高考數學第一輪復習導學案(新高考)第52講空間幾何體的表面積與體積(原卷版+解析)

第52講空間幾何體的表面積與體積知識梳理1.空間幾何體(1)多面體①棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫棱柱．側棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱．底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．②棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些所圍成的幾何體叫棱錐．如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上，則這個棱錐叫做正棱錐．③棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐．底面與截面之間的部分，叫棱臺．棱臺的各側棱延長后交于一點．(2)旋轉體①旋轉面：一條平面曲線繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面．②旋轉體：封閉的旋轉面圍成的幾何體．③圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱．不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面，無論旋轉到什么位置，這條邊都叫做母線．④圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．⑤圓臺：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，將直角梯形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．(或用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐．底面與截面之間的部分，叫做圓臺．)圓臺的母線延長后交于一點．⑥球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周所形成的旋轉體叫做球體，簡稱球．經過球面上兩點的大圓劣弧的長叫做球面距離．2.柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱圓錐圓臺＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱面積體積正棱錐正棱臺球3.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是．(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是、、；它們的表面積等于與底面面積之和．1、【2022年新高考1卷】南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148．5m時，相應水面的面積為140．0km2；水位為海拔157．5A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 A．18,814 B．274,8143、【2022年新高考2卷】已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和4A．100π B．128π C．144π D．192π4、【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．4735、【2021年甲卷理科】已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．6、【2021年新高考2卷】正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．7、【2020年新課標1卷理科】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（

）

A． B． C． D．8、【2020年新課標1卷理科】已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．1、已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A.1cmB.2cmC.3cmD.eq\f(3,2)cm2、正四棱錐底面正方形的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則該四棱錐的側面積()A.32B.48C.64D.eq\f(32,3)3、已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π4、（深圳市高級中學集團期末試題）已知圓錐的表面積為3π，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.考向一空間幾何體的的表面積例1、1．一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是eq\f(3,2)cm．則三棱臺的斜高為；三棱臺的側面積為；表面積為．2．已知圓柱的底面半徑為1，母線長與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為________．3．正六棱柱的底面邊長為4，高為6，則它的外接球(正六棱柱的頂點都在此球面上)的表面積為________．變式1、（1）（江蘇省南通市西亭高級中學2019-2020學年高三下學期學情調研）若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等圓柱、球的表面積分別記為、則有（2）（江蘇省南通市海安高級中學2019-2020學年高三下學期階段考試）現有一個橡皮泥制作的圓錐，底面半徑為1，高為4.若將它制作成一個總體積不變的球，則該球的表面積為_______.變式2、（1）（2022年江蘇省淮安市高三模擬試卷）一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側面積的比值是（）A. B. C. D.（2）（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側面積之比為（

）A． B． C． D．方法總結：幾何體的表面積的求法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積．考向二空間幾何體的體積例2、如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到空間圖形D-ABC，如圖2所示．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求空間圖形D-ABC的體積．圖1圖2變式1、（1）（江蘇省南通市海安高級中學2019-2020學年高三階段測試）如圖正四棱柱的體積為27，點E，F分別為棱上的點（異于端點）且，則四棱錐的體積為___________.（2）（江蘇省南通市海安高級中學2019-2020學年高三9月月考）已知長方體的體積為，則三棱錐的體積為______.方法總結：本題考查空間幾何體的體積運算．應注意：(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進行求解，其中，等積轉換法多用來求三棱錐的體積．(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解．考向三與球有關的切、接問題例3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B.2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D.3eq\r(10)變式1、(1)如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________；(2)已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(3)，內有一個球與四個面都相切，則該正三棱錐的內切球的半徑為________．變式2、（2020·河南高三期末（文））張衡是中國東漢時期偉大的天文學家、數學家，他曾經得出圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，底面，，且，，利用張衡的結論可得球的表面積為（）A．30 B． C．33 D．變式3、（2020屆山東省濰坊市高三上學期統(tǒng)考）已知邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕進行折疊，使折后的，則過，，，四點的球的表面積為（）A． B． C． D．方法總結：解決與球相關的切、接問題的解題要領：(1)球的內切問題主要是指球內切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果內切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．(2)把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題的關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．1、（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2、（2022年廣東省高三大聯考模擬試卷）我國古代建筑的屋頂對建筑立面起著特別重要的作用，古代建筑屋頂主要有廡殿式、硬山頂、歇山頂、懸山頂攢尖頂、盝頂、卷棚頂等類型，其中硬山式屋頂造型的最大特點是比較簡單、樸素，只有前后兩面坡，而且屋頂在山墻墻頭處與山墻齊平，沒有伸出部分，山面裸露沒有變化．硬山式屋頂（如圖1）可近似地看作直三棱柱（如圖2），其高為，到平面的距離為，為，則可估算硬山式屋頂的體積約為（）A. B. C. D.3、（2022年河北省衡水中學高三模擬試卷）已知一個圓錐的底面半徑為3，其側面積是底面積的2倍，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.4、（2022年廣東省佛山市高三模擬試卷）已知一圓臺高為7，下底面半徑長4，此圓臺外接球的表面積為，則此圓臺的體積為（）A. B. C. D.5、（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知菱形ABCD的各邊長為2，.將沿AC折起，折起后記點B為P，連接PD，得到三棱錐，如圖所示，當三棱錐的表面積最大時，三棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．第52講空間幾何體的表面積與體積知識梳理1.空間幾何體(1)多面體①棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫棱柱．側棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱．底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．②棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些所圍成的幾何體叫棱錐．如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上，則這個棱錐叫做正棱錐．③棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐．底面與截面之間的部分，叫棱臺．棱臺的各側棱延長后交于一點．(2)旋轉體①旋轉面：一條平面曲線繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面．②旋轉體：封閉的旋轉面圍成的幾何體．③圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱．不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面，無論旋轉到什么位置，這條邊都叫做母線．④圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．⑤圓臺：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，將直角梯形旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．(或用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐．底面與截面之間的部分，叫做圓臺．)圓臺的母線延長后交于一點．⑥球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周所形成的旋轉體叫做球體，簡稱球．經過球面上兩點的大圓劣弧的長叫做球面距離．2.柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱S側＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側＝ChV＝Sh面積體積正棱錐S側＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺S側＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR33.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)；它們的表面積等于側面積與底面面積之和．1、【2022年新高考1卷】南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148．5m時，相應水面的面積為140．0km2；水位為海拔157．5A．1.0×109m3 B．1.2×109【答案】C【解析】依題意可知棱臺的高為MN=157.5?148.5=9(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積V．棱臺上底面積S=140.0km2=140×∴V==3×320+60故選：C．

