高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全程規(guī)劃(新高考地區(qū)專用)重難點(diǎn)08解三角形(5種題型)專項(xiàng)練習(xí)(原卷版+解析)_第1頁
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重難點(diǎn)08解三角形(5種題型)一、真題多維細(xì)目表一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022新高考1第18題解三角形及其綜合應(yīng)用求角度及最值2021新高考2第18題解三角形及其綜合應(yīng)用求三角形的面積,應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀二二、命題規(guī)律與備考策略本專題是高考??純?nèi)容,結(jié)合往年命題規(guī)律,解三角形的題目多以解答題的形式出現(xiàn),分值為10分。三三、2023真題搶先刷,考向提前知1.(2023?新高考Ⅰ)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A﹣C)=sinB.(1)求sinA;(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.2.(2023?新高考Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為,D為BC的中點(diǎn),且AD=1.(1)若∠ADC=,求tanB;(2)若b2+c2=8,求b,c.3.(2022?新高考Ⅰ)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知=.(1)若C=,求B;(2)求的最小值.4.(2022?新高考Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S1,S2,S3.已知S1﹣S2+S3=,sinB=.(1)求△ABC的面積;(2)若sinAsinC=,求b.四四、考點(diǎn)清單解三角形1.已知兩角和一邊(如A、B、C),由A+B+C=π求C,由正弦定理求a、b.2.已知兩邊和夾角(如a、b、c),應(yīng)用余弦定理求c邊;再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.3.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角(如a、b、A),應(yīng)用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c邊,要注意解可能有多種情況.4.已知三邊a、b、c,應(yīng)用余弦定理求A、B,再由A+B+C=π,求角C.5.方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心,將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角(一般指銳角),通常表達(dá)成.正北或正南,北偏東××度,北偏西××度,南偏東××度,南偏西××度.6.俯角和仰角的概念:在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角.如圖中OD、OE是視線,是仰角,是俯角.7.關(guān)于三角形面積問題①S△ABC=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高);②S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB;③S△ABC=2R2sinAsinBsinC.(R為外接圓半徑)④S△ABC=;⑤S△ABC=,(s=(a+b+c));⑥S△ABC=r?s,(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)在解三角形時(shí),常用定理及公式如下表:名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C=π+=﹣,2A+2B=2π﹣2C余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosAb2=a2+c2﹣2accosBc2=a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=正弦定理=2RR為△ABC的外接圓半徑a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=,sinB=,sinC=射影定理acosB+bcosA=cacosC+ccosA=bbcosC+ccosB=a面積公式①S△=aha=bhb=chc②S△=absinC=acsinB=bcsinA③S△=④S△=,(s=(a+b+c));⑤S△=(a+b+c)r(r為△ABC內(nèi)切圓半徑)sinA=sinB=sinC=五五、題型方法一.正弦定理(共6小題)1.(2023?寶雞模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,.(1)證明:2a=b+c;(2)若cosA=,a=2,求△ABC的面積.2.(2023?和平區(qū)一模)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求A的大小;(2)若.(?。┣蟆鰽BC的面積;(ⅱ)求cos(2C﹣A).3.(2023?東風(fēng)區(qū)校級(jí)模擬)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,sinB﹣sinC=sinC﹣cosB,且b>c.(1)求A;(2)若a=,△ABC的面積為,求△ABC的周長(zhǎng).4.(2023?益陽模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知asinA+csinC=(asinC+b)sinB.(1)求B;(2)若AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為2,求△ABC面積的最大值.5.(2023?靖遠(yuǎn)縣模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求角C;(2)若△ABC為銳角三角形,D為AB邊的中點(diǎn),求線段CD長(zhǎng)的取值范圍.6.(2023?潮陽區(qū)三模)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.C=,AB邊上的高為.(1)若S△ABC=2,求△ABC的周長(zhǎng);(2)求的最大值.二.余弦定理(共5小題)7.(2023?蒙城縣校級(jí)三模)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cos2C﹣cos2A=sinAsinB﹣sin2B.(1)求∠C的大小;(2)已知a+b=4,求△ABC的面積的最大值.8.(2023?瓊山區(qū)校級(jí)一模)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c.a(chǎn)=2,b=2,且cosA(ccosB+bcosC)+asinA=0.(1)求A;(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積.9.(2023?廣西模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知.(1)證明:A=B.(2)若D為BC的中點(diǎn),從①AD=4,②,③CD=2這三個(gè)條件中選取兩個(gè)作為條件證明另外一個(gè)成立.注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.10.(2023?瀘縣校級(jí)模擬)已知△ABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足(b﹣a)(sinB+sinA)=(b﹣c)sinC.(1)求A;(2)從下列條件中:①a=;②S△ABC=中任選一個(gè)作為已知條件,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.11.(2023?大理州模擬)在①2a﹣b=2ccosB,②S=(a2+b2﹣c2),③sin(A+B)=1+2sin2三個(gè)條件中選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線處,然后解答問題.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,設(shè)△ABC的面積為S,已知______.(1)求角C的值;(2)若b=4,點(diǎn)D在邊AB上,CD為∠ACB的平分線,△CDB的面積為,求邊長(zhǎng)a的值.三.三角形中的幾何計(jì)算(共11小題)12.(2023?敘州區(qū)校級(jí)模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(Ⅰ)求∠B的值;(Ⅱ)給出以下三個(gè)條件:條件①:a2﹣b2+c2+3c=0;條件②:a=,b=1;條件③:S△ABC=.這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確,請(qǐng)選出正確的條件并回答下面的問題:(ⅰ)求sinA的值;(ⅱ)求∠ABC的角平分線BD的長(zhǎng).13.(2023?江寧區(qū)校級(jí)模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足.(1)求角B的大??;(2)若,設(shè)△ABC的面積為S,滿足,求b的值.14.(2023?鯉城區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(2A+B)=2sinA(1﹣cosC).(1)證明:b=2a;(2)點(diǎn)D是線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),且CD=AD=1,求△ABC的周長(zhǎng).15.(2023?湖南模擬)如圖,在平面四邊形ABCD中,BC=,BE⊥AC于點(diǎn)E,BE=,且△ACD的面積為△ABC面積的2倍.