2024-2025學(xué)年同步課件 數(shù)學(xué)（選擇性必修第一冊(cè) 人教A版2019） 第2章 直線和圓的方程 2-5-2 圓與圓的位置關(guān)系

2.5.2圓與圓的位置關(guān)系第二章2.5內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系及判定方法.2.能根據(jù)給定圓的方程,判斷圓與圓的位置關(guān)系.3.能應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決相關(guān)問題.4.提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法對(duì)于圓與圓的位置關(guān)系,是在將兩圓放在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下,通過觀察、分析、比較、判斷得到平面上兩圓位置關(guān)系有五種,如圖所示.1.已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x-a)2+y2=1,(1)兩圓的半徑r1,r2分別為多少?提示:r1=2,r2=1.(2)若a=4,兩圓的圓心距為多少?與兩半徑有何關(guān)系?兩圓有何位置關(guān)系?提示:圓心C1(0,0),C2(4,0),|C1C2|=4,|C1C2|>r1+r2,外離.(3)若a=3,兩圓的圓心距為多少?與半徑有何關(guān)系?兩圓有何位置關(guān)系?提示:圓心C1(0,0),C2(3,0),|C1C2|=3,|C1C2|=r1+r2,外切.(4)若a=2,兩圓的圓心距為多少?與半徑有何關(guān)系?兩圓有何位置關(guān)系?提示:圓心C1(0,0),C2(2,0),|C1C2|=2,r1-r2<|C1C2|<r1+r2,相交.(5)若a=1,兩圓的圓心距為多少?與半徑有何關(guān)系?兩圓有何位置關(guān)系?提示:圓心C1(0,0),C2(1,0),|C1C2|=1,|C1C2|=r1-r2,內(nèi)切.(6)若a=0,兩圓的圓心距為多少?與半徑有何關(guān)系?兩圓有何位置關(guān)系?提示:圓心C1(0,0),C2(0,0),|C1C2|=0,|C1C2|<r1-r2,內(nèi)含.2.如何利用兩圓的半徑和圓心距的大小關(guān)系即“幾何法”來判定圓與圓的位置關(guān)系?提示:設(shè)圓C1,C2的圓心距為d,兩圓的半徑分別為r1,r2.當(dāng)d>r1+r2時(shí),圓C1與圓C2外離;當(dāng)d=r1+r2時(shí),圓C1與圓C2外切;當(dāng)|r1-r2|<d<r1+r2時(shí),圓C1與圓C2相交;當(dāng)d=|r1-r2|時(shí),圓C1與圓C2內(nèi)切;當(dāng)d<|r1-r2|時(shí),圓C1與圓C2內(nèi)含.提示:聯(lián)立兩圓的方程,消去y后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,當(dāng)判別式Δ>0時(shí),兩圓相交;當(dāng)Δ=0時(shí),兩圓外切或內(nèi)切;當(dāng)Δ<0時(shí),兩圓外離或內(nèi)含.4.圓與圓的位置關(guān)系的判定(1)幾何法:5.(1)圓x2+y2-1=0和圓x2+y2-4x+2y-4=0的位置關(guān)系是(

)A.內(nèi)切 B.相交

C.外切 D.外離(2)已知圓x2+y2=1和圓(x+4)2+(y-a)2=25相切,則實(shí)數(shù)a的值為

.

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若兩圓有公共點(diǎn),則兩圓相交.(×)(2)若兩圓沒有公共點(diǎn),則兩圓相離.(√)(3)若兩圓外切,則兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),反之也成立.(×)(4)若兩圓有公共點(diǎn),則|r1-r2|≤d≤r1+r2.(√)合作探究釋疑解惑探究一圓與圓的位置關(guān)系的判定【例1】

已知圓C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圓C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).求當(dāng)a為何值時(shí),兩圓(1)相切?(2)相交?(3)相離?分析:先將圓的方程配方化成標(biāo)準(zhǔn)方程,再求出圓心距,然后與兩半徑的和或差比較大小,最后求出a的值.解:圓C1的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-1)2=16,圓C2的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2a)2+(y-1)2=1,則圓心C1(a,1),r1=4,圓心C2(2a,1),r2=1,(1)當(dāng)|C1C2|=r1+r2=5,即a=5時(shí),兩圓外切;當(dāng)|C1C2|=|r1-r2|=3,即a=3時(shí),兩圓內(nèi)切.(2)當(dāng)|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,即3<a<5時(shí),兩圓相交.(3)當(dāng)|C1C2|>r1+r2,即a>5時(shí),兩圓外離;當(dāng)|C1C2|<|r1-r2|,即0<a<3時(shí),兩圓內(nèi)含.若圓x2+y2=a與圓x2+y2+6x-8y-11=0內(nèi)切,則a的值為

.

