可導函數，并

且對任意的均有或Df(x)=f(x)dx則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數。

例如，因為對任意的均有，所以sinx是cosx在區(qū)間(-8,+oo)內的一個原函數。

因為對任意的均有，所以arcsinx是在(-1,1)內的一個原函數。

顯然，一個函數的原函數不是唯一的。事實上，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原

函數，即，那么，對任意常數C,均有，從而F(x)+C也是f(x)在區(qū)間I上的原函數。這

說明，如果函數f(x)在區(qū)間I上有一個原函數，那么f(x)在I上有無窮多個原函數。另

一方面，如果函數F(x)和G(x)都是函數f(x)在區(qū)間I

腳刪川1?1?喇

上的原函數，那么，從而G(x)-F(x)=C,即G(x)=F(x)+C,其中C為某個常數。因此,

如果函數f(x)在區(qū)間I上有一個原函數F(x),那么f(x)在區(qū)間I

上的全體原函數組成的集合為函數族

定義5.2如果函數f(x)在區(qū)間I上有原函數，那么稱f(x)在I上的全體原函數組成的

函數族為函數f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為，其中記號稱為積分號，f(x)稱為被積函

數，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量。

由定義以及前面的說明知，如果F(x)是f(x)在區(qū)間1

uniimn眥喇

上的一個原函數，那么

，其中C為任意常數，例如，

UHUIIIIIHIIIIIHIIIHII

，O

一個函數要具備什么條件，才能保證它的原函數一定存在呢？關于這個問題，我們有如

下結論，(證明略去)

定理5.1(原函數存在定理)如果函數f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么f(x)在區(qū)間I上一定

有原函數，即一定存在區(qū)間I上的可導函數F(x),使得。

簡單地說就是：連續(xù)函數必有原函數。由于初等函數在其定義區(qū)間上連續(xù)，所以初等函

數在其定義區(qū)間上一定有原函數。

怎樣求一個連續(xù)函數的原函數或不定積分呢？后面幾節(jié)討論這個問題。下面僅給出一些

簡單函數的不定積分的例子。

例1：求不定積分。

［答疑編號10050101：針對該題提問］

解：因為例2：求不定積分。，所以為函數x的一個原函數。故a。

［答疑編號10050102：針對該題提問］

解：當解0時,

當x<0時;

所以是函數在；。上的一個原函數，從而

不定積分有下而兩條性質

性質-性質二或或

例3：設曲線通過點(1,0),且曲線上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍。

試求此曲線的方程。

［答疑編號10050103：針對該題提問］

解：(1)設曲線方程為y=f(x),則由已知，曲線在點(x,f(x))處的斜率為

Illlllllllllllllllllllllllllllllllllll

IHUHHII刪IHfflll㈣It!

2；.曲線方程為y=x+C

(2)?.,曲線過點(1,0).-.0=l+C,.*.C=-l

2曲線方程為y=x-l

二、基本積分公式

既然積分運算與微分運算互為逆運算，因此，正如例1、例2中所做的那樣，可以很自

然地從導數或微分的基本公式得到相應的基本積分公式。下面將這些基本積分公式羅列如

下：

(1)

(3)

lllllilllillllli....H'llll!!!1!!

)；(2)；(4)；(k為常數)；

(6

IIIIIII

lllllilllilllllil!!Hl|i；r

(7)

(9)

(11)

(13)；(8)；(10)；(12)；(14)；；；；。

以上14個基本積分公式是求不定積分的基礎，其他函數的不定積分往往經過運算變形

后，最終都歸結為這些不定積分，因此必須牢牢記住。下面舉例說明如何利用這些公式計

算一些簡單的不定積分。

例4：求不定積分。

［答疑編號10050104：針對該題提問］

IIIIIlllllllllllliJIIIIIIIIII

Illllllllllllllllllllllfllllllllllll

解：

例5：求不定積分。

［答疑編號10050105：針對該題提問］

|iiii：lllllllliri

llhlll111

解:

例6：求不定積分。

［答疑編號10050106：針對該題提問］

IIIIHli：!i；!l!!!：!iil!!H；l!

解:

例7：求不定積分。

［答疑編號10050107：針對該題提問］

解：由還原公式

21nx2/.e=x

■Mi

三、不定積分的基本性質

僅僅有以上的基本積分公式是很不夠的，即使像Inx,tanx,cotx,secx,cscx,

arctanx,arccotx這樣一些基本初等函數，也無法直接利用以上基本公式給出它們的不定

積分。因此，有必要從一些求導法則去導出相應的求不定積分的方法，并逐步擴充不定積

分公式。這里首先從導數的加減運算得到不定積分的線性運算法則。

定理5.2兩個函數的和(或差)的不定積分等于函數的不定積分的和(或差)，即

■■■la

o

證明：設F(x)和G(x)分別為函數f(x)和g(x)的原函數，則

■■■IK

其中Cl,C2

IHHHIIIIIMffiniHt

為兩個任意常數。因此有其中C=C1土C2為任意常數。

........................................