(1)求AD?sin∠DAC的值;(2)當(dāng)CD=3時(shí),求線段DE的長(zhǎng).16.(2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬)如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,P在平面上且滿足CP=CA,記∠CAP=θ.(1)若,求PB的長(zhǎng);(2)用θ表示S△PAB,并求S△PAB的取值范圍.17.(2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬)△ABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為的面積為.(1)若,求△ABC的周長(zhǎng);(2)設(shè)D為AC中點(diǎn),求A到BD距離的最大值.18.(2023?三明三模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b=2,a2=c2+2c+4,CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,CD=.(1)求∠ADC;(2)求△BCD的面積.19.(2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且.(1)求角C;(2)若△ABC的中線CD長(zhǎng)為,求△ABC面積的最大值.20.(2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求角C的大小;(2)若C的角平分線交AB于點(diǎn)D,且CD=2,求a+2b的最小值.21.(2023?華龍區(qū)校級(jí)模擬)已知.(1)若,求函數(shù)f(x)的值域;(2)在△ABC,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f(A)=2,且△ABC的面積為,當(dāng)a=6時(shí),求△ABC的周長(zhǎng).22.(2023?武漢模擬)在△ABC中,AB=2,D為AB中點(diǎn),.(1)若BC=,求AC的長(zhǎng);(2)若∠BAC=2∠BCD,求AC的長(zhǎng).四.解三角形(共22小題)23.(2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,若已知a(a﹣4sinA)=b(c﹣4sinC);(1)證明:a2≥16sinB(c﹣4sinC);(2)證明:當(dāng)△ABC的面積為時(shí),求a+b+c的值.24.(2023?福州模擬)已知函數(shù),將f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)g(x)的圖象.(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)記銳角三角形ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,求a﹣b的取值范圍.25.(2023?安慶二模)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,.(1)若角,求角A的大??;(2)若a=4,,求b.26.(2023?愛民區(qū)校級(jí)三模)在△ABC中,.(Ⅰ)求∠A;(Ⅱ)若△ABC的面積為,再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,使△ABC存在且唯一確定,求a的值.條件①:;條件②:;條件③:注:如果選擇的條件不符合要求,第(II)問得0分;如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.27.(2023?桐城市校級(jí)一模)在△ABC中,三邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,已知a=4,=.(1)若,求sinA;(2)若AB邊上的中線長(zhǎng)為,求AB的長(zhǎng).28.(2023?遼寧模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求角B的大?。唬?)若,且b=3,求△ABC的面積S.29.(2023?云南模擬)已知函數(shù)在上單調(diào),且.(1)求f(x)的解析式;(2)若鈍角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且a=2,,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.30.(2023?陽泉三模)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b2+c2=a2﹣bc.(1)求A;(2)若bsinA=4sinB,且lgb+lgc≥1﹣2cos(B+C),求△ABC面積的取值范圍.31.(2023?全國(guó)模擬)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinB+bcos(+)=0.(1)求A;(2)若a=,求△ABC面積的最大值.32.(2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,.(1)求角C的大??;(2)已知b=4,△ABC的面積為6,求sinB的值.33.(2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量,,且.(1)求角C;(2)若,△ABC的面積為,求△ABC的周長(zhǎng).34.(2023?平頂山模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,6cosBcosC﹣1=3cos(B﹣C).(1)若,求cosC;(2)若c=3,點(diǎn)D在BC邊上,且AD平分,求△ABC的面積.35.(2023?廈門模擬)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求a的值;(2)點(diǎn)D在線段BC上,∠BAC=120°,∠BAD=45°,CD=1,求△ABC的面積.36.(2023?泉州模擬)在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2c2=(a2+c2﹣b2)(tanA+tanB).(1)求角A的大??;(2)若邊,邊BC的中點(diǎn)為D,求中線AD長(zhǎng)的取值范圍.37.(2023?包河區(qū)校級(jí)模擬)在①4asinC=3ccosA,②這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,然后解答補(bǔ)充完整的題.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知_____,.(Ⅰ)求sinA;(Ⅱ)如圖,D為邊AC上一點(diǎn),DC=DB,AB⊥BD,求△ABC的面積.38.(2023?旌陽區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asinA=(2b﹣c)sinB+c(2sinC﹣sinB).(1)求A;(2)點(diǎn)D在邊BC上,且BD=3DC,AD=4,求△ABC面積的最大值.39.(2023?惠安縣模擬)在△ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,acosB﹣2acosC=(2c﹣b)cosA.(1)若c=a,求cosB的值;(2)若b=1,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,求AD長(zhǎng)度的取值范圍.40.(2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬)已知△ABC中角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,.(1)求A;(2)若,且△ABC的面積為,求△ABC周長(zhǎng).41.(2023?開福區(qū)校級(jí)模擬)已知向量=(sinx,1+cos2x),=(cosx,),.(1)求函數(shù)y=f(x)的最大值及相應(yīng)x的值;(2)在△ABC中,角A為銳角且,,BC=2,求△ABC的面積.42.(2023?江西模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且sin2A+sinAsinB=cos2B﹣cos2C.(1)求角C的大小;(2)若sinA=2sinB,,求△ABC的面積.43.(2023?鎮(zhèn)江三模)在凸四邊形ABCD中,.(1)若.求CD的長(zhǎng);(2)若四邊形ABCD有外接圓,求AD+CD的最大值.44.(2023?成都模擬)在斜三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足asinA+4bsinCcos2A=bsinB+csinC.(1)求角A的大??;(2)若a=2,且BC上的中線AD長(zhǎng)為,求斜三角形ABC的面積.五.三角形的形狀判斷(共4小題)45.(2023?安徽二模)在△ABC中,sin2A+3sin2C=3sin2B.(1)若sinBcosC=,判斷△ABC的形狀;(2)求tan(B﹣C)的最大值.46.(2023?洪山區(qū)校級(jí)模擬)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c且sin(A﹣B)cosC=cosBsin(A﹣C).(1)判斷△ABC的形狀;(2)若△ABC為銳角三角形,且,求的最大值.47.(2023?湖北模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,A為銳角,.(1)求角A;(2)若D為BC邊上一點(diǎn),且滿足AD=CD=2BD,試判斷△ABC的形狀.48.(2023?福建模擬)已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.(1)當(dāng),λ=2時(shí),求c的值;(2)判斷△ABC的形狀.

