2024-2025學(xué)年廣西大學(xué)附中九年級(jí)（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣西大學(xué)附中九年級(jí)（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x2+y=3 B.3x+y?5=0 C.x+12.下列垃圾分類的標(biāo)志圖案中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是(

)A. B. C. D.3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C=125°，則∠A的度數(shù)為(

)A.25°

B.30°

C.50°

D.55°4.若二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(?2,4)，則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)(

)A.(2,4) B.(?2,?4) C.(?4,2) D.(4,?2)5.若x1，x2是方程x2?6x?7=0A.x1+x2=6 B.x16.將拋物線y=(x?1)2+2向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線為A.y=(x?1)2+4 B.y=(x?4)2+47.據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元.設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為(

)A.3.2(1?x)2=3.7 B.3.2(1+x)2=3.78.如圖，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′.當(dāng)AB′落在AC上時(shí)，∠BAC′的度數(shù)為(

)A.65°B.70°

C.80°D.85°9.關(guān)于x的一元二次方程x2+4x?k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為(

)A.?4 B.4 C.0 D.1610.已知A(?1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是二次函數(shù)y=?xA.y1<y2<y3 B.11.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們要測一個(gè)如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點(diǎn)A，B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C，測出AB=40cm，CD=10cm，則圓形工件的半徑為(

)A.50cm

B.35cm

C.25cm

D.20cm12.如圖，拋物線m：y=ax2+b(a<0,b>0)與x軸于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點(diǎn)為C1，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A1.若四邊形AC1A.ab=?2 B.ab=?3 C.ab=?4 D.ab=?5二、填空題：本題共6小題，每小題2分，共12分。13.拋物線y=(x?2)2+514.一元二次方程2x2=9x+515.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(?3,0)，對(duì)稱軸為直線x=?1，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為______．16.一元二次方程4x(x?2)=x?2的解為______．17.點(diǎn)F是正五邊形ABCDE邊DE的中點(diǎn)，連接BF并延長與CD延長線交于點(diǎn)G，則∠BGC的度數(shù)為

．18.《九章算術(shù)》中記載：“今有勾六步，股八步.問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個(gè)直角三角形，勾(短直角邊)長為6步，股(長直角邊)長為8步，則該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是等于______步.三、計(jì)算題：本大題共1小題，共6分。19.解一元二次方程：x2四、解答題：本題共7小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。20.(本小題6分)

計(jì)算：?1221.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)．

(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；

(2)將△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△22.(本小題10分)

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E．

(1)求證：BE=CE；

(2)若AB=6，∠BAC=54°，求AD的長．

23.(本小題10分)

一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線.當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m.已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門(忽略其他因素)；

(2)對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？

24.(本小題10分)

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)D，DC的延長線交AB的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)若CD=3，∠ABC=60°，求線段AF25.(本小題10分)

課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2ax+a?3的最值問題展開探究．

【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．

(1)老師給出a=?4，求二次函數(shù)y=x2+2ax+a?3的最小值．

①請(qǐng)你寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)在xa…?4?2024…x…?20?2?4…y的最小值…??9?3?5?15…注：?為②的計(jì)算結(jié)果．

【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn).”

甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取x=?a，就能得到y(tǒng)的最小值.”

乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值”

(2)請(qǐng)結(jié)合函數(shù)解析式y(tǒng)=x2+2ax+a?3，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？

26.(本小題10分)

如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)(不在邊上)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)F的位置；將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．

(1)求證：△BDA≌△BFE；

(2)當(dāng)CD+DF+FE取得最小值時(shí)，求證：AD//BF；

(3)如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，連接MP，NP，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．

參考答案1.D

2.B

3.D

4.A

5.A

6.B

7.B

8.B

9.A

10.D

11.C

12.B

13.(2,5)

14.?9

15.(1,0)

16.x1=2，17.18°

18.4

19.解：(x?3)(x?1)=0，

x?3=0或x?1=0，

所以x1=3，x20.解：?12+(3?π)021.解：(1)如圖：△A1B1C1即為所求；點(diǎn)C1的坐標(biāo)(?3,?5)．

(2)如圖：22.(1)證明：如圖，連接AE．

∵AB是圓O的直徑，

∴∠AEB=90°，

即AE⊥BC．

又∵AB=AC，

∴AE是邊BC上的中線，

∴BE=CE；

(2)解：∵AB=6，

∴OA=3．

又∵OA=OD，∠BAC=54°，

∴∠AOD=180°?2×54°=72°，

∴AD的長為：72×π×3180=23.解：(1)∵8?6=2，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)，

設(shè)拋物線為y=a(x?2)2+3，

把點(diǎn)A(8,0)代入得：36a+3=0，

解得a=?112，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?112(x?2)2+3；

當(dāng)x=0時(shí)，y=?112×4+3=83>2.44，

∴球不能射進(jìn)球門．

(2)設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)m米，則移動(dòng)后的拋物線為y=?112(x?2?m)2+3，

24.(1)證明：連接OC，

∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，

∴BC=CE，

∴∠BAC=∠CAE，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC//AD，

∵AE⊥CD，

∴OC⊥DF，

∵OC是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

(2)解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠CAD=∠BAC=30°，

∵∠D=90°，CD=3，

∴AD=3CD=3，25.解：(1)①a=?4，y=x2+2ax+a?3=x2?8x?7；

②當(dāng)x=?b2a=4時(shí)，y取得最小值為：16?32?7=?23；

(2)合理，理由：

∵1>0，故函數(shù)有最小值，

當(dāng)x=?b2a=?a時(shí)，y取得最小值，

故甲同學(xué)的說法合理；

(3)正確，理由：

當(dāng)x=?a時(shí)，y=x2+2ax+a?3=?26.解：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DB=DF，∠BDF=60°，AB=EB，∠ABE=60°，

∴△BDF是等邊三角形，BD=BF，

∴∠DBF=∠ABE=60°，

∴∠DBF?∠ABF=∠ABE?∠ABF，

∴∠ABD=∠EBF，

在△BDA與△BFE中，

{BD=BF∠ABD=∠EBFAB=EB,

∴△BDA≌△BFE(SAS)；

(2)證明：由(1)可知△BDF是等邊三角形，

∴∠BFD=∠BDF=60°，

∵當(dāng)C，D，F(xiàn)，E共線時(shí)，CD+DF+FE最小，

∴∠BFE=180°?∠BFD=120°，

∵△BDA≌△BFE，

∴∠BDA=∠BFE=120°，

∴∠ADF=∠BDA?∠BDF=120°?60°=60°，

∴∠ADF=∠BFD，

∴AD//BF；

(3)∠MPN的大小是定值，理由如下：

∵M(jìn)，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，

∴MN//AD，MN=12AD，PN//EF，PN=12EF，

∵△BDA≌△BFE，

∴∠BEF=∠BAD，AD=EF，

∴MN=PN，

∵