另一方面，因為所以F(x)±G(x)為

IHHHIIIIIUmflHIl

f(x)土g(x)的一個原函數，從而

)■■■■

因此

定理5.2可以推廣到有限多個函數相加減的情形，即

iiiiiiiiiuiiimiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiiiiiiiiiiiiiii

類似地我們可以證明下列性質o

定理5.3求不定積分時，被積函數中非零的常數因子可以提到積分號外面來，即

（kWO為常數）

以上兩個性質（定理5.2和定理5.3）稱做不定積分的線性性質。利用不定積分的線性

性質可以求出一些簡單函數的不定積分。

例8：求不定積分

［答疑編號10050108：針對該題提問］

解：

例9：求不定積分=-2cosx+3arcsinx+C

［答疑編號10050109：針對該題提問］

解：

例10：求不定積分

［答疑編號10050H0：針對該題提問］

■■■■■,I

解：

這里利用了三角恒等式：secx=l+tanx

例11：求不定積分22

［答疑編號10050111：針對該題提問］

■IIIIHIIIIIH

解:

這里利用了三角恒等式：sinx+cosx=l例12：求不定積分22

［答疑編號10050H2：針對該題提問］

1illlHhll

iiiiiiiiiiiiuHiiiiiiiiiniiiiii

解：

IIIHtlllllllllllllllllHI

III；刖!Milliiii

mniiiiiuiiiiiiiiiiiiii

mm

例13：已知,求f(x)。

［答疑編號10050113：針對該題提問］解：因為。

例14：求，所以

，故

［答疑編號10050114：針對該題提問］

解：例15：求

［答疑編號10050115：針對該題提問］

iiiniiiiiililflf'ilililiiiniiihiiil

llllllllllllllltflllllllll

iiiiiiiiiiimniiliiiriiiiinlli

WTW

啦….mill…也

例16：求

［答疑編號10050116：針對該題提問］

llllllllllllllittlllllllll

iiiiiiiiiiiHiniiiiiiini

解：

例17：若F(x)是sinx的原函數。求

［答疑編號10050117：針對該題提問］

2解：..1④)是sinx的原函數

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

iiiiiuiiiiiiniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

例18：填空

IIUIIIIIIIIIIIIHIIIffll

1小1川!!!皿

=2

［答疑編號10050118：針對該題提問］解：由性質

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHII

皿川MJEM

§5.2不定積分的換元法

§5.1介紹了原函數與不定積分的概念、基本積分公式以及不定積分的線性性質，并通

過例子說明如何利用它們直接計算某些函數的不定積分。但是僅僅利用不定積分的線性性

質和基本積分公式所能計算的不定積分非常有限。因此有必要進一步研究不定積分的求

法。本節(jié)介紹如何將復合函數的微分法反過來用于計算不定積分，利用中間變量的代換得

到復合函數的不定積分，這就是通常說的不定積分的換元積分法，簡稱換元法。換元積分

法通常分成兩類：第一換元法和第二換元法。

一、第一換元法(湊微分法)

定理5.4設f(u)具有原函數，可導，則

,故

證明：設F(u)為f(u)的一個原函數，即又因為因此

11WWWTWnFFjfKIW彳ITT

..illiillllL!!iiiiiiliI；lliiiiiill!lilllliiiiiilIIil!

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiitnnii

愀Illi刖III

可導，所以可導，并且為的一個原函數，從而

公式(1

iramminnim

)叫第一換元積分公式，在實際應用第一換元積分公式求不定積分時。因為

。因此公式(1)也可寫作

■■■

■■■■■III

若不定積分

例1：求不定積分

復合而成。因此，

故有，其中u=g(x)容易計算。則可得［答疑編號10050201：針對該題提問］解：被

積函數sin3x是一個復合函數，它是由f(u)=sinu和為了利用第一換元積分公式，我們將

sin3x變形為

■■lU

■■a

例2：求不定積分

［答疑編號10050202：針對該題提問］解：函數是一個復合函數，它是由變形為

o和復合而成。為了利用第一換元積分公式，將函數

故

111.II....I

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

例3：求不定積分

［答疑編號10050203：針對該題提問］

解：函數是復合函數，它是由函數可以變形為

innniiinilMlllHlllllllninllll

由第一換元積分公式有

Illi!.11111I!!

llllllili：：!i

IIIIIIIIIIIIIIUI111IIIIIIIIIIIIIII

和復合而成，而，所以被積由以上各例的解題過程可以看出，要用第i換元積分法求

不定積分的主要步驟是：

(1)變換積分形式(或湊微分)，即

(2)作變量替換g(x)=u,有

(3)利用常用的積分公式求出不定積分:

(4)將u=g(x)代回得。

其中最關鍵的是第?步，即如何湊出合適的微分。因此，第換元積分法也稱為湊微分

法。

例4：設F(x)為函數f(x)的一個原函數，求

［答疑編號10050204：針對該題提問］

解：因為f(lnx)為函數f(u)和。

故由第一換元積分公式有

的復合，并且

,所以。

例5：設，求。

,故由第一換元積分公

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

III叫用ill：川即川

［答疑編號10050205：針對該題提問］-X-X解：函數f(e)是由f(u)和u=e復合而成,

而式有

當比較熟練以后，就沒必要將中間變量明顯地設出來。例6：求下列積分：

(1);

［答疑編號10050206：針對該題提問］

(2)；

［答疑編號10050207：針對該題提問］

(3)。

［答疑編號10050208：針對該題提問］

解：(1

IlilUllllHUIUIIIHHIIIIIII