重難點(diǎn)08解三角形(5種題型)一一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022新高考1第18題解三角形及其綜合應(yīng)用求角度及最值2021新高考2第18題解三角形及其綜合應(yīng)用求三角形的面積,應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀二二、命題規(guī)律與備考策略本專題是高考??純?nèi)容,結(jié)合往年命題規(guī)律,解三角形的題目多以解答題的形式出現(xiàn),分值為10分。三三、2023真題搶先刷,考向提前知1.(2023?新高考Ⅰ)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A﹣C)=sinB.(1)求sinA;(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.【分析】(1)由三角形內(nèi)角和可得C=,由2sin(A﹣C)=sinB,可得2sin(A﹣C)=sin(A+C),再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得sinA=3cosA,再結(jié)合平方關(guān)系即可求出sinA;(2)由sinB=sin(A+C)求出sinB,再利用正弦定理求出AC,BC,由等面積法即可求出AB邊上的高.【解答】解:(1)∵A+B=3C,A+B+C=π,∴4C=π,∴C=,∵2sin(A﹣C)=sinB,∴2sin(A﹣C)=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C),∴2sinAcosC﹣2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,∴sinAcosC=3cosAsinC,∴,∴sinA=3cosA,即cosA=sinA,又∵sin2A+cos2A=1,∴,解得sin2A=,又∵A∈(0,π),∴sinA>0,∴sinA=;(2)由(1)可知sinA=,cosA=sinA=,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×=,∴==5,∴AC=5sinB=5=2,BC=5=5=3,設(shè)AB邊上的高為h,則=,∴=,解得h=6,即AB邊上的高為6.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式,考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.2.(2023?新高考Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為,D為BC的中點(diǎn),且AD=1.(1)若∠ADC=,求tanB;(2)若b2+c2=8,求b,c.【分析】(1)根據(jù)已知條件,推得,過A作AE⊥BC,垂足為E,依次求出AE,BE,即可求解;(2)根據(jù)已知條件,求得,兩邊同時(shí)平方,再結(jié)合三角形的面積公式,即可求解.【解答】解:(1))D為BC中點(diǎn),,則,過A作AE⊥BC,垂足為E,如圖所示:△ADE中,,,,解得CD=2,∴BD=2,,故==;(2),,AD=1,b2+c2=8,則,∴bccosA=﹣2①,,即②,由①②解得,∴,∴bc=4,又b2+c2=8,∴b=c=2.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.3.(2022?新高考Ⅰ)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知=.(1)若C=,求B;(2)求的最小值.【分析】(1)利用倍角公式、和差公式、三角形內(nèi)角和定理即可得出B.(2)利用誘導(dǎo)公式把A用C表示,再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出結(jié)論.【解答】解:(1)∵=,1+cos2B=2cos2B≠0,cosB≠0.∴==,化為:cosAcosB=sinAsinB+sinB,∴cos(B+A)=sinB,∴﹣cosC=sinB,C=,∴sinB=,∵0<B<,∴B=.(2)由(1)可得:﹣cosC=sinB>0,∴cosC<0,C∈(,π),∴C為鈍角,B,A都為銳角,B=C﹣.sinA=sin(B+C)=sin(2C﹣)=﹣cos2C,=====+4sin2C﹣5≥2﹣5=4﹣5,當(dāng)且僅當(dāng)sinC=時(shí)取等號(hào).∴的最小值為4﹣5.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了倍角公式、和差公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、基本不等式、轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.4.(2022?新高考Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S1,S2,S3.已知S1﹣S2+S3=,sinB=.(1)求△ABC的面積;(2)若sinAsinC=,求b.【分析】(1)根據(jù)S1﹣S2+S3=,求得a2﹣b2+c2=2,由余弦定理求得ac的值,根據(jù)S=acsinB,求△ABC面積.(2)由正弦定理得∴a=,c=,且ac=,求解即可.【解答】解:(1)S1=a2sin60°=a2,S2=b2sin60°=b2,S3=c2sin60°=c2,∵S1﹣S2+S3=a2﹣b2+c2=,解得:a2﹣b2+c2=2,∵sinB=,a2﹣b2+c2=2>0,即cosB>0,∴cosB=,∴cosB==,解得:ac=,S△ABC=acsinB=.∴△ABC的面積為.(2)由正弦定理得:==,∴a=,c=,由(1)得ac=,∴ac=?=已知,sinB=,sinAsinC=,解得:b=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正余弦定理解三角形,需靈活運(yùn)用正余弦定理公式.四四、考點(diǎn)清單解三角形1.已知兩角和一邊(如A、B、C),由A+B+C=π求C,由正弦定理求a、b.2.已知兩邊和夾角(如a、b、c),應(yīng)用余弦定理求c邊;再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.3.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角(如a、b、A),應(yīng)用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c邊,要注意解可能有多種情況.4.已知三邊a、b、c,應(yīng)用余弦定理求A、B,再由A+B+C=π,求角C.5.方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心,將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角(一般指銳角),通常表達(dá)成.正北或正南,北偏東××度,北偏西××度,南偏東××度,南偏西××度.6.俯角和仰角的概念:在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角.如圖中OD、OE是視線,是仰角,是俯角.7.關(guān)于三角形面積問題①S△ABC=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高);②S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB;③S△ABC=2R2sinAsinBsinC.(R為外接圓半徑)④S△ABC=;⑤S△ABC=,(s=(a+b+c));⑥S△ABC=r?s,(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)在解三角形時(shí),常用定理及公式如下表:名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C=π+=﹣,2A+2B=2π﹣2C余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosAb2=a2+c2﹣2accosBc2=a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=正弦定理=2RR為△ABC的外接圓半徑a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=,sinB=,sinC=射影定理acosB+bcosA=cacosC+ccosA=bbcosC+ccosB=a面積公式①S△=aha=bhb=chc②S△=absinC=acsinB=bcsinA③S△=④S△=,(s=(a+b+c));⑤S△=(a+b+c)r(r為△ABC內(nèi)切圓半徑)sinA=sinB=sinC=五五、題型方法一.正弦定理(共6小題)1.(2023?寶雞模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,.(1)證明:2a=b+c;(2)若cosA=,a=2,求△ABC的面積.【分析】(1)利用余弦定理化簡(jiǎn)已知即可證明;(2)由題意,利用余弦定理可求得bc的值,進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值,根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【解答】解:(1)證明:因?yàn)?,可?a﹣acosB=b+bcosA,所以由余弦定理可得2a=b+b?+a?,整理可得2a=b+c,得證;(2)因?yàn)閏osA=,a=2,2a=b+c,所以由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得24=b2+c2﹣2×bc×=(b+c)2﹣2bc﹣2×bc×=96﹣2bc﹣2×bc×,解得bc=20,又sinA==,所以△ABC的面積S=bcsinA==6.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.2.(2023?和平區(qū)一模)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求A的大??;(2)若.(ⅰ)求△ABC的面積;(ⅱ)求cos(2C﹣A).【分析】(1)由正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求tanA,進(jìn)而可求A;(2)(i)利用余弦定理先求c,然后利用三角形的面積公式求解;(ii)利用正弦定理求出sinC,再利用二倍角公式求出sin2C,cos2C,求解即可.