解析:∵x2+y2=a表示一個(gè)圓,∴a>0.答案:1或121反思感悟

判斷兩圓位置關(guān)系的方法有兩種,一是代數(shù)法,看方程組的解的個(gè)數(shù),但往往運(yùn)算比較繁瑣;二是幾何法,看兩圓的圓心距d,當(dāng)d=r1+r2時(shí),兩圓外切;當(dāng)d=|r1-r2|時(shí),兩圓內(nèi)切;當(dāng)d>r1+r2時(shí),兩圓外離;當(dāng)d<|r1-r2|時(shí),兩圓內(nèi)含;當(dāng)|r1-r2|<d<r1+r2時(shí),兩圓相交.【變式訓(xùn)練1】

圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0與圓C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切線有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條解析:圓C1的半徑r1=2,圓心C1(-1,-1),圓C2的半徑r2=2,圓心C2(2,1),兩圓的圓心距|C1C2|=.由于|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,故兩圓相交,因而公切線有2條.答案:B探究二兩圓相交問題【例2】

已知圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長;(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn),且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.分析:(1)兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程,再根據(jù)半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系求出弦長.(2)可求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合圓心在直線x-y-4=0上求出圓心坐標(biāo)與半徑,也可利用圓系方程求解.解:(1)設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),①-②,得x-y+4=0.∵A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此直線方程,∴x-y+4=0即為兩圓公共弦所在直線的方程.得兩圓的交點(diǎn)A(-1,3),B(-6,-2).設(shè)所求圓的圓心為(a,b),由于圓心在直線x-y-4=0上,故b=a-4.由圓心到A,B兩點(diǎn)的距離相等,(方法二)由題意可設(shè)經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓的方程為x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的長為2,則a=

.答案:1反思感悟

1.求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法:將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項(xiàng)系數(shù)相同時(shí),才能如此求解,否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù).2.求兩圓公共弦長的方法:一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再用兩點(diǎn)間的距離公式求解;二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程,再利用半徑長、弦心距和弦長的一半滿足勾股定理求解.【變式訓(xùn)練2】

已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0與圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0相交于A,B兩點(diǎn),求AB所在直線的方程和公共弦AB的長.解:由圓C1的方程減去圓C2的方程,得方程3x-4y+6=0,則兩圓交點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程3x-4y+6=0.故兩圓公共弦AB所在直線的方程是3x-4y+6=0.∵圓C1的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-3)2=9,∴圓心為C1(-1,3),半徑r=3.探究三兩圓相切問題分析:要求圓的方程,需求出圓心坐標(biāo)及半徑,可利用直線與圓相切、圓與圓外切,建立關(guān)于a,b,r的方程組求解.解:圓C的方程可化為(x-1)2+y2=1,則圓心C(1,0),半徑為1.設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),反思感悟

1.圓與圓的位置關(guān)系主要是通過圓心距與兩半徑長的和或兩半徑長的差的絕對(duì)值的大小關(guān)系來判斷.2.直線與圓相切,即圓心到直線的距離等于半徑,另結(jié)合圓的性質(zhì),圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直,充分利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì)解題可以化繁為簡,提高運(yùn)算效率.【變式訓(xùn)練3】

與圓O:x2+y2=25外切于點(diǎn)P(4,3),且半徑為1的圓的方程是

.

解析:設(shè)所求圓的圓心為C(m,n),則O,P,C三點(diǎn)共線,且|OC|=6.由題意知,圓心C的坐標(biāo)位于第一象限,由兩直角三角形相似,【易錯(cuò)辨析】

兩圓的位置關(guān)系考慮不全面致誤【典例】

求半徑為4,與圓(x-2)2+(y-1)2=9相切,且和直線y=0相切的圓的方程.錯(cuò)解:由題意知,所求圓的圓心為C(a,4),半徑為4,故可設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-4)2=16.已知圓(x-2)2+(y-1)2=9的圓心A的坐標(biāo)為(2,1),半徑為3.以上解題過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:兩圓相切分為內(nèi)切和外切,與直線相切圓有兩個(gè)位置,不要遺漏.正解:設(shè)所求圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.圓C與直線y=0相切,且半徑為4,則圓心C的坐標(biāo)為C1(a,4)或C2(a,-4).已知圓(x-2)2+(y-1)2=9的圓心A的坐標(biāo)為(2,1),半徑為3.由兩圓相切,得|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.①當(dāng)圓心為C1(a,4)時(shí),|CA|2=(a-2)2+(4-1)2=72或|CA|2=(a-2)2+(4-1)2=12(無解),②當(dāng)圓心為C2(a,-4)時(shí),|CA|2=(a-2)2+(-4-1)2=72或|CA|2=(a-2)2+(-4-1)2=12(無解),防范措施

兩圓相切包括外切與內(nèi)切,當(dāng)兩圓外切時(shí),圓心距等于兩半徑之和;當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),圓心距等于兩半徑差的絕對(duì)值.當(dāng)題目中沒有說明是內(nèi)切還是外切時(shí),要分兩種情況進(jìn)行討論.解決兩圓相切問題,常用幾何法.【變式訓(xùn)練】

已知圓A、圓B相切,圓心距為10cm,其中圓A的半徑為4cm,則圓B的半徑為(

)A.6cm或14cm B.10cmC.14cm D.無解解析:設(shè)圓B的半徑為r

cm,∵圓A與圓B相切包括內(nèi)切與外切,∴10=4+r或10=r-4,即r=6或14.答案:A隨堂練習(xí)1.圓x2+y2-2x=0與圓x2+y2+4y=0的位置關(guān)系是(

)A.外離

B.外切

C.相交

D.內(nèi)切解析:圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1,圓x2+y2+4y=0的圓心為(0,-2),半徑為2,圓心距為

,∵2-1<<2+1,∴兩圓相交.答案:C2.兩圓x2+y2=r2,(x-3)2+(y+4)2=4外切,則正實(shí)數(shù)r的值為(

)A.1 B.2

C.3

D.4解析:顯然兩圓心的距離d=5,∵兩圓外切,∴r+2=5,∴r=3.答案:C3.已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x-5)2+(y+7)2=16相切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是(

)A.(x-5)2+(y+7)2=25B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y