浙江省德清縣第六中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試卷（二）

20232024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷（二）一、單選題1.下列結(jié)論正確的是（

）A．空間中三點確定一個平面B．空間中兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面C．一條直線和一個點能確定一個平面D．四邊形一定是平面圖形2.設(shè)是空間中的一個平面，是三條不同的直線，則下列說法對的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則3.一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球面面積不相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為4.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成.如圖，已知一木制陀螺內(nèi)接于一體積的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點在該球的球面上，若圓柱的底面直徑為，則該陀螺的體積為（） B. C. D.如圖，在正方體ABCD?A1B1

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形6．如圖所示，在長方體中，，點E是棱的中點，則點E到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．7．已知三棱錐的底面是正三角形，平面，且，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體ABCD的外接球的球半徑為，四面體的內(nèi)切球的球半徑為，則的值是（

）A． B． C． D．多選題9．已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線長為，則（

）A．圓臺的母線與底面所成的角為B．圓臺的側(cè)面積為C．圓臺的體積為D．若圓臺的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為如圖，正方體的棱長為1，點是棱上的一個動點（包含端點），則下列說法正確的是（）A.存在點，使面B.二面角的平面角大小為C.的最小值是D.到平面的距離最大值是如圖，設(shè)分別是正方體的棱上兩點，且，下列說法正確的是（）A．異面直線與所成的角為B．三棱錐的體積為3C．平面與平面所成的二面角大小為D．直線與平面所成的角為填空題12.一水平放置的平面四邊形，用斜二測畫法畫出它的直觀圖如圖，此直觀圖恰好是一個邊長為的正方形，則原平面四邊形的面積為_________,周長為________13.如圖，在四面體中，，，、分別為、的中點，，則異面直線與所成的角是_____________．14．已知棱長為2的正方體，點是線段上一動點．給出如下推斷：①對任意點，總有；②存在點，使得平面；③三棱錐體積的最大值為4．則所給推斷中正確的是______________．解答題15．已知內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，設(shè)向量，，且.(1)求角；(2)若，的面積為，求的周長.16．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱的中點，，，．（1）若平面與平面的交線為，求證：（2）求直線與平面所成角的正切值；17．猜燈謎又稱打燈謎，是我國從古代就開始流傳的元宵節(jié)特色活動.在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨立競猜，甲同學(xué)猜對了12道，乙同學(xué)猜對了8道，丙同學(xué)猜對了道.假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等.(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求的值.18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2BC＝2，CD＝．平面PAD⊥平面ABCD，∠PDA＝90°．(1)求證：平面PAC⊥平面PBD；2)若二面角B﹣PA﹣D的正切值為，求四棱錐P﹣ABCD的體積．19．已知在中，角，，的對邊分別為，，，.（1）若，求的值（2）若點在邊上，且，，求面積的最大值.20232024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷（二）答案一、單選題1.下列結(jié)論正確的是（

）A．空間中三點確定一個平面B．空間中兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面C．一條直線和一個點能確定一個平面D．四邊形一定是平面圖形【答案】B【解】A選項，空間中三點若共線，則不能確定一個平面，A錯誤；B選項，如圖，空間中兩兩相交且不共點的三條直線可確定三角形，而三角形為平面圖形，故可確定一個平面，B正確；C選項，若點在此直線上，此時一條直線和一個點不能確定一個平面，C錯誤；D選項，四邊形可能為空間四邊形，此時不是平面圖形，如圖，三棱錐中，四邊形就是空間四邊形，D錯誤.2.設(shè)是空間中的一個平面，是三條不同的直線，則下列說法對的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】D【解】對于A中，由，，，，只有直線與相交時，可得，所以A錯誤；對于B中，由，，，則與平行、相交或異面，所以B錯誤；對于C中，由，，，則，所以C錯誤；對于D中，由，，可得，又因為，所以，所以D正確.3.如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球面面積不相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為【答案】D【解】因為圓柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則圓柱的側(cè)面積為，A錯誤；圓錐的母線長，側(cè)面積為，B錯誤；球的表面積為，所以圓柱的側(cè)面積與球面面積相等，C錯誤；，，，D正確．4.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成.如圖，已知一木制陀螺內(nèi)接于一體積的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點在該球的球面上，若圓柱的底面直徑為，則該陀螺的體積為（） B. C. D.【答案】B【解】，解得，球心為圓柱的中心，又圓柱的底面半徑，∴球心到圓柱底面距離，∴圓柱的高為，圓錐的高為，∴該陀螺的體積為，如圖，在正方體ABCD?A1B1

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【解】如圖所示，取C1D1的中點P，連接PQ、PB1、AP，Q分別是C1D1，DD1AB1∥C1D，故故四邊形AB1PQ是過A，Q，B故選：D．

6．如圖所示，在長方體中，，點E是棱的中點，則點E到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解】設(shè)點E到平面的距離為h，因為點E是棱的中點，所以點E到平面的距離等于點B到平面的距離的一半，又平面過的中點，所以點B到平面的距離等于點D到平面的距離，由等體積法，所以，，，在中，，所以，則解得，即點E到平面的距離為.故選：B.7．已知三棱錐的底面是正三角形，平面，且，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解】如圖所示：為中點，連接，，作于.平面，平面，故，，，故平面，平面，故，又，，故平面，即即為直線與平面所成角.設(shè)，，，故.,故選：B8．已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體ABCD的外接球的球半徑為，四面體的內(nèi)切球的球半徑為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解】由題設(shè)，可將四面體補全為如下長方體，長寬高分別為，