【解答】解:(1)∵(bcosC+ccosB)tanA=﹣a,由正弦定理得(sinBcosC+sinCcosB)tanA=﹣sinA.∴sin(B+C)tanA=﹣sinA,∴sinA?tanA=﹣sinA,∵sinA>0,∴tanA=﹣,∵A∈(0,π),∴A=;(2)(ⅰ)若,A=,由余弦定理得7=c2+1﹣2c×1×(﹣),即c2+c﹣6=0,∵c>0,∴c=2,∴△ABC的面積為bcsinA=×1×2×=;(ⅱ)由正弦定理=,得sinC=,∵a>c,∴cosC=,∴cos2C=2cos2C﹣1=,sin2C=2sinCcosC=,∴cos(2C﹣A)=cos2CcosA+sin2CsinA=×(﹣)+×=.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面積公式,兩角差的余弦公式在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.3.(2023?東風(fēng)區(qū)校級(jí)模擬)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,sinB﹣sinC=sinC﹣cosB,且b>c.(1)求A;(2)若a=,△ABC的面積為,求△ABC的周長(zhǎng).【分析】(1)利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式可得sin(B+)=sinC,由題意可求得B>C,進(jìn)而根據(jù)B++C=π,可得A的值.(2)由已知利用三角形的面積公式可求bc=2,進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求b+c的值,即可求解△ABC的周長(zhǎng)的值.【解答】解:(1)因?yàn)閟inB﹣sinC=sinC﹣cosB,所以sinB+cosB=2sinC,即sin(B+)=sinC,因?yàn)閎>c,可得B>C,所以B++C=π,可得B+C=,A=.(2)因?yàn)閍=,△ABC的面積為=bcsinA,又sinA=,所以bc=2,由余弦定理可得cosA===,所以=,可得b+c=3,所以△ABC的周長(zhǎng)的值為3+.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和的正弦公式,三角形的面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.4.(2023?益陽模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知asinA+csinC=(asinC+b)sinB.(1)求B;(2)若AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為2,求△ABC面積的最大值.【分析】(1)由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求tanB,進(jìn)而可求B;(2)延長(zhǎng)BD到E,使得BE=BD,則,則,然后結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)及基本不等式可求ac的范圍,然后結(jié)合三角形的面積公式可求.【解答】解:(1)因?yàn)閍sinA+csinC=(asinC+b)sinB,由正弦定理得,a2+c2=acsinB+b2,∴=2accosB,故,即tanB=,因?yàn)锽為三角形內(nèi)角,所以B=,;(2)如圖延長(zhǎng)BD到E,使得BD=DE,則,則,∴==4,即4=(a2+c2+2accos60°),∴a2+c2=16﹣ac≥2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào),解得,ac,△ABC面積S==≤=.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面積公式及向量數(shù)量積的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.5.(2023?靖遠(yuǎn)縣模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求角C;(2)若△ABC為銳角三角形,D為AB邊的中點(diǎn),求線段CD長(zhǎng)的取值范圍.【分析】(1)根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的化簡(jiǎn)可得tanC=1,即可求解;(2)由向量的線性運(yùn)算可得,等式兩邊同時(shí)平方可得,由正弦定理可得,結(jié)合角B的范圍可得b∈(2,4),即可求解.【解答】解:(1),由正弦定理,得,即sinCsinA+sinCcosA=sinB,因?yàn)锳+B+C=π,所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,由sinA≠0,得sinC=cosC,即tanC=1,因?yàn)?<C<π,所以;(2)因?yàn)镈為AB邊的中點(diǎn),所以,所以=,在△ABC中,由正弦定理,得,因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,且,所以,則tanB∈(1,+∞),故b∈(2,4),所以,即線段CD長(zhǎng)的取值范圍為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理,和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用,還考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)及正切函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.6.(2023?潮陽區(qū)三模)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.C=,AB邊上的高為.(1)若S△ABC=2,求△ABC的周長(zhǎng);(2)求的最大值.【分析】(1)由S=ab?sinC=c?=2,可得c和ab的值,再由余弦定理,求得a+b的值,即可得解;(2)結(jié)合(1)中結(jié)論、正弦定理、兩角差的正弦公式與輔助角公式,可推出=,再由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),求出的最大值.【解答】解:(1)∵S△ABC=ab?sinC=c?=2,∴c=4,∵C=,∴ab=8,由余弦定理知,c2=a2+b2﹣2ab?cosC=(a+b)2﹣3ab,∴16=(a+b)2﹣3×8,∴a+b=2,∴△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=2+4.(2)由正弦定理知,==,======(其中θ為銳角,且tanθ=)∵0<A<,∴當(dāng)A+θ=時(shí),取得最大值.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形與三角恒等變換的綜合,熟練掌握正余弦定理、三角形面積公式、兩角差的正弦公式與輔助角公式是解題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.二.余弦定理(共5小題)7.(2023?蒙城縣校級(jí)三模)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cos2C﹣cos2A=sinAsinB﹣sin2B.(1)求∠C的大小;(2)已知a+b=4,求△ABC的面積的最大值.【分析】(1)先把cos2C﹣cos2A=sinA?sinB﹣sin2B化為a2+b2﹣c2=ab,用余弦定理即可求解.(2)先用基本不等式求出ab的最大值,再代入三角形的面積公式即可.【解答】解:(1)∵cos2C﹣cos2A=sinA?sinB﹣sin2B,∴1﹣sin2C﹣(1﹣sin2A)=sinA?sinB﹣sin2B,∴sin2A﹣sin2C=sinA?sinB﹣sin2B,∴a2+b2﹣c2=ab,∴cosC===,∵C∈(0,π),∴∠C=.(2)∵a+b≥2,∴4≥2,∴ab≤4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào),∴(ab)max=4,∴△ABC面積的最大值為×4×sin=.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理,以及利用基本不等式求三角形面積的最大值,熟練掌握余弦定理,基本不等式是解本題的關(guān)鍵.8.(2023?瓊山區(qū)校級(jí)一模)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c.a(chǎn)=2,b=2,且cosA(ccosB+bcosC)+asinA=0.(1)求A;(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積.【分析】(1)由正弦定理可將等式化簡(jiǎn),再由三角形中的角的范圍求出A的值;(2)由(1)可得求出c邊,進(jìn)而由余弦定理可得cosC的值,再由三角形AD⊥AC可求出D為CB的中點(diǎn),可得三角形ABD的面積為三角形ABC的一半,求出三角形ABD的面積.【解答】解:(1)因?yàn)閏osA(ccosB+bcosC)+asinA=0,由正弦定理可得:cosA(sinCcosB+sinBcosC)+sinAsinA=0,可得:cosAsin(B+C)+sin2A=0,在△ABC中,sin(B+C)=sinA≠0,所以可得cosA+sinA=0,即tanA=﹣,而A為三角形的內(nèi)角,所以可得A=π;(2)在△ABC中由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,因?yàn)閍=2,b=2,所以28=4+c2﹣2×2c?(﹣),解得:c=4或c=﹣6(舍),所以c=4,再由余弦定理可得a2+b2﹣c2=2bacosC,可得cosC=,在Rt△ABD中,CD===,所以可得CD=,S△ABD=S△ABC=?AB?ACsin∠BAC==?4?2?=;所以△ABD的面積為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形正余弦定理,面積公式的知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.9.