2、【2022年新高考1卷】已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤l≤33A．18,814 B．274,814【答案】C【解析】∵球的體積為36π，所以球的半徑R=3,設正四棱錐的底面邊長為2a，高為?，則l2=2a所以6?=l2所以正四棱錐的體積V=1所以V'當3≤l≤26時，V'>0，當2所以當l=26時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為64又l=3時，V=274，l=33所以正四棱錐的體積V的最小值為274所以該正四棱錐體積的取值范圍是274故選：C.

3、【2022年新高考2卷】已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和4A．100π B．128π C．144π D．192π【答案】A【解析】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑r1,r2，所以2r1=33sin60°,2r2=43sin60°，即r故選：A．

4、【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案．【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．5、【2021年甲卷理科】已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設到平面的距離為，則，所以.故選：A.6、【2021年新高考2卷】正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.

7、【2020年新課標1卷理科】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設，則，由題意，即，化簡得，解得（負值舍去）.故選：C.

8、【2020年新課標1卷理科】已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據球的截面性質平面，，球的表面積.故選：A1、已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A.1cmB.2cmC.3cmD.eq\f(3,2)cm【答案】B【解析】S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2.故選B.2、正四棱錐底面正方形的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則該四棱錐的側面積()A.32B.48C.64D.eq\f(32,3)【答案】A【解析】如圖，正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成直角三角形POE.因為OE＝2cm，∠OPE＝30°，所以斜高PE＝eq\f(OE,sin30°)＝4，所以S正棱錐側＝eq\f(1,2)×4×4×4＝32.故選A.3、已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π【答案】B【解析】設圓柱的軸截面的邊長為x，則由x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圓柱表＝2S底＋S側＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.4、（深圳市高級中學集團期末試題）已知圓錐的表面積為3π，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圓錐的底面半徑和圓錐的母線長與高，再計算圓錐的體積．【詳解】解：設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，由，得，又，所以，解得；所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為．故選：C．考向一空間幾何體的的表面積例1、1．一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是eq\f(3,2)cm．則三棱臺的斜高為；三棱臺的側面積為；表面積為．2．已知圓柱的底面半徑為1，母線長與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為________．3．正六棱柱的底面邊長為4，高為6，則它的外接球(正六棱柱的頂點都在此球面上)的表面積為________．【答案】：1．eq\r(3)cm；eq\f(27\r(3),2)cm2；eq\f(99\r(3),4)cm22．6π3．100π【解析】：1．設O1、O分別為正三棱臺ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如圖所示，則O1O＝eq\f(3,2)，過O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，則D1D為三棱臺的斜高；過D1作D1E⊥AD于E，則D1E＝O1O＝eq\f(3,2)，因O1D1＝eq\f(\r(3),6)×3＝eq\f(\r(3),2)，OD＝eq\f(\r(3),6)×6＝eq\r(3)，則DE＝OD－O1D1＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)．在Rt△D1DE中，D1D＝eq\r(D1E2＋ED2)＝＝eq\r(3)(cm)．故三棱臺斜高為eq\r(3)cm．設c、c′分別為上、下底的周長，h′為斜高，S側＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′＝eq\f(1,2)(3×3＋3×6)×eq\r(3)＝eq\f(27\r(3),2)(cm2)，S表＝S側＋S上＋S下＝eq\f(27\r(3),2)＋eq\f(\r(3),4)×32＋eq\f(\r(3),4)×62＝eq\f(99\r(3),4)(cm2)．故三棱臺的側面積為eq\f(27\r(3),2)cm2，表面積為eq\f(99\r(3),4)cm2．2．該圓柱的側面積為2π×1×2＝4π，一個底面圓的面積是π，所以該圓柱的表面積為4π＋2π＝6π．3．依題意，該正六棱柱的外接球的球心應是上、下底面中心連線的中點，因此其半徑等于5，其表面積等于4π×25＝100π．