所以，四面體外接球即為長方體外接球，則半徑，由題意，四面體的四個側(cè)面均為全等三角形，，為三角形內(nèi)角，所以，則，又，且，所以，即，綜上，.故選：A多選題9．已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線長為，則（

）A．圓臺的母線與底面所成的角為B．圓臺的側(cè)面積為C．圓臺的體積為D．若圓臺的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為【答案】ABD【解】對于A，因為圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線為，所以圓臺的高為：，根據(jù)線面角定義求出母線與底面所成角，A正確；對于B，由圓臺的側(cè)面積公式，求得圓臺的側(cè)面積為：，B正確；對于C，由圓臺的體積公式，求得圓臺體積為：，C錯誤；對于D，由題意可知球心在下底面下方，設(shè)球心到下底面的距離為，由勾股定理得，解得，則該球的半徑為，所以該球的表面積為，D正確．故選：ABD.10.如圖，正方體的棱長為1，點是棱上的一個動點（包含端點），則下列說法正確的是（）A.存在點，使面B.二面角的平面角大小為C.的最小值是D.到平面的距離最大值是【答案】AC【解】對于A，當與重合時，，根據(jù)線面平行的判定，可得使面，故正確；對于B，二面角就是二面角，其平面角大小為.故錯；對于C，如圖沿棱展開面為面，使點，，，，，共面，則的最小值為，故正確；對于D，當與重合時，垂直平面，此時點到面距離最大值為，故錯.11．如圖，設(shè)分別是正方體的棱上兩點，且，下列說法正確的是（）A．異面直線與所成的角為B．三棱錐的體積為3C．平面與平面所成的二面角大小為D．直線與平面所成的角為【答案】ABD【解】A中由于，因此異面直線與所成的角就是與的夾角，為，A正確；B中，三棱錐的體積，B正確；C中，平面即為平面，為平面與平面所成的二面角的平面角，＝，C錯誤；D中，連接交于，連接，由正方體性質(zhì)知，，而，因此平面，因此是直線與平面所成的角，在直角三角形中，，所以，D正確．故選：ABD．填空題12.一水平放置的平面四邊形，用斜二測畫法畫出它的直觀圖如圖，此直觀圖恰好是一個邊長為的正方形，則原平面四邊形的周長為______.解：把直觀圖還原為平面圖形，如圖所示，依題意，，所以，，則，所以原平面四邊形的周長為.13.如圖，在四面體中，，，、分別為、的中點，，則異面直線與所成的角是_____________．解：取的中點，連接，，因為為的中點，為的中點，所以且，且，所以即為異面直線與所成的角或其補角，又，，，所以，，所以，所以，所以為等腰直角三角形，所以；14．已知棱長為2的正方體，點是線段上一動點．給出如下推斷：

①對任意點，總有；②存在點，使得平面；③三棱錐體積的最大值為4．則所給推斷中正確的是______________．【答案】①②【詳解】對于①，

連接，因為底面為正方形，所以，底面，底面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，故①正確；對于②，

取的中點，連接，設(shè)，連接，因為，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，此時，當為與的交點時，有平面，所以存在點，使得平面，故②正確；對于③，

因為的面積是確定的，要使三棱錐體積的最大值，只須點到平面的距離最遠，即點與點重合時可取最大值，可得，因為，，所以，故③錯誤.故答案為：①③.解答題14．（2022春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，設(shè)向量，，且.(1)求角；(2)若，的面積為，求的周長.【解】(1)，由正弦定理可得，即，故，因為，故(2)由三角形面積公式，，故，故為等腰三角形，故，又，故，所以的周長為15．（2021春·江蘇常州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱的中點，，，．若平面與平面的交線為，求證：；（2）求直線與平面所成角的正切值；【解】證明：（1）∵、面、面，∴面,面，又∵面面，∴．（2）解：連結(jié)，取中點，連結(jié)，，∵是的中點，是的中點，∴，∵，為的中點，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，∴平面，∴是在平面內(nèi)的射影，∴為與平面所成的角，∵，，為的中點，，∴四邊形為矩形，∴，，又∵，∴中，，∴直線與平面所成角的正切值為．16．（2022春·江蘇蘇州·高一校考期末）猜燈謎又稱打燈謎，是我國從古代就開始流傳的元宵節(jié)特色活動.在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨立競猜，甲同學(xué)猜對了12道，乙同學(xué)猜對了8道，丙同學(xué)猜對了道.假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等.(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求的值.【解】(1)設(shè)“任選一道燈謎甲猜對”，“任選一道燈謎乙猜對”，“任選一道燈謎丙猜對”.則，，，故，，.“甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對”，且與互斥.每位同學(xué)獨立競猜，故，互相獨立，則與，與，與均相互獨立.所以.答：任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率為.(2)設(shè)“甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對”，則.所以.解得.17．（2021春·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2BC＝2，CD＝．平面PAD⊥平面ABCD，∠PDA＝90°．(1)求證：平面PAC⊥平面PBD；(2)若二面角B﹣PA﹣D的正切值為，求四棱錐P﹣ABCD的體積．【解】（1）證明：∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，∵，∴，∴∠DAC＝∠CDB，∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠CDB+∠DCA＝90°，∴AC⊥BD，∵平面PAD⊥平面ABCD，PD?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD⊥AD，∴PD⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD，∵AC?平面PAC．∴平面PAC⊥平面PBD．（3）如圖，取AD中點E，連接BE，作EF⊥PA，垂足為F，連接BF，易知BCDE為正方形∴BE∥CD，BE⊥AD，∵平面PA