(2023?廣西模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知.(1)證明:A=B.(2)若D為BC的中點(diǎn),從①AD=4,②,③CD=2這三個(gè)條件中選取兩個(gè)作為條件證明另外一個(gè)成立.注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.【分析】(1)由余弦定理和正弦定理化簡(jiǎn)已知等式,可證A=B;(2)三種情況,在△ACD中,利用余弦定理證明即可.【解答】(1)證明:因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?,即,又由正弦定理,得cosA=cosB,角A,B為△ABC中內(nèi)角,所以A=B.(2)△ABC中,A=B,D為BC的中點(diǎn),如圖所示,①②?③,已知AD=4,,求證CD=2.證明:AC=2CD,△ACD中,,解得CD=2.①③?②,已知AD=4,CD=2,求證.證明:AC=2CD=4,所以△ACD中,.②③?①,已知,CD=2,求證:AD=4.證明:AC=2CD=4,在△ACD中,由余弦定理,,所以AD=4.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理,正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.10.(2023?瀘縣校級(jí)模擬)已知△ABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足(b﹣a)(sinB+sinA)=(b﹣c)sinC.(1)求A;(2)從下列條件中:①a=;②S△ABC=中任選一個(gè)作為已知條件,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.【分析】(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理得cosA的值,結(jié)合A的范圍可求A的值.(2)選擇①.由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求△ABC周長(zhǎng)l=2sin(B+)+,可求B+的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍;選擇②利用三角形的面積公式可得bc=4,由余弦定理得a2=(b+c)2﹣12,根據(jù)基本不等式可求,即可得解△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.【解答】解:(1)因?yàn)椋╞﹣a)(sinB+sinA)=(b﹣c)sinC,由正弦定理得(b﹣a)(b+a)=(b﹣c)c,即b2+c2﹣a2=bc﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)由余弦定理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(2)選擇①.由正弦定理,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)即△ABC周長(zhǎng)==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分)即△ABC周長(zhǎng)的取值范圍﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)選擇②.,得,得bc=4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)由余弦定理得a2=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=(b+c)2﹣12,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)即△ABC周長(zhǎng),∵,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)等號(hào)成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分)∴即△ABC周長(zhǎng)的取值范圍[6,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的性質(zhì),三角形的面積公式,基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.11.(2023?大理州模擬)在①2a﹣b=2ccosB,②S=(a2+b2﹣c2),③sin(A+B)=1+2sin2三個(gè)條件中選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線處,然后解答問題.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,設(shè)△ABC的面積為S,已知______.(1)求角C的值;(2)若b=4,點(diǎn)D在邊AB上,CD為∠ACB的平分線,△CDB的面積為,求邊長(zhǎng)a的值.【分析】(1)選①由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得cosC=,結(jié)合范圍C∈(0,π),可求C的值.選②利用三角形的面積公式,余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得tanC=,結(jié)合范圍C∈(0,π),可求C的值.選③利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得sin(C+)=1,結(jié)合范圍C+∈(,),即可求解C的值.(2)由題意S△ABC=S△ACD+S△BCD,利用三角形的面積公式可得a×CD+CD=,a×CD=,聯(lián)立即可解得a的值.【解答】解:(1)選①2a﹣b=2ccosB,則由余弦定理可得:2a﹣b=2c?,整理可得a2+b2﹣c2=ab,可得cosC==,因?yàn)镃∈(0,π),所以C=.選②S=(a2+b2﹣c2),可得absinC=,即sinC==cosC,所以tanC=,因?yàn)镃∈(0,π),可得C=.選③sin(A+B)=1+2sin2,可得:sinC=2﹣cosC,可得2sin(C+)=2,可得:sin(C+)=1,因?yàn)镃∈(0,π),C+∈(,),所以C+=,可得C=.(2)在△ABC中,S△ABC=S△ACD+S△BCD,可得BC?CD?sin∠BCD+CA?CD?sin∠ACD=CA?CB?sin∠ACB,可得a×CD+CD=,①又S△CDB=a×CD=,②由①②可得:=,解得a=2,或a=﹣(舍去),所以邊長(zhǎng)a的值為2.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理,三角形的面積公式,三角函數(shù)恒等變換在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.三.三角形中的幾何計(jì)算(共11小題)12.(2023?敘州區(qū)校級(jí)模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(Ⅰ)求∠B的值;(Ⅱ)給出以下三個(gè)條件:條件①:a2﹣b2+c2+3c=0;條件②:a=,b=1;條件③:S△ABC=.這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確,請(qǐng)選出正確的條件并回答下面的問題:(?。┣髎inA的值;(ⅱ)求∠ABC的角平分線BD的長(zhǎng).【分析】(Ⅰ)利用輔助角公式,容易求出sin()=0,則易知B=;(Ⅱ)結(jié)合B=,此時(shí)b應(yīng)該最大,而條件②中b=1,與已知矛盾,故條件①③正確,再結(jié)合面積公式、余弦定理以及三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)求解.【解答】解:(Ⅰ)由得:==0,結(jié)合B∈(0,π),得,故B=;(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)得,即a2+c2﹣b2+ac=0……(*),因?yàn)?,故b是最大邊,故條件②不成立,即條件①③正確,對(duì)于條件①:a2﹣b2+c2+3c=0,與(*)式結(jié)合得a=3,對(duì)于條件③:,故ac=15,所以c=5,所以,故b=7,所以,即,解得sinA=,cosA=,顯然====,結(jié)合AC=7,故,在△ABD中,BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cosA=×=,故BD=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正余弦定理、面積公式和三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì),同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.13.(2023?江寧區(qū)校級(jí)模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足.(1)求角B的大??;(2)若,設(shè)△ABC的面積為S,滿足,求b的值.【分析】(1)利用正弦定理邊角互化,結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形,即可得出答案;(2)利用三角形面積公式得ac,結(jié)合正弦定理即可得出答案.【解答】解:(1)∵,∴,在△ABC中,由正弦定理得,∵sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B),∴,∴,∵A∈(0,π),∴sinA≠0,∴,又B∈(0,π),則;(2)由(1)得,則,解得ac=12,又由正弦定理得,∴,解得.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理和面積公式,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.14.(2023?