變式1、（1）（江蘇省南通市西亭高級中學2019-2020學年高三下學期學情調研）若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等圓柱、球的表面積分別記為、則有（2）（江蘇省南通市海安高級中學2019-2020學年高三下學期階段考試）現有一個橡皮泥制作的圓錐，底面半徑為1，高為4.若將它制作成一個總體積不變的球，則該球的表面積為_______.【答案】（1）（2）【解析】（1）設球的直徑為2R，則（2）由題意知,圓錐的體積為.設球的半徑為則,解得.所以表面積為.故答案為:.變式2、（1）（2022年江蘇省淮安市高三模擬試卷）一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側面積的比值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】設圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，圓柱的側面展開圖是一個正方形，，圓柱的側面積為，圓柱的兩個底面積為，圓柱的表面積為，圓柱的表面積與側面積的比為：，故選：．（2）（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設圓錐和圓柱的底面半徑為，因為圓錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長為，則圓錐和圓柱的高為，所以圓錐的側面積為，圓柱的側面積為，所以圓錐和圓柱的側面積之比為,故選:C.方法總結：幾何體的表面積的求法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積．考向二空間幾何體的體積例2、如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到空間圖形D-ABC，如圖2所示．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求空間圖形D-ABC的體積．圖1圖2【解析】(1)由題意，得AC＝BC＝2eq\r(2)，所以AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，所以BC⊥平面ACD.(2)由(1)可知，BC為三棱錐B-ACD的高，BC＝2eq\r(2)，S△ACD＝2，所以VB-ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·BC＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3)，由等體積性可知，空間圖形D-ABC的體積為eq\f(4\r(2),3).變式1、（1）（江蘇省南通市海安高級中學2019-2020學年高三階段測試）如圖正四棱柱的體積為27，點E，F分別為棱上的點（異于端點）且，則四棱錐的體積為___________.（2）（江蘇省南通市海安高級中學2019-2020學年高三9月月考）已知長方體的體積為，則三棱錐的體積為______.【答案】（1）9（2）【解析】（1）連接，

∵正四棱柱的體積為27，

點E，F分別為棱上的點（異于端點），且，

，

，

∴四棱錐的體積．

故答案為：9．（2）設長方體的底面積為，高為，則長方體的體積為，由題意可知，三棱錐的底面積為，高為，因此，三棱錐的體積為，故答案為.方法總結：本題考查空間幾何體的體積運算．應注意：(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進行求解，其中，等積轉換法多用來求三棱錐的體積．(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解．考向三與球有關的切、接問題例3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B.2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D.3eq\r(10)【答案】C【解析】如圖，過球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋62)＝eq\f(13,2).變式1、(1)如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________；【答案】eq\f(3,2)【解析】設圓柱內切球的半徑為R，則由題設可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).(2)已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(3)，內有一個球與四個面都相切，則該正三棱錐的內切球的半徑為________．【解析】如圖，過點P作PD⊥平面ABC于點D，連接AD并延長交BC于點E，連接PE.因為△ABC是正三角形，所以AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．因為AB＝2eq\r(3)，所以S△ABC＝3eq\r(3)，DE＝1，PE＝eq\r(2)，所以三棱錐P-ABC的表面積S表＝3×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＋3eq\r(3)＝3eq\r(6)＋3eq\r(3).因為PD＝1，所以三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×1＝eq\r(3).設內切球的半徑為r，以球心O為頂點，三棱錐的四個面為底面將正三棱錐分割為四個小棱錐，則r＝eq\f(3\r(3),3\r(6)＋3\r(3))＝eq\r(2)－1.【答案】eq\r(2)－1變式2、（2020·河南高三期末（文））張衡是中國東漢時期偉大的天文學家、數學家，他曾經得出圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，底面，，且，，利用張衡的結論可得球的表面積為（）A．30 B． C．33 D．【答案】B【解析】因為，所以，又底面，所以球的球心為側棱的中點，從而球的直徑為.利用張衡的結論可得，則，所以球的表面積為.故選：B變式3、（2020屆山東省濰坊市高三上學期統(tǒng)考）已知邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕進行折疊，使折后的，則過，，，四點的球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】邊長為2的等邊三角形，