鯉城區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(2A+B)=2sinA(1﹣cosC).(1)證明:b=2a;(2)點(diǎn)D是線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),且CD=AD=1,求△ABC的周長(zhǎng).【分析】(1)由題意得A+B=π﹣C,利用兩角和差的三角函數(shù)公式變形得sinAcosC+cosAsinC=sinB=2sinA,利用正弦定理,即可證明結(jié)論;(2)作圖,由題意得BD=,b=2a,利用余弦定理可得cos∠CDB=﹣a2,cos∠ADC=1﹣2a2,結(jié)合cos∠CDB+cos∠ADC=0,求解即可得出答案.【解答】解:(1)證明:在△ABC中,A+B=π﹣C,sin(2A+B)=2sinA(1﹣cosC),則sin(π+A﹣C)=2sinA﹣2sinAcosC,即﹣sin(A﹣C)=2sinA﹣2sinAcosC,∴﹣(sinAcosC﹣cosAsinC)=2sinA﹣2sinAcosC,即sinAcosC+cosAsinC=sinB=2sinA,∴由正弦定理得b=2a;(2)作圖:點(diǎn)D是線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),且CD=AD=1,則BD=,由(1)得b=2a,在△CBD中,由余弦定理得cos∠CDB===﹣a2,在△ADC中,由余弦定理得cos∠ADC===1﹣2a2,∵∠CDB+∠ADC=π,∴cos∠CDB+cos∠ADC=0,即﹣a2+1﹣2a2=0,解得a=,∴b=2a=,∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=++=+.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.15.(2023?湖南模擬)如圖,在平面四邊形ABCD中,BC=,BE⊥AC于點(diǎn)E,BE=,且△ACD的面積為△ABC面積的2倍.(1)求AD?sin∠DAC的值;(2)當(dāng)CD=3時(shí),求線段DE的長(zhǎng).【分析】(1)由題意得S△ACD=AC?AD?sin∠DAC,S△ABC=AC?BE,S△ACD=2S△ABC,即可得出答案;(2)由題意得CE=1,利用正弦定理得sin∠ACD=,分類討論cos∠ACD=,cos∠ACD=﹣,即可得出答案.【解答】解:(1)∵△ACD的面積為△ABC面積的2倍,BE⊥AC,∴S△ACD=AC?AD?sin∠DAC,S△ABC=AC?BE,S△ACD=2S△ABC,∴AC?AD?sin∠DAC=2×AC?BE,又BE=,則AD?sin∠DAC=2BE=2;(2)在Rt△BCE中,則CE2=BC2﹣BE2=1,即CE=1,在△ACD中,由正弦定理得=,即CD?sin∠ACD=AD?sin∠DAC=2,∴sin∠ACD=,∴cos∠ACD=±=±,當(dāng)cos∠ACD=時(shí),在△CDE中,由余弦定理得DE2=CE2+CD2﹣2CE?CDcos∠ACD=12+32﹣2×1×3×=8,即DE=2,當(dāng)cos∠ACD=﹣時(shí),在△CDE中,由余弦定理得DE2=CE2+CD2﹣2CE?CDcos∠ACD=12+32﹣2×1×3×(﹣)=12,即DE=2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.16.(2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬)如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,P在平面上且滿足CP=CA,記∠CAP=θ.(1)若,求PB的長(zhǎng);(2)用θ表示S△PAB,并求S△PAB的取值范圍.【分析】(1)由題意得∠PAB=,CP=CA=AP=2,利用余弦定理,即可得出答案;(2)由題意得∠PCA=π﹣2θ,∠APC=θ,利用正弦定理得PA=4cosθ,表示出S△PAB=PA?ABsin(+θ),結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.【解答】解:(1)∵∠CAP=,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,∴∠PAB=,CP=CA=AP=2,∴在△APB中,由余弦定理得PB2=AP2+AB2﹣2AP?ABcos∠PAB=4+4﹣8×(﹣)=12,即PB=2;(2)∵CP=CA,∠CAP=∠CPA=θ,∴∠PCA=π﹣2θ,∠APC=θ,在△APC中,由正弦定理得,解得PA=4cosθ,∴S△PAB=PA?ABsin(+θ)=?4cosθ?2sin(+θ)=4cosθsin(+θ)=sin2θ+cos2θ+=2sin(2θ+)+,∵,∴0<θ<,∴<2θ+<,即sin(2θ+)∈(﹣,1],∴2sin(2θ+)+∈(0,2+],故S△PAB的取值范圍為(0,2+].【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.17.(2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬)△ABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為的面積為.(1)若,求△ABC的周長(zhǎng);(2)設(shè)D為AC中點(diǎn),求A到BD距離的最大值.【分析】(1)由題中條件可求得tanA,再由同角三角函數(shù)得基本關(guān)系可求得cosA,,從而求出bc,再由余弦定理可求得b+c,從而求出周長(zhǎng);(2)由余弦定理和基本不等式求出BD的最小值,再由三角形的面積可求得.【解答】解:(1)∵,∴bccosA=﹣1,①∵△ABC的面積為,∴,②由①②得:tanA=,∵,∵A∈(0,π),∴,由①及cosA=,∴bc=3,在△ABC中,由余弦定理:a2=b2+c2﹣2bccosA===(b+c)2﹣4,即(b+c)2=12,∴,∴,∴△ABC的周長(zhǎng)為;(2)記d=|AD|,e=|BD|,由(1)知:bc=3,cosA=,∴,在△ABD中,由余弦定理有:cosA==,∴==,∴e≥2,當(dāng)且僅當(dāng)c=d=時(shí)等號(hào)成立,∵,當(dāng)?shù)走卐最小時(shí),高h(yuǎn)最大,∴=,∴A到BD距離的最大值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值、用正余弦定理和面積公式解三角形、用基本不等式求最值等,屬于中檔題.18.(2023?三明三模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b=2,a2=c2+2c+4,CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,CD=.(1)求∠ADC;(2)求△BCD的面積.【分析】(1)由條件和余弦定理求A,再在△ADC中由正弦定理求∠ADC;(2)由(1)及條件求出∠ABC,∠BCD,再在△ABC中由余弦定理求a,最后由面積公式即可求得.【解答】解:(1)∵b=2,a2=c2+2c+4,∴a2=c2+bc+b2,∴b2+c2﹣a2=﹣bc,∴由余弦定理有:=,∵A∈(0,π),∴,在△ADC中,由正弦定理,∴==,∵∠ADC∈(0,)∴.(2)由(1)知,,∵CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,∴∠BCD=,∴,∴,∴c=b=2,在△ABC中由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccos∠BAC==12,∴,∵,∴==.【點(diǎn)評(píng)】本題考查用正、余弦定理和面積公式解三角形,屬于中檔題.19.(2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且.(1)求角C;(2)若△ABC的中線CD長(zhǎng)為,求△ABC面積的最大值.【分析】(1)由正弦定理及三角恒等變換知識(shí)化簡(jiǎn)即可;(2)由CD為中線可轉(zhuǎn)化為向量法求解,得到48=a2+b2+ab,再由基本不等式可得ab≤16,最后由三角形的面積即可求得.【解答】(1)在△ABC中,由正弦定理得:,,化簡(jiǎn)得,∵A∈(0,π),∴sinA≠0,∴,即,∴,∴,∴,又∵C∈(0,π),∴,∴,即;(2)由CD是△ABC的中線,∴,∴,即,∴48=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab,∴ab≤16,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,∴三角形面積,∴△ABC的面積的最大值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理、面積公式、三角恒等變換、向量、基本不等式在解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.20.(2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求角C的大??;(2)若C的角平分線交AB于點(diǎn)D,且CD=2,求a+2b的最小值.【分析】(1)由三角恒等變換知識(shí)化簡(jiǎn)條件式即可;(2)由CD為角平分線得到S△ABC=S△ACD+S△BCD,從而得到,再由基本不等式求最值即可.【解答】解:(1)∵,∴,∵B∈(0,π),∴sinB≠0,∴,即,∵C∈(0,π),∴;(2)∵CD為角C的角平分線,且CD=2,∴S△ABC=S△ACD+S△BCD,,根據(jù)三角形面積公式可得:=,即,等式兩邊同時(shí)除以,可得:,即,則,當(dāng)且僅當(dāng)即,b=時(shí)等式成立,∴a+2b的最小值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用三角恒等變換知識(shí)解三角形和角平分線、基本不等式在解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.21.(2023?華龍區(qū)校級(jí)模擬)已知.(1)若,求函數(shù)f(x)的值域;(2)在△ABC,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f(A)=2,且△ABC的面積為,當(dāng)a=6時(shí),求△ABC的周長(zhǎng).【分析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f(x)=2sin(2x+)+1,由題意可求,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解f(x)的值域.(2)由(1)可得,可求,解得,利用三角形的面積公式可求bc的值,利用余弦定理可求b+c的值,即可得解△ABC的周長(zhǎng).【解答】解:(1)由題意,=2cos2x+sin2x=2cos2x﹣1+sin2x+1=cos2x+sin2x+1=2sin(2x+)+1,當(dāng)x時(shí),可得,所以﹣<sin(2x+)≤1,所以f(x)=2sin(2x+)+1∈(0,3],所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,3].(2)由(1)可得,所以,因?yàn)锳∈(0,π),可得,所以,解得,又由,可得bc=8,由余弦定理得a2=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=(b+c)2﹣24,因?yàn)閍=6,所以,所以△ABC的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)恒等變換,正弦函數(shù)的性質(zhì),三角形的面積公式以及余弦定理的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用,屬于中檔題.22.(2023?武漢模擬)在△ABC中,AB=2,D為AB中點(diǎn),.(1)若BC=,求AC的長(zhǎng);(2)若∠BAC=2∠BCD,求AC的長(zhǎng).【分析】(1)分別在△BDC,可求cos∠BDC,△ADC中,由余弦定理可求AC;(2)設(shè)AC=x,BC=y(tǒng),又正弦定理可得=,進(jìn)而可得2y2=x(y2+1)①,利用cos∠ADC=﹣cos∠BDC,可得x2+y2=6②,進(jìn)而可求解.【解答】解:(1)在△BDC中,cos∠BDC==,cos∠ADC=﹣cos∠BDC,在△ADC中,AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos∠ADC=4,∴AC=2;(2)設(shè)AC=x,BC=y(tǒng),在△ADC,△BDC中,由正弦定理,可得=,=,又sin∠ADC=sin∠BDC,得=,在△BDC中,由余弦定理得cos∠BCD=,由∠BAC=2∠BCD,有sin∠BAC=sin2∠BCD=2sin∠BCDcos∠BCD,∴=2?,整理得2y2=x(y2+1)①,又由cos∠ADC=﹣cos∠BDC,=﹣,整理得x2+y2=6②,聯(lián)立①②得:x3﹣2x2﹣7x+12=0,即(x﹣3)(x2+x﹣4)=0又﹣1<x<+1,故x=,∴AC=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,熟練掌握正弦定理,余弦定理是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬中檔題.四.解三角形(共22小題)23.(2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,若已知a(a﹣4sinA)=b(c﹣4sinC);(1)證明:a2≥16sinB(c﹣4sinC);(2)證明:當(dāng)△ABC的面積為時(shí),求a+b+c的值.【分析】(1)利用正弦定理邊化角,將問題轉(zhuǎn)化為證明a2≥16sinA(a﹣4sinA),整理可得完全平方式,由此可得結(jié)論;(2)由(1)可得a=8sinA,進(jìn)而用a,c表示出sinA,sinC,結(jié)合已知關(guān)系式整理可求得a2=bc,代入三角形面積公式即可求得a的值,再由余弦定理可得b+c的值,進(jìn)而求出a+b+c的值.【解答】(1)證明:∵a(a﹣4sinA)=b(c﹣4sinC),由正弦定理可得:sinA(a﹣4sinA)=sinB(c﹣4sinC),要證a2≥16sinB(c﹣4sinC),只需證a2≥16sinA(a﹣4sinA),即證64sin2A﹣16asinA+a2≥0,即證(8sinA﹣a)2≥0成立,顯然(8sinA﹣a)2≥0成立,所以a2≥16sinB(c﹣4sinC)成立;(2)由(1)得:a2=16sinB(c﹣4sinC)時(shí),a2﹣16asinA+64sin2A=(a﹣8sinA)2=0,則a=8sinA,由正弦定理可得===8,則sinA=,sinC=由a(a﹣4sinA)=b(c﹣4sinC)得:a(a﹣)=b(c﹣),整理可得a2=bc,所以S△ABC=bcsinA===,解得:a=.所以sinA==,可得cosA=或cosA=﹣,當(dāng)cosA=時(shí),由余弦定理可得:cosA==,即=﹣,cosA=﹣時(shí),由余弦定理可得:cosA==,即﹣=﹣,解得a+b+c=?=,或a+b+c=+,所以a+b+c=+或a+b+c=+.【點(diǎn)評(píng)】本題考查分析法證明的應(yīng)用及正弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.24.(2023?福州模擬)已知函數(shù),將f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)g(x)的圖象.(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)記銳角三角形ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,求a﹣b的取值范圍.【分析】(1)根據(jù)平移變換得到g(x),注意到y(tǒng)=sinx與y=﹣sinx的單調(diào)性相反即可;(2)根據(jù)正弦定理,將a﹣b表示出來,利用三角函數(shù)求值域的方法求范圍即可.【解答】解:(1)將f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,得到,再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到=cos(x+)=﹣sinx,則g(x)=﹣sinx.當(dāng)函數(shù)y=sinx單調(diào)遞增時(shí),g(x)單調(diào)遞減,故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)∵,∴﹣sinC=﹣,∴,又C為銳角,∴,A+B=.∵,∴.∴.∵△ABC為銳角三角形,∴即解得,∴,∴.∴a﹣b的取值范圍為(﹣1,1).【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查正弦定理,屬于基礎(chǔ)題.25.(2023?安慶二模)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,.(1)若角,求角A的大??;(2)若a=4,,求b.【分析】(1)根據(jù)題意,利用正弦定理的邊角互化結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn),即可得出答案;(2)根據(jù)題意,利用余弦定理求解,即可得出答案.【解答】解:(1)∵,∴2sinBsinC?=sinA,即2sinBsinC=sinA,即=sinA,又A∈(0,π),即sinA≠0,則2sinBsinC=1+cosA,即2sinBsinC=1﹣cos(B+C),∴cos(B﹣C)=1,又﹣π<B﹣C<π,且,故;(2)由(1)得cos(B﹣C)=1,﹣π<B﹣C<π,則b=c,∵,∴cosA=±,當(dāng)A為銳角時(shí),由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,即16=2b2﹣b2,即;當(dāng)A為鈍角時(shí),由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,即16=2b2+b2,即.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.26.(2023?愛民區(qū)校級(jí)三模)在△ABC中,.(Ⅰ)求∠A;(Ⅱ)若△ABC的面積為,再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,使△ABC存在且唯一確定,求a的值.條件①:;條件②:;條件③:注:如果選擇的條件不符合要求,第(II)問得0分;如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【分析】(Ⅰ)利用正弦定理:邊轉(zhuǎn)化角,再利用正弦的二倍角公式,即可求出結(jié)果;(Ⅱ)條件①,可得角C是銳角或鈍角,不滿足題設(shè)中的條件,故不選①;條件②,利用條件建立,邊b與c的方程組,求出b與c,再利用余弦定理,即可求出結(jié)果;條件③,利用正弦定理,先把角轉(zhuǎn)化成邊,再結(jié)合條件建立,邊b與c的方程組,求出b與c,利用余弦定理,即可求出結(jié)果.【解答】解:(Ⅰ)因?yàn)閎sin2A=asinB,由正弦定理得,sinBsin2A=sinAsinB,又B∈(0,π),所以sinB≠0,得到sin2A=sinA,又sin2A=2sinAcosA,所以2sinAcosA=sinA,又A∈(0,π),所以sinA≠0,得到cosA=,所以A=;(Ⅱ)選條件①:sinC=;由(1)知,A=,根據(jù)正弦定理知,===>1,即c>a,所以角C有銳角或鈍角兩種情況,△ABC存在,但不唯一,故不選此條件.選條件②:;因?yàn)镾△ABC=bcsinA=bcsin=bc=3,所以bc=12,又,得到b=c,代入bc=12,得到c2=12,解得c=4,所以b=3,由余弦定理得,a2=b2+c2﹣2bccosA=(3)2+42﹣2×3×4×=27+16﹣36=7,所以a=.選條件③:cosC=;因?yàn)镾△ABC=bcsinA=bcsin=bc=3,所以bc=12,由cosC=,得到sinC===,又sinB=sin(π﹣A﹣C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,由(1)知A=,所以sinB=×+×=,又由正弦定理得===,得到b=c,代入bc=12,得到c2=12,解得c=4,所以b=3,由余弦定理得,a2=b2+c2﹣2bccosA=(3)2+42﹣2×3×4×=27+16﹣36=7,所以a=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理,屬于中檔題.27.(2023?桐城市校級(jí)一模)在△ABC中,三邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,已知a=4,=.(1)若,求sinA;(2)若AB邊上的中線長(zhǎng)為,求AB的長(zhǎng).【分析】(1)由正弦定理,兩角和的余弦公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式可得tanC=,結(jié)合C∈(0,π),可得C=,利用正弦定理,即可得出答案;(2)設(shè)AB邊上的中線為CD,則2=+,兩邊平方,利用余弦定理可得b2+3b﹣28=0,解得b的值,根據(jù)余弦定理,即可得出答案.【解答】解:(1)∵a=4,=,由正弦定理得==,整理得cosB+cosAcosC=sinAcosC,∵cosB=﹣cos(A+C)=sinAsinC﹣cosAcosC,∴sinAsinC=sinAcosC,又sinA≠0,則tanC=,∵C∈(0,π),∴C=,由正弦定理得,即,解得sinA=1;(2)設(shè)AB邊上的中線為CD,則2=+,∴4||2=(+)2=b2+a2+2abcos∠ACB,即37=b2+9+3b,整理得b2+3b﹣28=0,解得b=4或﹣7(不合題意,舍去),∴AB=c===.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題.28.(2023?遼寧模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求角B的大小;(2)若,且b=3,求△ABC的面積S.【分析】(1)利用余弦定理得==,即=,可得tanB=,即可得出答案;(2)由(1)得B=,利用正弦定理得sinC=,結(jié)合余弦定理和面積公式,即可得出答案.【解答】解:(1)∵,∴在△ABC中,由余弦定理得==,∵cosC≠0,∴=,∵sinA≠0,∴tanB=,∵B∈(0,π),∴B=;(2)由(1)得B=,在△ABC中,由正弦定理得==,即sinC=,∴a+c=2a×=ac①,在△ABC中,由余弦定理得9=a2+c2﹣2accos,即a2+c2﹣ac=9②,聯(lián)立①②得2(ac)2﹣3ac﹣9=0,即(ac﹣3)(2ac+3)=0,解得ac=3或ac=﹣(不合題意,舍去),∴△ABC的面積為S=acsinB=×3×=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.29.(2023?云南模擬)已知函數(shù)在上單調(diào),且.(1)求f(x)的解析式;(2)若鈍角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且a=2,,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.【分析】(1)利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn),根據(jù)單調(diào)性求出ω的取值范圍,再根據(jù)對(duì)稱性求出ω的值,即可得出答案;(2)首先求出A,再利用余弦定理及基本不等式求出b+c的最大值,即可得出答案.【解答】解:(1)==,∵f(x)在上單調(diào),且ω∈N*,∴,解得0<ω≤3,又,則為f(x)的一條對(duì)稱軸,∴,解得ω=2+3k,k∈Z,∴ω=2,即;(2)由(1)得,則,即,又0<A<π,則,∴或,解得或,∵△ABC為鈍角三角形,∴,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,即,即,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào),∴,∴,即△ABC周長(zhǎng)的最大值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.30.(2023?陽泉三模)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b2+c2=a2﹣bc.(1)求A;(2)若bsinA=4sinB,且lgb+lgc≥1﹣2cos(B+C),求△ABC面積的取值范圍.【分析】(1)結(jié)合題意,利用余弦定理,即可得出答案;(2)由(1)得A=,利用正弦定理可得a=4,利用余弦定理可得bc≤,結(jié)合題意可得bc≥1,利用面積公式,即可得出答案.【解答】解:(1)∵b2+c2=a2﹣bc,即b2+c2﹣a2=﹣bc,∴在△ABC中,由余弦定理得cosA==﹣,又A∈(0,π),則A=;(2)由(1)得A=,∵bsinA=4sinB,∴由正弦定理得ab=4b,解得a=4,由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA≥2bc+bc=3bc,則bc≤,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時(shí)等號(hào)成立,∵lgb+lgc≥1﹣2cos(B+C),∴l(xiāng)g(bc)≥1+2cosA=0,解得bc≥1,∴1≤bc≤,∴△ABC的面積為S=bcsinA=bc,∴≤S≤,故△ABC面積的取值范圍為[,].【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.31.(2023?全國(guó)模擬)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinB+bcos(+)=0.(1)求A;(2)若a=,求△ABC面積的最大值.【分析】(1)利用正弦定理可得sinA+cos(+)=0,結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得sinA=sin(+),即可得出答案;(2)由(1)得A=,利用余弦定理可得bc≤=3+6,結(jié)合面積公式,即可得出答案.【解答】解:(1)∵asinB+bcos(+)=0,∴在△ABC中,由正弦定理得sinAsinB+sinBcos(+)=0,∵B∈(0,),∴sinA+cos(+)=0,∴sinA+cos(++)=0,即sinA=sin(+),∵A∈(0,),∴+∈(,),∴A=+,解得A=;(2)由(1)得A=,a=,在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA≥(2﹣)bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,∴bc≤=3+6,∴△ABC的面積S=bcsinA=bc≤,故△ABC面積的最大值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.32.(2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,.(1)求角C的大??;(2)已知b=4,△ABC的面積為6,求sinB的值.【分析】(1)根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù),可得,即可得出答案;(2)首先根據(jù)面積公式求a,再根據(jù)余弦定理和正弦定理,即可得出答案.【解答】解:(1)由題意得,即,則,又C∈(0,π),則;,(2)由題意得,解得,由余弦定理得,即,由正弦定理得,即,解得.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.33.(2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量,,且.(1)求角C;(2)若,△ABC的面積為,求△ABC的周長(zhǎng).【分析】(1)由題意得a(sinA+sinB)=(c﹣b)(sinC+sinB),利用正弦定理邊化角得a(a+b)=(c﹣b)(c+b),即a2+b2﹣c2=﹣ab,結(jié)合余弦定理,即可得出答案;(2)由(1)得,由余弦定理得a2+b2﹣c2=﹣ab,即(a+b)2﹣ab=c2=18,結(jié)合面積公式可得ab=6,求出a+b,即可得出答案.【解答】解:(1)∵,,,∴a(sinA+sinB)=(c﹣b)(sinC+sinB),在△ABC中,由正弦定理得a(a+b)=(c﹣b)(c+b),即a2+b2﹣c2=﹣ab,∴,又C∈(0,π),則;(2)由(1)得,由余弦定理得a2+b2﹣c2=﹣ab,即(a+b)2﹣ab=c2=18,又,則ab=6,∴(a+b)2=18+ab=24,即,∴△ABC的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.34.(2023?平頂山模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,6cosBcosC﹣1=3cos(B﹣C).(1)若,求cosC;(2)若c=3,點(diǎn)D在BC邊上,且AD平分,求△ABC的面積.【分析】(1)利用兩角和、差的余弦公式求出cos(B+C),由誘導(dǎo)公式求出cosA,即可求出sinA,最后由cosC=﹣cos(A+B)計(jì)算,即可得出答案;(2)利用二倍角公式求出,再由S△ABC=S△ADC+S△ADB求出b,最后由面積公式計(jì)算,即可得出答案.【解答】解:(1)∵6cosBcosC﹣1=3cos(B﹣C)=3cosBcosC+3sinBsinC,則3cosBcosC﹣3sinBsinC=3cos(B+C)=1,,又A+B+C=π,cos(B+C)=cos(π﹣A)=﹣cosA,則,又A∈(0,π),則,則;(2)由(1)得,則,又S△ABC=S△ADC+S△ADB,則,即,則,即,解得b=4,故△ABC的面積.【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.35.(2023?廈門模擬)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求a的值;(2)點(diǎn)D在線段BC上,∠BAC=120°,∠BAD=45°,CD=1,求△ABC的面積.【分析】(1)根據(jù)正弦定理、三角函數(shù)的和差角公式,將條件變形即可得出答案;(2)由可得AB=AC,然后由余弦定理可解出AB,AC,即可得出答案;或利用正弦定理結(jié)合結(jié)合條件求∠ACB=30°,然后再利

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